第04讲 认识实数（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第04讲 认识实数（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块二 认识实数 下图中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形．设大正方形的边长为，满足什么条件？可能是整数吗？可能是分数吗？ 【知识点1 无理数】 1．无限不循环小数叫做无理数． 2．常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． ②含有π的绝大部分数，如2π． 【知识点2 实数】 1．实数的概念：有理数和无理数统称实数． 2．实数的分类：（正实数、0、负实数） 【题型1 无理数】 【例1】下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】下列各数中是无理数的是（    ）． A． B．0 C． D． 【变式1-2】有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【变式1-3】在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 实数的分类】 【例2】把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． （1）有理数集合：{ …}． （2）无理数集合：{ …}． （3）正实数集合：{  …}． （4）负实数集合：{   …}． （5）整数集合：{ …}． （6）分数集合：{  …}． 【变式2-1】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】把下列各数填入相应的集合内 ，，，46，0，，． （1）有理数集合：{ ……}； （2）无理数集合：{ ……}； （3）正实数集合：{ …}； （4）负实数集合：{ …}． 【变式2-3】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． （1）正数集合：{ …} （2）整数集合：{ …}； （3）无理数集合：{  …}； （4）平方不大于本身的数的集合：{ …}． 【题型3 实数的性质】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【变式3-1】的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【变式3-3】的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【题型4 实数与数轴】 【例4】实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 2．的相反数是（   ） A． B． C． D． 3．在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 5．我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 6．将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 认识实数（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+2个知识归纳+4个题型+课后作业】 模块二 认识实数 下图中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形．设大正方形的边长为，满足什么条件？可能是整数吗？可能是分数吗？ 【知识点1 无理数】 1．无限不循环小数叫做无理数． 2．常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． ②含有π的绝大部分数，如2π． 【知识点2 实数】 1．实数的概念：有理数和无理数统称实数． 2．实数的分类：（正实数、0、负实数） 【题型1 无理数】 【例1】下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是分数，属于有理数，故不符合题意； 是无理数，符合题意， 是分数，属于有理数，故不符合题意； 0.021021021…是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； 综上所述，无理数有，共  个． 故选：A． 【变式1-1】下列各数中是无理数的是（    ）． A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】有理数是整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数，据此相关性质内容进行逐项分析 ，即可作答． 【详解】解：A、 是有限小数，属于有理数， B、是整数，属于有理数， C、是分数，属于有理数， D、是无限不循环小数，属于无理数， 故选：D． 【变式1-2】有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【答案】6 【分析】先根据无理数的定义确定无理数的个数得到的值，再根据非负数的定义确定非负数的个数得到的值，最后计算即可． 【详解】解：无理数为：，（相邻的两个2之间依次多一个0），共个，即， 非负数为：，，，，共个，即， 则． 故答案为：6． 【变式1-3】在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，核心是明确有理数与无理数的区别：有理数包含整数、分数(有限小数、无限循环小数)，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是分数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是无限循环小数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；(相邻两个3之间1的个数逐次加)是无限不循环小数，属于无理数； 无理数共有2个， 故选：B． 【题型2 实数的分类】 【例2】把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）． （1）有理数集合：{ …}． （2）无理数集合：{ …}． （3）正实数集合：{  …}． （4）负实数集合：{   …}． （5）整数集合：{ …}． （6）分数集合：{  …}． 【分析】本题考查了实数的分类，有理数和无理数统称实数；实数也分为正实数、0、负实数；整数和分数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．根据实数的分类及定义即可得出答案． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，，，，…}． （2）解：无理数集合：{，（相邻两个之间的个数逐次加） …}． （3）解：正实数集合：{，，，（相邻两个之间的个数逐次加）…}． （4）解：负实数集合：{，，，…}． （5）解：整数集合：{， …}． （6）解：分数集合：{，，，，，…}． 【变式2-1】若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 故选：A． 【变式2-2】把下列各数填入相应的集合内 ，，，46，0，，． （1）有理数集合：{ ……}； （2）无理数集合：{ ……}； （3）正实数集合：{ …}； （4）负实数集合：{ …}． 【分析】本题主要考查了有理数、无理数、实数等知识点，熟练掌握实数的分类方法是解本题的关键． 根据有理数、无理数、实数的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：有理数集合：{，，，46，0，}． （2）解：无理数集合：{}． （3）解：正实数集合：{，，46，}． （4）解：负实数集合：{，}． 【变式2-3】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． （1）正数集合：{ …} （2）整数集合：{ …}； （3）无理数集合：{  …}； （4）平方不大于本身的数的集合：{ …}． 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 【题型3 实数的性质】 【例3】下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，相反数和负数，根据绝对值，相反数和负数的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 【变式3-1】的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的正负性，再根据绝对值的性质计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得 故选：B． 【变式3-2】实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果， 【详解】解：实数的倒数， 则的相反数是2， 即实数的倒数的相反数是2， 故选：C． 【变式3-3】的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 【题型4 实数与数轴】 【例4】实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数轴可知，，，，，逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， 故A、B、C错误，不符合题意； 由数轴可知，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故D正确，符合题意． 故选：D． 【变式4-1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， 故只有选项D正确. 故选：D． 【变式4-2】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，即可判断各选项． 【详解】解：由数轴可得，， 故，，， 故正确的是C选项． 故选：C． 【变式4-3】如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 故选：C． 模块三 课后作业 1．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A. 正实数、零和负实数统称实数，原说法错误； B. 正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误； C. 正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误； D. 无理数和有理数统称实数，说法正确； 故选：D． 2．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 3．在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断给定实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：（相邻两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 含无理数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ∴无理数共个． 故选：A． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知：，； ∴，， ∴ ，故B选项错误； ∵，，且， ∴，故C选项正确. ，. 又∵， ∴，故 A 选项错误； ∵， ∴； 又， ∴ ， 故 D 选项错误. 故选：C． 5．我们把直径为1的圆从原点沿数轴向右滚动一周（如图所示），圆上的一点到达，表示的数是_____． 【答案】π 【分析】根据圆的周长公式计算出圆滚动一周的距离，再根据数轴上点的平移规律（向右移动加）即可求解． 【详解】解： 圆的直径为 ， 圆的周长为， 圆从原点沿数轴向右滚动一周，起点表示的数为， 点表示的数为． 故答案为：． 6．将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 【分析】本题考查了实数的分类，无限不循环小数即为无理数，实数包括无理数和有理数，解题的关键是根据实数的分类方法即可判定求解． 【详解】解：，，， 正数集合：{①②⋯}； 整数集合：{①③⋯}； 负分数集合：{④⑤⑥⋯}； 无理数集合：{②⑦⋯}； 故答案为：①②，①③，④⑤⑥，②⑦． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $