5.2 简单的轴对称图形 暑期专项练习 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 初中数学暑期专项训练，聚焦轴对称性质、角平分线、垂直平分线、尺规作图及最值问题，以“性质应用—作图实践—综合计算”为主线，提炼对称转化、性质迁移等方法，逻辑系统且贴近中考。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|5题（题1、3、4、7、8）|轴对称求最短路径、角平分线性质求距离|从轴对称概念到角平分线/垂直平分线性质，再到距离与角度计算| |尺规作图|7题（题2、5、6、11、12、17、18）|角平分线/垂直平分线作图步骤与辨析|从基本作图原理到作图合理性判断，培养几何直观| |综合计算|5题（题9、10、14、15、16）|对称转化求最值、性质综合计算|结合轴对称与三角形性质，发展推理意识与空间观念|

5.2 简单的轴对称图形 暑期专项练习2025-2026学年 北师大版七年级数学下册 一、单选题 1．如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（    ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 4．如图，平分，于点，点在上．若，面积为9，则的长为（   ） A．2 B．6 C．3 D．9 5．在数学课上，老师提出如下问题：如图所示，已知中，，用尺规作图的方法在上取一点，使得．下面四个同学的做法，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示．在△ABC中，∠BAC＝106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN＝（　　） A．58° B．32° C．36° D．34° 9．如图，在等腰中，在上分别截取，使．再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（  ） A．10 B． C．12 D． 10．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 二、填空题 11．如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 12．如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°． 13．如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 14．如图，在中，，平分交于点，点关于的对称点恰好在的延长线上，连接，则______． 15．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 三、解答题 16．如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 17．如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 18．如图，在中，请用尺规作图法作的垂直平分线交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） 19．校园一角的形状如图（1）所示，其中，，表示围墙．如图（2）所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点，使得点到三面墙的距离都相等．请解释他这样做的道理． 20．墙上钉了一根木条，李叔叔想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤．李叔叔将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点．如果重垂线过点，那么这根木条就是水平的．请说明其中的道理． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A C A C B B D B 1．A 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 2．A 【分析】根据作一个角的角平分线、作一个角等于已知角和线段垂直平分线的尺规作图方法逐个判断即可； 本题主要考查了尺规作图相关知识，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键． 【详解】解：①作一个角的角平分线：其尺规作图的基本步骤是先以角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点；最后过角的顶点和这个交点作射线，这条射线就是角平分线． 图①的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以①的作法正确； ②作一个角等于已知角：其尺规作图的基本步骤是先作一条射线作为新角的一条边，以原角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点，并以射线端点为圆心，该长度为半径画弧，交射线于一点；再以原角上其中一个交点为圆心，两交点距离的长度为半径画弧，并以射线上的交点为圆心，该长度为半径画弧，于前弧交于一点，最后过射线端点和这个交点作射线，两条射线的夹角即为所求角． 图②的作图痕迹符合角平分线的尺规作图步骤，所以②的作法正确； ③作一条线段的垂直平分线：正确的尺规作图步骤是分别以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧分别在线段上下方各有一个交点，连接这两个交点所得直线才是线段的垂直平分线． 图③中没有体现完整的尺规作图过程，线段下方没有交点，所以③的作法错误； 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题知，因为平分交于， 所以点到和的距离相等． 因为于点，且， 所以点到和的距离都是， 所以 因为，， 所以 故选：A 4．C 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式．过点作于，根据三角形面积公式求出的长，再根据角平分线的性质可得，从而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ，， 平分，， ． 5．A 【分析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用得到，利用线段垂直平分线定理的逆定理，作的垂直平分线即可． 【详解】解：， 而， ， 点为的垂直平分线与的交点． 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解图示是关键，根据线段垂直平分线的性质，等边对等角求解即可． 【详解】解：根据题意，是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，故A，B选项正确，不符合题意； 与不一定相等，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 7．B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 8．B 【分析】先由∠BAC＝106°及三角形内角和定理求出∠B＋∠C的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAN，即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN，由∠EAN＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAN)解答即可. 【详解】∵△ABC中，∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－106°＝74°,∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，∴∠B＝∠BAE,∠C＝∠CAN,即∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°,∴∠EAN＝∠BAC－(∠BAE＋∠CAN)＝106°－74°＝32°.故选B. 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，能根据三角形内角和定理求出∠B＋∠C＝∠BAE＋∠CAN＝74°是解答此题的关键. 9．D 【分析】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题． 如图，过点B作于点H，证明的最小值为的长，再利用面积法求出即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． 平分， 关于对称， 作点N关于的对称点，连接， ， 的最小值为的长． 平分， ， ∴， ， ． 故选：． 10．B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 11．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 12． 【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，平分， ∵， ∴． 13． 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 14． 【分析】本题主要考查对称性质、角平分线、外角定理的相关知识，首先根据点关于的对称点是，得出；再结合平分和平角性质，算出；最后利用三角形外角性质，求得即． 【详解】解：连接交于点， ∵由点关于的对称点是， ∴ 垂直平分， ∴ ，， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 15． 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 16．3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【详解】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 17．(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 18．解：如图，直线即为所求． 【分析】分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可． 【详解】略 19．解：如图，过作于，于，于， ，分别是，的角平分线， ，， ， 故点到三面墙的距离都相等． 【分析】过作于，于，于，根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】略 20．解：∵，为的中点 ∴垂直平分， ∵重垂线过点， ∴重垂线与重合， ∵木条所在的直线与竖直的直线垂直 ∴这根木条是水平的． 【分析】通过轴对称的性质即可求解． 【详解】略． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $