第07讲 二次函数的概念（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第07讲 二次函数的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 二次函数的概念 填一填，你来总结一下： （1）圆的半径是r(cm)时，面积S(cm2)与半径r(cm)之间的函数关系是 ． （2）一个边长为5 cm的正方形，若它的边长增加x cm，则面积随之增加y cm2，y关于x的函数解析式是 ． （3）某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的函数关系是 ． 【知识点1 二次函数的概念】 1.定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2.二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 【知识点2 列二次函数解析式】 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【题型1 二次函数的识别】 【例1】下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 【变式1-1】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-2】在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【变式1-3】已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 【例2】若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【变式2-1】若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【变式2-2】已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是______． 【变式2-3】已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【题型3 二次函数的系数及常数项的判断】 【例3】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【变式3-2】把变成一般式，二次项系数为_____，一次项系数为____，常数项为______． 【变式3-3】已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【题型4 列二次函数关系式（实际问题）】 【例4】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【变式4-1】某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【变式4-2】某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【变式4-3】某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【题型5 列二次函数关系式（几何问题）】 【例5】如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长 的函数关系是______． 【变式5-1】如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【变式5-2】如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）． （2）当点Q与点C重合时，求t的值． （3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 模块三 课后作业 1．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有______．（只填序号） 2．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 3．粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 4．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为______． 6．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 7．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 8．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 9．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 10．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 二次函数的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+5个题型+课后作业】 模块二 二次函数的概念 填一填，你来总结一下： （1）圆的半径是r(cm)时，面积S(cm2)与半径r(cm)之间的函数关系是 ． （2）一个边长为5 cm的正方形，若它的边长增加x cm，则面积随之增加y cm2，y关于x的函数解析式是 ． （3）某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的函数关系是 ． 【知识点1 二次函数的概念】 1.定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2.二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 【知识点2 列二次函数解析式】 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【题型1 二次函数的识别】 【例1】下列各式中，哪些一定是y关于x的二次函数？哪些一定不是y关于x的二次函数？对于有可能是y关于x的二次函数的，请补充条件使它一定是y关于x的二次函数． ①； ②； ③； ④（k为常数）． 【答案】一定是y关于x的二次函数的是①④；一定不是y关于x的二次函数的是②；有可能是y关于x的二次函数的是③，当，a，b，c为常数时，③一定是y关于x的二次函数． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 根据二次函数的定义去进行解答即可． 【详解】解：由题意可知： ①根据二次函数的定义可知是二次函数； ②将函数展开合并，得，所以一定不是二次函数； ③当，，为常数且时，函数才是二次函数； ④由二次函数的定义可知是二次函数； 综上所述，一定是关于的二次函数的是①④；一定不是关于的二次函数的是②；有可能是关于的二次函数的是③，当，为常数时，③一定是关于的二次函数． 【变式1-1】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 【变式1-2】在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是二次函数的是___________．（填写序号） 【答案】 ① 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，需满足整式且的最高次数为2，据此解答即可． 【详解】解：①，其中，是二次函数； ②，可能为0，不一定是二次函数； ③，为一次函数，不是二次函数； ④，是分式函数，不是二次函数． 故答案为：①． 【变式1-3】已知函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次函数的是________（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的整式函数是二次函数，据此逐一判断函数类型是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，逐一判断各函数． 【详解】解：① 是一次函数，不是二次函数； ② 满足 ，是二次函数； ③ 是三次函数，不是二次函数； ④ ，化简后为一次函数，不是二次函数； ⑤ 中 可能为0，不一定是二次函数； ⑥ 含有分式项，不是整式函数，不是二次函数． 故答案为：②． 【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 【例2】若函数是关于的二次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可. 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， . 【变式2-1】若函数是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， 故答案为：或． 【变式2-2】已知关于x的函数是二次函数，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地形如（，，为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴． 解得：． 故答案为：． 【变式2-3】已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案； （）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 【题型3 二次函数的系数及常数项的判断】 【例3】下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【变式3-1】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 【变式3-2】把变成一般式，二次项系数为_____，一次项系数为____，常数项为______． 【答案】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】 所以二次项系数：， 一次项系数：， 常数项：． 故答案为：；；． 【变式3-3】已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 【题型4 列二次函数关系式（实际问题）】 【例4】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为______________(化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 【变式4-1】某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品在不超过进价的情况下可以自行定价．若每件商品售价为x元，可卖出件商品，则商店所得利润y（元）与售价x（元）的函数关系式是______，自变量x的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键．由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简，进一步求解的范围即可． 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： ， ∵且， ∴． 故答案为：， 【变式4-2】某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 【变式4-3】某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【题型5 列二次函数关系式（几何问题）】 【例5】如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长 的函数关系是______． 【答案】/ 【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 【详解】解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【变式5-1】如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽 长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 【变式5-3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A，B重合），作∠DPQ=45°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）线段DC的长为 （用含t的式子表示）． （2）当点Q与点C重合时，求t的值． （3）设△PDQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2）；（3）当0＜t≤1时，，当1＜t＜2时，. 【分析】（1）先证明 ，再由勾股定理，即可求解； （2）由点Q与点C重合，可得2AD=AC，从而，即可求解； （3）分两种情况讨论：当0＜t≤1时；当1＜t＜2时，即可求解． 【详解】解：（1）∵PD⊥AC， ∴ ， ∵∠A=45°， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∵点P的运动时间为t秒，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动， ∴ ， ∴ ，解得： ， ∵AC=， ∴； （2）∵PD⊥AC，∠A=∠DPQ=45°， ∴∠A=∠PQD=45°， ∴PA=PQ， ∴AD=DQ ，   ∵点Q与点C重合， ∴AD+DQ=AC， ∴2AD=AC， 即， 解得；   （3）①当0＜t≤1时， ，   ②当1＜t＜2时，如图，设PQ交BC于点E，则 ， ， ∴ ∴． 模块三 课后作业 1．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有______．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 2．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 【答案】(1) 一次 (2) 二次 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念、常量与变量，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由一次函数的定义可得，当是常量时，是的一次函数． （2）由二次函数的定义可得，当是常量时，是的二次函数． 【详解】（1）解：由题意得：， 当是常量时，是的一次函数． 故答案为：一次． （2）由题意得：， 当是常量时，是的二次函数． 故答案为：二次． 4．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 【答案】 或或或或或 【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值； （2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值． 【详解】解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项， 故需满足，解得， 当时，原函数为，是一次函数， 故答案为：． （2）可分以下四种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数． 故答案为：或或或或或． 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 6．一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 7．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 8．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 9．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足． (1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围． (3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？ 【答案】(1) (2)售价的取值范围是 (3)能，60元 【分析】本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可； （2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答； （3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得： 日销售利润与的函数关系式为． （2）解：由题意，， 则，解得：， 要保证盈利 售价的取值范围是． （3）解：由， 则，解得：（舍去）或． 答：当定价为60元时，日销售利润为1600元． 10．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即，解得：； （2）解：，，，，， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ． 即 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $