第15讲 圆的对称性（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第15讲 圆的对称性（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 圆的对称性 同学们，上节课我们学会了用“定点、定长、旋转”的方法画圆，认识了圆心、半径、弧、弦这些“静态”的零件。现在请大家看一个生活中的现象：自行车的轮子为什么是圆的，而不是方的或椭圆的？如果轮子是方的，骑起来会怎样？（学生可能回答：会颠簸！）对！因为方形轮子的中心到地面的距离在不断变化，而圆形轮子在滚动时，它的中心（也就是圆心）到地面的距离始终保持不变，等于半径。这种“滚动时圆心高度不变”的特性，正是圆在运动中的独特魅力。 今天，我们就从“车轮滚动”这个动态情境出发，探索圆在运动过程中，圆心、半径、弧、弦这些元素之间会产生怎样奇妙的数量关系和位置关系，这就是我们这节课要研究的“圆的对称性”。 【知识点1 圆的基本对称性】 1. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 2. 圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心． 【知识点2 垂径定理】 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2. 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【知识点3 弧、弦、圆心角】 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2） 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 【题型1 圆的对称性】 【例1】圆是（ ）图形. A．中心对称 B．轴对称 C．中心对称和轴对称 D．以上都不对 【答案】C 【详解】圆既是中心对称图形又是轴对称图形，中心对称图形是图形关于某点对称，轴对称是图形关于某条直线对称. 故选C. 【变式1-1】在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是____________． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：和关于过点O的直线l成轴对称，如图所示， ∴点B关于直线l的对称点是点C， 故答案为：C． 【点睛】题目主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵如图所示的风车为正五边形， ∴中心角的度数为：， ∴当旋转角度为的倍数时，如图所示的风车能与自身重合， 故旋转角至少为， 故选：． 【变式1-3】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，正确理解求解方法是关键．根据题意可得园内是一个正八边形，求出中心角，得到旋转后能重合的最小旋转角，即可求解． 【详解】解：根据题意可得圆内是一个正八边形，则， 将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度是的整倍数， ，不是整数， 旋转角度不能是， 故选：B． 【题型2 利用垂径定理求值】 【例2】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的定义及性质，综合运用以上知识是解题的关键．连接，，过点A作于点C，先证是等腰三角形，结合与点A的坐标是，得到，从而求得点B坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点C， ∵经过原点O，并与x轴交于点B， ∴， ∵， ∴． ∵点A的坐标是，， ∴， ∵， ∴， ∵点B在x轴上， ∴点B的坐标是． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 【答案】50 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接． ， ． 是的直径，是的弦，且， ， ． 【变式2-3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 【题型3 利用垂径定理求平行线弦问题】 【例3】如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________． 【答案】4 【分析】先利用垂径定理可得，，再根据三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形形的中位线定理，得到是的中位线是解题的关键． 【变式3-1】如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 【变式3-2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 【题型4 利用垂径定理求同心圆问题】 【例4】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 【答案】过点O作于E，根据垂径定理可得，，即可得到结果． 【详解】过点O作OE⊥AB于E， 在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED． 在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB． ∴AC=BD． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 【变式4-2】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式4-3】如图，⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么阴影部分的面积为（    ）． A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2 【答案】A 【分析】根据题意将小圆平移至与大圆共圆心处，再利用垂径定理及勾股定理求解即可． 【详解】由⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2， 故将⊙O2平移至⊙O1的圆心处，此时AB与小圆相切与点E， 则阴影部分面积即为小圆外部和大圆内部环状部分的面积 由切线的性质可得：， 则由垂径定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理及勾股定理等，灵活对图中两个圆进行平移构成同心圆进而求解是解题关键． 【题型5 垂径定理的推论的应用】 【例5】（2026·浙江嘉兴·二模）如图，为的直径，点在上，连接，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，，连接．若，则______． 【答案】 【分析】由作图可得是的垂直平分线，那么根据垂径定理的推论可得，经过圆心，再由三角形的外角性质以及圆周角定理求解即可． 【详解】解：由作图可得，是的垂直平分线， ∴根据垂径定理的推论可得，经过圆心， ∴ ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了垂径定理的推论，解题的关键是掌握垂径定理的推论． 根据“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”即可得答案． 【详解】解：，是的直径，是非直径的弦， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答． 【详解】解：∵点D平分， ∴平分， ∴为的中位线， ∴， 又∵ 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴弦， 故答案为：． 【变式5-3】（2026·陕西榆林·二模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理的推论，知，从而证明M，N，O共线，根据勾股定理求出，再求出，计算求出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴、N、M三点在同一直线上， ∵， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ． 【题型6 垂径定理的实际应用】 【例6】（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心， 设圆心为，连接，如图． 中，， 根据勾股定理得：， 即：， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：A． 【变式6-3】（25-26九年级上·北京门头沟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径． 【答案】5米 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得（米），再根据勾股定理得求解即可． 【详解】解：如图1，连接， 由题意得：，， ∴， ∴（米），， 在中，， ∴， ∴（米）， 即的半径为米． 