广东揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年下学期七年级数学期末模拟复习试卷二

**基本信息** 以国货品牌、生活实践为情境，分层考查几何变换、概率统计等核心知识，突出推理能力与创新意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|轴对称、随机事件、平行线性质|以国货品牌标志考轴对称（题1），结合生活实例考数学原理（题6）| |填空题|5小题|概率估计、动点全等、最短路径|用投篮数据估计概率（题11），设计动点与全等综合题（题14）| |解答题|8小题|整式运算、几何作图、函数图像|通过倍长中线法探究线段关系（题23），数形结合解决代数问题（题22）|

揭阳市榕城区真理中学2025-2026七年级下数学期末模拟复习试卷二 一．选择题（共10小题） 1．下列国货品牌标志图案中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在长方形的纸片上画出△ABC，按下列方式折叠，能得到边AC上的高的是（　　） A．对折BC边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B．沿着过A点的直线对折△ABC，使点C落在直线BC上，则高在折痕上 C．沿着过B点的直线对折△ABC，使得边AB与边BC重合，则高在折痕上 D．延长CA，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线AC上，则高在折痕上 3．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其内角和是180° B．任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上 C．在一个标准大气压下加热到100℃时，水沸腾 D．太阳从东方升起 4．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝（　　） A．130° B．115° C．110° D．125° 5．若3m﹣n﹣2＝0，则8m÷2n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 6．数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS 7．已知Ma﹣1，N＝a2a（a≠1），则M，N的大小关系为（　　） A．M＝N B．M＜N C．M＞N D．不能确定 8．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 9．如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（　　） A．55° B．50° C．40° D．45° 10．设，，则以下四个选项中最接近a﹣b的整数为（　　） A．253 B．506 C．1012 D．2023 二．填空题（共5小题） 11．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表： 投篮总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 投中次数m 8 18 42 86 169 424 854 投中的频率 0.8 0.9 0.84 0.86 0.845 0.848 0.854 根据上表，该运动员投中的概率大约是 　 　 （结果精确到0.01）． 12．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，若14，则x＝ 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为 　 　 ． 14．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝　 　 秒． 15．如图所示，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分线段BC，点P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（1）已知n为正整数，且x2n＝2，求（2x3n）2+（﹣x2n）3的值． （2）计算：（﹣1）2025+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1． 17．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画的△ABC高AH． （2）在图②中在AB找一点E，连接CE，使得△ACE的面积等于△BCE的面积． （3）在图③中D是BC边上一格点，△ABC边AC上找一点F，连接BF、DF，使BF+DF取得最小值． 18．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动（到点C停止运动），设点P的运动时间为t秒： （1）PC＝　 　 cm．（用含有t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发（到点D停止运动），以xcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样x的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 19．某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1﹣9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中A为石湾公仔，B为佛山剪纸，C为盲公饼，D为木版年画，E为谢谢参与． （1）事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ （2）若“②奖牌反面”中A出现的次数是B的2倍，则P（抽到A）＝ 　 　 ； （3）请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“A、B、C、E”； *P（抽到B）＞P（抽到A）＞P（抽到C）＝P（抽到E）． 20．已知四边形ABCD中，BC＝CD连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若DC∥BE，求证：DB平分∠CDE； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （i）求∠CED的大小； （ii）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 21．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 　 　 米． （2）小明在书店停留了 　 　 分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了 　 　 米，一共用了 　 　 分钟． （4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 22．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为　 　 ． （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值． （3）观察图3， ①从图3中得到（a+2b+c）2＝　 　 ． ②根据得到的结论，解决问题： 已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值． 23．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为：　 　 ． 【问题应用】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE，∠E＝∠BAD，试探究线段AE与AD的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量关系和位置关系，并加以说明． 揭阳市榕城区真理中学2025-2026七年级下数学期末模拟复习试卷二 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列国货品牌标志图案中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．如图，在长方形的纸片上画出△ABC，按下列方式折叠，能得到边AC上的高的是（　　） A．对折BC边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B．沿着过A点的直线对折△ABC，使点C落在直线BC上，则高在折痕上 C．沿着过B点的直线对折△ABC，使得边AB与边BC重合，则高在折痕上 D．延长CA，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线AC上，则高在折痕上 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断． 【解答】解：A．得出BC的垂直平分线，不符合题意； B．得出BC上的高，不符合题意； C．得出∠B的平分线，不符合题意； D．得出AC上的高，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其内角和是180° B．任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上 C．在一个标准大气压下加热到100℃时，水沸腾 D．太阳从东方升起 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故不符合题意； B、任意抛一枚硬币，硬币落地后正面朝上，是随机事件，符合题意； C、在一个标准大气压下加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，故不符合题意； D、太阳从东方升起，是必然事件，故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝（　　） A．130° B．115° C．110° D．125° 【分析】作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质可得∠BED+∠ABE+∠CDE＝360°，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，再根据∠BED＝110°，结合角平分线的定义可求解． 【解答】解：作EM∥AB，FN∥AB． ∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠ABF＝∠BFN， ∵AB∥CD， ∴CD∥ME，FN∥CD， ∴∠CDE+∠DEM＝180°，∠CDF＝∠DFN， ∴∠BED+∠ABE+∠CDE＝360°，∠BFD＝∠ABF+∠CDF， ∵∠BED＝110°， ∴∠ABE+∠CDE＝250°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABE＝2∠ABF，∠CDE＝2∠CDF， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝125°． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作辅助线是解题的关键． 5．若3m﹣n﹣2＝0，则8m÷2n的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【分析】由3m﹣n﹣2＝0可得3m﹣n＝2，再根据幂的乘方的逆用、同底数幂除法化简，最后将3m﹣n﹣2＝0代入计算即可． 【解答】解：由题意得，3m﹣n＝2， ∴原式＝（23）m÷2n ＝23m÷2n ＝23m﹣n＝22 ＝4． 故选：D． 【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上运算法则是解题的关键． 6．数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（　　） A．图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线 B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性 C．图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最短 D．图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SAS 【分析】根据直线的性质，三角形的稳定性，垂线段最短以及全等三角形的判定方法进行分析判断． 【解答】解：A、图（1）两钉子就能固定木条这样做的道理是利用了两点确定一条直线，解释正确，不符合题意； B、图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性，解释正确，不符合题意； C、图（3）体育课堂测量跳远的成绩是利用了垂线段最，解释正确，不符合题意； D、图（4）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法ASA，解释不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了直线的性质，三角形的稳定性，垂线段最短以及全等三角形的判定方法，熟练掌握这些知识点即可解答，难度不大． 7．已知Ma﹣1，N＝a2a（a≠1），则M，N的大小关系为（　　） A．M＝N B．M＜N C．M＞N D．不能确定 【分析】首先计算M﹣N，然后再利用完全平方公式进行变形，得出的结果恒大于0，即可判断大小得出结论． 【解答】解：∵Ma﹣1，N＝a2a（a≠1）， ∴M﹣Na﹣1﹣（a2a） a﹣1﹣a2a ＝﹣a2+2a﹣1 ＝﹣（a﹣1）2 ∵任何数的平方为非负数，且a≠1， 所以N＞M． 故选：B． 【点评】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 8．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　） A． B． C． D． 【分析】首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系变为先快后慢． 【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象． 9．如图，点P为∠AOB内一点，点M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN的周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB的度数是（　　） A．55° B．50° C．40° D．45° 【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M＝∠OPM＝50°，OP1＝OP2＝OP，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O， ∵PP1关于OA对称， ∴∠P1OP＝2∠MOP，OP1＝OP，P1M＝PM，∠OP1M＝∠OPM＝50° 同理，∠P2OP＝2∠NOP，OP＝OP2， ∴∠P1OP2＝∠P1OP+∠P2OP＝2（∠MOP+∠NOP）＝2∠AOB，OP1＝OP2＝OP， ∴△P1OP2是等腰三角形． ∴∠OP2N＝∠OP1M＝50°， ∴∠P1OP2＝180°﹣2×50°＝80°， ∴∠AOB＝40°， 故选C． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正确作出图形，证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键． 10．设，，则以下四个选项中最接近a﹣b的整数为（　　） A．253 B．506 C．1012 D．2023 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：a﹣b （）+（）+（）+…+（） ＝1+1+1+1+…+1 ＝1012 ＝506， 则原式的值最接近506， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表： 投篮总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 投中次数m 8 18 42 86 169 424 854 投中的频率 0.8 0.9 0.84 0.86 0.845 0.848 0.854 根据上表，该运动员投中的概率大约是 　0.85　 （结果精确到0.01）． 【分析】利用频率估计概率结合表格中数据得出答案即可； 【解答】解：大量重复试验后投中的概率逐渐稳定到0.85左右， 所以去投篮一次，投中的概率大约是0.85， 故答案为：0.85． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是仔细观察数据，看逐渐稳定到那个数据附近即可确定答案． 12．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，若14，则x＝ 　8　 ． 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【解答】解：∵14， ∴（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）2＝14， x2﹣1﹣1+2x﹣x2＝14， 2x＝14+1+1， 2x＝16， x＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点A关于直线CD的对称点E在BC上．若AB＝7，AC＝9，BC＝12，则△DBE的周长为 　10　 ． 【分析】根据轴对称的性质得到：AD＝DE，AC＝CE，结合已知条件和三角形周长公式解答． 【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称， ∴AD＝DE，AC＝CE＝9， ∵AB＝7，AC＝9，BC＝12， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 14．如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，则t＝　或　 秒． 【分析】依据题意，先由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，求出BO，然后再分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值． 【解答】解：由题意，∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°， ∴∠ACD＝∠AOE． ∴∠BOD＝∠ACD． 又∵∠BDO＝∠ADC＝90°，AD＝BD， ∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS）． ∴BO＝AC＝7． ①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝7﹣3t， ∴t＝7﹣3t，解得t． ②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ． ∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ， ∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ． ∵OP＝t，CQ＝3t﹣7， ∴t＝3t﹣7，解得t． 综上，t或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定是关键． 15．如图所示，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分线段BC，点P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是 　7　 ． 【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论． 【解答】解：如图，连接PC． ∵EF垂直平分线段BC， ∴PB＝PC， ∴PA+PB＝PA+PC≥AC＝4， ∴PA+PB的最小值为4， ∴△ABP的周长的最小值为3+4＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 三．解答题（共8小题） 16．（1）已知n为正整数，且x2n＝2，求（2x3n）2+（﹣x2n）3的值． （2）计算：（﹣1）2025+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1． 【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项，再结合已知代入求值即可； （2）先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【解答】解：（1）∵x2n＝2， ∴（2x3n）2+（﹣x2n）3 ＝4x6n﹣x6n ＝3x6n ＝3（x2n）3 ＝3×23 ＝24； （2）（﹣1）2025+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1 ＝﹣1+1﹣（﹣3） ＝﹣1+1+3 ＝3． 【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画的△ABC高AH． （2）在图②中在AB找一点E，连接CE，使得△ACE的面积等于△BCE的面积． （3）在图③中D是BC边上一格点，△ABC边AC上找一点F，连接BF、DF，使BF+DF取得最小值． 【分析】（1）根据三角形的高的定义作图即可． （2）取AB的中点E即可． （3）取点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点F，则点F即为所求． 【解答】解：（1）如图①，AH即为所求． （2）如图②，取AB的中点E，连接CE， 则点E即为所求． （3）如图③，取点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点F，连接DF， 此时BF+DF＝BF+D'F＝BD'，为最小值， 则点F即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的面积、轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动（到点C停止运动），设点P的运动时间为t秒： （1）PC＝　（20﹣2t）　 cm．（用含有t的代数式表示） （2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？ （3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发（到点D停止运动），以xcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样x的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意求出BP，列出代数式即可； （2）根据全等三角形的判定定理解答； （3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ两种情况，根据全等三角形的性质解答． 【解答】解：（1）∵点P的速度是2cm/s， ∴ts后BP＝2tcm， ∴PC＝BC﹣BP＝（20﹣2t）cm， 故答案为：（20﹣2t）； （2）当t＝5时，△ABP≌△DCP；理由如下： ∵当t＝5时，BP＝CP＝10， 在△ABP和△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（AAS）， 故当t＝5时，△ABP≌△DCP； （3）存在这样x的值，使得△ABP与△PQC全等；理由如下： ∵∠B＝∠C＝90°， ∴当AB＝PC，BP＝CQ时，△ABP≌△PCQ， ∴20﹣2t＝12，2t＝xt， 解得t＝4，x＝2， 当AB＝QC，BP＝CP时，△ABP≌△QCP， 此时，点P为BC的中点，点Q与点D重合， ∴，xt＝12， 解得，x＝2.4， 综上所述，当x＝2或x＝2.4时，△ABP与△PCQ全等． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 19．某商家“幸运抽奖”活动规则：参与者可从数字1﹣9中任选一个翻牌，有机会赢取礼品．牌的正、反面（部分）内容如图所示，其中A为石湾公仔，B为佛山剪纸，C为盲公饼，D为木版年画，E为谢谢参与． （1）事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是什么事件？ （2）若“②奖牌反面”中A出现的次数是B的2倍，则P（抽到A）＝ 　　 ； （3）请在“③奖牌反面”中重新设计奖牌反面的内容，须同时满足以下条件： *包含“A、B、C、E”； *P（抽到B）＞P（抽到A）＞P（抽到C）＝P（抽到E）． 【分析】（1）根据随机事件的定义进行判断即可； （2）根据题意得到“A出现2次，B出现1次”，再根据概率的定义进行计算即可； （3）根据“格子的总数”，包含“A、B、C、E”，且P（抽到B）＞P（抽到A）＞P（抽到C）＝P（抽到E）调查答案即可． 【解答】解：（1）事件“随机翻一个牌，赢取礼品是木版年画”是随机事件， 答：随机事件； （2）若“②奖牌反面”中A出现的次数是B的2倍，根据图②奖牌反面的分布情况可知，A出现2次，B出现1次， 所以P（抽到A）＝ ， 故答案为：； （3）由于一共是9个格，包含“A、B、C、E”，且P（抽到B）＞P（抽到A）＞P（抽到C）＝P（抽到E）． 所以C和E各占一格，还剩7格，B占4格，A占3格即可．（答案不唯一） 【点评】本题考查概率公式，随机事件，理解随机事件，掌握概率的计算方法是正确解答的关键． 20．已知四边形ABCD中，BC＝CD连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE． （1）如图1，若DC∥BE，求证：DB平分∠CDE； （2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC． （i）求∠CED的大小； （ii）若AF＝AE，求证：BE＝CF． 【分析】（1）根据题意得到CE垂直平分BD，则ED＝EB，进而得出∠EDB＝∠EBD，再根据平行线的性质及角平分线的定义即可证明结论； （2）（i）根据线段垂直平分线的性质得，AE＝EC，ED＝EB，则∠AED＝∠CED＝∠BEC，再根据平角的定义，可得答案； （ii）利用AAS证明△ABF≌△ACE，可得AC＝AB，由AE＝AF，利用等式的性质，即可证明结论． 【解答】（1）证明：∵BC＝CD，CE⊥BD， ∴CE垂直平分BD， ∴ED＝EB， ∴∠EDB＝∠EBD， ∵DC∥BE， ∴∠CDB＝∠EBD， ∴∠CDB＝∠EDB， ∴DB平分∠CDE； （2）（i）解：∵DE垂直平分AC， ∴AE＝EC且DE⊥AC， ∴∠AED＝∠CED， ∵CE垂直平分DB， ∴DE＝BE， ∴∠DEC＝∠BEC， ∴∠AED＝∠CED＝∠BEC， 又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°， ∴∠CED180°＝60°； （ii）证明：由（i）得AE＝EC， 又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°， ∴∠ACE＝30°， 同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°， ∴∠ACE＝∠ABF＝30°， 在△ACE与△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（AAS）， ∴AC＝AB， 又∵AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF， 即BE＝CF． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 21．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是 　1500　 米． （2）小明在书店停留了 　4　 分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了 　2700　 米，一共用了 　14　 分钟． （4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【分析】（1）由图象可知，小明家到学校的路程是1500米； （2）由图象可知，根据12﹣8，计算求解即可； （3）由题意知，根据路程为1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）米，时间为14分，计算求解即可； （4）由题意知，0﹣6分钟内，骑车速度为（米/分钟）；6﹣8分钟内，骑车速度为（米/分钟）；12﹣14分钟内，骑车速度为（米/分钟）；由200＜300＜450，判断作答即可． 【解答】解：（1）由图象可知，小明家到学校的路程是1500（米）， 故答案为：1500； （2）由图象可知，小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟）， 故答案为：4； （3）由题意知，本次上学途中，小明一共行驶了1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）＝2700 （米），一共用了14（分钟）， 故答案为：2700，14； （4）由题意知，0﹣6分钟内，骑车速度为（米/分钟）； 6﹣8分钟内，骑车速度为（米/分钟）； 12﹣14分钟内，骑车速度为（米/分钟）； ∵200＜300＜450， ∴12﹣14分钟内，骑车速度最快，速度不在安全限度内． 【点评】本题考查了函数图象，有理数的运算．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 22．“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为（2a+b）2的图形，同时此图形中有4个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，4个两边长分别为a和b的长方形，从而可以得到乘法公式（2a+b）2＝4a2+4ab+b2． （1）如图2，若2a+b＝6，4a2+b2＝24，则图中阴影部分的面积为　　 ． （2）若（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2，求代数式（2025﹣y）2+（y﹣2024）2的值． （3）观察图3， ①从图3中得到（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab ． ②根据得到的结论，解决问题： 已知a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，，求代数式4a2b2+a2c2+4b2c2的值． 【分析】（1）ab＝[（2a+b）2﹣（4a2+b2）]÷4，将数据代入求出ab，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积＝底×高÷2，即ab，代入数据计算即可； （2）设2025﹣y＝a，y﹣2024＝b，由（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2可得2ab＝﹣2，ab＝﹣1，所以（2025﹣y）2+（y﹣2024）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入数据计算即可； （3）①根据图形可得（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab； ②由a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13得4ab+2ac+4bc＝（a+2b+c）2﹣（a2+4b2+c2）＝12，（4ab+2ac+4bc）2＝122＝16a2b2+4a2c2+16b2c2+16a2bc+16abc2+32ab2c，因为，代入求出4a2b2+a2c2+4b2c2的结果． 【解答】解：（1）因为2a+b＝6，4a2+b2＝24， ab＝[（2a+b）2﹣（4a2+b2）]÷4 ＝[62﹣24]÷4 ＝12÷4 ＝3， 图中阴影部分的面积为：ab； 故答案为：． （2）因为（2025﹣y）（2y﹣4048）＝﹣2， 设2025﹣y＝a，y﹣2024＝b， 所以2ab＝﹣2，ab＝﹣1， 所以a+b＝1， （2025﹣y）2+（y﹣2024）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝1+2 ＝3． （3）①（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab， 故答案为：a2+4b2+c2+4bc+2ac+4ab； ②因为a+2b+c＝5，a2+4b2+c2＝13，， 所以4ab+2ac+4bc ＝（a+2b+c）2﹣（a2+4b2+c2） ＝52﹣13 ＝12， 因为，a+2b+c＝5， （4ab+2ac+4bc）2 ＝16a2b2+4a2c2+16b2c2+16a2bc+16abc2+32ab2c ＝16a2b2+4a2c2+16b2c2 ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8a+16b+8c ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8（a+2b+c） ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+8×5 ＝4（4a2b2+a2c2+4b2c2）+40 ＝122， 所以4a2b2+a2c2+4b2c2 ＝（122﹣40）÷4 ＝104÷4 ＝26． 【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． 23．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定全等的依据为：SAS ． 【问题应用】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，AC平分∠DAE，∠E＝∠BAD，试探究线段AE与AD的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量关系和位置关系，并加以说明． 【分析】（1）根据AD是△ABC的中线得BD＝CD，进而可依据“SAS”判定△ADC和△EDB全等，由此即可得出答案； （2）延长AD到F，使FD＝AD，连接CF，则AF＝2AD，同（1）证明△CDF和△BDA全等得∠F＝∠BAD＝∠E，再依据“AAS”判定△ACF和△ACE全等得AF＝AE＝2AD，由此即可得出线段AE与AD的数量关系； （3）过点C作CH⊥AE于点H，证明△CDH和△BDA全等得DH＝AD，CH＝AB，则AH＝2AD，证明∠ACH＝∠FAE，进而依据“SAS”判定△ACH和△FAE全等得AH＝EF＝2AD，∠CHA＝∠AEF＝90°，据此即可得出线段AD与EF的数量关系和位置关系． 【解答】解：（1）延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，如图1所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； （2）线段AE与AD的数量关系是：ADAE，理由如下： 延长AD到F，使FD＝AD，连接CF，如图2所示： 则AF＝FD+AD＝2AD， 同（1）证明：△CDF≌△BDA（SAS）， ∴∠F＝∠BAD， ∵∠E＝∠BAD， ∴∠F＝∠BAD， ∵AC平分∠DAE， ∴∠DAC＝∠EAC， 在△ACF和△ACE中， ， ∴△ACF≌△ACE（AAS）， ∴AF＝AE， ∴2AD＝AE， ∴ADAE； （3）线段AD与EF的数量关系是：ADEF，位置关系是：EF⊥AD，证明如下： 过点C作CH⊥AE于点H，如图3所示： ∴∠CHA＝90°， ∵∠BAE＝90°， ∴∠CHA＝∠BAE＝90°， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△CDH和△BDA中， ， ∴△CDH≌△BDA（AAS）， ∴DH＝AD，CH＝AB， ∴AH＝DH+AD＝2AD， ∵AB＝AE， ∴CH＝AB＝AE， ∵∠CHA＝90°，∠FAC＝90°， ∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠FAE+∠CAH＝90°， ∴∠ACH＝∠FAE， 在△ACH和△FAE中， ， ∴△ACH≌△FAE（SAS）， ∴AH＝EF，∠CHA＝∠AEF＝90°， ∴2AD＝EF，EF⊥AE， ∴ADEF，EF⊥AD． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/23 11:17:43；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $