第17讲 一元一次方程及其解法（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材苏科版

第17讲 一元一次方程及其解法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 一元一次方程及其解法 同学们，上课之前老师先和大家玩一个“心里猜猜猜”的游戏！ 请大家在心里默默想好一个数字，不要说出来.接下来，请跟着老师的指令一起在心里做计算：第一步，把你想的这个数字乘以2；第二步，在得到的结果上加上5；第三步，再把得到的结果乘以5. 好，现在老师要开始“读心术”了！请大家在心里大声告诉我，你最后算出来的结果是多少？（假设有同学回答是75，有同学回答是100……） 不管大家算出的结果是多少，老师只要把这个结果减去25，再除以10，就能立刻知道你一开始心里想的那个数字是多少！比如刚才算出75的同学，你心里想的数字是不是5？算出100的同学，你想的数字是不是7.5？ 是不是觉得很神奇？其实，这根本不是什么魔法，而是数学的力量！如果我们把心里想的那个神秘数字设为字母x，刚才的一系列操作就可以变成一个数学式子：5×5.只要知道最后的结果，我们就能通过倒推，轻松把这个x给“抓”出来. 像这样含有未知数x，并且x只有一次方的等式，就是我们今天要一起探索的——一元一次方程.学会了它，以后不管是玩数字游戏，还是解决生活中的难题，大家都能像数学家一样，一眼看穿数字背后的秘密！ 【知识点1 一元一次方程】 1. 概念：像，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程． 2. 最简形式和一般形式：一元一次方程的最简形式是（a，b是常数，a≠0），一元一次方程的一般形式是（a，b，c是常数，a≠0）． 【知识点2 移项】 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项． 【知识点3 解一元一次方程的步骤】 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1．通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为（a为常数）的形式． 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数把分母去掉 （1)不要漏乘不含分母的项； （2)分子是一个整体，去分母时要加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可反向顺序） （1）不要漏乘括号里面的项； （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化为的形式 未知数及其指数不变 把未知数的系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数），得到方程的解 不要把分子、分母弄颠倒 【题型1 一元一次方程的定义】 【例1】下列方程①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一元一次方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】用一元一次方程的定义判定即可．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：①中未知数的次数不是1次，故不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，未知数的最高次数不是1次，故不是一元一次方程； ⑤x=0是一元一次方程； ⑥，含有两个未知数，故不是一元一次方程， 所以是一元一次方程的有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟记一元一次方程的定义． 【变式1-1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若关于的方程是一元一次方程，求的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：由题意可知，且， 故答案为：1． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）请写出一个一元一次方程并满足下列条件：（1）未知数x的系数为负数；（2）方程左边只有两项，并含有数字2024；（3）方程的解为．你写的方程是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造一元一次方程，根据题意，写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，构造方程为：， 当时，， ∴方程的解为，满足题意； 故答案为：（答案不唯一） 【变式1-3】根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （）设这个数为，根据题意列出方程即可； （）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可； （）设大约周后树苗长高到，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 【题型2 一元一次方程的解】 【例2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若关于x的方程（其中a，b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；此题可把看作一个整体，然后根据同解方程可进行求解． 【详解】解：由题意可得， ∵关于的方程（其中为常数，且）的解是， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-2】检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应一元一次方程的解： (1)，； (2)，． 【答案】(1)是方程的解；不是方程的解 (2)不是方程的解；不是方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的意义，解题时要熟练掌握并理解是关键． 依据题意，根据方程的解的意义，将括号内的数分别代入前面相应方程，判断左右两边是否成立，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，把代入方程，左边右边， ∴是方程的解； 把代入方程，左边右边， ∴不是方程的解． （2）解：把代入方程，左边右边 ∴不是方程的解； 把代入方程，左边右边， ∴不是方程的解． 【变式2-3】（24-25七年级上·重庆·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了新定义——“至诚方程”，熟练掌握新定义，一元一次方程解的定义，解一元一次方程，代数式求值，是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，代回原方程求解即得； （2）根据一元一次方程是“至诚方程”，得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一元一次方程是“至诚方程”， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵一元一次方程是“至诚方程”， ∴， ∴， 整理得 ∴ ． 【题型3 移项】 【例3】下列解方程的过程中，移项错误的是（    ） A．方程变形为 B．方程变形为 C．方程变形为 D．