专题1.3 交集、并集（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“交集、并集”核心知识点，系统梳理交集与并集的概念（自然语言、符号语言、图形语言）、性质（交换律、与自身/空集运算等），延伸至交并补混合运算、Venn图直观表达、容斥原理实际应用、区间表示及集合新定义，构建从基础概念到综合应用再到创新拓展的学习支架。 该资料以10类题型（如交集运算、参数求解、Venn图应用等）为主线，每题型配例题与变式，结合图形语言（Venn图）和生活情境（容斥原理的班级项目统计）。通过具体实例培养学生数学眼光（抽象集合关系）、数学思维（逻辑推理求参数）、数学语言（区间符号表达），课中辅助分层教学，课后助力针对性练习，有效查漏补缺。

专题1.3 交集、并集（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 交集的概念及运算】 2 【题型2 根据交集结果求集合或参数】 3 【题型3 并集的概念及运算】 5 【题型4 根据并集结果求集合或参数】 6 【题型5 交、并、补集的混合运算】 8 【题型6 集合混合运算中的求参问题】 9 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 12 【题型8 容斥原理的应用】 14 【题型9 区间的定义与表示】 18 【题型10 集合新定义】 19 考点1 交集、并集 知识点1 交集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点2 并集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 知识点3 集合的运算性质 1．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 交集的概念及运算】 【例1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】解得集合，再求交集即可． 【解答过程】因为，， 所以． 故选：D． 【变式1-1】（25-26高一上·山西太原·期末）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【解答过程】集合，所以. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题可知两集合均为点集，则两集合的交集即为两直线的交点. 【解答过程】联立两个直线方程得方程组，解得， 所以. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】计算出集合，再利用集合交集的运算进行计算，判断选项即可. 【解答过程】由，则， 又因为集合， 故. 故选：C. 【题型2 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用交集的结果按和分类求解. 【解答过程】当时，； 当时，，由，得，则或，解得或， 所以实数的值组成的集合为. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可知，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可得结果. 【解答过程】由可知， 当时，可得，即，满足题意； 当时，可得，解得; 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合，则实数的值是（　　） A． B．0 C．或0 D．0或1 【答案】B 【解题思路】根据题意列出方程求出a的值，再用集合元素的互异性检验即可． 【解答过程】∵，∵， ∵，∴，解得， 当时，，符合题意，且， 故． 故选：B． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，则，解得， 当时，则，解得：． 综上所述，的取值范围为. 故选：A． 【题型3 并集的概念及运算】 【例3】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用并集的运算求解. 【解答过程】，， . 故选：D. 【变式3-1】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据并集的概念即可求解. 【解答过程】由题意得集合， 根据并集的概念得. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据并集定义直接计算可得结果. 【解答过程】由，可得。 故选：A. 【变式3-3】（25-26高一上·吉林延边·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用列举法写出集合，由并集的定义求得结果. 【解答过程】， 所以． 故选：D． 【题型4 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【解题思路】解不等式化简集合A，根据可得，结合选项分析判断. 【解答过程】因为集合，， 若，则， 结合选项可知：ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式4-2】（2026·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过和两类情况讨论即可. 【解答过程】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知集合或，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据并集运算结果转化为包含关系，列出不等式求解. 【解答过程】因为， 所以，又， 所以，解得， 故选：C. 【题型5 交、并、补集的混合运算】 【例5】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接根据集合交集与补集的运算定义进行求解即可. 【解答过程】已知， 由，得：. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知全集，则集合（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意，根据交、并、补集的定义和运算，结合选项计算即可求解. 【解答过程】由题意得， 所以. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【解答过程】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或. 【变式5-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】根据集合的交并补的定义分别计算各小题即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）因为，，所以或， 所以或. （3）因为，，所以或， 所以. 【题型6 集合混合运算中的求参问题】 【例6】（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】首先确定集合的补集，然后根据求出的范围. 【解答过程】因为集合， 所以. 因为集合，， 当不为空集时， 所以，解得. 当为空集时，，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】利用条件，得到，从而求出，进而求出集合，得到，即可求出结果. 【解答过程】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以， 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 【变式6-3】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 考点2 Venn图表达集合的关系和运算 知识点4 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 【例7】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得全集，利用补集与交集的意义求得即可. 【解答过程】，，， 由图可知阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据韦恩图及集合的交集、补集运算求解. 【解答过程】由图可知，阴影部分表示的集合为， 又，，， 所以或， 所以， 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或. (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， ， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 【变式7-3】（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【答案】(1)， (2)阴影涂黑见解析过程， 【解题思路】（1）根据集合交集、补集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合的描述性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，或，， 因此， . （2）因为且， 所以“集合”的部分用阴影涂黑如下图所示：    . 【题型8 容斥原理的应用】 【例8】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解题思路】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【解答过程】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解题思路】根据容斥原理进行求解即可. 【解答过程】设参加机器人社、编程社、航模社的学生集合分别为，三个社团都参加的人数为， 则根据容斥原理可得 ， 所以，解得. 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【解答过程】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C. 【变式8-3】（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 【答案】A 【解题思路】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式列式计算得到答案． 【解答过程】不妨将评价了火箭军、太空军、网络军的市民分别用集合A，B，C表示， 则，，，， 不妨设总人数为，只评价了火箭军、太空军的人数为， 只评价了太空军、网络军的人数为， 只评价了火箭军、网络军的人数为， 则. 如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 则，，， 由三个集合的容斥关系公式得， ， 解得，故接受调查的市民共有190人. 故选：A. 考点3 区间 知识点5 区间 1．区间的定义 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2．区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3．特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【题型9 区间的定义与表示】 【例9】（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据区间定义即可得答案. 【解答过程】由区间定义可知，或. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高一上·新疆阿克苏·阶段检测）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【解题思路】根据区间的概念逐项判断即可． 【解答过程】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 【变式9-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）将集合表示成区间形式为___________． 【答案】 【解题思路】由区间的概念即可求解. 【解答过程】集合表示为区间形式为. 故答案为：. 【变式9-3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为__________. 【答案】 【解题思路】根据集合与区间的转换表示即可． 【解答过程】由或， 则区间为． 故答案为：. 【题型10 集合新定义】 【例10】（2026高一上·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出和，再根据的定义写出运算结果. 【解答过程】因为， 所以，， 又且， 所以或， 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【解答过程】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C. 【变式10-2】（25-26高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)0或 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【解答过程】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 【变式10-3】（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 【答案】(1)不是的“友好集”，是的“友好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据“友好集”的定义分别判断各集合的元素是否满足要求即可； （2）先根据定义确定出集合中的元素，然后根据范围分析出的取值，由此可完成证明； （3）先确定出集合中的元素，然后分类讨论的情况，根据范围确定出 的取值，然后可求得集合，由此可计算出中元素的个数． 【解答过程】（1）在中：，所以不是的“友好集”； 在中：，满足要求， 在中：，满足要求， 所以是的“友好集”. （2）由题意可知，， 所以， 因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以，即成立. （3）设，其中且， 则， 所以， 若，则， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 此时有，此式显然不成立，所以不符合条件，所以； 当时，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， 所以集合中元素的个数为个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 交集、并集（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 交集的概念及运算】 2 【题型2 根据交集结果求集合或参数】 3 【题型3 并集的概念及运算】 3 【题型4 根据并集结果求集合或参数】 4 【题型5 交、并、补集的混合运算】 4 【题型6 集合混合运算中的求参问题】 5 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 6 【题型8 容斥原理的应用】 8 【题型9 区间的定义与表示】 9 【题型10 集合新定义】 9 考点1 交集、并集 知识点1 交集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点2 并集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 知识点3 集合的运算性质 1．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型1 交集的概念及运算】 【例1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·山西太原·期末）集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·江苏连云港·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·山东潍坊·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合，则实数的值是（　　） A． B．0 C．或0 D．0或1 【变式2-3】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型3 并集的概念及运算】 【例3】（25-26高一上·福建厦门·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·云南昆明·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·吉林延边·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【变式4-2】（2026·辽宁本溪·模拟预测）已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知集合或，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 交、并、补集的混合运算】 【例5】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知全集，则集合（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【变式5-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）已知全集，集合，，求： (1)； (2)； (3). 【题型6 集合混合运算中的求参问题】 【例6】（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知集合，.若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式6-2】（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 考点2 Venn图表达集合的关系和运算 知识点4 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型7 Venn图表达集合的关系和运算】 【例7】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或. (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·重庆永川·阶段检测）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【题型8 容斥原理的应用】 【例8】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【变式8-1】（25-26高一上·甘肃白银·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式8-2】（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【变式8-3】（25-26高一上·湖北咸宁·阶段检测）调查表示火箭军、太空军、网络军位列2025年9.3军演最受欢迎前三个军种，某社区调查了该社区的部分市民的观看评价情况，调查结果显示：在网上评价了火箭军的有100人，评价了太空军的有89人，评价了网络军的有80人，三个军种都评价了的有24人，评价了其中两个军种的有46人，这三个军种都未评价的有15人.则接受调查的市民共有（    ） A．190人 B．120人 C．144人 D．178人 考点3 区间 知识点5 区间 1．区间的定义 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. 2．区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 3．特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 【题型9 区间的定义与表示】 【例9】（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·新疆阿克苏·阶段检测）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【变式9-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）将集合表示成区间形式为___________． 【变式9-3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）集合或用区间表示为__________. 【题型10 集合新定义】 【例10】（2026高一上·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义且，已知，，则（ ） A． B．或 C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】（25-26高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【变式10-3】（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $