第12讲 勾股定理的探究（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材苏科版

第12讲 勾股定理的探究（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 勾股定理 同学们，在我们的校园生活中，其实隐藏着许多有趣的数学奥秘. 场景一：每天课间操，大家从教学楼跑向操场时，有没有发现总有同学喜欢斜着穿过草坪？明明有直角的拐角大路可走，为什么大家偏偏要踩出一条斜线“捷径”呢？这条“捷径”到底能少跑多少米？ 场景二：学校旗杆高高耸立，如果老师想知道旗杆到底有多高，总不能拿着尺子爬上去量吧？但是，如果我们量出旗杆底部到拉直后绳子末端的距离，再结合绳子的长度，是不是就能轻松算出旗杆的高度了？ 其实，无论是草坪上的“捷径”，还是高高的旗杆，它们都共同指向了一个直角三角形.在这个特殊的三角形里，三条边之间究竟藏着怎样神秘的数量关系？ 今天，就让我们一起穿越时空，去揭开这个千古数学之谜——勾股定理. 【知识点1 勾股定理】 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如图所示，在中，较短的直角边a叫做“勾”，较长的直角边b叫做“股”，斜边c叫做“弦”．如果，，，那么有． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证有很多方法，其中借助图形来验证勾股定理是最常见的一种方法，拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形； （2）写出图形面积的表达式； （3）找出相等关系； （4）恒等变形，推导出勾股定理． 【题型1 利用勾股定理求线段的长】 【例1】（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边的长为（   ）． A．8 B．10 C．14 D．100 【答案】B 【分析】直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：∵该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为6和8， ∴设斜边长为c，根据勾股定理可得， ∵三角形边长为正数， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题已知直角三角形的斜边长和两条直角边的比值，可利用勾股定理设参数求解的长度． 【详解】解：∵ ， ∴可设，，其中， ∵ 在中，，斜边， ∴ 由勾股定理得， ∴ ， 整理得， 即， ∵， ∴， ∴ ． 【变式1-2】（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在中，，，，则________． 【答案】 【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半得出的长，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南商丘·期中）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知底边上的中线即为底边上的高，利用勾股定理求出底边一半的长度，再得到底边长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为， 由等腰三角形三线合一的性质可得，该中线垂直于底边，即该中线为底边上的高， 底边的一半长 底边长 等腰三角形的周长． 【题型2 利用勾股定理求面积】 【例2】由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理求出的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形的面积， 故选：A． 【变式2-1】（24-25八年级下·广东肇庆·阶段检测）如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为___________． 【答案】8 【分析】由勾股定理求得的长度，即可求得正方形面积．本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得， ∴， 故答案为：8． 【变式2-2】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图的方式放置在最大等边三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．较小两个等边三角形重叠部分的面积 C．最大等边三角形的面积 D．最大等边三角形与直角三角形的面积和 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 设三个正三角形面积分别为，，，，由勾股定理可得，由面积和差关系可求解． 【详解】设三个正三角形面积分别为，，，，两个小正三角形的重叠部分的面积为， ， ， 故答案为：B． 【变式2-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【题型3 验证勾股定理】 【例3】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，等腰直角三角形的判定，表示出图形面积的不同表达形式，建立等量关系是解题的关键．通过用两种方法计算梯形的面积即可证明勾股定理． 【详解】解：矩形旋转得出矩形， ， ，，，， ， ， 是等腰直角三角形， 由题意知：， ， ， ， 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级上·山西·阶段检测）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则，据此可判断C；D选项中的图形不能证明勾股定理． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故A能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ∴， ∴， ∴，故B能证明勾股定理，不符合题意； C、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去2个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ∴， ∴， ∴，故C能证明勾股定理，不符合题意； D选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）首先证明△ABC和△DEC全等，从而得出∠BAC=∠EDC，根据∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF，从而得出∠AEF+∠BAC=90°，即垂直； （2）根据，然后将各线段的长度代入即可得出答案. 【详解】解：（1）∵△ABC≌△DEC， ∴∠BAC=∠EDC， ∵∠EDC+∠CED=90°，∠CED=∠AEF， ∴∠AEF+∠BAC=90°， ∴∠AFE=90°， ∴DF⊥AB． （2）∵S△BCE+S△ACD=S△ABD﹣S△ABE， ∴a2+b2=•c•DF﹣•c•EF=•c•（DF﹣EF）=•c•DE=c2， ∴a2+b2=c2 【点睛】本题主要考查的就是全等三角形的判定、角度之间的关系和阴影部分面积的两种不同的求法.解决这个问题的关键就是根据全等得出角度之间的关系以及对顶角的性质的应用，在利用面积求等量关系的时候，我们经常会利用面积相等的法则，运用两种不同的计算方法得出等量关系． 【题型4 勾股定理与弦图】 【例4】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________．    【答案】96 【分析】由题意知，，由，可得，计算求出满足要求的，然后求，根据每个直角三角形的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形和小正方形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及正方形的面积公式． 根据勾股定理可得大正方形的边长，再根据和差关系得到小正方形的边长，根据正方形的面积公式可得大正方形和小正方形的面积，进一步即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知大正方形的边长为 则大正方形的面积为：； ∵小正方形的边长为：， ∴小正方形的面积为：； 则大正方形和小正方形的面积比是． 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级下·贵州·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是______． 【答案】76 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意得出，，，根据勾股定理求出，再求出这个风车的外围（实线）周长即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴这个风车的外围（实线）周长是：． 故答案为：76． 【变式4-3】【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可； （2）根据材料中勾股定理的推论，完成面积的计算过程即可； （3）设，根据勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2）在中， 由勾股定理的推论，可知：． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）如图2，设， 由勾股定理，得， ， 解得， ， ∴， ∴． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 【例5】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 【变式5-1】直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合折叠性质得，设，，根据勾股定理列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：依题意得：，，，， 设，， 中，， ， 解得， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得，则可求出，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【变式5-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 【题型6 勾股定理与无理数】 【例6】（25-26八年级下·北京·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则可得点P表示的数． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 【变式6-1】（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如图，在中，，根据作图的痕迹可知，点表示的数为__________． 【答案】 【分析】利用基本作图得到，，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的实数． 【详解】解：由作图的痕迹得，， 由勾股定理得： ， ∴， ∴点表示的数为 ． 【变式6-2】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，在上截取，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点G，则点G即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点G表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】(1)， (2)①作图见解析，；②作图见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示无理数， 对于（1），根据勾股定理求出对角线的长，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，即可得出答案； 对于（2）①，将图3分成4个直角三角形和1个小正方形，再图4中拼成正方形，进而得出正方形的边长； ②以数1为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作. 【详解】（1）解：对角线的长为， 所以点A，点B表示的数是； 故答案为：； （2）解：①如图所示， 正方形的面积为5，所以边长； 故答案为：； ②如图所示，点M即为所求作． 【题型7 用勾股定理构造图形解决问题】 【例7】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 【变式7-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先排除竖直、水平摆放的错误选项，再利用勾股定理计算门框对角线长度，与正方形泡沫板边长比较即可得到结论． 【详解】解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽， 竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B， 斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为： ∵ ∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门， 因此C正确，D错误． 【变式7-2】（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将实际问题抽象为几何模型，即已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长． 【详解】解：设木板的长为， 栅栏是长方形， 栅栏的高、宽与木板构成直角三角形， 根据勾股定理，得， ， ， ， 即木板的长为 ． 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于D，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图， 过点A作于D，则， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 【题型8 用勾股定理求（证）线段的平方关系】 【例8】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式8-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-2】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 【变式8-3】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．    【答案】 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 模块三 课后作业 1．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题已知直角三角形的斜边长和两条直角边的比值，可利用勾股定理设参数求解的长度． 【详解】解：∵ ， ∴可设，，其中， ∵ 在中，，斜边， ∴ 由勾股定理得， ∴ ， 整理得， 即， ∵， ∴， ∴ ． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为， ∴所代表的正方形的边长是10． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出值，则即可求得； 【详解】解：由折叠可知： ∵矩形中， ∴ ∴ 故选：B ． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 5．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将实际问题抽象为几何模型，即已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长． 【详解】解：设木板的长为， 栅栏是长方形， 栅栏的高、宽与木板构成直角三角形， 根据勾股定理，得， ， ， ， 即木板的长为 ． 6．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，，，，则的长是______． 【答案】1 【详解】解：∵，，， ∴. 7．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 8．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，化为最简二次根式，由题意可知：中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，点A表示的实数是______． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，即可得到点表示的实数． 【详解】解：如图， 可知， ∴表示的实数是． 10．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 11．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由含30度角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理得； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 【答案】(1)13 (2) 【分析】（1）由勾股定理得，代入计算即可； （2）由勾股定理得，代入计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，则； （2）解：在中，， 由勾股定理得，， 则 13．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 14．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 15．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．利用两种不同的方法表示出四边形的面积，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图，连接，由题意，得，， ， ， 化简得． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 勾股定理的探究（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 勾股定理 同学们，在我们的校园生活中，其实隐藏着许多有趣的数学奥秘. 场景一：每天课间操，大家从教学楼跑向操场时，有没有发现总有同学喜欢斜着穿过草坪？明明有直角的拐角大路可走，为什么大家偏偏要踩出一条斜线“捷径”呢？这条“捷径”到底能少跑多少米？ 场景二：学校旗杆高高耸立，如果老师想知道旗杆到底有多高，总不能拿着尺子爬上去量吧？但是，如果我们量出旗杆底部到拉直后绳子末端的距离，再结合绳子的长度，是不是就能轻松算出旗杆的高度了？ 其实，无论是草坪上的“捷径”，还是高高的旗杆，它们都共同指向了一个直角三角形.在这个特殊的三角形里，三条边之间究竟藏着怎样神秘的数量关系？ 今天，就让我们一起穿越时空，去揭开这个千古数学之谜——勾股定理. 【知识点1 勾股定理】 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如图所示，在中，较短的直角边a叫做“勾”，较长的直角边b叫做“股”，斜边c叫做“弦”．如果，，，那么有． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证有很多方法，其中借助图形来验证勾股定理是最常见的一种方法，拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形； （2）写出图形面积的表达式； （3）找出相等关系； （4）恒等变形，推导出勾股定理． 【题型1 利用勾股定理求线段的长】 【例1】（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边的长为（   ）． A．8 B．10 C．14 D．100 【变式1-1】（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 【变式1-2】（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在中，，，，则________． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南商丘·期中）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 【题型2 利用勾股定理求面积】 【例2】由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2-1】（24-25八年级下·广东肇庆·阶段检测）如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为___________． 【变式2-2】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两张等边三角形纸片按图的方式放置在最大等边三角形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　） A．直角三角形的面积 B．较小两个等边三角形重叠部分的面积 C．最大等边三角形的面积 D．最大等边三角形与直角三角形的面积和 【变式2-3】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【题型3 验证勾股定理】 【例3】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级上·山西·阶段检测）如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即__________+____________=_______________，化简得： ． 【变式3-2】（24-25八年级下·辽宁大连·期中）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°． （1）求证：DF⊥AB； （2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2． 【题型4 勾股定理与弦图】 【例4】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为________．    【变式4-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则大正方形和小正方形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级下·贵州·阶段检测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．图①是由四个全等的直角三角形和一个小正方形排成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，这个风车的外围（实线）周长是______． 【变式4-3】【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 【题型5 勾股定理与折叠问题】 【例5】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【变式5-1】直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【题型6 勾股定理与无理数】 【例6】（25-26八年级下·北京·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）如图，在中，，根据作图的痕迹可知，点表示的数为__________． 【变式6-2】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点A． (1)写出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较大小：点A所表示的数____________（填写“”或“”）； (3)在数轴上找出对应的点，（保留作图痕迹） 【变式6-3】（24-25八年级上·山西临汾·期中）综合与实践 如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____． (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．） 【题型7 用勾股定理构造图形解决问题】 【例7】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【变式7-1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 【变式7-2】（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（    ） A． B． C． D． 【题型8 用勾股定理求（证）线段的平方关系】 【例8】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式8-1】（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【变式8-2】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【变式8-3】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为___________．    模块三 课后作业 1．（25-26八年级下·北京·期中）在中，，如果，则（     ） A．6 B．8 C．10 D．以上都不是 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（    ） A．100 B．28 C．9 D．10 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，中，，，，则的长是______． 7．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 8．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为18，则小正方形的边长为_______． 9．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，点A表示的实数是______． 10．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 11．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在中，． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 12．（25-26八年级下·江西南昌·期中）在中，分别表示的对边． (1)已知，求； (2)已知，求（用含的式子表示）． 13．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    14．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 15．（24-25八年级下·河南许昌·期中）我国古代数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，小明也仿照赵爽的方法借助图形的拼接，证明勾股定理．他发现只需将两张全等的直角三角形纸片与一张满足一定要求的长方形纸片，如图（1）所示，拼成如图（2）所示的图形，利用面积的不变性也可证明勾股定理．下面是小明证明勾股定理的部分过程，请你帮助小明续写证明过程． 证明：如图，连接，由题意，得，， …… 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $