第01讲 直线的斜率与倾斜角（3大知识点+4大题型）（讲义）-2026年新高二数学暑假进阶精品讲义（苏教版2019）

第01讲 直线的斜率与倾斜角 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的倾斜角 3 知识点二：直线的斜率 3 知识点三：斜率公式 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：直线倾斜角与斜率的基本概念 5 题型二：倾斜角变化时斜率的取值规律 5 题型三：由两点坐标求斜率、根据斜率求解参数 6 题型四：直线与线段相交，求解斜率取值范围 6 04 过关测试 7 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 题型一：直线倾斜角与斜率的基本概念 【例1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·北京东城·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：倾斜角变化时斜率的取值规律 【例2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（16-17高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：由两点坐标求斜率、根据斜率求解参数 【例3】经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【变式3-3】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【变式3-4】（25-26高二上·天津河北·期末）已知点，若直线的斜率为2，则__________. 题型四：直线与线段相交，求解斜率取值范围 【例4】（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【变式4-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【变式4-2】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【变式4-3】（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【变式4-4】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，过点的直线与线段AB相交，则的斜率的取值范围为______． 1．若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 3．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 4．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 6．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 10．（多选题）（25-26高二上·贵州·期中）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 13．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 14．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）过点作直线，若与连接两点的线段总有公共点，则的斜率的取值范围为__________，的倾斜角的取值范围为__________． 15．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 16．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 17．（24-25高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 18．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 直线的斜率与倾斜角 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：直线的倾斜角 3 知识点二：直线的斜率 3 知识点三：斜率公式 4 03 题型精讲举一反三 5 题型一：直线倾斜角与斜率的基本概念 5 题型二：倾斜角变化时斜率的取值规律 6 题型三：由两点坐标求斜率、根据斜率求解参数 7 题型四：直线与线段相交，求解斜率取值范围 9 04 过关测试 12 知识点一：直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 知识点诠释： 1、要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向； ②轴正向； ③小于的角． 2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角． 3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合． 4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应． 5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置． 知识点二：直线的斜率 1、定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 知识点诠释： （1）当直线与x轴平行或重合时，，； （2）直线与x轴垂直时，，k不存在． 由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2、直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 知识点三：斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 知识点诠释： 1、对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值； （2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求； （4）证明三点共线． 题型一：直线倾斜角与斜率的基本概念 【例1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 【变式1-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率， 设直线的倾斜角为, 则， 又，所以， 即直线的倾斜角为. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·北京东城·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为，则， 直线即为，其斜率， 即，可得， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 【变式1-3】下列说法中，正确说法的个数是（   ） ①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②任何一条直线都有唯一的斜率；③倾斜角为的直线不存在；④倾斜角为的直线只有一条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①，根据倾斜角定义知，任何一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对于②，当直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错误； 对于③，倾斜角为的直线与x轴垂直，有无数条，错误； 对于④，倾斜角为的直线与x轴重合或平行，有无数条，错误； 综上，只有①说法正确. 故选：B 题型二：倾斜角变化时斜率的取值规律 【例2】（25-26高二上·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【变式2-1】（25-26高二上·湖北孝感·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线，即的斜率， 又因为，且，所以. 故选：A. 【变式2-2】（16-17高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 【变式2-3】（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 题型三：由两点坐标求斜率、根据斜率求解参数 【例3】经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【解析】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】/ 【解析】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【答案】或 【解析】设，，， 则，， 由题意知，即， 解得或， 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为； 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为或. 故答案为：或. 【变式3-3】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【解析】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 故答案为：. 【变式3-4】（25-26高二上·天津河北·期末）已知点，若直线的斜率为2，则__________. 【答案】9 【解析】已知点，且直线的斜率为2， 代入过两点的直线的斜率公式可得，解得. 故答案为：9 题型四：直线与线段相交，求解斜率取值范围 【例4】（25-26高二下·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】点，点，可得，， 如下图示，所以. 【变式4-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是________． 【答案】 【解析】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二上·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-4】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知点，过点的直线与线段AB相交，则的斜率的取值范围为______． 【答案】或. 【解析】， 如图， 由图象知，过点的直线与线段AB相交， 则的斜率或. 故答案为：或. 1．若经过两点，的直线的倾斜角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线的倾斜角为锐角， 所以斜率，所以. 即的取值范围是. 2．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 3．过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【解析】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 4．（25-26高二下·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 5．（25-26高二下·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【解析】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 6．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，直线的方程为，此时倾斜角， 当时，由直线方程可得斜率， 因为且， 所以，即， 又，所以， 综上， 故选：D 7．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 8．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 9．（多选题）（25-26高二上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【解析】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 10．（多选题）（25-26高二上·贵州·期中）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 11．（多选题）（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【解析】如图 当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 13．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知两点，，当时，直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则. 因为，， 当时，； 当时，，或. 当时，直线的斜率， 所以，得； 当时，直线的斜率， 所以，得. 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）过点作直线，若与连接两点的线段总有公共点，则的斜率的取值范围为__________，的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：， 15．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是． 故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 16．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【解析】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 17．（24-25高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为. 18．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，求的斜率的取值范围. 【解析】由题意知：∥，∥，设， 则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点A时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点A时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：， 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $