第3讲 1.2全等三角形暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七升八年级数学上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第3讲　1.2　全等三角形 【学习目标】 1. 理解全等三角形的概念，能用符号语言正确表示两个三角形全等。 1. 能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边和对应角。 1. 掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等。 1. 了解平移、翻折、旋转等全等变换，体会全等变换前后图形的对应关系。 【知识梳理】 一、全等三角形的定义 定义：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折（轴对称）或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合。 关键理解： 1. 全等三角形的形状相同，大小相等。 1. 全等变换（平移、翻折、旋转）不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 二、全等三角形的表示 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。 如图，△ABC 与 △A′B′C′ 全等，记作 △ABC ≌ △A′B′C′，读作“三角形ABC全等于三角形A′B′C′”。 注意：用符号表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。 三、全等三角形的对应元素 两个全等三角形重合时： 对应元素 定义 举例（△ABC ≌ △A′B′C′） 对应顶点 重合的顶点 A 与 A′，B 与 B′，C 与 C′ 对应边 重合的边 AB 与 A′B′，BC 与 B′C′，AC 与 A′C′ 对应角 重合的角 ∠A 与 ∠A′，∠B 与 ∠B′，∠C 与 ∠C′ 特别提醒：对应边、对应角是两个不同三角形中对应的边和角；对边、对角是同一个三角形中某角所对的边或某边所对的角，两者含义不同。 四、全等三角形的性质 性质1：对应边相等 全等三角形的对应边相等。 几何语言：如图，∵ △ABC ≌ △DEF， ∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF。 性质2：对应角相等 全等三角形的对应角相等。 几何语言：如图，∵ △ABC ≌ △DEF， ∴ ∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 推论： 全等三角形的周长相等。 全等三角形的面积相等。 五、常见全等类型 根据图形变换的方式，全等三角形常见以下三种类型： 类型 变换方式 特征 平移型 沿某方向平移 对应边平行且相等 翻折型（轴对称） 沿某条直线翻折 对应边关于对称轴对称 旋转型 绕某点旋转 对应边旋转一定角度 说明：图形的三种变换——平移、翻折和旋转——都是全等变换，即变换前后的图形全等。 六、找对应元素的方法 方法 说明 根据书写规范 对应顶点的字母写在对应位置，据此找对应边和对应角 最长边/最短边 最长边是对应边，最短边是对应边 最大角/最小角 最大角是对应角，最小角是对应角 公共边 公共边一定是对应边 公共角 公共角一定是对应角 对顶角 对顶角一定是对应角 对应边所对的角 对应边所对的角是对应角 对应角所对的边 对应角所对的边是对应边 做一做（即时练习）： 1. 两个能完全重合的三角形叫做______，全等用符号“______”表示。 1. 如图，△ABC ≌ △DEF，其中点 A 的对应顶点是______，边 BC 的对应边是______，∠C 的对应角是______。 1. 全等三角形的对应边______，对应角______。 1. 一个图形经过平移、翻折或旋转后，得到的新图形与原图形______（填“一定”或“不一定”）全等。 1. 下列各组图形中，一定是全等图形的是（　） · A. 两个面积相等的三角形　　B. 两个周长相等的长方形 · C. 两个半径相等的圆　　D. 两个形状相同的五边形 【典例精讲】 【例1】（全等三角形的识别与表示） 如图，△ABC 经过平移后得到 △DEF。请指出： （1）图中哪两个三角形全等？ （2）用符号表示这两个三角形全等； （3）写出所有的对应顶点、对应边和对应角。 【分析】 平移前后的两个三角形能够完全重合，因此是全等三角形。根据平移过程中各点的对应关系确定对应元素。 【解答】 （1）△ABC 与 △DEF 是全等三角形。 （2）△ABC ≌ △DEF。 （3）对应顶点：A 与 D，B 与 E，C 与 F； 对应边：AB 与 DE，BC 与 EF，AC 与 DF； 对应角：∠A 与 ∠EDF，∠AB C与 ∠E，∠C 与 ∠F。 【反思】 平移变换中，对应顶点的字母按相同顺序排列。对应边互相平行且相等。 【例2】（找对应元素——公共边） 如图，△ABC ≌ △DCB，请指出所有的对应边和对应角。 【分析】 两个三角形有公共边 BC，根据“公共边是对应边”可以确定一组对应关系，再结合图形的位置特征确定其他对应元素。 【解答】 对应边：AB 与 DC，BC 与 CB，AC 与 DB； 对应角：∠A 与 ∠D，∠ABC 与 ∠DCB，∠ACB 与 ∠DBC。 【反思】 有公共边的两个全等三角形，公共边一定是对应边。利用这一规律可以快速确定一组对应关系。 【例3】（旋转型全等） 如图，将 △ABC 绕其顶点 B 顺时针旋转一定角度后得到 △DBE。请判断 △ABC 与 △DBE 是否全等，若是，写出对应边和对应角。 【分析】 旋转前后的图形能够完全重合，因此是全等三角形。根据旋转过程中各点的对应关系确定对应元素。 【解答】 △ABC 与 △DBE 是全等三角形，即 △ABC ≌ △EBD。 对应边：AB 与 EB，AC 与 DE，BC 与 BD； 对应角：∠A 与 ∠E，∠ABC 与 ∠DBE，∠C 与 ∠EDB。 【反思】 图形的三种变换——平移、翻折和旋转——都是全等变换，变换前后的图形全等。本题中要根据旋转的特征寻找对应元素。 【例4】（利用全等三角形的性质求角和边长） 如图，，， (1)求的度数 (2)若，，求四边形的周长 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键． （1）由全等三角形的性质得，求出，，然后根据三角形内角和即可求出的度数． （2）由全等三角形的性质得，，然后根据周长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴四边形的周长． 【反思】 全等三角形的周长相等。写对应边时要注意字母的对应位置。 求角度时，先利用三角形内角和定理求出未知角，再利用全等三角形的对应角相等求解。注意 ∠F 的对应角是 ∠C。 【跟踪练习1】 1. 如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（   ） A．AB＝CD B．AC＝DB C．∠A＝∠D D．∠ABE＝∠DCE 2.如图，已知，平分，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1. 能够完全重合的两个三角形叫做______，用符号“______”表示。 1. 如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1. 下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） · A. 两个面积相等的三角形　　B. 两个周长相等的长方形 · C. 两个半径相等的圆　　D. 两个形状相同的三角形 1. 一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到的新图形与原图形______（填“一定”或“不一定”）全等。 1. 如图，△ABD ≌ △CDB，则 ∠ABD 的对应角是______，AD 的对应边是______。 1. 如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 1. 两个全等三角形中，一对最长的边是______边，一对最大的角是______角。 1. 如图，已知，连接，，，则的度数为 ． 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 两个能完全重合的三角形叫做______，全等用符号“______”表示。 1. 全等三角形的对应边______，对应角______。 1. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 1. 用符号表示两个三角形全等时，通常把______顶点的字母写在对应的位置上。 1. 全等三角形的周长______，面积______。 1. 如图，已知，平分，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 全等三角形的形状相同、大小相等。（　　） 1. 周长相等的两个三角形是全等三角形。（　　） 1. 面积相等的两个三角形是全等三角形。（　　） 1. 一个图形经过平移后，得到的新图形与原图形全等。（　　） 三、选择题。 1. 下列各组图形中，属于全等图形的是（　　） · A. 两个面积相等的三角形　　B. 两个周长相等的长方形 · C. 两个半径相等的圆　　D. 两个形状相同的五边形 1. 如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 1. 如图，中，，点、在上，，若，则（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 1. 下列说法正确的是（　　） · A. 全等三角形的周长相等，面积也相等 · B. 周长相等的两个三角形是全等三角形 · C. 面积相等的两个三角形是全等三角形 · D. 形状相同的两个三角形是全等三角形 ◆ B组·能力提升 1. 如图，，点在上，，，求的度数． 16.如图，△ABC中， AB =AC=24 cm， BC=16cm，AD= BD．如果点P在线段BC上以 2 cm/s 的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上以v cm/s 的速度由C点向A点运动，那么当△BPD 与△CQP全等时，v =（   ） A．3 B．4 C．2或 4 D．2或3 ◆ C组·思维拓展 17. 用两个形状大小完全相同的三角形纸片，通过平移、翻折或旋转，拼出不同的图形。观察并回答： （1）拼成的图形中，对应边有什么关系？ （2）全等三角形的位置发生变化时，对应边、对应角的大小是否改变？由此你能得到什么结论？ 18.如图，已知于点，点在上，交于点F，． (1)若，，求的长． (2)试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形 形状相同，大小相等 全等三角形的表示 用“≌”表示 对应顶点字母写在对应位置 对应元素 对应顶点、对应边、对应角 重合的顶点、边、角 全等三角形的性质 对应边相等、对应角相等 周长相等、面积相等 全等变换 平移、翻折、旋转 变换前后图形全等 找对应元素的方法 方法 说明 根据书写规范 对应顶点的字母写在对应位置 最长边/最短边 最长边是对应边，最短边是对应边 最大角/最小角 最大角是对应角，最小角是对应角 公共边 公共边一定是对应边 公共角 公共角一定是对应角 对顶角 对顶角一定是对应角 常见错误提醒 错误类型 正确理解 误认为周长或面积相等的三角形全等 周长相等或面积相等不一定全等，必须形状和大小都相同 写全等符号时对应顶点位置不对 对应顶点的字母必须写在对应的位置上 混淆“对应边”与“对边” 对应边是两个三角形中互相重合的边；对边是同一个三角形中角所对的边 认为位置改变后图形不全等 平移、翻折、旋转是全等变换，位置改变但形状大小不变 学习建议 1. 找对应元素时，先找公共边、公共角、对顶角，这些一定是对应元素。 1. 用符号表示全等时，对应顶点的字母一定要写在对应的位置上。 1. 全等三角形的性质是“对应”相等，不是“所有”相等。 1. 记口诀：形状大小若相同，平移翻折加旋转；全等符号写规范，对应字母对号入。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：全等三角形；≌ 1. 答案：D；EF；∠EFD 1. 答案：相等；相等 1. 答案：一定 1. 答案：C 解析：半径相等的两个圆能够完全重合，是全等图形。面积相等或周长相等不一定全等，形状相同但大小不一定相同。 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：B 1. 答案：D 举一反三 1. 答案：全等三角形；≌ 1. 答案：A 1. 答案：C 1. 答案：一定 1. 答案：∠CDB；CB 1. 答案：B 1. 答案：对应；对应 1. 答案：40° 解析：∵ △ABC ≌ △DEF，∴ AB = DE，3x + 2 = 5x − 4，2x = 6，x = 3。 A组·基础过关 1. 答案：全等三角形；≌ 1. 答案：相等；相等 1. 答案：C 1. 答案：对应 1. 答案：相等；相等 1. 答案：D 1. 答案：√ 1. 答案：× 1. 答案：× 1. 答案：√ 1. 答案：C 1. 答案：D 1. 答案：B 1. 答案：A B组·能力提升 1. 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 1. D 解析：∵ △ABC ≌ △ADE，∴ ∠B = ∠D = 45°。在 △ABC 中，∠BAC = 180° − 45° − 50° = 85°。 解：∵△ABC中，AB=AC=24cm，AD=BD， ∴BD=12cm，∠B=∠C， 情况一： 若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=12cm，BP=CP=BC=×16=8cm， ∵点P的运动速度为2cm/s， ∴点P的运动时间为：8÷2=4（s）， ∴v=CQ÷4= 12÷4=3cm/s； 情况二： ②若△BPD≌△CQP，则CP=BD=12厘米，BP=CQ， 得出， 解得：解出即可． 因此v的值为：2或3， 故选：D． C组·思维拓展 17.答案：（1）对应边相等；（2）对应边、对应角的大小不变。结论：全等三角形的位置变化了，但对应边、对应角的大小不变，即全等三角形的对应边相等、对应角相等。 1. 答案：（1）x = 3；（2）EF = 7【详解】（1）解：，，， ，， ， ； （2）解：，且，理由如下： ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ，且． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $