20.2.1 二次根式的乘法-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 第20章二次根式 2=号a-<0原式=+日-a=9 第2课时二次根式的除法 基础导学 20.1认识二次根式 【例3】原式=2x-1-|1-2.x=2x-1-(2x-1)=0. 【变式训练4】C【例4】-3a【变式训练5】A a 1.b >≥0，b>02.算术平方根的商√= 第1课时二次根式的概念 课后演练 基础导学 把二次根式被开方数中的分母化去3.分母 1.B2.D3.C4.C5.26.-0.01x-3 典例探究 3.(1)a(2Wa 7.3002a2 典例探究 号8179.10(2)1010.-5 【例1】(1)原式=2；(2)原式=26. 【例1】(1)、(3)、(4)、(6)、(7)是二次根式，而(8)、(9)只有当11.n=一14或-7或-2或512.4c 【变式训练1】(1)3(2)180(3)-2(4)6√15 x≤0和b=0时才是二次根式.【变式训练1】C 13.(1)√7+4W5=2十√5(2)√5-2W6=√3-√2 【例2】 x-2=1 9 【变式训练2】a≤3 【2】z<3:(21<<4:(3z>是： 20.2二次根式的乘除 【3】(号；(28)器 第1课时二次根式的乘法 (4)无实数x使√-x-1有意义. 【变式训练3】（①）号5.(2)E.(3)是a 基础导学 【变式训练2】D 1.√ab被开方数相乘，根指数不变a≥0b≥0√abc 【例3】x=16【变式训练3】二 【例4)】最简二次根式为(2)Vm+m;(6) 4 【例4】7【变式训练4】15 2.va. 【变式训练4】B 课后演练 典例探究 【5】(号压 2)-号压32a 1.D2.B3.B4.A5.x≥-16.x>37.1<c<5 【例1】(1)3；(2)30；(3)30；(4)-20aba;(5)x2+xy; 课后演练 81Dz≤是 (2)-1≤x≤1 (62+6. 【变式训练1】2W万【变式训练2】2 :1.D2.B3.D4.-15.3756.9√6cm 【例2】B【变式训练3】C (3)x=0W-合<x≤} 1.号 (2)-8x 8.(1)3aV6a(2)27 【例3】10/2；(2)2ab√2；(3)10a2c√2ac;(4)63. 9.375 10.16m/s11.6 9.2b-a+1=010.x>≥0且x≠611.012.a=91 【变式训练4】a√-b【例4】3√2>23 第2课时二次根式的性质 课后演练 2√（传）=√景. 基础导学 1.D2.B3.A4.C5.(1)26(2)26.-√14 验证V(信)-√Xx6=V县， (1)a (2)al a-a -√-x7.458.(1)2(2)-12√2(3)-45 n+1 典例探究 9.(1)90W2(2)4√35(3)-5ab√2b 2W(H+)=+√ 【例1】(1)号，(2)28，(3)-6.【变式训练】≥3号 10.(1)53>3W5(2)3-65<3-5√611.B12.6 验证√（十）-√牙 n+2-n-1 (n+1)(n+2) 【例2】(1)5，(2)0；3)元-3.14，(4-3x(5)a-3 1以.这个直角三角形的面积是雪或写 /n十1 Vn(n+D(n+2xix(n+2) 【变式训练2】(1)≤3(2)√2(3)3 14Va十。之=a√a为征意自然数且a≥2， 第3课时 二次根式的有理化 【空武训练】原式-}+√(a--+a,验证+。品-√-√=V√ 基础导学 1.二次根式3.分母 33 :典例探究 【例1】(1)22 (29巨31 【变式训练1】( -2(2a 【例2】(1)一 ，(@而，86a+: ④=m-,()5-1,(61+5. 【变式训练2】A 【例3】(1)4十√3；(2)√95. 【变式训练3】原式=分，解得a=-1,6一3，原式=一 3 课后演练 1.B2.A3.B4.B5.(1)>(2)<63+17.2 8学 (2)5469.(1W5-2(2W2-1 10.311.812.3+2213.(1)Wm-√/n-1(2)9 20.3二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 基础导学 1.最简二次根式被开方数 2.最简二次根式同类二次根式根号前系数根号 被开方数 典例探究 【例1】C【例2】D【变式训练1】B【变式训练2】B 【9B】15/万23v反89+9E 【变式训练3) y2+9 【变式训练4】()了5-25(2Wa+36-号√a 课后演练 1.B2.D3.D4.B5.(1)0(2)2W36.47.4 8①-25(2)6-E9c10.10 34指南针·课堂优化·色年纸上册·数学(HS) 20.2 次 第1课时 二次根式的乘法 基 础导 学 1.二次根式的乘法法则wa·√石= (a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘， 注：（①）该法则成立条件是 且 (2)该法则适用于多个二次根式相乘，√a· √b·√= (a≥0，b≥0，c≥0)； (3)法则中a、b可数也可式. 2.积的算术平方根：√ab= (a≥0， b≥0). 应用：如果一个二次根式的被开方数含有 完全平方的因数（因式），那么可以利用√a2=a (a≥0)，将这个因数（因式）“开方”出来，从而将 二次根式化简.例√20=√4×√5=25. ★注意：√a+b≠a+√b. 典例探究 知识点① 应用二次根式的乘法法则计算 【例1】计算： x (2)W6X√15×√10； (3)-2丽×(-3√1号)， (4)5√ab·(-4√a2b); (5)W元·x3+2x2y+xy2(y≥0)； 根式的乘除 (6)(22+33)×2. 规律与方法：几个二次根式相乘，将系数和 被开方数分别相乘，根号不变，能开方的应开方 后移到根号外， 【变式训练1】已知点A(√2，√14)在反比 例函数y=的图象上，则k= 【变式训练2】若a=√2+1，b=√2-1，则 v治的值为 知识点②积的算术平方根成立的条件 【例2】 如果√x2(x-2)=x·√x-2,那 么 ( ) A.x≥0 B.x≥2 C.0≤x≤2 D.x为任意实数 规律与方法：此类题要紧扣公式√ab=√a· √b成立的条件，列出关于待定字母的不等式（组），解 之，即得字母的取值范围。 【变式训练3】等式√1-x2=√x+I· √I一x成立的条件是 () A.x≥1 B.x≥-1 C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤一1 知识点③利用积的算术平方根把二次根式化简 【例3】化简： (1)√200；(2)√8ab(ab≥0)； (3)√200abc3(a≥0，c≥0)； (4)√652-162. 规律与方法：若题中给出的二次根式的被开 方数中有一些因式（数）的指数不小于2，即含有 完全平方的因式（数），通常利用√ab=√a·√B (a≥0，b≥0)和√a=|a,将这个因式（数）“开 方”出来. 【变式训练4】已知ab<0,则√/-ab化简 后为 知识点④ 比较二次根式的大小 【例4】比较2√3和3√2的大小. 规律与方法：本例采用的方法是比较二次根 式的常用方法，称为外因内移法。 演 练 【基础过关】 1.(衡阳中考)对于二次根式的乘法运算，一般 地，有√a·√b=√ab.该运算法则成立的条 件是 () A.a>0,b>0 B.a<0,b<0 C.a≤0，b≤0 D.a≥0，b≥0 第20章二次根式 2.(南通中考)计算V27×√ 的结果是( A.9 B.3 C.3√3 D.√3 3.已知m= ×(-221),则有 () A.5<m<6 B.4<m<5 C.-5<m<-4 D.-6<m<-5 4.如果实数a,b满足√ab=-ab√b,那么点 (a,b)在 () A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限或坐标轴上 D.第四象限或坐标轴上 5.(1)(南京中考)计算/6X8 √2 (2)(准安中考)计算×√月 6.把下列各式中根号外面的因式进行适当变形 后移到根号内、 -7 7.一个长方形的长和宽分别为√10和2√2，则这 个长方形的面积为 8.计算： 1w8×E-V: (2)(-26)×V42×4; 指南针·课堂优化·年盔上册·数学(HS) 3)V1哥×23×(-2片 9.化简： (1)√15×45×24； (2)√272-132； (3)√50ab(a<0). 10.比较大小： (1)5√3和3√5； (2)3-6√5和3-5√6. 【能力提升】 1已知x-y-5,则云w+y的 值为 () A.2 B.4 C.5 D.7 12.(襄阳中考)先化简，再求值：(a+2b)2+(a+ 2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a=√3-√2，b =√3+√2. 。8 13.已知直角三角形的两边分别为√3和√5，求这 个直角三角形的面积 【创新探究】 14.观察下列各式及其验证过程： 2+ 2 2,验证：A2+ 22×2 =2、 2 V/3+3 -3y得，验证3+-√图- /32×3 8 针对上述各式反映的规律，写出用a(a为任 意自然数，且a≥2)表示的等式，并给出 验证. 第20章二次根式 第2课时二次根式的除法 基础导学 1.二次根式的除法法则：= (a≥ 0,b>0) 注：(1)该法则成立的条件是 (2)法则中a、b可以是数也可以是式. 2.商的算术平方根，等于 ,即 (a≥0，b>0) 此公式作用： 3.最简二次根式：一个二次根式的被开方数不 含 ,也不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式叫做最简二次根式. ★注意：化简时，通常要求最终结果中分母 不含有根号，且各个二次根式都是最简二次 根式. 典例 探 究 知识点①运用二次根式除法法则进行计算 【例1】计算： (1)12 1 3 (2)3v20÷23