方程变形为 【答案】A 【分析】各方程移项变形得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、方程2x+6=-3变形为2x=-3-6，该选项符合题意； B、方程2x-6=-3变形为2x=-3+6，该选项不符合题意； C、方程3x=4-x变形为3x+x=4，该选项不符合题意； D、方程4-x=3x变形为x+3x=4，该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 【变式3-1】将下列方程移项：（1）方程移项后得_________________；（2）方程移项后得____________． 【答案】 【分析】根据等式的性质进行移项变换即可． 【详解】解：（1）对于方程：， 由等式性质①可得：， ∴原方程移项得：； （2）对于方程：， 由等式性质①可得：， ∴原方程移项得：； 故答案为：；． 【点睛】本题考查一元一次方程移项变化，理解等式的基本性质是解题关键． 【变式3-2】如图，将方程4x＝3x+50进行移项，则“”处应填写的是 _____． 【答案】-3x 【分析】根据移项要变号，即可求得． 【详解】解：由4x=3x+50移项，得4x-3x=50， 故答案为：-3x． 【点睛】本题考查了移项法则，熟练掌握和运用移项法则是解决本题的关键． 【变式3-3】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期末）下列各题中的变形属于移项且移项正确的是（ ）． A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程中的移项，掌握好移项的要求是关键． 移项是指将方程中的项从等号的一边移动到另一边，并改变该项的符号；根据此定义，逐一判断各选项． 【详解】解：对于选项A，，故原移项不正确； 对于选项B，只是等式右边运用了加法交换律，不属于移项； 对于选项C，属于移项，且移项正确； 对于选项D，只是运用了等式的对称性，不属于移项． 故选：C． 【题型4 用移项法解一元一次方程】 【例4】（25-26七年级上·河南周口·期末）关于的一元一次方程的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，将代入方程，建立关于 的方程并求解即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴将代入，得 ， 即， ∴， 故选：． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东潍坊·阶段检测）按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图与求代数式的值，解一元一次方程等知识；根据输出结果是1得两个关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：若m为非负数，则，解得：，符合题意； 若m为负数，则，解得：，不符合题意； 综上，； 故选：A． 【变式4-2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）关于的方程与的解相同，则的值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程同解问题．先解方程得到，再将代入方程中即可求解． 【详解】解：解，得， ∵关于的方程与的解相同， ∴把代入方程得，， 解得，， 故答案为：5． 【变式4-3】某同学在解关于的方程时，在移项过程中将移项没有改变符号，得到的方程的解为，求的值及原方程的解． 【答案】的值是3，原方程的解是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，由题意可得是关于的方程的解，从而计算得出，把代入原方程，得，求出的值即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意知，是关于的方程的解， ， 解得． 把代入原方程，得， ． 即． 因此，的值是3，原方程的解是． 【题型5 去括号法则】 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列变形正确的是（    ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 【答案】B 【分析】根据去括号法则：括号前面是“”号，把括号连同前面的“”号去掉，括号里面每一项不变号，括号前面是“”号，把括号连同前面的“”号去掉，括号里面每一项都要变号，按去扣括号法则判断即可. 【详解】解：A、去括号，得，该选项说法错误，不符合题意； B、去括号，得，该选项说法正确，符合题意； C、去括号，得，该选项说法错误，不符合题意； D、去括号，得，该选项说法错误，不符合题意； 故答案为： 【点睛】本题考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题的关键. 【变式5-1】将方程去括号后，方程转化为________．（完成方程右边1后面式子的去括号） 【答案】 【分析】根据去括号法则将括号去掉即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号法则． 【变式5-2】如图框图内表示解方程的过程，其中依据“等式性质”是______ ． 解： 去括号得：① 移项得：② 合并同类项得：③ 系数化为1得：④ 【答案】②④/④② 【分析】利用等式的性质1“等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），所得结果仍然是等式”； 等式的性质2：“等式两边同时乘或除以同一个不是零的数（或代数式），所得结果仍然是等式”判断即可． 【详解】根据题意得：②在方程的两侧同时加上，根据的是等式的性质1； ④在方程的两边同时除以，根据的是等式的性质2， 故解方程的流程，其中依据“等式性质”是②④， 故答案为②④． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 【变式5-3】下面的框图表示小明解方程3(x-2)=1+x的流程，其中步骤“④”所用依据是_________. 【答案】等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个非0数），等式仍然成立 【分析】根据等式的基本性质进行解答即可. 【详解】观察可知步骤④为系数化为1，依据的是等式的基本性质2，等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个非0数），等式仍然成立， 故答案为等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个非0数），等式仍然成立. 【点睛】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程每一步的依据以及注意事项是解题的关键. 【题型6 用去括号法解一元一次方程】 【例6】如果关于的方程的解是，那么的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把x=0代入方程，解关于的方程即可． 【详解】已知方程3x＋2＋1＝x－6(3＋2)的解是x＝0， 所以2+1=-6（3+2）， 解得=． 故选择：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【变式6-1】（25-26七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目给出小明在解方程时犯了一个常见的符号错误：去括号时没有改变括号内第二项的符号．我们可以通过他错误的解反推出参数的值，然后将代入原方程，正确解出方程的解．关键在于理解错误操作下的方程形式，并据此建立等式求出． 【详解】解：因此他的错误方程为： ． 代入错误解， 解得： 代入原方程： 即： 解得： 【变式6-2】已知，若A比B小1，则x的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据A比B小，即可列方程，解方程求得的值． 【详解】解：，，A比B小， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确的解方程是解题的关键． 【变式6-3】（24-25七年级上·山东日照·阶段检测）定义一种新运算：，，则方程的解_________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：． 【题型7 去分母】 【例7】把方程去分母，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解方程过程中的去分母，利用等式的基本性质给等式的两边同时乘分母的最小公倍数进行变形即可．根据等式的性质，给方程两边同时乘分母的最小公倍数，然后变形即可． 【详解】解：方程两边同乘以6可得：， 故选：D． 【变式7-1】（24-25七年级上·江西南昌·阶段检测）将方程的两边同乘12，可得到，这种变形的依据是_____． 【答案】等式性质二 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据方程的特点，两边同时乘12，对方程进行去分母处理，去分母的依据是等式的基本性质． 【详解】解：将方程的两边同乘12，可得到， 这种变形的依据是等式性质二 故答案为：等式性质二． 【变式7-2】将方程去分母得到错在（    ） A．最简公分母找错 B．去分母时漏乘3项 C．去分母时分子部分没有加括号 D．去分母时各项所乘的数不同 【答案】C 【分析】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号． 【详解】解：方程去分母，将方程两边同时乘6， 得：，故A、B、D不符合题意，去分母时，分子部分没有加括号，C符合题意 故选C． 【点睛】本题考查解带分母的方程，先找出分母的最小公倍数，然后去分母求解．需要特别注意：分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号． 【变式7-3】下面的框图表示了解这个方程的流程： 在上述五个步骤中，依据等式基本性质1的步骤有______，依据等式基本性质2的步骤有______（只填序号） 【答案】 ③ ①⑤ 【分析】根据等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍是等式，依据性质1进行判断，再根据等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质2进行判断即可． 【详解】解：移项时，依据为：等式的性质1； 去分母时，在方程两边同时乘上12，依据为：等式的性质2； 系数化为1时，在等式两边同时除以28，依据为：等式的性质2； 故答案为：③，①⑤． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【题型8 用去分母法解一元一次方程】 【例8】（25-26七年级上·全国·课后作业）若式子与的值相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目要求解方程，需通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解的值. 【详解】解：依题意得： . 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是根据题意列出方程，熟练掌握解一元一次方程的方法. 【变式8-1】解方程 时，小刚在去分母的过程中， 右边的“1 ”漏乘了公分母 6 ，因而求得方程的解为 ， 则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先按此方法去分母，再将x=6代入方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程并解方程． 【详解】解：把x=6代入方程2（2x-1）=3（x+a）+1中得：22=18+3a+1， 解得：a=1， 正确去分母结果为2（2x-1）=3（x+1）+6， 去括号得：4x-2=3x+3+6， 解得：x=11． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）定义新运算“”，其规则为，则方程的解为________． 【答案】55 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：55． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握运算法则． 【变式8-3】已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解．若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将进行去分母、移项、合并同类项得，根据该方程无解并结合题意即可求解． 【详解】解： ， ∵方程无解， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的无解问题，理解题意是解决本题的关键． 模块三 课后作业 1．（2026·贵州黔东南·二模）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过移项计算即可得到的值． 【详解】解： ∴移项可得． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求； 选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求； 选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得：． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去分母时需要给方程每一项都乘以分母的最小公倍数，分子是多项式时要添加括号． 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是， ∴给方程两边同时乘去分母，得：． 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】先求解第一个一元一次方程得到x的值，再利用解相同的条件，将x代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：解方程， 移项得：， 即， ∴， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程，得， 解得． 6．（25-26七年级下·海南海口·期中）若与互为相反数，则________． 【答案】3 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 7．（25-26六年级下·山东淄博·期中）老师在黑板上写有这样一个式子：，则“”所表示的数为________． 【答案】9 【分析】将看作未知数，按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若代数式与的和为12，则a的值为________． 【答案】7 【分析】根据题意列出一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可． 【详解】解：根据题意列方程得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得． 9．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的一元一次方程的解是正整数，则正整数的值为__________． 【答案】4 【详解】解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∵解是正整数， ∴或， 解得或（舍去）． 则正整数的值为． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若关于x的方程（其中a、b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．由已知方程的解求出与的关系，再代入新方程求解． 【详解】解：∵关于的方程（）的解是， ∴，即， 将代入方程， 得， 即， ∵， ∴两边同时除以，得， ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 12．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一： (1)解答过程中，第_____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____； (2)第三步变形的依据是_____； 任务二： (3)该一元一次方程正确的解是_____； (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一条建议_____ 【答案】(1)一；去分母时，1漏乘了6 (2)等式的基本性质1 (3) (4)移项要注意变号 【分析】（1）根据等式的性质2求解； （2）根据等式的性质1求解； （3）根据解一元一次方程的步骤求解； （4）根据解一元一次方程的方法求解． 【详解】（1）解：解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）解：第三步变形的依据是等式的基本性质1； （3）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （4）解：建议：移项要注意变号． 13．（25-26七年级下·山西长治·期中）小红在解方程时，方程左边的“1”忘记乘以，因此求得方程的解为，试求的值及原方程的正确解． 【答案】，原方程的正确解为 【分析】先把代入忘记乘以的方程里解出的值，再把的值代入原方程求出原方程的正确解． 【详解】解：由题可得当时，， 化简得，，即，， 把代入得，， 解得，； 故原方程为， 方程两边同时乘以得，， 化简得，， 解得，． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． （1）依据一元一次方程的定义可得到，且，然后求解即可； （2）由（1）可得方程为，即可求出它的解，将该解代入方程即可解答． 【详解】（1）解：是关于x的一元一次方程 ∴， 解得：， ； （2）解：由（1）得，方程为：， 解得：， 该方程与关于x的方程的解相同， ， 解得：． 15．（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． (1)若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； (2)若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； (3)若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)的值为2或4或6 (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据解是正整数，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求解． 【详解】（1）解：（1）解方程，得， 解方程，得． 因为方程与方程互为“唯美方程”， 所以，解得． （2）解：解方程，得． 因为两个一元一次方程互为“唯美方程”， 所以关于的一元一次方程的解为． 因为一元一次方程的解是正整数，也是正整数， 所以是正整数， 所以或或，即或或， 所以正整数的值为2或4或6． （3）解：解方程，得， 所以关于的一元一次方程的解是． 将整理，得， 所以，解得． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 一元一次方程及其解法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 一元一次方程及其解法 同学们，上课之前老师先和大家玩一个“心里猜猜猜”的游戏！ 请大家在心里默默想好一个数字，不要说出来.接下来，请跟着老师的指令一起在心里做计算：第一步，把你想的这个数字乘以2；第二步，在得到的结果上加上5；第三步，再把得到的结果乘以5. 好，现在老师要开始“读心术”了！请大家在心里大声告诉我，你最后算出来的结果是多少？（假设有同学回答是75，有同学回答是100……） 不管大家算出的结果是多少，老师只要把这个结果减去25，再除以10，就能立刻知道你一开始心里想的那个数字是多少！比如刚才算出75的同学，你心里想的数字是不是5？算出100的同学，你想的数字是不是7.5？ 是不是觉得很神奇？其实，这根本不是什么魔法，而是数学的力量！如果我们把心里想的那个神秘数字设为字母x，刚才的一系列操作就可以变成一个数学式子：5×5.只要知道最后的结果，我们就能通过倒推，轻松把这个x给“抓”出来. 像这样含有未知数x，并且x只有一次方的等式，就是我们今天要一起探索的——一元一次方程.学会了它，以后不管是玩数字游戏，还是解决生活中的难题，大家都能像数学家一样，一眼看穿数字背后的秘密！ 【知识点1 一元一次方程】 1. 概念：像，这样，等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程． 2. 最简形式和一般形式：一元一次方程的最简形式是（a，b是常数，a≠0），一元一次方程的一般形式是（a，b，c是常数，a≠0）． 【知识点2 移项】 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫作移项． 【知识点3 解一元一次方程的步骤】 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1．通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为（a为常数）的形式． 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边同时乘各分母的最小公倍数把分母去掉 （1)不要漏乘不含分母的项； （2)分子是一个整体，去分母时要加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可反向顺序） （1）不要漏乘括号里面的项； （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边 （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化为的形式 未知数及其指数不变 把未知数的系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数），得到方程的解 不要把分子、分母弄颠倒 【题型1 一元一次方程的定义】 【例1】下列方程①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一元一次方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若关于的方程是一元一次方程，求的值是______． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）请写出一个一元一次方程并满足下列条件：（1）未知数x的系数为负数；（2）方程左边只有两项，并含有数字2024；（3）方程的解为．你写的方程是_______． 【变式1-3】根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【题型2 一元一次方程的解】 【例2】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）若关于x的方程（其中a，b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 【变式2-2】检验下列方程后面大括号内所列各数是否为相应一元一次方程的解： (1)，； (2)，． 【变式2-3】（24-25七年级上·重庆·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“至诚方程”，例如：方程的解为，而，则该方程是“至诚方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求m的值； (2)若关于x的一元一次方程是“至诚方程”，求代数式的值． 【题型3 移项】 【例3】下列解方程的过程中，移项错误的是（    ） A．方程变形为 B．方程变形为 C．方程变形为 D．方程变形为 【变式3-1】将下列方程移项：（1）方程移项后得_________________；（2）方程移项后得____________． 【变式3-2】如图，将方程4x＝3x+50进行移项，则“”处应填写的是 _____． 【变式3-3】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期末）下列各题中的变形属于移项且移项正确的是（ ）． A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【题型4 用移项法解一元一次方程】 【例4】（25-26七年级上·河南周口·期末）关于的一元一次方程的解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东潍坊·阶段检测）按如图所示的运算程序，若输出的结果是1，则输入的m值是（　　） A．1 B． C． D．1或 【变式4-2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）关于的方程与的解相同，则的值为___________． 【变式4-3】某同学在解关于的方程时，在移项过程中将移项没有改变符号，得到的方程的解为，求的值及原方程的解． 【题型5 去括号法则】 【例5】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列变形正确的是（    ） A．将方程去括号，得 B．将方程去括号，得 C．将方程去括号，得 D．将方程去括号，得 【变式5-1】将方程去括号后，方程转化为________．（完成方程右边1后面式子的去括号） 【变式5-2】如图框图内表示解方程的过程，其中依据“等式性质”是______ ． 解： 去括号得：① 移项得：② 合并同类项得：③ 系数化为1得：④ 【变式5-3】下面的框图表示小明解方程3(x-2)=1+x的流程，其中步骤“④”所用依据是_________. 【题型6 用去括号法解一元一次方程】 【例6】如果关于的方程的解是，那么的值为（　　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，若A比B小1，则x的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式6-3】（24-25七年级上·山东日照·阶段检测）定义一种新运算：，，则方程的解_________． 【题型7 去分母】 【例7】把方程去分母，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级上·江西南昌·阶段检测）将方程的两边同乘12，可得到，这种变形的依据是_____． 【变式7-2】将方程去分母得到错在（    ） A．最简公分母找错 B．去分母时漏乘3项 C．去分母时分子部分没有加括号 D．去分母时各项所乘的数不同 【变式7-3】下面的框图表示了解这个方程的流程： 在上述五个步骤中，依据等式基本性质1的步骤有______，依据等式基本性质2的步骤有______（只填序号） 【题型8 用去分母法解一元一次方程】 【例8】（25-26七年级上·全国·课后作业）若式子与的值相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】解方程 时，小刚在去分母的过程中， 右边的“1 ”漏乘了公分母 6 ，因而求得方程的解为 ， 则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）定义新运算“”，其规则为，则方程的解为________． 【变式8-3】已知关于的方程，当，取任意实数时，方程有唯一解；当，时，方程有无数解；当，时，方程无解．若关于的方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．（2026·贵州黔东南·二模）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·海南海口·期中）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．5 6．（25-26七年级下·海南海口·期中）若与互为相反数，则________． 7．（25-26六年级下·山东淄博·期中）老师在黑板上写有这样一个式子：，则“”所表示的数为________． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若代数式与的和为12，则a的值为________． 9．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的一元一次方程的解是正整数，则正整数的值为__________． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若关于x的方程（其中a、b为常数，且）的解是，则关于x的方程的解是______． 11．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一： (1)解答过程中，第_____步开始出现了错误，产生错误的原因是_____； (2)第三步变形的依据是_____； 任务二： (3)该一元一次方程正确的解是_____； (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要的注意事项给其他同学提一条建议_____ 13．（25-26七年级下·山西长治·期中）小红在解方程时，方程左边的“1”忘记乘以，因此求得方程的解为，试求的值及原方程的正确解． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)若该方程与关于x的方程的解相同，求k的值． 15．（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．例如：方程和互为“唯美方程”． (1)若关于的方程与方程互为“唯美方程”，求的值； (2)若关于的方程与某个关于的一元一次方程互为“唯美方程”，且一元一次方程的解是正整数，求正整数的值； (3)若关于的一元一次方程和方程互为“唯美方程”，求关于的一元一次方程的解． 第 1 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