第22章素养练习卷2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 本试卷聚焦相似图形与变换，通过平遥古城图标放大、《九章算术》邑方问题等情境，融合基础巩固与实践探究，培养抽象能力、推理意识和应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似判定、位似中心、比例线段|结合生活情境（放大镜放大图标）| |填空题|5/15|相似周长、位似坐标、折叠变换|融入动态问题（等边三角形折叠）| |解答题|8/75|相似应用、位似作图、测量实践|设置跨情境探究（纪念碑测量、类比拓展证明）|

第22章素养练习 一、选择题(本大题共10小题，每小题3，共30.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的(　　) A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转 (第1题)　　　(第3题) 2．下列四组线段中，是成比例线段的是(　　) A．4，3，4，5 B．10，16，5，8 C．2，4，6，8 D．9，8，15，10 3．如图，DE∥BC，AD∶BD＝2∶3，BC＝15，则DE的长是(　　) A．6 B．8 C．12 D．20 4．如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点(0，1)，△ABC关于直线l对称，点B的坐标为(－1，－1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，1) B．(－1，3) C．(1，－3) D．(－3，1) 　　　(第4题)　　　(第5题) 5．如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，若△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，则相似比、位似中心分别是(　　) A．2，点P B.，点P C．2，点O D.，点O 6．如图，已知∠ABC＝∠ACD＝90°，补充下列条件仍不能判断△ABC与△ACD相似的是(　　) A．AC平分∠BAD B．AB⊥AD C.＝ D．AC·BC＝AB·CD (第6题)　　　　(第7题) 7．如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC，BE交于点F，FG∥BC.若S△AEF∶S△BFC＝1∶9，则FG的长为(　　) A. B. C. D. 8．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则∠A＋∠F的度数为(　　) A．45° B．50° C．60° D．75° (第8题) 　　(第9题)　　　　(第10题) 9．《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池每边的正中各开一道门，从北门点A处往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从西门点C处往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为(　　) A．360步 B．270步 C．180步 D．90步 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O按逆时针方向旋转，使点A恰好落在边BC上的点A1处，则点C的对应点C1的坐标为(　　) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3，共15) 11．若＝，则的值为________． 12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为6，12，15，△DEF的最短边长为2，那么△DEF的周长为________． 13．如图，△ABC的顶点C的坐标是(－2，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，且AB∶A′B′＝1∶3，若点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是________． (第13题) 　　　　(第14题)　　　　(第15题) 14．如图，已知平行于主光轴l的光线AM经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点F1，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，F1M与AO的交点为点C.若AM＝4 cm，OF1＝3 cm，点A到主光轴l的距离AB＝2 cm，则点C到主光轴l的距离CD为________cm. 15．如图，等边三角形ABC的边长为10，点D，E分别是BC，AC上的动点，沿DE所在的直线折叠∠C，使点C的对应点C′落在边AB上，若点C′把线段AB分成2∶3的两部分，则线段AE的长为________． 三、解答题(本大题共8小题，共75.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(8)如图，有一种复印纸，整张称为A1纸，对折裁开称为A2纸，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若A1纸的周长为286 cm，求A2纸的周长． 17．(8)如图所示的是边长为1个单位长度的小正方形网格，点A，B，C的坐标分别为(2，3)，(1，1)，(4，1)． (1)将△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1，并写出C1的坐标； (2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出A2的坐标． 18．(9)春天到了，同学们去公园春游，张明、李华对着景区示意图(如图)描述景区中牡丹亭和望春亭的位置(图中小正方形的边长代表100 m)． 张明：“牡丹亭的坐标为(300，300)．”李华：“望春亭约在中心广场南偏西63°方向224 m处．” 实际上，他们所说的位置都是正确的．根据所学的知识解答下列问题： (1)请指出张明是如何在景区示意图上建立平面直角坐标系的，并在图中画出平面直角坐标系； (2)请分别用张明、李华的方法，描述出音乐台和游乐园的位置(参考数据：≈2.24)． 19．(9)如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6. (1)请用尺规作图的方法在AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，求AD的长． 20．(9)如图，四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD，AB的中点，连结EF，CF，AC，EF交AC于点G. (1)若AC＝8，求AG的长； (2)如果AB＝AC，求证：△AFG∽△ACF. 21．(10)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AD，CE⊥AC，DE和CE交于点E. (1)如果AB＝BC，猜想AD和DE之间的数量关系，并证明你的结论； (2)在(1)的条件下，如果AB＝4，BC＝8，∠DAC＝∠ACB，求DE的长． 22．(10)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上 测量数据 DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m 备注 点F，M，D，C在同一水平线上 　　根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由； (2)求纪念碑AB的高度； (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m．请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可)． 23．(12)(1)【问题呈现】如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BD，CE.求证：BD＝CE. (2)【类比探究】如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°.连结BD，CE，则＝________． (3)【拓展提升】如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝.连结BD，CE. ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G.若＝，AB＝6，求BF的长． 答案 一、1.C　2.B　3.A　4.B　5.D　6.C　7.C　8.A 9．A　10.A 二、11.2　12.11　13.－5　14. 15.或　点拨：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝10，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠AC′E＋∠AEC′＝120°.由翻折的性质可知，∠DC′E＝∠C＝60°，EC′＝EC，C′D＝CD， ∴∠AC′E＋∠BC′D＝120°，∴∠BC′D＝∠AEC′， ∴△BC′D∽△AEC′，∴＝＝.设AE＝x，BD＝y，则EC′＝EC＝10－x，C′D＝DC＝10－y.①当＝时，则AC′＝4，BC′＝6.∴＝＝，解得x＝；②当＝时，则AC′＝6，BC′＝4. ∴＝＝，解得x＝.综上，AE的长为或. 三、16.解：(1)∵A1纸的长为AD，宽为AB，A2纸的长为AB，宽为，A1，A2纸是相似的矩形，∴＝， ∴＝. (2)∵A1纸的周长为286 cm，＝， ∴A2纸的周长为286÷＝143(cm)． 17．解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，C1(9，7)． (2)如图所示，△A2B2C2即为所求，A2(3，5)． 18．解：(1)张明是以中心广场为坐标原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系． (2)用张明的方法：音乐台的坐标为(0，400)，游乐园的坐标为(200，－400)． 用李华的方法：音乐台在中心广场正北方向400 m处，游乐园约在中心广场南偏东27°方向448 m处． 19．解：(1)如图所示，点D即为所求． (2)∵△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得AD＝. 20．(1)解：如图，连结BD交AC于点O. ∵点E和点F分别为边AD，AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线，AF＝FB＝AB， ∴EF∥BD，∴＝＝1，∴AG＝GO＝AO. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC＝AC， ∴AG＝AO＝×AC＝AC＝×8＝2， ∴AG的长为2. (2)证明：∵AF＝AB，AB＝AC，∴AF＝AC. ∵AG＝AC，∴＝＝，∴＝. ∵∠FAG＝∠CAF，∴△AFG∽△ACF. 21．解：(1)AD＝DE. 证明：如图，作DF∥AC，交AB于点F， ∵DF∥AC，∴＝. ∵AB＝BC，∴AF＝DC. ∵DE⊥AD，CE⊥AC， ∴∠ADE＝∠ACE＝90°. ∵∠B＝90°，∴易得∠EDC＝180°－∠ADE－∠ADB＝90°－∠ADB＝∠BAD. ∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠ACB， ∴∠AFD＝∠B＋∠FDB＝90°＋∠ACB＝∠DCE， ∴△AFD∽△DCE， ∴＝＝，即AD＝DE. (2)∵∠DAC＝∠ACB，∴DA＝DC， 设DA＝DC＝x，则BD＝8－x. 在Rt△BDA中，由勾股定理得BD2＋AB2＝AD2， 即(8－x)2＋42＝x2， 解得x＝5，∴AD＝5，∴DE＝2AD＝2×5＝10. 22．解：(1)∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∴＝， ∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 即DE＝DF，∴CD＝CA. (2)设BN与DE的交点为H， 易知四边形BCDH和MNHD是矩形， ∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2 m，NH＝DM＝1 m， ∵DE＝2.1 m，∴EH＝DE－DH＝0.9 m， 设AB＝x m，则AC＝AB＋BC＝(1.2＋x)m， ∴BH＝CD＝AC＝(1.2＋x)m， ∴NB＝BH＋NH＝(2.2＋x)m， 易知EH∥AB，∴△NEH∽△NAB， ∴＝，∴＝， 解得x＝19.8，经检验，x＝19.8是方程的解且符合题意． 所以纪念碑AB的高度为19.8 m. (3)纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m，(2)中纪念碑AB的高度为19.8 m，则小红的结果误差较大．原因：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果．(原因合理即可) 23．(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE. (2) (3)解：①∵＝＝， ∴＝，设AB＝3a，则BC＝4a，易知AC＝5a. ∵∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，＝ ＝， ∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD， ∴＝＝. ②由①得△CAE∽△BAD，＝， ∴∠ACE＝∠ABD，AC＝10.又∵∠AGC＝∠BGF， ∴△BGF∽△CGA，∴＝＝， ∴BF＝. 学科网（北京）股份有限公司 $