第07讲 有理数的混合运算 （知识清单+7大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（北师大版2024）

第07讲 有理数的混合运算 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 算“24”点 题型二 含乘方的有理数混合运算 题型三 程序流程图与有理数计算 题型四 计算器——有理数 题型五 求一个数的近似数 题型六 求近似数的精确度 题型七 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点2．计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点3．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 【题型一】算“24”点 【例1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 2．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【题型二】含乘方的有理数混合运算 【例2】（24-25七年级上·广西河池·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义一种新运算：，则 ． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【题型三】程序流程图与有理数计算 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B．28 C． D．80 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【题型四】计算器——有理数 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．用计算器进行混合运算时，应先按键进行乘方运算再按键进行乘除运算，最后按键进行加减运算 B．输入的按键顺序是 C．输入的按键顺序是 D．计算应按键 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）关于科学计算器的按键顺序：对应的算式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】求一个数的近似数 【例5】（24-25七年级上·广西南宁·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）将数用四舍五入法精确到百分位得到的近似数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用四舍五入法将5.406精确到百分位，所得的近似数是 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 【题型六】求近似数的精确度 【例6】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）由四舍五入得到的近似数34.94，是精确到（    ） A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列用四舍五入法分别取近似数，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．8.12亿（精确到百分位） D．（精确到十万位） 2．（23-24七年级上·广西河池·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）一名航天员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为千米和千米，这两组数据之间有差别吗？如果没有，请说明理由；如果有，请说明有哪些差别． 【题型七】近似数推断取值范围 【例7】（24-25七年级上·广东广州·期中）由四舍五入法得到的近似数是2.75，那么原数不可能是（   ） A．2.7514 B．2.7493 C．2.7504 D．2.755 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 2．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个两位小数精确到十分位是，这个小数最大是 ，最小是 ． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．近似数60000精确到十分位 B．近似数19.04精确到百分位 C．近似数10.0精确到个位 D．近似数100.170精确到0.01 2．给出两个说法：①用四舍五入法对3.355取近似值，精确到百分位得3.35；②近似数0.050精确到0.001．下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①②都不正确 3．等于（    ） A． B． C． D．0 4．若，则计算的结果是（    ） A． B．130 C． D．290 5．用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为（　　） A．﹣1 B．﹣9 C． D．0 6．下列各式的运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．计算：（　　） A． B． C． D． 8．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 9．长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到十万位 D．以上说法都不对 10．求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．定义，则 ． 12．用四舍五入法，精确到，对取近似值的结果是 ． 13．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是7、7、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 14．定义a※b＝a2÷（b﹣1），例如3※5＝32÷（5﹣1）＝9÷4＝，则（﹣3）※4的结果为 ． 15．有理数5.6149精确到百分位的近似数为 ． 16．定义运算a*b＝，若(m－1) * (m－3)＝1，则m的值为 ． 17．使用课本上的科学计算器，进行如下按键： 按键结束后输出的结果为 ． 18．已知，那么 即，模仿上述求和过程， 设，则 ， ． 三、解答题 19．漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是．设漳浦地区的高度每增加米，气温大约下降． (1)若此时小丽在山顶测得温度是，则莲花峰的高度大约是多少米？ (2)若此时小红所在的高度为米，则小红在米处的温度大约是多少℃？ 20．用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数． (1)0.6328（精确到0.01）； (2)7.9122（精确到个位）； (3)47155（精确到百位）； (4)130.06（精确到0.1）； (5)4602.15（精确到千位）． 21．用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似数． (1)53320；（精确到百位） (2)1.395．（精确到百分位） 22．计算： (1) (2) 23．计算 （1）（﹣13）＋（﹣7）﹣（＋20）﹣（﹣40）＋（＋16）； （2） （3） （4）﹣32÷（﹣3）2＋3×（﹣2）＋|﹣4|． 24．（1）小明很快地计算出下式的答案是．你知道他是怎么想的吗？ ． （2）①请你仿照（1）中式子，将下式补充成一个类似的式子： （________________）（________________）（________） ②请直接写出上式的答案． 25．计算下列各题： （1）           （2）.   （3）           （4） 26．阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例1：把和化成分数 乘10原数位每位进一位，得到，即，再减去得3， 算式如下： ，即，所以 同样道理，把化成分数算式如下： ，即，所以 根据上面材料完成： (1)直接把下面无限循环小数化为分数__________，__________； (2)请把下面无限循环小数，化为分数，写出计算过程 (3)无限循环小数（a、b均表示一位的正整数） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 有理数的混合运算 （知识清单+7大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 算“24”点 题型二 含乘方的有理数混合运算 题型三 程序流程图与有理数计算 题型四 计算器——有理数 题型五 求一个数的近似数 题型六 求近似数的精确度 题型七 近似数推断取值范围 知识清单 知识点1．有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 知识点2．计算器—基础知识 （1）计算器的面板是由键盘和显示器组成． （2）开机键和关机键各是AC/ON，OFF，在使用计算器时要按AC/ON键，停止使用时要按OFF键． （3）显示器是用来显示计算时输入的数据和计算结果的装置．键上的功能是第一功能，直接输入，下面对应的是第二功能，需要切换成才能使用． （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE． （7）部分标准型具备数字存储功能，它包括四个按键：MRC、M﹣、M+、MU．键入数字后，按M+将数字读入内存，此后无论进行多少步运算，只要按一次MRC即可读取先前存储的数字，按下M﹣则把该数字从内存中删除，或者按二次MRC． 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 知识点3．计算器—有理数 计算器包括标准型和科学型两种，其中科学型使用方法如下：　　 （1）键入数字时，按下相应的数字键，如果按错可用（DEL）键消去一次数值，再重新输入正确的数字．　　 （2）直接输入数字后，按下对应的功能键，进行第一功能相应的计算． （3）按下（﹣）键可输入负数，即先输入（﹣）号再输入数值． 　　　 （4）开方运算按用到乘方运算键x2的第二功能键”和的第二功能键“”． （5）对于开平方运算的按键顺序是：2ndfx2被开方数ENTE或直接按键，再输入数字后按“＝”即可． （6）对于开立方运算的按键顺序是：32ndf∧被开方数ENTE或直接按x3，再输入数字后按“＝”即可 注意：由于计算器的类型不一样操作方式也不尽相同，可以参考说明书进行操作． 题型练习 【题型一】算“24”点 【例1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【知识点】算“24”点 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型二】含乘方的有理数混合运算 【例2】（24-25七年级上·广西河池·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二进制数与十进制数的转换，解题的关键是熟练掌握二进制数与十进制数的转换方法．利用二进制数与十进制数的转换方法得，求解即可． 【详解】解：二进制数转换成十进制数为， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·广东江门·期中）我国古代《易经》一书中记载了一种“结绳计数”的方法．例如：一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数，图1是孩子出生后30天时母亲打绳结的情况（因为：）．图2是芽芽用相同的方式记录自己为中考立志奋斗后努力的天数，请问芽芽已为中考奋斗了（    ）天． A．510 B．511 C．513 D．520 【答案】A 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题干给出的计算方法，列出算式进行计算即可． 【详解】解：（天）； 故选A． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义一种新运算：，则 ． 【答案】12 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【答案】 （1）， （2）①②④ （3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查新定义，有理数的乘除法运算，理解新定义的运算，有理数乘除法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据新定义运算的计算法则判定即可； （3）根据新定义运算的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）：，， 故答案为：，； （2）若n为任意正整数， ①，故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②，故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③，即的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或，错误； ④，，即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，正确的有①②④； （3） ． 【题型三】程序流程图与有理数计算 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）按下面的程序计算：当输入时，输出结果是419；当输入时，输出结果是626；如果输入x的值是正整数，输出结果是311，那么满足条件的x的值最多有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数与程序图的运算，根据程序图的运算顺序，分别算出第一个数、第二个数、第三个数，第四个数，再结合输入x的值是正整数，进行作答即可． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是 解得：； 第三个数是：， 解得：， 第四个数是， 解得：，不是正整数（舍去）； 故满足条件所有x的值是104、35或12． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B．28 C． D．80 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】根据运算程序列式计算即可得解．本题考查了代数式求值，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算． 【详解】解：由图可知，输入的值为时，， 则， 故选择：B． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照下图所示的操作步骤，若输如x的值为2，则y为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算，根据题意可得算式，据此计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)当小明输入3、、这三个数时，这三次输出的结果分别是； (2)你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ (3)你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？ 【答案】(1)，， (2)或(为自然数) (3)负数 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是审清题意，根据已知条件进行解答. （1）先判断出3、、与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可； （2）由此程序可知，当输出时，因为的相反数及绝对值均为，所以应输入或的正整数倍； （3）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律． 【详解】（1）解：因为 所以输入时的程序为， 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； 当输入时，， 所以的相反数是的绝对值是， 所以当输入时，输出； 当输入时,, 所以的相反数是,的倒数是， 所以当输入时，输出； （2）解：为输出结果是，的相反数及绝对值均为， 当输入的正整数倍时输出结果是； 所以应输入或(为自然数)； （3）解：因为无论输入什么有理数，经过“有理数转换器”的转换，“为正”时输出的倒数为正数，“非正”时输出的绝对值为或正数，所以这个“有理数转换器”不可能输出负数． 【题型四】计算器——有理数 【例4】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．用计算器进行混合运算时，应先按键进行乘方运算再按键进行乘除运算，最后按键进行加减运算 B．输入的按键顺序是 C．输入的按键顺序是 D．计算应按键 【答案】D 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了用计算器进行有理数的运算，熟练掌握计算器的按键顺序是解题的关键． 根据计算器的运算要求和按键顺序逐项判断即可． 【详解】解： 用计算器进行混合运算时，直接输入计算即可，不用根据有理数的混合运算顺序输入，故选项A不正确； 输入的按键顺序是，故选项B不正确； 输入的按键时要有括号，故选项C不正确； 按键顺序正确，故选项D正确； 故选：D． 【举一反三】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）关于科学计算器的按键顺序：对应的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算器——有理数 【分析】本题考查了用科学计算器进行计算，根据计算器的按键顺序和按键功能即可得出答案，熟练计算器各个按键的功能是解题的关键． 【详解】解：对应的算式是， 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是 ． 【答案】 【知识点】计算器——有理数、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查计算器—有理数、有理数的混合运算，根据计算器的特点，可以写出相应的算式．熟练掌握计算器的输入特点是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， 对应的算式是：． 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)371293 (3) (4) 【知识点】计算器——有理数 【分析】（1）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （2）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （3）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． （4）根据有理数的运算顺序，计算器的操作方法求解即可． 本题考查了有理数的混合运算，计算器的操作方法，熟知计算器的操作方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ＝ ＝． 【题型五】求一个数的近似数 【例5】（24-25七年级上·广西南宁·期中）精确到百分位的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数和有效数字，利用四舍五入法解答是解题的关键． 利用四舍五入法将精确到百分位得到，即可得到答案． 【详解】解：精确到百分位的近似数是， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）将数用四舍五入法精确到百分位得到的近似数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查的是求解一个数的近似数，把千分位上的数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：（精确到百分位）， 故选：B． 2．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用四舍五入法将5.406精确到百分位，所得的近似数是 ． 【答案】5.41 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数，熟练掌握求一个数的近似数是解题的关键；因此此题可根据近似数的求法进行求解即可． 【详解】解：用四舍五入将5.406精确到百分位是5.41； 故答案为：5.41 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)2.715（精确到百分位）； (2)0.1395（精确到0.001）． 【答案】(1)2.72 (2)0.140 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． （1）（2）根据精确度的定义解答即可． 【详解】（1）解：（精确到百分位）； （2）解：（精确到）． 【题型六】求近似数的精确度 【例6】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）由四舍五入得到的近似数34.94，是精确到（    ） A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查近似数，确定数字4所在的位数即可得出结果． 【详解】解：34.94精确到百分位； 故选C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）下列用四舍五入法分别取近似数，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．8.12亿（精确到百分位） D．（精确到十万位） 【答案】C 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查四舍五入取近似数的相关描述，涉及小数精确位数、带单位数字精确位数及科学记数法精确位数等知识，正确掌握精确度的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、0.1（精确到0.1），说法正确，不符合题意； B、0.05（精确到百分位），说法正确，不符合题意； C、8.12亿（精确到百万位），原说法错误，符合题意； D、（精确到十万位），说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广西河池·期中）古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约2.9万天，近似数2.9万精确到 ． 【答案】千位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】此题考查了近似数的精确度，根据最后一位是千位可得精确度． 【详解】近似数2.9万精确到千位． 故答案为：千位． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）一名航天员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为千米和千米，这两组数据之间有差别吗？如果没有，请说明理由；如果有，请说明有哪些差别． 【答案】有差别，精确到的数位不同．因为精确到千位，而精确到百位 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据两组数据的精确度进行分析即可． 【详解】解：千米和千米有差别，精确到的数位不同．精确到千位，而精确到百位． 【点睛】本题主要考查了近似数，数据的精确度，解题的关键是掌握数据的有效数字不同，则精确度也不同． 【题型七】近似数推断取值范围 【例7】（24-25七年级上·广东广州·期中）由四舍五入法得到的近似数是2.75，那么原数不可能是（   ） A．2.7514 B．2.7493 C．2.7504 D．2.755 【答案】D 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的取值范围，根据近似数的求解方法可得原数满足大于等于，小于，据此可得答案． 【详解】解：∵由四舍五入法得到的近似数是2.75， ∴这个数大于等于，小于， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【答案】B 【知识点】近似数推断取值范围、倒数、多个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可． 【详解】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意； D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个两位小数精确到十分位是，这个小数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了取近似数，解题的关键是考虑到两种情况：“四舍”得到，“五入”得到，即可得出这个两位小数最大值和最小值． 【详解】解：一个两位小数精确到十分位是，这个小数最大是，最小是． 故答案为：；． 3．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求轴长精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到2.80m，原轴的长度范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1) (2)小王加工的轴不合格 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是. （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 【点睛】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． 好题必刷 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．近似数60000精确到十分位 B．近似数19.04精确到百分位 C．近似数10.0精确到个位 D．近似数100.170精确到0.01 【答案】B 【分析】本题考查指出近似数的精确数位．根据近似数的精确方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、近似数60000精确到个位，选项错误； B、近似数19.04精确到百分位，选项正确； C、近似数10.0精确到十分位，选项错误； D、近似数100.170精确到0.001，选项错误； 故选B． 2．给出两个说法：①用四舍五入法对3.355取近似值，精确到百分位得3.35；②近似数0.050精确到0.001．下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①②都不正确 【答案】C 【分析】根据精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五入直接进行判断． 【详解】解：①用四舍五入法对3.355取近似值，精确到百分位得3.36，故①说法不正确； ②近似数0.050精确到0.001，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了近似数的求法，精确到某一位，即对下一位的数字进行四舍五入，理解近似数的计算方法是解题关键． 3．等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再计算加减法即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4．若，则计算的结果是（    ） A． B．130 C． D．290 【答案】A 【分析】利用倒数的意义将已知条件变形后，再利用整体代入的方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，倒数的意义，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 5．用“*”定义新运算，对于任意有理数a、b，都有，则的值为（　　） A．﹣1 B．﹣9 C． D．0 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．下列各式的运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的混合计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 7．计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查带乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键； 根据带乘方的有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】解：； 故答案为：B 8．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可． 【详解】解：， = =， =， =， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算． 9．长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（    ） A．精确到十分位 B．精确到个位 C．精确到十万位 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据106为百万，即可确定精确度． 【详解】解：6.7×106＝6700000， 由于7位于十万位上，所以6.7×106精确到十万位． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有效数字和精确度，一个近似数，最后一位是哪一位，就叫精确到哪一位． 10．求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，然后可以得到，再作差变形，即可求得所求式子的值． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 即的值为． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是找出其中的规律，利用错位相减求解． 二、填空题 11．定义，则 ． 【答案】 【分析】先利用定义新运算法则计算，再计算即可． 【详解】解：由题意得： ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握新定义运算法则是解题的关键． 12．用四舍五入法，精确到，对取近似值的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：精确到，对取近似值的结果是：； 故答案为：． 13．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是7、7、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意列出符合题意的算式即可，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 14．定义a※b＝a2÷（b﹣1），例如3※5＝32÷（5﹣1）＝9÷4＝，则（﹣3）※4的结果为 ． 【答案】3 【分析】根据a※b=a2 ÷ (b- 1)，可以求得所求式中的值． 【详解】∵a※b=a2 ÷ (b- 1)， ∴(-3)※4 =(-3)2÷(4- 1) = 9÷3 = 3 故答案为：3． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 15．有理数5.6149精确到百分位的近似数为 ． 【答案】5.61 【分析】把千分位上的数字4进行四舍五入即可． 【详解】解：5.6149精确到百分位，得到的近似数为5.61． 故答案为5.61． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 16．定义运算a*b＝，若(m－1) * (m－3)＝1，则m的值为 ． 【答案】1或4 【分析】判断m﹣1与m﹣3的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ∵m﹣3＜m﹣1， ∴已知等式化简得：（m﹣3）m﹣1＝1， 当m﹣3≠0，即m≠3时，m﹣1＝0， 解得：m＝1； 当m﹣3＝1，即m＝4时，满足题意； 当m﹣3＝﹣1，即m＝2时，不符合题意， 综上所示，m＝1或4． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 17．使用课本上的科学计算器，进行如下按键： 按键结束后输出的结果为 ． 【答案】-136 【分析】根据运算程序，列出等式计算即可． 【详解】(3×2-4×5) ×-2×5 =-14×9-10 =-136， 故答案为：-136． 【点睛】本题考查了计算器的使用，正确掌握计算器的使用方法是解题的关键． 18．已知，那么 即，模仿上述求和过程， 设，则 ， ． 【答案】 2 338350 【分析】根据题意进行运算可得，即可求得a=2，再根据此规律即可求得的值． 【详解】解：∵ ， ∴a=2时等式成立． ∴ ． ， 故答案为：2，338350． 【点睛】本题考查了等式的性质及恒等变式，根据规律进行运算是解决本题的关键． 三、解答题 19．漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的高度，小颖在山脚测得温度是．设漳浦地区的高度每增加米，气温大约下降． (1)若此时小丽在山顶测得温度是，则莲花峰的高度大约是多少米？ (2)若此时小红所在的高度为米，则小红在米处的温度大约是多少℃？ 【答案】(1)1000米 (2) 【分析】此题考查的是有理数的加法运算，掌握加法的交换律与结合律是解决此题的关键． （1）根据题意，可得温度变化值，再根据高度每增加米，气温大约下降进行列式求解即可； （2）根据高度变化，温度变化规律列式求解即可． 【详解】（1）解： （米） 答：莲花峰的高度约是1000米． （2）解： ， 答：小红在750米处的温度大约是． 20．用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数． (1)0.6328（精确到0.01）； (2)7.9122（精确到个位）； (3)47155（精确到百位）； (4)130.06（精确到0.1）； (5)4602.15（精确到千位）． 【答案】(1)0.63 (2)8 (3) (4)130.1 (5) 【分析】本题考查四舍五入法取近似数，按精确度找出要保留的最后一个数位，再按下一个数位上的数四舍五入即可得到答案，熟练掌握四舍五入法取近似数是解决问题的关键． （1）把千分位上的数字2四舍五入即可； （2）把十分位上的数字9四舍五入即可； （3）先用科学记数法表示，然后把十位上的数字5四舍五入即可； （4）把百分位上的数字6四舍五入即可； （5）先用科学记数法表示，然后把百位上的数字6四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到0.01）； （2）解： （精确到个位）； （3）解：（精确到百位）； （4）解： （精确到0.1）； （5）解：（精确到千位）． 21．用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似数． (1)53320；（精确到百位） (2)1.395．（精确到百分位） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键在于能够熟知：精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入． （1）把十位上的数字2进行四舍五入即可； （2）把千分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式先算括号中的乘方及减法，再算括号外的乘方，乘除，以及加减即可得到结果. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，其运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行.熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键. 23．计算 （1）（﹣13）＋（﹣7）﹣（＋20）﹣（﹣40）＋（＋16）； （2） （3） （4）﹣32÷（﹣3）2＋3×（﹣2）＋|﹣4|． 【答案】（1）16；（2）-898；（3）-5；（4）-3． 【分析】（1）先统一成加法运算，再利用加法结合率简便计算即可，注意负号的作用；， （2）将带分数化为，再利用乘法的分配律解题； （3）利用分数除法性质，将除法转化为乘法，，先乘除，后加减； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】解：（1）（﹣13）＋（﹣7）﹣（＋20）﹣（﹣40）＋（＋16）； =-13-7-20+40+16 =-40+40+16 =16； （2） ； （3） ； （4）﹣32÷（﹣3）2＋3×（﹣2）＋|﹣4| =-9÷9-6+4 =-1-6+4 =-3． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及乘方、乘除、加减法、绝对值等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 24．（1）小明很快地计算出下式的答案是．你知道他是怎么想的吗？ ． （2）①请你仿照（1）中式子，将下式补充成一个类似的式子： （________________）（________________）（________） ②请直接写出上式的答案． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】本题考查了有理数的运算． （1）把中间的2倍项拆分，与前后两项的相关数据相抵，简便运算即可； （2）①仿照（1）中式子，补充成一个类似的式子即可；②同（1）法计算即可． 【详解】解：（1） ； （1）① ②原式 ． 25．计算下列各题： （1）           （2）.   （3）           （4） 【答案】（1）-15；（2）-1；（3）-17；（4） 【分析】（1）原式根据有理数的加减法法则进行计算即可得到答案； （2）原式先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行计算即可； （3）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （4）原式先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可． 【详解】解：（1） =22-21-36+20 =1－16 = -15    （2） = = =－8+9－2    = -1 （3）   =16×-5 = －12－5   = -17 （4） = = = = 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 26．阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例1：把和化成分数 乘10原数位每位进一位，得到，即，再减去得3， 算式如下： ，即，所以 同样道理，把化成分数算式如下： ，即，所以 根据上面材料完成： (1)直接把下面无限循环小数化为分数__________，__________； (2)请把下面无限循环小数，化为分数，写出计算过程 (3)无限循环小数（a、b均表示一位的正整数） 【答案】(1)， (2)；；见解析 (3) 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求解即可； （3）仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了把无限循环小数化成分数，正确理解题意是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$