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求值】 【例7】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得，由弧、弦、圆心角的关系可得，进而利用角的和差关系即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式7-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，弧与圆心角的关系，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，进而求得即可． 【详解】解：连接， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴弧的度数为， 故选：C． 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系证明】 【例8】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【答案】证明：连接， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． 【分析】连接，根据平行线的性质得出，，再根据等边对等角得出，然后根据等量代换得出，最后根据弧与圆心角关系即可得证． 【详解】略 【变式8-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质． （1）由圆心角、弧、弦的关系推出，即可得到． （2）由证明，即可推出． 【详解】（1）解：与的长度相等，理由如下： ， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【变式8-2】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． (1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； (2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD． 【答案】(1)∠E＝35° (2)见解析 【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度数，再根据三角形外角的性质得出答案； （2）先根据“ASA”证明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再结合已知条件得出答案即可. 【详解】（1）连接AC， ∵为120°，为50°， ∴，， ∴∠E＝∠ACD-∠BAC＝60°-25°＝35°； （2）证明：连接AC、BD， ∵， ∴∠A＝∠D， 在△ACE和△DBE中， ， ∴△ACE≌△DBE（ASA）， ∴BE＝CE， ∵AE＝DE， ∴AE-BE＝DE-CE， 即AB＝CD． 【点睛】本题考查了圆的相关计算与证明，三角形全等的判定和性质，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键． 【变式8-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图1，，是等垂弦，，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形； （2）连接，由圆心角、弦的关系可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的等垂弦，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是的等垂弦， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形． （2）证明：如图，设交于点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是的等垂弦． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，，，都在上，且，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角、圆周角、弦和弧之间的关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 4．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，圆周角定理，由垂径定理的推理可得，则由圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，弧、弦、圆心角的关系，灵活运用知识点是解决本题的关键． 连接，根据等边对等角和圆的性质可得，再根据平行线的性质可得，，则可得，即可得到解答． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 6．（24-25九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得，，则，然后由垂径定理可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，则， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， 故选：． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 8．如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆内相关概念和定理，三角形内角和定理等内容；掌握圆内相关概念是解题基础． 首先连接，，然后根据等弦对等圆心角得到，再根据三角形内角和得到，再由，，即可得到结果． 【详解】连接，， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 10．如图，内接于，，是的中点，且，分别是边上的高，则的大小___________度． 【答案】 【分析】连接，根据垂径定理求出，再根据角的性质计算出，根据计算出，从而能够求出，最后根据⊥，求出的大小． 【详解】解：连接， ∵，是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查圆的垂径定理，圆周角和圆心角关系，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期末）劳动课上刘老师布置了一项很有意义的家庭作业：要求给家里的锅盖做一个锅盖架，如图①．图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，锅盖直径为，锅盖最低点C到的距离是，则________． 【答案】32 【分析】本题主要考查了圆的相关性质、勾股定理，掌握圆的性质及勾股定理的应用是解题关键．根据题意设锅盖的圆心为，与交于点，连接，进而构造直角三角形，运用已知条件及勾股定理求出，由垂径定理可得的长． 【详解】解：如图，锅盖的圆心为，与交于点，连接， 图② 由题意知， ， ， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 故答案为：32． 13．（25-26九年级下·广东梅州·阶段检测）已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的半径为多少？ 【答案】5 【分析】连接，设的半径为r，则，由垂径定理得到，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：连接， 设的半径为r，则， ∵是的直径，弦，，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 14．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，是的直径，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查圆心角、弧之间的关系，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ， ． 15．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了同圆中弧、弦的关系，掌握在同圆中等弦对等弧，等弧对等弦是解题的关键． 首先由是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 【详解】证明：是的中点， ， ， ， ， ． 16．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”． 【详解】证明：∵是直径，点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴． 17．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出，设这个盆口半径的长为，则，再利用勾股定理即可得出r． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 设这个盆口的半径的长为，则， 在中， 由勾股定理得：， 解得：， 答：这个盆口半径的长为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 圆的对称性（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 圆的对称性 同学们，上节课我们学会了用“定点、定长、旋转”的方法画圆，认识了圆心、半径、弧、弦这些“静态”的零件。现在请大家看一个生活中的现象：自行车的轮子为什么是圆的，而不是方的或椭圆的？如果轮子是方的，骑起来会怎样？（学生可能回答：会颠簸！）对！因为方形轮子的中心到地面的距离在不断变化，而圆形轮子在滚动时，它的中心（也就是圆心）到地面的距离始终保持不变，等于半径。这种“滚动时圆心高度不变”的特性，正是圆在运动中的独特魅力。 今天，我们就从“车轮滚动”这个动态情境出发，探索圆在运动过程中，圆心、半径、弧、弦这些元素之间会产生怎样奇妙的数量关系和位置关系，这就是我们这节课要研究的“圆的对称性”。 【知识点1 圆的基本对称性】 1. 圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 2. 圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心． 【知识点2 垂径定理】 1. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2. 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【知识点3 弧、弦、圆心角】 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2） 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 【题型1 圆的对称性】 【例1】圆是（ ）图形. A．中心对称 B．轴对称 C．中心对称和轴对称 D．以上都不对 【变式1-1】在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是____________． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）如图是小亮同学用等分圆周的方法画出的美丽图案，将该图案绕其中心旋转一定的角度能与自身重合，则旋转角度不能是（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用垂径定理求值】 【例2】（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，经过原点O，并与x轴交于点B，已知点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级下·江苏常州·期中）如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 【变式2-3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3 利用垂径定理求平行线弦问题】 【例3】如图，是的弦，长为8，是上一个动点（不与、重合），过点作于点，于点，则的长为________． 【变式3-1】如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD =______． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【题型4 利用垂径定理求同心圆问题】 【例4】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【变式4-1】如图，两个圆都以点O为圆心． 求证：． 【变式4-2】如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【变式4-3】如图，⊙O1的弦AB是⊙O2的切线，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么阴影部分的面积为（    ）． A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2 【题型5 垂径定理的推论的应用】 【例5】（2026·浙江嘉兴·二模）如图，为的直径，点在上，连接，分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，，连接．若，则______． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图所示，是的直径，是非直径的弦，与相交于点．添加一个条件可以得到，这个条件可以是____（写出一个即可）． 【变式5-2】如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 【变式5-3】（2026·陕西榆林·二模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作．其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，、是的半径，点是的中点，连接，于点，“会圆术”给出劣弧的弧长的近似值计算公式：，当时，则的值为______． 【题型6 垂径定理的实际应用】 【例6】（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【变式6-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·北京门头沟·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径． 【题型7 利用弧、弦、圆心角的关系求值】 【例7】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A、B、C、D都是上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，以为直径的半圆与分别相交于点D，E，则弧的度数（   ） A． B． C． D． 【题型8 利用弧、弦、圆心角的关系证明】 【例8】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【变式8-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，中，弦，相交于点，． (1)比较与的长度，并证明你的结论； (2)求证：． 【变式8-2】如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E． (1)如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数； (2)如图2，若AE＝DE，求证：AB＝CD． 【变式8-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦． (1)如图1，，是等垂弦，，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，，分别交于D，C两点，连接．求证：，是的等垂弦． 模块三 课后作业 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，，，都在上，且，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 4．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，是的直径，点C是的中点，点D为上的一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 6．（24-25九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径约为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 8．如图，点A，点B，点C在上，分别连接，，．若，，则______． 9．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 10．如图，内接于，，是的中点，且，分别是边上的高，则的大小___________度． 11．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期末）劳动课上刘老师布置了一项很有意义的家庭作业：要求给家里的锅盖做一个锅盖架，如图①．图②是它的截面图，垂直放置的锅盖与架子左右两竖杆的交点为A，B，锅盖直径为，锅盖最低点C到的距离是，则________． 13．（25-26九年级下·广东梅州·阶段检测）已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的半径为多少？ 14．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，是的直径，．求的度数． 15．（25-26九年级上·全国·阶段检测）如图，是的两条弦，点分别在弧、弧上，且是的中点．求证：． 16．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 17．（25-26九年级上·云南昆明·期末）文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺寸．图2是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，半径于D，连接．已知，，求盆口半径的长度． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $