20.2.2 二次根式的除法-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

13.已知直角三角形的两边分别为√3和√5，求这 个直角三角形的面积 【创新探究】 14.观察下列各式及其验证过程： 2+ 2 2,验证：A2+ 22×2 =2、 2 V/3+3 -3y得，验证3+-√图- /32×3 8 针对上述各式反映的规律，写出用a(a为任 意自然数，且a≥2)表示的等式，并给出 验证. 第20章二次根式 第2课时二次根式的除法 基础导学 1.二次根式的除法法则：= (a≥ 0,b>0) 注：(1)该法则成立的条件是 (2)法则中a、b可以是数也可以是式. 2.商的算术平方根，等于 ,即 (a≥0，b>0) 此公式作用： 3.最简二次根式：一个二次根式的被开方数不 含 ,也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式叫做最简二次根式. ★注意：化简时，通常要求最终结果中分母 不含有根号，且各个二次根式都是最简二次 根式. 典例 探 究 知识点①运用二次根式除法法则进行计算 【例1】计算： (1)12 1 3 (2)3v20÷23 指南针·课堂优化·色年位上磨·数学(HS》 规律与方法：利用二次根式的除法法则计 算：①被开方数相除时，也可以用“除以一个不为 零的数等于乘这个数的倒数”来约分化简；②如 果根号前有系数，就把系数相除，结果仍作为二 次根式前的系数；③被开方数是带分数的二次根 式，先将其化为假分数，再相除。 【变式训练1】计算： (1)√27÷√3； (3)V48 -2w31 (4) 48÷36 8W5 知识点②商的算术平方根成立的条件 【例2】若奇数x使等式 2x-3_√2x-3 4-x √4-x 成立，求x2的值 规律与方法：此题考查商的算术平方根成立 的条件，据该条件可列出不等式（组），通过解不 等式（组）便可使问题获解， 【变式训练2】 等试-皮立的 条件是 知识点③ 用商的算术平方根把二次根式化简 【例3】化简： -63 4a2 (3√96(a>0,b>0). 规律与方法：利用商的算术平方根的性质 9=2(a≥0，b>0),可把-个二次根式写成 两个二次根式的商的形式，再分别对这两个二次 根式进行化简， 【变式训练3】化简： 2号， -18 (2)λ-499 28 (3) 知识点④最简二次根式的识别 【例4】指出下列各式中的最简二次根式. (1层，(2)m+t:3)v2a5: (④v0.5a6,6√号；(6y9。 4； 第20章二次根式 (7)√48x;(8)2. 规律与方法：把二次根式化成最简二次根式 的六字口诀是：一分；二移；三化.“一分”就是利 用分解因式（数）的方法把被开方数（式）的分子、 分母都化成质因数（因式）的幂的形式，“二移”就 是把能开得尽方的因数（因式），用它的算术平方 根代替移到根号外，“三化”是化去被开方数中的 分母 规律与方法：最简二次根式满足的两个条 课 后 演 练 件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数分解因 式（数）后所有因式（数）的指数都小于2. 【基础过关】 【变式训练4】 在二次根式反，√2， 1.(桂林中考)下列根式中，是最简二次根式的 是 () V公+y2-√受，0⑨中，最简二次根 A. B.√4 C.a2 D.√a+b 式有 A.2个 B.3个 2.等式c3=/ C.4个 D.5个 干V骨成立的x的取值范用在 考点⑤把一个二次根式化成最简二次根式 数轴上可表示为 () 【例5】把下列各式化为最简二次根式. 126号as. 28 B 3.下列计算正确的是 A.6vV号=Va B.-23=√/-2)2×3 c-a D.2-- 4.(朝阳中考)计算：√63÷√7-|-4= 5.(随州中考)已知m为正整数，若√189m是整 数，则根据√189m=√3×3×3×7m=3 √3×7m可知m有最小值3×7=21.设n为正 ·11 指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 整数若可是大于1的整数，则加的最小值 为 ,最大值为 6.已知：矩形的面积为36√30cm,长是4W5cm, 则矩形的宽为 7.计算： /0.04×25 (1)Wi.21x99 (2)4÷ 8.把以下二次根式化成最简二次根式 (1)6√1.5a3; (22号. 【能力提升】 9.（随州中考)已知m为正整数，若√189m是整数， 则根据√189m=√3×3X3×7m=3√3×7m可 知m有最小值3×7=21.设n为正整数，若 /300是大于1的整数，则n的最小值为 最大值为 12 10.“海阔千江辏，风翻大浪随”.海浪的大小与 风速和风压有很大的关系，用风速估计风压 02 的通用公式为p一1600其中，为风压（单 位：kN/m),v为风速（单位：m/s).当风压为 0.16kN/m时，估计风速为 11.已知x是使得√x一7有意义的最小偶数，求 1+平的值 【创新探究】 12.观察下列各式及验证过程. 11-12 W23 -2N3; 传)=得： √合)- 11 验证：√23 1=12 2/3: 1-13 ）=√2×3×4 -3W8 (1)按照上述等式及验证过程的基本思路， 猜想√（信言）的变形结果并进行验证： (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥ 1且为自然数)表示的等式，并验证.指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 第20章二次根式 2=号a-<0原式=+日-a=9 第2课时二次根式的除法 基础导学 20.1认识二次根式 【例3】原式=2x-1-|1-2.x=2x-1-(2x-1)=0. 【变式训练4】C【例4】-3a【变式训练5】A a 1.b >≥0，b>02.算术平方根的商√= 第1课时二次根式的概念 课后演练 基础导学 把二次根式被开方数中的分母化去3.分母 1.B2.D3.C4.C5.26.-0.01x-3 典例探究 3.(1)a(2Wa 7.3002a2 典例探究 号8179.10(2)1010.-5 【例1】(1)原式=2；(2)原式=26. 【例1】(1)、(3)、(4)、(6)、(7)是二次根式，而(8)、(9)只有当11.n=一14或-7或-2或512.4c 【变式训练1】(1)3(2)180(3)-2(4)6√15 x≤0和b=0时才是二次根式.【变式训练1】C 13.(1)√7+4W5=2十√5(2)√5-2W6=√3-√2 【例2】 x-2=1 9 【变式训练2】a≤3 【2】z<3:(21<<4:(3z>是： 20.2二次根式的乘除 【3】(号；(28)器 第1课时二次根式的乘法 (4)无实数x使√-x-1有意义. 【变式训练3】（①）号5.(2)E.(3)是a 基础导学 【变式训练2】D 1.√ab被开方数相乘，根指数不变a≥0b≥0√abc 【例3】x=16【变式训练3】二 【例4)】最简二次根式为(2)Vm+m;(6) 4 【例4】7【变式训练4】15 2.va. 【变式训练4】B 课后演练 典例探究 【5】(号压 2)-号压32a 1.D2.B3.B4.A5.x≥-16.x>37.1<c<5 【例1】(1)3；(2)30；(3)30；(4)-20aba;(5)x2+xy; 课后演练 81Dz≤是 (2)-1≤x≤1 (62+6. 【变式训练1】2W万【变式训练2】2 :1.D2.B3.D4.-15.3756.9√6cm 【例2】B【变式训练3】C (3)x=0W-合<x≤} 1.号 (2)-8x 8.(1)3aV6a(2)27 【例3】10/2；(2)2ab√2；(3)10a2c√2ac;(4)63. 9.375 10.16m/s11.6 9.2b-a+1=010.x>≥0且x≠611.012.a=91 【变式训练4】a√-b【例4】3√2>23 第2课时二次根式的性质 课后演练 2√（传）=√景. 基础导学 1.D2.B3.A4.C5.(1)26(2)26.-√14 验证V(信)-√Xx6=V县， (1)a (2)al a-a -√-x7.458.(1)2(2)-12√2(3)-45 n+1 典例探究 9.(1)90W2(2)4√35(3)-5ab√2b 2W(H+)=+√ 【例1】(1)号，(2)28，(3)-6.【变式训练】≥3号 10.(1)53>3W5(2)3-65<3-5√611.B12.6 验证√（十）-√牙 n+2-n-1 (n+1)(n+2) 【例2】(1)5，(2)0；3)元-3.14，(4-3x(5)a-3 1以.这个直角三角形的面积是雪或写 /n十1 Vn(n+D(n+2xix(n+2) 【变式训练2】(1)≤3(2)√2(3)3 14Va十。之=a√a为征意自然数且a≥2， 第3课时 二次根式的有理化 【空武训练】原式-}+√(a--+a,验证+。品-√-√=V√ 基础导学 1.二次根式3.分母 33 :典例探究 【例1】(1)22 (29巨31 【变式训练1】( -2(2a 【例2】(1)一 ，(@而，86a+: ④=m-,()5-1,(61+5. 【变式训练2】A 【例3】(1)4十√3；(2)√95. 【变式训练3】原式=分，解得a=-1,6一3，原式=一 3 课后演练 1.B2.A3.B4.B5.(1)>(2)<63+17.2 8学 (2)5469.(1W5-2(2W2-1 10.311.812.3+2213.(1)Wm-√/n-1(2)9 20.3二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 基础导学 1.最简二次根式被开方数 2.最简二次根式同类二次根式根号前系数根号 被开方数 典例探究 【例1】C【例2】D【变式训练1】B【变式训练2】B 【9B】15/万23v反89+9E 【变式训练3) y2+9 【变式训练4】()了5-25(2Wa+36-号√a 课后演练 1.B2.D3.D4.B5.(1)0(2)2W36.47.4 8①-25(2)6-E9c10.10 34