第08讲 二次函数y＝ax²与y＝ax²＋k的图象和性质（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第08讲 二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象和性质（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 二次函数y＝ax2的图象和性质 （1）在二次函数y＝x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ （2）请你在图中用描点法画出二次函数y＝x2的图象． 观察函数解析式y＝x2，选择x的适当值，并计算相应的y值，完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … … 　　 在如图所示的平面直角坐标系中描点并用光滑曲线连接各点． 【知识点1 二次函数y＝ax2的图象和性质】 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c. 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是__y轴__，顶点是__(0，0)__．当a＞0时，抛物线的开口__向上__，顶点是抛物线的最__低__点，|a|越大，抛物线的开口__越小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__．当a＜0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线的最__高__点，|a|越大，抛物线的开口越__小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__． 【题型1 画二次函数y＝ax2的图象】 【例1】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①； ②； ③； ④． 【变式1-2】已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【题型2 判断二次函数y＝ax2的开口】 【例2】抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】已知二次函数的图象开口向下，则a的值可能是（    ） A．2 B．0 C．3 D．1 【变式2-2】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【题型3 判断二次函数y＝ax2的增减性】 【例3】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式3-1】已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，是函数的图象上的两点，且当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 模块三 二次函数y＝ax2+k的图象和性质 （1）二次函数y＝2x2的图象是 ，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，二次函数y＝2x2在x＝ 时，取得最 值，其最 值是 ． （2）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象. 回顾画二次函数图象的步骤，列表、描点、连线，再画出二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象． ①列表：教师给出表格，学生填表． x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 … y＝2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y＝2x2＋2 … 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 … 　　 ②描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象． 你有什么发现？ 【知识点2 二次函数y＝ax2+k的图象和性质】 1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系： 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， 2．二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移__|k|__个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下__平移__－k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k. 【题型4 画二次函数y＝ax2+k的图象】 【例4】如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【变式4-1】已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【变式4-2】已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【题型5 判断二次函数y＝ax2+k的性质】 【例5】对于抛物线，下列结论错误的有（   ）个 （1）该函数图象开口向上；（2）对称轴是；（3）当时，取得最大值； （4）顶点坐标是；（5）当时，随的增大而减小； （6）当时，的取值范围是； （7）当时，的取值范围是． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】关于二次函数的图象，下列说法错误的是(　　) A．开口向上 B．与坐标轴有三个交点 C．当时，y随的增大而增大 D．当时，y有最小值 【变式5-2】函数具有的性质是（    ） A．函数值一定小于3 B．函数值随增大而减小 C．函数图象关于轴对称 D．函数图象的顶点是 【题型6 判断二次函数y＝ax2+k的图象】 【例6】如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，，则二次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【变式6-2】已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【变式6-3】已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【题型7 二次函数y＝ax2+k的图象平移规律】 【例7】若一条抛物线经过平移后与抛物线重合，且顶点坐标为(4，－2)，则它的表达式为____________． 【变式7-1】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【变式7-2】将抛物线向下平移3个单位长度后得到一个新的抛物线，请判断点是否在新抛物线上，并说明理由． 【变式7-3】如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【题型8 二次函数y＝ax2+k图象上点的坐标特征】 【例8】若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【变式8-2】若，点都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型9 由二次函数y＝ax2+k的性质求参】 【例9】（1）若二次函数有最小值5，求a的值． （2）若抛物线与x轴不相交，求a的取值范围． 【变式9-1】当时，二次函数有最大值，则的值为______． 【变式9-2】已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是_________． 模块四 课后作业 1．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 4．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数在内的最小值是______． 7．（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 8．抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)函数的最大值或最小值． 9．已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 10．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象和性质（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+9个题型+课后作业】 模块二 二次函数y＝ax2的图象和性质 （1）在二次函数y＝x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ （2）请你在图中用描点法画出二次函数y＝x2的图象． 观察函数解析式y＝x2，选择x的适当值，并计算相应的y值，完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … … 　　 在如图所示的平面直角坐标系中描点并用光滑曲线连接各点． 【知识点1 二次函数y＝ax2的图象和性质】 1．二次函数y＝ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线．一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象叫做抛物线y＝ax2＋bx＋c. 2．一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是__y轴__，顶点是__(0，0)__．当a＞0时，抛物线的开口__向上__，顶点是抛物线的最__低__点，|a|越大，抛物线的开口__越小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__．当a＜0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线的最__高__点，|a|越大，抛物线的开口越__小__；在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__． 【题型1 画二次函数y＝ax2的图象】 【例1】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键；因此此题可根据列表、描点、连线的方法分别取原点及左右对称的四个点绘制函数图象． 【详解】解：函数列表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 同理可分别作出②③④的函数图象如图所示． 【变式1-2】已知圆柱的高为，底面半径为，体积为（取3）． (1)与之间的函数关系式为______，并在图中画出图象． (2)根据图象，当时，圆柱的体积为______． (3)根据图象，求出当为何值时，． 【答案】(1) (2)1 (3)当时， 【分析】（1）由圆柱体积公式直接可得； （2）将代入（1）中公式即可； （3）观察图像可知，在第一象限内随的增大而增大，当时，． 【详解】（1）解：由圆柱的体积公式可得， 画图如下： （2）解：将代入（1）中公式可得， 故答案为：1． （3）解：由图像可知，当时，，在第一象限内随的增大而增大， ∴当时，． 【题型2 判断二次函数y＝ax2的开口】 【例2】抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【变式2-1】已知二次函数的图象开口向下，则a的值可能是（    ） A．2 B．0 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．二次函数中，当时开口向上，当时开口向下，据此解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ， 则a的值可能是3， 故选：C． 【变式2-2】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 【题型3 判断二次函数y＝ax2的增减性】 【例3】若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向下，对称轴为轴，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越大，求出点，，到抛物线对称轴轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向下，对称轴为轴， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越大， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：C． 【变式3-1】已知二次函数，当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数在的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值． 【详解】解：∵是开口向上的抛物线，顶点在， ∴ 当时，为最小值， 当时，； 当时，， ∴在时， 最大值为9， 因此 y 的取值范围是． 故选：C． 【变式3-2】已知，是函数的图象上的两点，且当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质 ．当二次项系数小于零时，抛物线开口向下，在对称轴右侧函数递减． 由条件当时，可知函数在时递减，故二次项系数，即 ． 【详解】解：∵函数的二次项系数， 当时，抛物线开口向下，在时函数递减， 即当时，有， 由题设条件，当时，有， ∴，即， ∴， 故选：D ． 【变式3-3】已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．通过计算点和点的纵坐标表达式，比较大小关系，结合抛物线的性质进行判断即可． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， 选项A：当时， ， ， ，选项A正确； 选项B：当时， 即， ， ， ， ，选项B正确； 选项C：当时， ， ，选项C正确； 选项D：当时， 即， ， 但选项D要求，而不一定满足（例如时但）， 选项D错误； 故选：D． 模块三 二次函数y＝ax2+k的图象和性质 （1）二次函数y＝2x2的图象是 ，它的开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，二次函数y＝2x2在x＝ 时，取得最 值，其最 值是 ． （2）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象. 回顾画二次函数图象的步骤，列表、描点、连线，再画出二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象． ①列表：教师给出表格，学生填表． x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 … y＝2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y＝2x2＋2 … 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 … 　　 ②描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y＝2x2和y＝2x2＋2的图象． 你有什么发现？ 【知识点2 二次函数y＝ax2+k的图象和性质】 1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系： 函数形式 顶点坐标 对称轴 最值 开口、单调性 （，） y轴 ，时，； ，时， 时，抛物线开口向上； 在对称轴右侧时,y随x的增大而增大； 在对称轴左侧时，y随x的增大而减小； 时，抛物线开口向下； 在对称轴左侧时，y随x的增大而增大； 在对称轴侧右时，y随x的增大而减小 （，） 轴 ，时，； ，时， 2．二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上或向下平移__|k|__个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k＜0时，抛物线y＝ax2向__下__平移__－k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k. 【题型4 画二次函数y＝ax2+k的图象】 【例4】如图，已知二次函数． (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； x 0 1 2 3 y 5 0 (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)表见解析，图见解析； (2)图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查的是二次函数的图象和性质． （1）分别将各数代入中求出对应的y值，再根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 3 y 5 0 0 5 画图如下： （2）解：由函数图象可知，图象的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式4-1】已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 【变式4-2】已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)解：图象如下图所示： (2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）由函数解析式列表描点作图即可． （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： （2）略 【题型5 判断二次函数y＝ax2+k的性质】 【例5】对于抛物线，下列结论错误的有（   ）个 （1）该函数图象开口向上；（2）对称轴是；（3）当时，取得最大值； （4）顶点坐标是；（5）当时，随的增大而减小； （6）当时，的取值范围是； （7）当时，的取值范围是． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象性质，对于抛物线 ，通过分析二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点、单调性等）逐一判断各结论的正误即可． 【详解】解：∵ 抛物线为 ，其中 ，，， ∴ 开口向下，对称轴为 ，顶点为 ，最大值为 ； 故（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误； 当 时， 随 增大而减小；故（5）正确； 当 时， 的取值范围是 ；故（6）错误； 当时，，解得：，当时，，解得：， ∴根据二次函数图象得到当时，x的取值范围为： 或 ， 故（7）错误； ∴ 错误结论共 5 个； 故选：C． 【变式5-1】关于二次函数的图象，下列说法错误的是(　　) A．开口向上 B．与坐标轴有三个交点 C．当时，y随的增大而增大 D．当时，y有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据的图象与性质，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随的增大而减小，当时，y随的增大而增大， 当时，y有最小值， 由于开口向上，且y有最小值，所以抛物线与坐标轴有三个交点， 当 时，y 随 x 的增大而减小，故该选项说法错误。 故选：C． 【变式5-2】函数具有的性质是（    ） A．函数值一定小于3 B．函数值随增大而减小 C．函数图象关于轴对称 D．函数图象的顶点是 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据函数的顶点坐标、对称轴、开口方向、增减性进行解答即可． 【详解】解：函数的顶点坐标为故选项D错误，对称轴为轴，开口向下， ∴函数的最大值为，故选项A错误，函数图象关于轴对称，故选项C正确； 当时，函数值随增大而减小，当时，函数值随增大而增大，故选项B错误， 故选：C 【题型6 判断二次函数y＝ax2+k的图象】 【例6】如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 【变式6-1】若，，则二次函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 【变式6-2】已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 【变式6-3】已知二次函数的大致图象如图所示，则的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由原图可知，抛物线图象开口向上， ∴ 抛物线图象交于轴负半轴， ∴ ∴的图象开口向下，交于轴的正半轴 故答案选A 【题型7 二次函数y＝ax2+k的图象平移规律】 【例7】若一条抛物线经过平移后与抛物线重合，且顶点坐标为(4，－2)，则它的表达式为____________． 【答案】． 【分析】一条抛物线经过平移后与抛物线重合，所以所求抛物线的二次项系数为，再根据顶点坐标写出表达式则可． 【详解】解：根据题意，可设所求的抛物线的解析式为； 此抛物线经过平移后与抛物线重合， ； 此抛物线的顶点坐标为， 其解析式为：． 【变式7-1】抛物线可由抛物线沿轴向____平移____个单位得到，它的开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____，有最____点 【答案】 下 轴(或) 低 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 而抛物线的顶点坐标为， ∴平移方法为向下平移个单位． ∵ ，它的开口向上，顶点坐标为，对称轴为轴，有最低点， 故答案为：上，，上，，轴，低． 【变式7-2】将抛物线向下平移3个单位长度后得到一个新的抛物线，请判断点是否在新抛物线上，并说明理由． 【答案】点A在新抛物线上，见解析 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． 根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，求解平移后的函数解析式，再把点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】解：点A在新抛物线上，理由如下： 根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为， 将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． 【变式7-3】如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，四边形ABCD为平行四边形． (1)直接写出A，B，C三点的坐标． (2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别令，代入计算求解； （2）设平移后的抛物线为，平移后抛物线经过D点，将代入解析式，求出即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，，解得 ∴． （2）解：四边形ABCD是平行四边形，， ． 设平移后的抛物线为，则，解得， 平移后抛物线的解析式为． 【题型8 二次函数y＝ax2+k图象上点的坐标特征】 【例8】若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是， ∴时，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， 故选：D． 【变式8-1】若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了本题考查了二次函数的性质．根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为轴，即可根据自变量的大小判断函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数为：， ， ∴二次函数的开口向上，对称轴为轴， 点关于对称轴的对称点为， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式8-2】若，点都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小．先求出抛物线的对称轴，抛物线的对称轴为轴，即直线，图象开口向上，当时，，在对称轴左边，随的增大而减小，由此可判断，，的大小关系，根据二次函数的增减性即可得出结论． 【详解】解：当时，， 而抛物线的对称轴为直线，开口向上， 三点都在对称轴的左边，随的增大而减小， ． 故选：C． 【变式8-3】已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，两种情况讨论并进行判断，本题得以解决． 【详解】解：， 函数的图像开口向上， 若且满足， 点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且， 当点B在点A的左侧时，，，， 当点B在点A的右侧且时，，，， 综上所述，选项D不正确， 故选：D 【题型9 由二次函数y＝ax2+k的性质求参】 【例9】（1）若二次函数有最小值5，求a的值． （2）若抛物线与x轴不相交，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据二次函数的性质列式计算； （2）分和两种情况进行计算． 【详解】解：（1）由题意，得，解得． （2）分两种情况：①，无解； ②，解得． 故a的取值范围是． 【变式9-1】当时，二次函数有最大值，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式可得抛物线的对称轴为轴，再分和两种情况，根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为轴， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即， 解得或（不合，舍去）； 综上，的值为或， 故答案为：或． 【变式9-2】已知抛物线的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的顶点坐标，解题的关键是抛物线的顶点在y轴的负半轴上，即横坐标为0，纵坐标小于0． 因为抛物线的顶点在y轴的负半轴上，所以可得，即可得到，又因为抛物线开口向上，所以，从而得解． 【详解】解：抛物线的顶点在y轴的负半轴上， ，解得． 抛物线开口向上， ， 的取值范围是． 故答案为：． 模块四 课后作业 1．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 2．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 3．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 4．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 5．若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 6．二次函数在内的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．由于二次函数开口向下，在给定区间内，最小值出现在端点处，通过计算比较函数值可得． 【详解】解：函数的二次项系数，对称轴为轴， 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，函数的最大值为； 在自变量范围内， 当时，；当时，． 二次函数在内的最小值为． 故答案为：． 7．（教材练习变式）（1）在同一直角坐标系中，画出函数的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下面的问题： ①抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ②抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________； ③抛物线的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________． 【答案】（1）画图见解析；（2）①上，直线，；②上，直线，；③上，直线，． 【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）①根据（1）中的二次函数的图象填空即可．②根据（1）中的二次函数的图象填空即可．③根据（1）中的二次函数的图象填空即可． 【详解】解：（1）列表如下： 0 1 2 2 0 5 3 5 再描点连线， ∴的图象如图所示：    （2）①抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ②抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； ③抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 8．抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)函数的最大值或最小值． 【答案】(1)抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴 (2)最小值为3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移． （1）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案； （2）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴； （2）解：因为开口向上，所以函数有最小值， 当时，函数有最小值，最小值为3． 9．已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)1，2， (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 10．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． （2）解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $