精品解析：2022年山西省太原市志达中学中考模拟试题数学试卷

中考数学模拟试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 客观题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的结果是(　　) A. -3 B. 3 C. 27 D. -27 2. 一个立体图形如图所示，下面关于它的俯视图的说法正确的是（ ） A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我校为纪念中国共产主义青年团成立100周年，开展“腾飞火热的青春”的朗诵比赛，13名参赛同学成绩各不相同，按照成绩取前6名进入决赛．如果小华知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小华需要知道这13名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 神舟十三号（），简称“神十三”，为中国载人航天工程发射的第十三艘飞船，是空间站关键技术验证阶段第四次飞行任务，也是空间站阶段首次载人飞行任务．神舟十三号载人飞船送入近地点高度，远地点高度的近地轨道，并与天和核心舱进行交会对接．远地点高度用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 数学思想方法是学生解决数学问题的根本思想和方法，是学生打开数学大门的钥匙，它蕴含于数学知识中，又产生数学知识．如图，在中，，和的平分线相交于点D，，那么的度数是多少？ 解题步骤如下解：设， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ 由此得出方程 解方程得，即 本题解题思路应用的数学思想方法是（ ） A. 数形结合思想方法 B. 化归思想方法 C. 方程思想方法 D. 函数思想方法 9. 如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ） A. 120° B. 108° C. 72° D. 36° 10. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 主观题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是_____． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______． 14. 某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 15. 如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）分解因式：． 17. 如图，在中，，点是的中点，点D在线段延长线上． （1）尺规作图：①作的平分线，②连接并延长，交于点F，连接； （2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由（写出最后一步的推理依据）． 18. 阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单地说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 19. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》•为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀”）． 获奖情况条形统计图 获奖情况扇形统计图奖 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为_____人，______，A所对的圆心角度数是_____°； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 20. 接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂． （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 21. 图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，连接AD，求的面积． （3）直接写出不等式组的解集． 22. 综合与探究 【动手操作】 第一步：如图1，将正方形纸片折叠，使与重合，展开铺平，折痕为； 第二步：如图2，将正方形纸片沿直线折叠，使点A落在上的点G处，展开铺平，折痕为，连接，，延长交边于点P． 【解决问题】 （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）①求的度数； ②求的值． 【问题延伸】 （3）如图3，若将正方形纸片改为矩形纸片，且，其余操作不变，请直接写出的值． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l与x轴交于点D． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点M是直线l上的动点，当是以为直角边的直角三角形时，求点M的坐标． （3）若点P是y轴左侧抛物线上的动点，设其横坐标为m．试探究：是否存在这样的点P，使得．如存在，请直接写出m的值，如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考数学模拟试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 客观题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的结果是(　　) A. -3 B. 3 C. 27 D. -27 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键． 2. 一个立体图形如图所示，下面关于它的俯视图的说法正确的是（ ） A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形 D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【详解】解：这个立体图形的俯视图是 ， 既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式、单项式除法法则、积的乘方法则、合并同类项法则逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：与不是同类项，不能合并，D错误； 综上，正确的是：B． 4. 我校为纪念中国共产主义青年团成立100周年，开展“腾飞火热的青春”的朗诵比赛，13名参赛同学成绩各不相同，按照成绩取前6名进入决赛．如果小华知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小华需要知道这13名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据参赛人数和晋级规则，结合中位数的定义即可判断． 【详解】解：∵共有名参赛同学，取前名进入决赛，且所有同学成绩各不相同， ∴将名同学的成绩从小到大排列后，中位数是第名同学的成绩， 若小华的成绩大于中位数，则小华排名在前，可进入决赛， 若小华的成绩小于中位数，则不能进入决赛， 因此小华只需要知道这名同学成绩的中位数，即可判断能否进入决赛． 5. 神舟十三号（），简称“神十三”，为中国载人航天工程发射的第十三艘飞船，是空间站关键技术验证阶段第四次飞行任务，也是空间站阶段首次载人飞行任务．神舟十三号载人飞船送入近地点高度，远地点高度的近地轨道，并与天和核心舱进行交会对接．远地点高度用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，据此解答即可． 【详解】解：． 6. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对多项式因式分解，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 8. 数学思想方法是学生解决数学问题的根本思想和方法，是学生打开数学大门的钥匙，它蕴含于数学知识中，又产生数学知识．如图，在中，，和的平分线相交于点D，，那么的度数是多少？ 解题步骤如下解：设， ∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ 由此得出方程 解方程得，即 本题解题思路应用的数学思想方法是（ ） A. 数形结合思想方法 B. 化归思想方法 C. 方程思想方法 D. 函数思想方法 【答案】C 【解析】 【详解】解：解答过程通过设，然后建立方程求解，利用数学思想方法是方程思想方法． 9. 如图，在中，，，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（ ） A. 120° B. 108° C. 72° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出，，利用三角形内角和定理求出．再根据折叠的性质得出，然后根据三角形外角的性质得出． 【详解】∵在中，，， ∴． ∵AD是斜边BC上的中线， ∴， ∴，， ∴． ∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质． 10. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题． 【详解】连接OC交DE为F点，如下图所示： 由已知得：四边形DCEO为矩形． ∵∠CDE=36°，且FD=FO， ∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积． ． 故选：A． 【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具． 主观题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】由题可得：， 即， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键． 12. 从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是_____． 【答案】丙 【解析】 【分析】根据方差表示数据的波动大小的量即可解答． 【详解】解：∵平均成绩都是87.9分，s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52， ∴s丙2＜s乙2＜s甲2， ∴选手丙的成绩更稳定，即适合参加比赛的选手是丙． 故答案为：丙． 【点睛】本题考查了方差的意义，理解方差是表示数据波动大小的量是解答本题的关键． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线与的平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠BEC=90°，然后利用勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：如图，在平行四边形中， ∴，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=180° ∵BE、CE分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠ABE=∠CBE，∠DCE=∠BCE， ∴∠AEB=∠ABE，∠DEC =∠DCE，∠CBE+∠BCE=90° ∴AB=AE=2，DE=DC=2，∠BEC=90°， ∴AD=2+2=4， ∴BC=AD=4， 在Rt△BCE中，由勾股定理，得 ； 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题． 14. 某学校准备改善原有户外楼梯的安全性能，已知原楼梯长为6米，坡角的度数为，调整后的楼梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．则楼梯底部A向外延伸的长度为________米．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】2.3 【解析】 【分析】先解求出，再解求出，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴在中，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解． 【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90， ∴GE=， 根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90， ∴BG=GF=GC=4， ∴BC=AD=8， ∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180， ∴∠AGE=90， ∴Rt△EGFRt△EAG， ∴，即， ∴， ∴DE=， ∴， 故答案为：． 【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算： （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，因式分解-提公因式法、公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 如图，在中，，点是的中点，点D在线段延长线上． （1）尺规作图：①作的平分线，②连接并延长，交于点F，连接； （2）在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由（写出最后一步的推理依据）． 【答案】（1） （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）先得出，再得出，则，进而根据平行四边形的判定即可得． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 18. 阅读材料，回答下列问题： 反序数： 有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单地说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：的反序数是，的反序数是． 用方程知识解决问题： 若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为，求这个两位数． 【答案】 【解析】 【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据这个两位数与其反序数之积为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为， 根据题意得：， ∴，即， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴这个两位数为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响，为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》•为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀”）． 获奖情况条形统计图 获奖情况扇形统计图奖 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为_____人，______，A所对的圆心角度数是_____°； （2）请将条形统计图补充完整； （3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30，36 （2） 条形统计图补充为： （3） 【解析】 【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值，用乘以A所占的百分比即为A所对的圆心角度数； （2）求出“三等奖”人数即可补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：获奖总人数为（人）， ， 即； A所对的圆心角度数， 故答案为：40，30，36； 【小问2详解】 “三等奖”人数为（人）， 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 20. 接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂． （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 【答案】（1）30人；（2）39天 【解析】 【分析】（1）设当前参加生产的工人有人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于的方程，求解即可； （2）设还需要生产天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：（1）设当前参加生产的工人有x人， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：当前参加生产的工人有30人． （2）每人每小时的数量为（万剂）． 设还需要生产y天才能完成任务， 依题意得：， 解得：，（天） 答：该厂共需要39天才能完成任务． 【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 21. 图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴相交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）过点B作x轴的平行线，交y轴于点D，连接AD，求的面积． （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1）， （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）过A作于E，而，再分别求解即可； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 解得，． 反比例函数解析式为： 点在反比例函数的图象上， ， 点A的坐标为， 则， 解得，， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ：过A作于E，而 ， 【小问3详解】 解：根据函数图象可得： 的解集为：或 由可得： 的解集为 所以不等式的解集为． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式组的解集是解题的关键． 22. 综合与探究 【动手操作】 第一步：如图1，将正方形纸片折叠，使与重合，展开铺平，折痕为； 第二步：如图2，将正方形纸片沿直线折叠，使点A落在上的点G处，展开铺平，折痕为，连接，，延长交边于点P． 【解决问题】 （1）判断与的数量关系，并说明理由； （2）①求的度数； ②求的值． 【问题延伸】 （3）如图3，若将正方形纸片改为矩形纸片，且，其余操作不变，请直接写出的值． 【答案】 （1），理由如下： 如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠的性质可得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①，②； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由正方形的性质可得，，由折叠的性质可得，，从而得出，证明，即可得解； （2）①连接，由折叠的性质可得垂直平分，从而得出，证明为等边三角形，得出，再由直角三角形的性质即可得解； ②证明，再由相似三角形的性质求解即可； （3）设，，则，由折叠的性质可得，，由勾股定理可得，从而得出，证明，求出，再证明，由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）①连接， ， 由折叠的性质可得垂直平分， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴设，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l与x轴交于点D． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点M是直线l上的动点，当是以为直角边的直角三角形时，求点M的坐标． （3）若点P是y轴左侧抛物线上的动点，设其横坐标为m．试探究：是否存在这样的点P，使得．如存在，请直接写出m的值，如不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A、B、C的坐标分别为、、； （2）或； （3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）对于，令，则，令，解得：或，即可求解； （2）当是斜边时，则，解得：；当是斜边时，则，解得：；即可求解； （3）过点C作的角平分线，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，进而求解． 【小问1详解】 解：对于，令，则， 令，解得：或， 即点A、B、C的坐标分别为、、； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点， 则，同理可得：，， 当是斜边时，则，解得：； 当是斜边时，则，解得：； 即点M的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在，理由： 过点C作的角平分线，则， 则，设，则， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或或， 即或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质、角平分线的性质、直角三角形的性质等，其中，分类求解是本题解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $