第14讲 等式与方程（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材苏科版

第14讲 等式与方程（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+5个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 等式与方程 同学们，大家请下面图片上的这个天平. 现在，天平的右边放着两个一模一样的砝码，每个都是50克，所以右边一共是100克.而天平的左边，放着一个神秘的物体，我们暂时不知道它有多重，就把它叫做x克. 大家观察一下，现在的天平指针正指着中间，左右两边保持得怎么样？对，完全平衡！在数学里，这种“平衡”的状态，我们就可以用一个式子来表示：x=100.像这样，表示左右两边相等关系的式子，就叫做“等式”. 那如果情况变了呢？假设我们在左边这个神秘物体旁边，又多加了一个20克的小砝码，而右边依然是那两个50克的砝码.这时候，天平会发生什么变化？没错，左边会沉下去，天平不再平衡了. 这就说明左边的总重量（x+20）和右边的总重量（100）是不相等的.但如果老师告诉你，为了让天平重新平衡，我们需要把右边换成一个120克的砝码.这时候，我们又可以列出一个新的平衡关系：+20=120. 大家看，这个式子里不仅有了等号，还藏着我们不知道的那个神秘数字x.像这样含有未知数的等式，在数学上，我们就给它起了一个新的名字——“方程”. 今天，就让我们一起走进天平的世界，去揭开“等式”和“方程”的奥秘吧！ 【知识点1 等式】 像，，这样，表示相等关系的式子叫作等式． 【知识点2 等式的基本性质】 等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式． 等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 【知识点3 方程】 含有未知数的等式叫作方程． 【知识点4 方程的解和解方程】 1. 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解． 2. 求方程的解的过程叫作解方程． 3. 判别某个值是不是方程的解的方法：将这个值代替未知数代入方程，看方程两边的值是否相等．若相等，则这个值是方程的解；若不相等，则这个值不是方程的解． 【知识点5 从实际问题到方程】 列方程的一般步骤 （1）审：认真读题，理解题意，分清已知量与未知量，找出等量关系． （2）设：根据问题的实际情况，设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）． （3）列：根据问题中的一个等量关系列出方程． 【题型1 等式】 【例1】下列式子是等式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据等式的性质得是等式． 故选：． 【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，x的3倍与5的和可表示为，x的4倍与2的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式1-2】如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式______． 【答案】（a+b）（2a+b）= 【分析】根据长方形的面积=2个大正方形的面积+3个长方形的面积+1个小正方形的面积列式即可． 【详解】由题意得：（a+b）（2a+b）=， 故答案为：（a+b）（2a+b）=． 【点睛】此题考查多项式乘多项式与图形面积，正确理解图形面积的构成是解题的关键． 【变式1-3】列等式表示： （1）比a大5的数等于8； （2）b的三分之一等于9； （3）x的2倍与10的和等于18； （4）x的三分之一减y的差等于6； （5）比a的3倍大5的数等于a的4倍； （6）比b的一半小7的数等于a与b的和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）比a大5时，是加法算式， （2）b的三分之一是b， （3）x的2倍是2x， （4）x的三分之一是x， （5）a的3倍是3a， （6）b的一半是b． 【详解】（1）依题意得a+5=8， （2）依题意得b=9， （3）依题意得2x+10=18， （4）依题意得x-y=6 （5）依题意得3a+5=4a， （6）依题意得b-7=a+b． 【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 【题型2 利用等式的基本性质判断变形是否正确】 【例2】下列等式变形正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】各项利用等式的性质判断即可． 【详解】解：A、若，则，所以选项A变形错误，故选项A不符合题意； B、若，则，所以选项B变形错误，故选项B不符合题意； C、若，则，所以选项C变形错误，故选项C不符合题意； D、若，则，正确，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 【变式2-1】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据等式的性质进行判断作答即可． 【详解】解：A中，当时，不一定成立，错误，故符合要求； B中，当，则，正确，故不符合要求； C中，当，由，可得，正确，故不符合要求； D中，当，则，正确，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）下列运用等式的性质，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式性质逐一判断选项即可，需注意等式两边同除以一个非零数，等式才成立． 【详解】解：A、若，当时，不能推出，A变形错误； B、若，等式两边同乘得，再同减得，不能推出，B变形错误； C、若，分式有意义说明，等式两边同乘可得，C变形正确； D、若，当时等式也成立，不能推出，D变形错误． 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列变形中，正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，掌握好等式的两条性质是解题关键． 根据等式的两条性质，判断每个选项的变形是否正确． 【详解】解：等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍成立； 等式性质2：同时乘以或除以同一个数或式（不为零），等式仍成立． 对于选项A：若，则，而非，故A错误； 对于选项B：由，得，而非，故 B错误； 对于选项C：由，当时，x与y不一定相等，故 C错误； 对于选项D：由于 ，因此当时，两边同除以，得，故D正确． 故选：D． 【题型3 利用等式的基本性质变形】 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【答案】 【分析】根据等式的性质和等式的性质对各等式逐一变形即可求解． 【详解】解：（1）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （2）已知，根据等式的性质，等式两边同时加上，得； （3）已知，根据等式的性质，等式两边同时除以，得； （4）已知，根据等式的性质，等式两边同时乘以，得． 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在方程中，用x的代数式表示y，得______． 【答案】 【分析】要将方程中的项单独放在等式一侧，其他项移到另一侧，对含的项进行系数化为1，可能用到等式的基本性质． 【详解】解： 原方程 移项， 得， 等式两边同时除以，整理， 得． 【变式3-2】（25-26六年级上·上海普陀·期末）由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了_____________． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质．根据等式的性质，方程两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍然成立，理解题意，则，去括号合并同类项得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 即， ∴由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了， 故答案为：． 【变式3-3】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知则的值为______ 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，将已知的两个等式的左右两边分别相加，消去b即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 利用等式的基本性质解决天平问题】 【例4】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，在甲、乙两台天平左右两边分别放入一定数量的“”“”两种物体，天平保持平衡．若甲表示，则乙可表示为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得“”，“”分别代表x，y，据此可得答案． 【详解】解：∵甲表示， ∴“”，“”分别代表x，y， ∴乙可表示为， 故答案为：． 【变式4-1】（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是___________ 【答案】6 【分析】本题考查等式的性质，由题意得出，，则，即可作答． 【详解】解：由题意可得，， ∴，， ∴ 则， 故答案为：6 【变式4-2】（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）小红在学习完天平的使用后，按照天平的原理自制了如图①所示的简易天平，并对物体的质量进行探究，得到如图②所示的两幅图，天平都保持平衡状态，若○，□，△的质量分别为a，b，c，则能与图②的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】天平原来是平衡的，在天平两边都加上相同质量的砝码，天平仍然平衡． 【详解】解：根据题意可得：若，根据等式的基本性质1，则． 【变式4-3】（24-25七年级上·山西太原·期末）设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c，现用天平称了两次，情况如图1所示（天平均平衡），并由此得到如图2的结论．这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为__________ 【答案】如果，，那么 【分析】本题考查了等式的性质，解题关键是熟练掌握等式的基本性质．先观察图形可知：，，然后根据等式的传递性得到a=c即可． 【详解】解：观察图1可知：，， ∴， ∴图2的结论用含字母a，b，c的式子可表示为：如果，，那么， 故答案为：如果，，那么． 【题型5 方程】 【例5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 【变式5-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）请你写出一个方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此求解即可 【详解】解：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了方程的判断， 根据方程的定义，含有未知数的等式称为方程，据此对各选项进行判断． 【详解】解：①是等式但不含未知数，不是方程； ②是等式且含未知数，是方程； ③不是等式，不是方程； ④是等式且含未知数，是方程， 所以正确的有②④． 故答案为：②④． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·暑假作业）在， ， ，， ，中等式有：___________方程有：___________（填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【详解】解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 【题型6 从实际问题到方程】 【例6】一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早40分钟经过B地．设A、B两地间的路程是，由题意可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设A、B两地间的路程为x km，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为40分钟即可列出方程，求出x的值． 【详解】解：设A、B两地间的路程为x km， 根据题意得 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为40分钟列出方程，此题难度不大． 【变式6-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为x，，面积为6， 则， 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则所列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，总工作量为1，用含x的式子表示出和每小时工作量，之和为，由此列方程即可． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理需要小时， 总工作量为1，每小时工作量为，每小时工作量为，两者每小时工作量和为， 因此可列方程， 故答案为：． 【变式6-3】A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么所列方程是______． 【答案】2（x-1）+3x=13． 【分析】设B种饮料单价为x元/瓶，则A种饮料单价为（x-1）元/瓶，根据关键语句“小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元”可得方程2（x-1）+3x=13． 【详解】解：设B种饮料单价为x元/瓶，则A种饮料单价为（x-1）元/瓶，由题意得： 2（x-1）+3x=13， 故答案为2（x-1）+3x=13． 【点睛】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是设出其中一种饮料的价格，再表示出另一种饮料的价格，根据关键语句列出方程即可． 【题型7 方程的解与解方程】 【例7】下列方程的解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，理解一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解的定义，把分别代入各个选项方程中的左右两边进行计算即可． 【详解】解：A、将代入的左边可得：，方程左边等于右边，所以是该方程的解． B、将代入的左边可得：，方程左边不等于右边，所以不是该方程的解． C、将代入的左边可得：，方程左边不等于右边，所以不是该方程的解． D、将代入的左边可得：，方程左边不等于右边，所以不是该方程的解． 故选：A． 【变式7-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得 ， 移项得， 系数化为得． 【变式7-2】（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 【变式7-3】一个数的倍加，比这个数的倍少，求这个数． (1)设这个数为，列出关于的方程； (2)请在，，，中，找出所列的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次方程， （1）设这个数为，根据题意列出一元一次方程； （2）解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设这个数为，依题意得， （2）解： 解得： 模块三 课后作业 1．（25-26七年级上·广西百色·期末）下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是方程的含义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”，逐一判断各选项是否满足“含未知数”且“是等式”这两个条件即可． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 又∵A选项是代数式，不是等式，不符合方程定义， B选项是等式，但不含未知数，不符合方程定义， C选项是不等式，不是等式，不符合方程定义， D选项既含有未知数x，又是等式，符合方程定义， 故选：D 2．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了列方程，根据题意“某数的3倍比它的2倍多1”，直接转化为方程． 【详解】解：设某数为x， ∵某数的3倍比它的2倍多1， ∴比多1， ∴． 故选：D． 3．是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入原方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理，得 ， 解得 ． 4．已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 【答案】C 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数或者式，等式仍成立，据此判断即可． 【详解】解：两边都减去，得， ∵等式可变形为， ∴， ∴． 5．根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、根据等式性质2，等式两边除以同一个数时，这个数不能为0，题目未说明，当时变形不成立，故A错误； B、，等式两边同时乘2，得，故B错误； C、，等式两边同时减5可得，与不相等，变形错误，故C错误； D、，等式两边同时乘，根据等式性质2可得，变形正确，故D正确． 6．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）列方程表示“的3倍与5的和等于”为______． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意直接列出一元一次方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 8．若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】 【详解】解： 是关于的方程的解， ， 解得． 9．（25-26六年级上·上海静安·期末）将方程移项得的过程中，等式两边同时加上的代数式为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了等式的性质． 利用等式的性质，两边同时加上相同的代数式以实现移项． 【详解】解：原方程， 移项后得， 此变形等价于等式两边同时加上代数式． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某年12月份的月历如图所示．现用一长方形在月历中任意框出4个数，，，，则，，，之间满足的数量关系是___________． 【答案】 【分析】此题考查了等式的性质，根据日历中相邻横竖行的数量关系，用代数式表示出它们之间的关系． 【详解】解：观察日历上的数字可知：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 【答案】等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦． 【分析】根据等式及方程的定义进行判断即可． 【详解】解：由等式的定义“含有等号的式子叫做等式”可知，等式有：②③④⑤⑥⑦； 由方程的定义“含有未知数的等式叫做方程”可知，方程有：②④⑤⑥⑦． 【点睛】本题考查了等式及方程的判断，熟练掌握等式和方程的定义是解题的关键． 12．（24-25七年级上·全国·单元复习）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】本题考查的是判断方程的解； （1）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； （2）把代入方程的左右两边进行计算即可判断； 【详解】（1）解：当时，方程的左边， 右边， 方程左，右两边的值不相等， ∴不是方程的解； （2）解：当时，方程的左边， 右边，方程左，右两边的值相等， ∴是方程的解． 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知关于x的方程的解为，求代数式的值． 【答案】5 【分析】此题考查方程的解，解一元一次方程及代数式的求值．使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解；根据方程的解的意义求出a值是解题关键． 先将代入得到关于的方程，求解，再代入即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， 解得：， ∴． 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是，外沿大圆的半径是，内沿小圆的半径是多少厘米？ 【答案】 【分析】本题考查圆的面积，列方程，解题的关键是找出等量关系． 设小圆半径是厘米，表示出小圆的面积，根据题意，用大圆的面积减去小圆的面积等于环形的面积，列方程即可． 【详解】解：内沿小圆的半径是厘米， 根据题意可得， 15．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可； （2）直接列出等式即可； （3）利用代入法进行检验即可． 【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多， 得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为棵． （2）． （3）把分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边， 右边． 因为左边右边， 所以是方程的解， 即乙班植树的棵数是25棵． 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 等式与方程（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+5个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 等式与方程 同学们，大家请下面图片上的这个天平. 现在，天平的右边放着两个一模一样的砝码，每个都是50克，所以右边一共是100克.而天平的左边，放着一个神秘的物体，我们暂时不知道它有多重，就把它叫做x克. 大家观察一下，现在的天平指针正指着中间，左右两边保持得怎么样？对，完全平衡！在数学里，这种“平衡”的状态，我们就可以用一个式子来表示：x=100.像这样，表示左右两边相等关系的式子，就叫做“等式”. 那如果情况变了呢？假设我们在左边这个神秘物体旁边，又多加了一个20克的小砝码，而右边依然是那两个50克的砝码.这时候，天平会发生什么变化？没错，左边会沉下去，天平不再平衡了. 这就说明左边的总重量（x+20）和右边的总重量（100）是不相等的.但如果老师告诉你，为了让天平重新平衡，我们需要把右边换成一个120克的砝码.这时候，我们又可以列出一个新的平衡关系：+20=120. 大家看，这个式子里不仅有了等号，还藏着我们不知道的那个神秘数字x.像这样含有未知数的等式，在数学上，我们就给它起了一个新的名字——“方程”. 今天，就让我们一起走进天平的世界，去揭开“等式”和“方程”的奥秘吧！ 【知识点1 等式】 像，，这样，表示相等关系的式子叫作等式． 【知识点2 等式的基本性质】 等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得结果仍是等式． 等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式． 【知识点3 方程】 含有未知数的等式叫作方程． 【知识点4 方程的解和解方程】 1. 能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解． 2. 求方程的解的过程叫作解方程． 3. 判别某个值是不是方程的解的方法：将这个值代替未知数代入方程，看方程两边的值是否相等．若相等，则这个值是方程的解；若不相等，则这个值不是方程的解． 【知识点5 从实际问题到方程】 列方程的一般步骤 （1）审：认真读题，理解题意，分清已知量与未知量，找出等量关系． （2）设：根据问题的实际情况，设未知数（可以直接设未知数，也可以间接设未知数）． （3）列：根据问题中的一个等量关系列出方程． 【题型1 等式】 【例1】下列式子是等式的是(    ) A. B. C. D. 【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）列等式表示“x的3倍与5的和等于x的4倍与2的差”为________． 【变式1-2】如图所示的四边形均为长方形，请写出一个可以用图中图形的面积关系说明的正确等式______． 【变式1-3】列等式表示： （1）比a大5的数等于8； （2）b的三分之一等于9； （3）x的2倍与10的和等于18； （4）x的三分之一减y的差等于6； （5）比a的3倍大5的数等于a的4倍； （6）比b的一半小7的数等于a与b的和． 【题型2 利用等式的基本性质判断变形是否正确】 【例2】下列等式变形正确的是（　　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）下列运用等式的性质，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列变形中，正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．由，得 D．由，得 【题型3 利用等式的基本性质变形】 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空，使所得结果仍是等式： （1）如果，那么 _________； （2）如果，那么_________； （3）如果，那么_________； （4）如果，那么_________． 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）在方程中，用x的代数式表示y，得______． 【变式3-2】（25-26六年级上·上海普陀·期末）由，得，在此变形过程中方程的两边同时加上了_____________． 【变式3-3】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知则的值为______ 【题型4 利用等式的基本性质解决天平问题】 【例4】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，在甲、乙两台天平左右两边分别放入一定数量的“”“”两种物体，天平保持平衡．若甲表示，则乙可表示为_______． 【变式4-1】（2025七年级上·四川成都·专题练习）假设“△、〇、□”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，则“？”处应放△的个数是___________ 【变式4-2】（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）小红在学习完天平的使用后，按照天平的原理自制了如图①所示的简易天平，并对物体的质量进行探究，得到如图②所示的两幅图，天平都保持平衡状态，若○，□，△的质量分别为a，b，c，则能与图②的事实具有相同性质的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-3】（24-25七年级上·山西太原·期末）设“、、”分别表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c，现用天平称了两次，情况如图1所示（天平均平衡），并由此得到如图2的结论．这一过程反映的代数基本事实用含字母a，b，c的式子可表示为__________ 【题型5 方程】 【例5】（26-27七年级·全国·小升初衔接）下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）请你写出一个方程：______． 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）下列各式中，是方程的有__________．（填序号） ①；②；③；④． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·暑假作业）在， ， ，， ，中等式有：___________方程有：___________（填序号） 【题型6 从实际问题到方程】 【例6】一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，客车比卡车早40分钟经过B地．设A、B两地间的路程是，由题意可得方程（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设单独处理需要小时，则所列方程为______． 【变式6-3】A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，如果设B种饮料单价为x元/瓶，那么所列方程是______． 【题型7 方程的解与解方程】 【例7】下列方程的解是的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）若是关于的方程的解，则的值为___________． 【变式7-2】（2026·江苏常州·一模）若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【变式7-3】一个数的倍加，比这个数的倍少，求这个数． (1)设这个数为，列出关于的方程； (2)请在，，，中，找出所列的方程的解． 模块三 课后作业 1．（25-26七年级上·广西百色·期末）下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某数的3倍比它的2倍多1，设某数为x，则列方程为（   ） A． B． C． D． 3．是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 5．根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）列方程表示“的3倍与5的和等于”为______． 7．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 8．若是关于的方程的解，则的值为________． 9．（25-26六年级上·上海静安·期末）将方程移项得的过程中，等式两边同时加上的代数式为___________． 10．（25-26七年级上·山东济宁·期末）某年12月份的月历如图所示．现用一长方形在月历中任意框出4个数，，，，则，，，之间满足的数量关系是___________． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ ①3a+4；②x+2y＝8；③5－3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2－3a2；⑨3a＜－2a． 12．（24-25七年级上·全国·单元复习）是下列方程的解吗？ (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知关于x的方程的解为，求代数式的值． 14．（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： 某圆环形状的工件如图所示，它的面积是，外沿大圆的半径是，内沿小圆的半径是多少厘米？ 15．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $