专题1.4 直线的一般式方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题1.4 直线的一般式方程 教学目标 1. 理解直线的一般式方程的含义，能够根据条件熟练地求出直线的方程． 2. 了解直线的一般式方程与二元一次方程之间的对应关系． 3. 能将直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程化为一般式方程，知道这几种形式的直线方程的局限性． 4.经历直线的一般式方程与二元一次方程关系的探究活动，发展直观想象和逻辑推理素养；通过运用直线方程解决问题，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 能根据条件熟练地求出直线的方程； 2.难点 几种直线方程形式的局限性，对直线的一般式方程含义的理解. 知识点01 直线的一般式方程 1、定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把__________________________叫做直线的一般式方程,简称_____________. 注意：（1）、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点________，斜率为__________的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与_____________垂直的直线． 当A＝0, B≠0时，方程表示垂直于_____________的直线； 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． （2）在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. （3）解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【即学即练】 1．根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 知识点02 直线的一般式方程与其它形式方程的互化 直线五种形式直线的一般式方程与其它形式方程的互化 （1）一般式化为斜截式的步骤 ①移项得； ②当时，得斜截式方程___________． （2）一般式化为截距式的步骤 把常数项移到方程右边，得； ①当，方程两边同时除以，得____________； ②化为截距式方程：______________． (3)其他方程形式化为一般式: 把方程y－y1＝k(x－x1)化为一般式为_____________________； 把方程＋＝1(ab≠0)化为一般式为_____________________； 把方程＝化为一般式为________________________； 【即学即练】 1．已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； 2．已知直线（A，B不同时为），则下列说法中错误的是（     ） A．当时，直线l总与x轴相交 B．当时，直线l经过坐标原点O C．当时，直线l是x轴所在直线 D．当时，直线l不可能与两坐标轴同时相交 3.(多选)如果，那么直线通过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型01 直线的一般式方程及辨析 【典例1】根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【变式1】根据下列条件求一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 【变式2】直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【变式3】若方程表示一条直线，则实数满足（     ） A． B． C．，， D． 【变式3】(多选)直线l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知直线的图象如图，则（     ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【变式5】(多选)已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（     ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 题型02 直线的一般式方程与其他形式方程转化 【典例1】已知直线的倾斜角为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 【变式1】已知直线的一般式方程为，则（     ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【变式2】已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则（     ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3】若直线过一、三、四象限，则的取值范围为 . 【变式4】对于直线：（），现有下列说法： ①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④当取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 题型03 直线的不同形式方程的区别与联系 【典例1】下列说法中不正确的是（     ） A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线. B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线. C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线. D．截距式适用于不过原点的任何直线. 【变式1】下列说法中不正确的是（     ） A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示 B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 【变式2】(多选)下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 题型04 直线的定点问题 【典例1】直线，当变动时，所有直线都通过定点（     ） A． B． C． D． 求解直线过定点问题的基本思路是：把直线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零，因方程对任意参数都成立，则参数的系数全部等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．  【变式1】无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（     ） A． B． C． D． 【变式2】不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【变式3】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【变式4】已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 题型05 直线与坐标轴围成的三角形问题 【典例1】已知直线 ： （1）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围. （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【变式1】已知直线，若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【变式2】过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式3】已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【变式4】已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时， (1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标. (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值. 题型06 直线方程的综合应用 【典例1】已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，，直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线l：，则下列说法不正确的是（     ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【变式3】已知方程． （1）若方程表示一条直线，求实数的取值范围； （2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； （3）若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； （4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 1．直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．直线过第一、二、四象限的充要条件是（     ） A．， B． C．， D．， 3．如果且，那么直线不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若直线的斜率，那么该直线不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知直线， 则下述论断正确的是（     ） A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 6．已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（多选）如果，那么直线通过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（多选）下列说法正确的是（     ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 9．（多选）已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（     ） A．直线l与直线的斜率互为相反数 B．直线l与直线的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为 D．这样的直线l有两条 10．过点与的直线的一般式方程为 . 11．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 12．直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 13．求分别满足下列条件的直线的一般式方程． (1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 14．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 项目 方程 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) (x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 (a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 $$ 专题1.4 直线的一般式方程 教学目标 1. 理解直线的一般式方程的含义，能够根据条件熟练地求出直线的方程． 2. 了解直线的一般式方程与二元一次方程之间的对应关系． 3. 能将直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程化为一般式方程，知道这几种形式的直线方程的局限性． 4.经历直线的一般式方程与二元一次方程关系的探究活动，发展直观想象和逻辑推理素养；通过运用直线方程解决问题，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 能根据条件熟练地求出直线的方程； 2.难点 几种直线方程形式的局限性，对直线的一般式方程含义的理解. 知识点01 直线的一般式方程 1、定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0（）叫做直线的一般式方程,简称一般式. 注意：（1）、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点________，斜率为__________的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 当A＝0, B≠0时，方程表示垂直于y轴的直线； 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． （2）在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. （3）解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【即学即练】 1．根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1);(2);(3);(4) 【分析】（1）根据两点式写出方程转化为一般式方程； （2）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （3）根据点斜式写出方程转化为一般式方程； （4）根据点斜式写出方程转化为一般式方程. 【解析】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 知识点02 直线的一般式方程与其它形式方程的互化 直线五种形式直线的一般式方程与其它形式方程的互化 （1）一般式化为斜截式的步骤 ①移项得； ②当时，得斜截式方程___________． （2）一般式化为截距式的步骤 把常数项移到方程右边，得； ①当，方程两边同时除以，得____________； ②化为截距式方程：______________． (3)其他方程形式化为一般式: 把方程y－y1＝k(x－x1)化为一般式为kx－y＋_y1－kx1＝0. 把方程＋＝1(ab≠0)化为一般式为bx＋ay－_ab＝0. 把方程＝化为一般式为(y2－y1)x＋(x1－x2)y＋x2y1－x1y2＝0 【即学即练】 1．已知直线l的一般式方程为，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距； 【答案】斜截式方程为：，截距式方程为：,在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. 【分析】（1）把直线方程化为斜截式及截距式，即可得到斜率及截距； 【解析】（1）由l的一般式方程得斜截式方程为：， 截距式方程为：， 由此可知，直线的斜率为， 在x轴、y轴上的截距分别为－3，2. 2．已知直线（A，B不同时为），则下列说法中错误的是（     ） A．当时，直线l总与x轴相交 B．当时，直线l经过坐标原点O C．当时，直线l是x轴所在直线 D．当时，直线l不可能与两坐标轴同时相交 【答案】D 【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】依题意，直线（A，B不同时为）. A选项，当时，，直线方程可化为， 此时直线总与轴有交点，A选项正确. B选项，当时，直线方程为， 此时直线经过原点，B选项正确. C选项，当时，，直线方程可化为， 此时直线l是x轴所在直线，C选项正确. D选项，当时，如， 直线过点，即直线与两坐标轴同时相交，D选项错误. 故选：D. 3.(多选)如果，那么直线通过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率以及 轴截距判断即可； 【解析】因为，,所以 所以， 令 所以直线经过一三四象限. 故选：ACD. 题型01 直线的一般式方程及辨析 【典例1】根据下列条件求直线的一般式方程． (1)直线的斜率为，且经过点； (2)斜率为，且在轴上的截距为； (3)经过两点, ； (4)在轴上的截距分别为． 【答案】(1); (2); (3); (4) 【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式； （2）先求斜截式方程，再化为一般式； （3）先求直线的两点式方程，再化为一般式； （4）先求直线的截距式方程，再化为一般式. 【解析】（1）因为，且经过点， 由直线的点斜式方程可得， 整理可得直线的一般式方程为． （2）由直线的斜率，且在轴上的截距为 得直线的斜截式方程为． 整理可得直线的一般式方程为． （3）由直线的两点式方程可得， 整理得直线的一般式方程为 （4）由直线的截距式方程可得， 整理得直线的一般式方程为. 【变式1】根据下列条件求一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 【答案】(1); (2); (3); (4) 【分析】（1）先由点斜式求方程，再化为一般式； （2）先求直线的两点式方程，再化为一般式； （3）先求直线的截距式方程，再化为一般式. （4）平行于x轴直线斜率为0； 【解析】(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 【变式2】直线的倾斜角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【解析】直线，即， 设该直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 【变式3】若方程表示一条直线，则实数满足（     ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】由题意与不同时为零，由此即可得解. 【解析】当时，或，当时，或， 若方程表示一条直线， 则与不同时为零，所以. 故选：D. 【变式3】(多选)直线l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意利用直线的斜率和直线在y轴上的截距，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【解析】解：直线l1：ax﹣y+b＝0的斜率为a，在y轴上的截距为b，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，在y轴上的截距为a， A中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a小于零，矛盾，故排除A； B中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a大于零， 直线l1在y轴上的截距b大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，满足题意； C中，直线l1在y轴上的截距为b，大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零， 直线l1的斜率a小于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，故C满足题意； D中，直线l1的斜率为a大于零，直线l2在y轴上的截距为a 小于零，矛盾，故排除D， 故选：BC. 【变式4】已知直线的图象如图，则（     ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】C 【分析】将直线方程化为斜截式，则由图象可得，，从而分析判断. 【解析】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， 若，则，； 若，则，． 故选：C 【变式5】(多选)已知直线，其中不全为0，则下列说法正确的是（     ） A．当时，过坐标原点 B．当时，的倾斜角为锐角 C．当时，和轴平行 D．若直线过点，直线的方程可化为 【答案】AD 【分析】选项A，原点坐标适合直线方程；选项B，化为斜截式方程可得斜率为负，倾斜角为钝角；选项C，方程变形为可知；选项D，由直线过点，得，代入直线方程可得. 【解析】选项A，当时，是方程的解， 即过坐标原点，故A正确； 选项B，当时，直线的方程可化为， 则直线的斜率，的倾斜角为钝角，故B错误； 选项C，当时，由不全为0，， 直线的方程可化为， 故直线和轴垂直，不平行，故C错误； 选项D，直线过点，则， 可得，代入直线方程， 得，即，故D正确. 故选：AD. 题型02 直线的一般式方程与其他形式方程转化 【典例1】已知直线的倾斜角为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可. 【解析】直线的倾斜角为， 所以斜率一定存在，且 ， 直线即， 所以斜率,即. 故选：C 已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 【变式1】已知直线的一般式方程为，则（     ） A．直线的截距式方程为 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜截式方程为 D．直线的斜截式方程为 【答案】A 【分析】将直线方程化为截距式、斜截式即可判别. 【解析】由得， 直线的截距式方程为：，即. 直线的斜截式方程为：. 故选：A. 【变式2】已知直线在轴上的截距为，且它的倾斜角为，则（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据截距求，根据倾斜角和斜率关系求即可. 【解析】因为直线在轴上的截距为， 所以，所以， 则直线方程可化为， 又因为直线倾斜角为，所以， 所以. 故选：D 【变式3】若直线过一、三、四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将直线化为斜截式即可求解. 【解析】因为直线方程为，即为， 又因为直线过一、三、四象限， 所以直线在轴上的截距小于零， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式4】对于直线：（），现有下列说法： ①无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变； ②无论如何变化，直线l一定不经过第三象限； ③无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限； ④当取不同数值时，可得到一组平行直线． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为斜截式方程，得出直线的斜率与倾斜角，可判断①正确，④正确；由直线的纵截距为正，可判断②正确，③错误． 【解析】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故①正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故②正确，③错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故④正确； 故选：C 题型03 直线的不同形式方程的区别与联系 【典例1】下列说法中不正确的是（     ） A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线. B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线. C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线. D．截距式适用于不过原点的任何直线. 【答案】D 【分析】由直线方程有意义分析可得各种形式的适用条件，从而得出答案. 【解析】解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确； 斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确； 两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确； 截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误． 故选：D． 【变式1】下列说法中不正确的是（     ） A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示 B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点 C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 【答案】D 【分析】考虑斜率存在和不存在两种情况，将直线方程化为一般式即可判断A； 将代入方程即可验证直线是否过原点，进而判断B； 根据题意解出y即可判断C； 斜率不存在的直线不能化为点斜式，进而判断D. 【解析】对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率k存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，可得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，与比较，可得，，，显然A，B不同时为0，所以此说法是正确的； 对于选项B，当时，方程（A，B不同时为0），即，显然有，即直线过原点，故此说法正确； 对于选项C，因为当，，时，方程可化为，它表示的直线与x轴平行，故此说法正确； 对于选项D，若直线方程为，显然它不能表示为点斜式，故错误． 故选：D. 【变式2】(多选)下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【解析】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD. 题型04 直线的定点问题 【典例1】直线，当变动时，所有直线都通过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【解析】直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 求解直线过定点问题的基本思路是：把直线方程中的变量当作常数看待，把方程一端化为零，因方程对任意参数都成立，则参数的系数全部等于零，这样就得到一个关于的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．  【变式1】无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【解析】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 【变式2】不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【解析】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 故答案为： 【变式3】不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其m，n是正实数，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】将直线方程整理成可求得定点坐标，利用基本不等式求最值 【解析】直线即， 由题意，解得，即直线恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数，所以， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式4】已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2），方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为；（3）不过定点，证明见解析 【分析】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点. 【解析】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 题型05 直线与坐标轴围成的三角形问题 【典例1】已知直线 ： （1）为使直线不经过第二象限，求实数的取值范围. （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可；由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可.（2）由直线方程求出直线与坐标轴的截距，进而求三角形出面积最小值及此时直线的方程. 【解析】（1）当时，直线垂直轴． 当时由（1）画图知：斜率得， 综上： ； (2)由题知则， 令，则, 令，则. 所以 所以当时三角形面积最小， 直线l方程为：. 【变式1】已知直线，若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】4 【分析】由直线方程求出直线与坐标轴的截距，进而求三角形出面积最小值及此时直线的方程. 【解析】依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且， ∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 【变式2】过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】由直线方程求出直线与坐标轴的截距，进而通过三角形出面积得出直线的条数. 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或， 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 【变式3】已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可； （2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可. （3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可. 【解答过程】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得 ； 综上所述： （3）设直线方程为，则 ， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意， 则直线方程为. 【变式4】已知直线和直线，当实数的值在区间内变化时， (1)求证直线恒过定点，并指出此定点的坐标. (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的四边形面积的最小值. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将直线方程整理成即可求得定点坐标； （2）由直线方程求出直线与坐标轴的截距，进而求出四边形的面积 【解析】（1）解法1 当时，，无论为何值，直线过定点； 当时，，直线过定点； 综上：直线恒过定点； 解法2：将直线化为， 由，得，即直线恒过定点. （2）将直线化为，得直线恒过定点， 在直线中，由于，令得， 令，故直线与轴正半轴交于点， 同理在直线中，令，得，故与轴正半轴交于点， 如图，在平面直角坐标系中取点，连接，当实数的值在区间内变化时，过点作出直线的大致图象，与轴交于点与轴交于点. 则点的坐标为，点的坐标为. 因为，所以， 在中边上的高为2，在中边上的高为2， 所以 ， 所以当时，所求四边形的面积最小，最小值为. 题型06 直线方程的综合应用 【典例1】已知点，直线，若位于直线的两侧，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，再由题意转化为直线与线段相交，求出过端点对应的斜率，数形结合得解. 【解答过程】由，可得， 所以直线恒过点， 则， 由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可， 故的取值范围为. 故选：B. 【变式1】已知点，，直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的定点，再求出，数形结合，得出结果. 【解析】由直线，可得直线过定点， 的斜率， 的斜率， 直线的斜率，    由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式2】已知直线l：，则下列说法不正确的是（     ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【分析】将方程化为判断直线过定点，判断A的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B的正误；讨论和时直线的斜率和截距情况，判断CD的正误. 【解析】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 【变式3】已知方程． （1）若方程表示一条直线，求实数的取值范围； （2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； （3）若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； （4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）. 【分析】（1）先令，的系数同时为零时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为零，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）由（1）知的系数同为零时，直线在轴上的截距存在，解得截距构建关系，即解得参数m； （4）由（1）知，的系数为零时，直线的斜率存在，解得斜率构建关系式，解得参数m. 【解析（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线． 令，解得或； 令，解得或． 所以，的系数同时为零时，故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）由（1）知当时，，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）易知且时，直线在轴上的截距存在. 依题意，令，得直线在轴上的截距，解得． 所以实数的值为； （4）易知且时，直线的斜率存在，方程即，故斜率为. 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以，解得． 所以实数的值为． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B． （1）当的中点在直线上时，求直线的方程； （2）当的面积取最小值时，求直线的方程； （3）当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程； （2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程； （3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程. 【解析】（1）设，，则的中点为， 因为的中点在直线上， 所以，即， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设直线的方程为， 联立，得，所以， 联立，得，，所以， 所以， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，此时，直线的方程为，即. （3）由（2）知，， ， 所以 ， 令，则 ，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即. 1．直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【解析】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为. 故选：C 2．直线过第一、二、四象限的充要条件是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0，列不等式求解，即得答案. 【解析】由题意直线过第一、二、四象限的充要条件是直线斜率小于0且在y轴上的截距大于0， 即，即，， 故选：A 3．如果且，那么直线不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【解析】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 4．若直线的斜率，那么该直线不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求得过定点，再依据其斜率，即可得到该直线不经过第三象限. 【解析】直线可化为， 则直线过定点， 又直线斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 5．已知直线， 则下述论断正确的是（     ） A．直线不可能经过坐标原点 B．直线的斜率可能为0 C．直线的倾斜角不可能是 D．直线恒过定点 【答案】D 【分析】当时，经过坐标原点；若，由斜率判断B；当，斜率不存在，从而判断C；将点代入直线方程判断D. 【解析】当时，经过坐标原点，故A错误； 若，直线的斜率存在，且斜率，不可能为0，故B错误； 若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角是，故C错误； 将点代入直线方程得：，即直线恒过定点，故D正确； 故选：D. 6．已知动直线的倾斜角的取值范围是，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可得，即可求m的范围. 【解析】由题设知：直线斜率范围为，即，可得. 故选：B. 7．（多选）如果，那么直线通过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】根据直线的斜率以及 轴截距判断即可； 【解析】因为，,所以 所以， 令 所以直线经过一三四象限. 故选：ACD. 8．（多选）下列说法正确的是（     ） A．直线的倾斜角为 B．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D．过两点的直线方程为 【答案】AB 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【解析】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB. 9．（多选）已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（     ） A．直线l与直线的斜率互为相反数 B．直线l与直线的倾斜角互补 C．直线l在y轴上的截距为 D．这样的直线l有两条 【答案】ABC 【分析】根据题意，得到与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线的点斜式方程，可得C选项正确；过定点斜率确定的直线唯一，可判定D选项错误． 【解析】因为直线与及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形， 所以与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确； 由直线的斜率为2，知直线的斜率为，可得直线的方程为，令，可得在轴上的截距为，故选项C正确； 过且斜率为的直线只有一条，故选项D错误． 故选：ABC 10．过点与的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】先求出直线的斜率，再根据点斜式即可求出直线方程. 【解析】可得直线的斜率为， 所以直线方程为，整理得. 故答案为： 11．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【分析】求出直线所过定点，再由题意转化为直线与线段相交，求出过端点对应的斜率，数形结合得解. 【解析】如下图，由题意， 直线方程可化为， 由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 12．直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【解析】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为：. 13．求分别满足下列条件的直线的一般式方程． (1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 【答案】；（2）或或 【分析】（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案； （2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【解析】（1）设直线的方程为． 令，得．令，得， ，解得． 直线的方程为，化为一般式为． （2）设直线在轴、轴上的截距分别为． 当时，直线的方程为． 直线过点， ， 又， 故，解得或 直线的方程为或； 当时，设直线方程为， 直线过原点且过点，故，解得， 直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或或． 14．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】；（2） 【分析】（1）将直线方程改写成形式，解方程组即可得解. （2）设直线的方程为，求出点坐标，表示出面积，利用基本不等式求出面积的最小值得解. 【解析】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 项目 方程 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率 直线不垂直于x轴 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 直线不垂直于x轴 两点式 eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) (x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点 直线不垂直于x轴和y轴 截距式 eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 (a≠0，b≠0) a，b分别是直线在x轴、y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A，B不同时为0) A，B，C为系数 任何情况 $$