第14讲 确定圆的条件（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第14讲 确定圆的条件（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 确定圆的条件 同学们，想象一下这样一个场景：周末，你和几个好朋友去公园的草坪上野餐。大家围坐在一起，决定玩一个“蒙眼寻宝”的游戏。为了让游戏绝对公平，你们决定在草坪上放一个宝箱，然后要求每个人都必须站在距离宝箱正好3米远的位置。 这时候，第一个同学拿着一根3米长的绳子，一头拴在宝箱上，另一头拉直，在周围转了一圈，绳子在地上划出了一道完美的圆形痕迹。大家纷纷站到这条痕迹上，游戏准备就绪。 但在游戏开始前，老师突然提出了一个有趣的数学问题：“同学们，如果现在把宝箱拿走，只留下地上这个用绳子画出的圆圈痕迹，并且要求你们在不借助任何工具的情况下，重新找回宝箱原来所在的位置，你们觉得仅凭这一个圆圈，能准确找回它吗？” 大家可能会觉得这很简单，但仔细一想，圆上的每一个点到圆心的距离都是相等的，如果没有了那根“绳子”作为半径的参照，仅凭一个孤立的圆，似乎很难精准定位它的中心。 那么，在数学上，我们究竟需要知道哪些条件，才能像用圆规一样，把一个圆完完全全、独一无二地确定下来呢？今天，就让我们化身“几何侦探”，一起来探索《确定圆的条件》。 【知识点1 确定圆的条件】 不在同一直线上的三点确定一个圆． 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 【知识点2 三角形的外接圆】 1. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2. 三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 3. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． 4. 三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 【题型1 确定圆的条件】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据过不在同一直线上的三点能确定一个圆进行判断后即可． 【详解】A．过定点A可以画无数个圆，故不符合题意； B．过定点A、B，且半径为R，设A、B两点间的距离为d，当半径时，可以作两个圆；当半径时，可以作一个圆；当半径时，无法作圆．因此该条件不能唯一确定一个圆，不符合题意； C．过不在同一直线上的三点能确定一个圆，故符合题意； D．过不在同一直线上的四点不一定能画出一个圆，故不符合题意． 故选C． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【答案】2 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟知经过线段最小的圆即为以AB为直径的圆是解答此题的关键． 经过线段最小的圆即为以为直径的圆，求出半径即可． 【详解】解：根据题意得：经过线段最小的圆即为以为直径的圆，则此时半径为． 故答案为：2． 【变式1-3】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【题型2 三角形外心概念辨析】 【例2】三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【变式2-1】下列语句中，正确的是（    ） A．任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B．钝角三角形的外心在三角形内部 C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆的性质以及外心的定义分析得出即可． 【详解】A、任何一个圆有无数个圆内接三角形，故本选项不符合题意； B、钝角三角形的外心在三角形外部，故本选项不符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项不符合题意； D、三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外心的定义、确定圆的条件、外心的性质，熟记外心的性质是解题的关键． 【变式2-2】（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【分析】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 【详解】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 【变式2-3】（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【答案】D 【分析】运用勾股定理求出的长度，且根据准外心的定义，一共有两种情况：，，设，解一元一次方程，即可求得答案．本题主要考查了勾股定理、解一元一次方程，解题的关键在于考虑到两种情况的可能，且需要理解准外心的定义． 【详解】解：∵，，， 根据勾股定理，可得：， ∵准外心P在上， ∴或， ①当时，如图， 设， 则， 即， 解得：； ②当，如图， 设， 则， 此时也是直角三角形， 故， 即， 解得：； 故选：D 【题型3 求三角形外心坐标】 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形的外心的定义．根据三角心的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，分别作、的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，点即为所求， 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，圆的确定，连接，根据网格特点和三角形的外心的性质，得到的中垂线的交点即为圆心，根据点的坐标，确定圆心的坐标即可． 【详解】解：如图，由题意，点即为弧所在圆的圆心，且点恰好是坐标原点， 故弧所在圆的圆心坐标是． 【变式3-2】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角形外心，根据直角三角形的外心为斜边的中点，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点，的坐标分别是，， ∴ ∴是直角三角形， ∵是的外接圆， ∴ ∴在上，且为的中点 ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1) 如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 【题型4 求特殊三角形外接圆的半径】 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（    ） A．5 B．10 C． D．5或 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，根据直角三角形斜边上的中线长等于三角形外接圆的半径求解即可． 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8， 斜边长， ∴斜边上的中线长为5， 即此直角三角形外接圆半径为5， 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是（   ） A．5 B．4 C．5或 D．4或5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，外接圆．直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此先利用勾股定理求出斜边长，即可求出外接圆的半径． 【详解】解：∵直角三角形两条直角边长分别为6和8， ∴斜边， ∴外接圆半径， 因此，外接圆半径为5， 故选：A． 【变式4-2】一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】先求出方程的解，再根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半作答． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， ∵， ∴这个三角形是直角三角形，且斜边为13， ∴这个三角形外接圆的半径是斜边长的一半即， 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理和求三角形外接圆的半径，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解题的关键． 【变式4-3】中，斜边，则该三角形的重心与外心之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可. 【详解】如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，DI为所求. ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴CD＝AB＝12， ∵I是△ABC的重心， ∴DI＝CD＝4， 故选择：B． 【点睛】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键. 【题型5 尺规作图确定圆心】 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，连接，以 O为圆心，为半径作圆即可； （2）连接交于点D，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 本题考查作图，复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：连接交于点D． 设． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得： ∴圆O的半径为：． 【变式5-1】如图，利用尺规作，使为的直径．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线与的交点即为圆心O，再以O为圆心，以的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，即为所求．    【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆和画线段垂直平分线，熟知相关作图方法是解题的关键． 【变式5-2】如图，在中，请用尺规作图法，作，使点在上，且经过两点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握圆的特征是解题的关键．作的垂直平分线交于O，再以O为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：即为所求． 【变式5-3】如图，已知是的弦，点C是圆上一点，请用尺规作图法作．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径作圆． 【详解】解：如图： ⊙O即为所求． 【点睛】本题考查了作图，确定圆心是解题的关键． 【题型6 求确定圆的个数】 【例6】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式6-1】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 【变式6-2】若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 【答案】6 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图、确定圆的条件，熟练掌握与圆有关的性质是解答本题的关键．连接，作线段的垂直平分线，以点（或）为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的垂直平分线于点，分别以为圆心，线段的长为半径画圆即可． 【详解】解：如图，满足题意． 这样的圆可以作2个． 故选：B． 【题型7 破轮子复原求半径】 【例7】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式7-1】将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A，B，C． (1)尺规作图找到该轮子的圆心O； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 解：如图所示： O即为所求的圆心． (2) 【分析】（1）分别作弦和的垂直平分线交点O为所求的圆心． （2）连接，，，交于D，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，，，交于D． ∵是等腰三角形，底边， ， ， ， ， ， ， 设圆片的半径为，在中，， ， 解得：， 圆片的半径R为． 【变式7-2】一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据圆弧上的至少三点确定一个圆即可解题. 【详解】根据圆弧上至少三点确定一个圆. ③在圆弧上只有两个点，不满足确定一个圆的条件， 所以C符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查圆的基本性质. 熟知圆弧上至少三点确定一个圆是解题的关键. 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一面圆形的镜子被打碎，剩下如下的形状，请你用尺规完成下列作图： (1)请在原图上补全它原来的形状； (2)镜子破碎之前弧的中点处正好有个小挂钩，请你用尺规作图把它标出来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在圆弧上取D点，连接，，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）根据垂径定理，由（1）中作图，得，则点C即为所求． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心，则补全它原来的形状如图所示； （2）解：如图，点C即为所求作． 模块三 课后作业 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握经过不在同一直线上的三点可作圆是解题关键．由点、、、在同一条直线上，点在直线外，即可求解 【详解】解：根据题意可知，点、、、在同一条直线上，不能确定圆， 点在直线外，则点；点；点；点；点；点；不在同一直线上，可以画圆， 即能画圆的个数是6个 故选：D． 2．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 4．直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的特点，分当边长为8的边为直角边和斜边两种情况，根据直角三角形的斜边为其外接圆的圆心进行求解即可． 【详解】解：当边长为8的边为直角边时，则斜边长为， ∵直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，即直角三角形的斜边为其外接圆的圆心， ∴此时该直角三角形外接圆的半径为5； 当边长为8的边为斜边时，则该直角三角形外接圆的半径为4； 故该直角三角形外接圆的半径为4或5， 故选：D． 5．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键． 根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 6．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆． 【详解】解：∵B（0，-3）、C（2，-3）， ∴BC∥x轴， 而点A（1，-3）与C、B共线， ∴点A、B、C共线， ∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆． 7．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为_． 【答案】1个或3个或4个 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑． 【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故答案为：1个或3个或4个． 【点睛】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 9．（24-25九年级上·全国·期末）图中的外心坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，根据三角形外心的定义作三角形两边的垂直平分线，根据网格的特点，很容易作出与的垂直平分线，则它们交点的坐标为所求． 【详解】解：作，的垂直平分线交点P，如图， 则点P为的外心， P点坐标为． 故答案为∶． 10．已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出三角形的外接圆的圆心．由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆． 【详解】解：如图，即为所求， 11．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置． 【答案】方法1：如图所示：点为破残轮片的圆心． 方法2：如图：点为破残轮片的圆心． 【分析】方法1：先从圆上找出任意的三点，连接，作线段的垂直平分线，交点即是破残轮片的圆心；方法2：作的圆周角：，直径交于点，点即为破残轮片的圆心． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 确定圆的条件（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 确定圆的条件 同学们，想象一下这样一个场景：周末，你和几个好朋友去公园的草坪上野餐。大家围坐在一起，决定玩一个“蒙眼寻宝”的游戏。为了让游戏绝对公平，你们决定在草坪上放一个宝箱，然后要求每个人都必须站在距离宝箱正好3米远的位置。 这时候，第一个同学拿着一根3米长的绳子，一头拴在宝箱上，另一头拉直，在周围转了一圈，绳子在地上划出了一道完美的圆形痕迹。大家纷纷站到这条痕迹上，游戏准备就绪。 但在游戏开始前，老师突然提出了一个有趣的数学问题：“同学们，如果现在把宝箱拿走，只留下地上这个用绳子画出的圆圈痕迹，并且要求你们在不借助任何工具的情况下，重新找回宝箱原来所在的位置，你们觉得仅凭这一个圆圈，能准确找回它吗？” 大家可能会觉得这很简单，但仔细一想，圆上的每一个点到圆心的距离都是相等的，如果没有了那根“绳子”作为半径的参照，仅凭一个孤立的圆，似乎很难精准定位它的中心。 那么，在数学上，我们究竟需要知道哪些条件，才能像用圆规一样，把一个圆完完全全、独一无二地确定下来呢？今天，就让我们化身“几何侦探”，一起来探索《确定圆的条件》。 【知识点1 确定圆的条件】 不在同一直线上的三点确定一个圆． 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 【知识点2 三角形的外接圆】 1. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2. 三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 3. 三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． 4. 三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 【题型1 确定圆的条件】 【例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·北京·课后作业）下列条件中，只能确定一个圆的是（　　） A．过定点A B．过定点A、B，且半径为R C．过不在同一直线上的三点 D．过不在同一直线上的四点 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知，经过A，B两点作圆，则所作的圆的半径最小是 ___________． 【变式1-3】（2025·福建厦门·二模）如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【题型2 三角形外心概念辨析】 【例2】三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【变式2-1】下列语句中，正确的是（    ） A．任何一个圆都只有一个圆内接三角形 B．钝角三角形的外心在三角形内部 C．三角形的外心是到三角形三边的距离相等的交点 D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线交点 【变式2-2】（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【变式2-3】（2025·山东菏泽·二模）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图，若，则点为的准外心. 探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（   ） A．2 B． C． D．2或 【题型3 求三角形外心坐标】 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一圆弧过方格的格点，在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______． 【变式3-2】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，是的外接圆，则圆心的坐标为_____． 【变式3-3】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【题型4 求特殊三角形外接圆的半径】 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（    ） A．5 B．10 C． D．5或 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏镇江·期中）已知一个直角三角形两条直角边的长分别为6和8，它的外接圆的半径是（   ） A．5 B．4 C．5或 D．4或5 【变式4-2】一个三角形的一边长为12，另外两边长是一元二次方程的两根，则这个三角形外接圆的半径是（   ） A． B．5 C． D．8 【变式4-3】中，斜边，则该三角形的重心与外心之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【题型5 尺规作图确定圆心】 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知中，，． (1)用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求圆O的半径R． 【变式5-1】如图，利用尺规作，使为的直径．（保留作图痕迹，不写作法）    【变式5-2】如图，在中，请用尺规作图法，作，使点在上，且经过两点．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式5-3】如图，已知是的弦，点C是圆上一点，请用尺规作图法作．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型6 求确定圆的个数】 【例6】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式6-1】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式6-2】若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作__________个． 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知点，和线段，．用直尺和圆规作，使过点，，且半径为，则这样的圆可以作（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 【题型7 破轮子复原求半径】 【例7】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式7-1】将图中损坏的轮子复原，已知弧上三点A，B，C． (1)尺规作图找到该轮子的圆心O； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【变式7-2】一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式7-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一面圆形的镜子被打碎，剩下如下的形状，请你用尺规完成下列作图： (1)请在原图上补全它原来的形状； (2)镜子破碎之前弧的中点处正好有个小挂钩，请你用尺规作图把它标出来． 模块三 课后作业 1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点、、、在同一条直线上，点在直线外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 4．直角三角形的两边长分别为6和8，它的外接圆的半径是（    ） A．2 B．4 C． D．以上都不对 5．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A． B． C．2 D． 6．平面直角坐标系内的三个点A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 7．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为_． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的斜边为直径作圆，点在__________（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 9．（24-25九年级上·全国·期末）图中的外心坐标是___． 10．已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 11．在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 12．（25-26九年级下·全国·课后作业）试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $