第03讲 交集、并集（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版

第03讲 交集、并集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1交集的概念及运算 题型2根据交集结果求参数 题型3并集的概念及运算 题型4根据并集结果求参数 题型5交并补的混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 交集、并集的概念、区间的表示 1. 理解两个集合交集、并集的含义，会求两个简单集合的交集、并集； 2. 能使用韦恩图表示集合的关系及运算； 3. 掌握区间的表示方法； 学习重点：交集、并集的运算 学习难点：交集并集补集的混合运算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 交集、并集 【知识清单1 交集、并集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 4．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点2 区间】 1．区间 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 题型1 交集的概念及运算 【例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用交集的运算求解. 【解答过程】，，. 故选：A. 【易错提醒】/【方法总结】 根据交集的定义求出公共元素即可 【变式1-1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的概念即可判断. 【详解】由题得，． 故选：B 【变式1-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解绝对值不等式，再求交集即可. 【详解】由， 则， 故选：C. 【变式1-3】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 题型2根据交集结果求参数 【例2】已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，则，解得， 当时，则，解得：． 综上所述，的取值范围为. 故选：A． 【易错提醒】/【方法总结】 利用集合关系列出不等式组求解即可 【变式2-1】已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可 【详解】由题意可得，且，解得． 故选：B. 【变式2-2】设，且，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】结合不等式由交集运算即可； 【详解】因为，且， 所以， 故选：D. 【变式2-3】设集合，. (1)，，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据集合交集运算的性质进行求解即可； （2）根据集合交集运算的性质，结合空集的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，且， 所以，解得，， 综上所述，的取值范围为. （2）因为， 所以当时，即，解得，满足题意； 当时，要使，则或， 解得. 综上所述，的取值范围为或. 题型3并集的概念及运算 【例3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得，再由集合的并集运算可得. 【详解】， 故， 故选：D 【易错提醒】/【方法总结】 先确定集合的元素，再根据并集的概念求解即可 【变式3-1】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，然后可求并集． 【详解】由得， ∴， 又∵， 故． 故选：A. 【变式3-2】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集和并集概念求出答案. 【详解】，又， 故. 故选：D 【变式3-3】）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的并运算求集合即可. 【详解】由. 故选：A. 题型4根据并集结果求参数 【例4】已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 【易错提醒】/【方法总结】 由得到接着分和求出B，结合分析求解即可 【变式4-1】已知集合，，且，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】由，， 因为，所以，则， 即实数的取值集合是. 故选：B. 【变式4-2】已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的并集运算即可求解. 【详解】，，， ∴结合数轴可知：. 故选：A. 【变式4-3】已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解. （2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解. 【详解】（1）由，得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，符合题意， 所以. （2）由（1）得，，由，得， ①若，此时，即，符合题意； ②若，由，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 题型5交并补的混合运算 【例5】已知全集， 集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的交集与补运算即可. 【解答过程】全集， 集合， 则，所以 . 故选：B. 【易错提醒】/【方法总结】 根据集合的交集与补集运算即可 【变式5-1】已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的运算逐项判断可得. 【解答过程】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式5-2】已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合关系结合并集补集的运算即可判断， 【详解】对于集合， 当时， 当时， 所以, 又,, 所以, 故选：C 【变式5-3】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 【变式5-4】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 一、单选题 1．已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集运算即可求解. 【详解】由， ， 故选：B 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的并运算求集合即可. 【详解】由. 故选：A. 3．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出各个集合，再利用交集和补集的性质求解即可. 【详解】令，解得，则，故， 因为，所以，故A正确. 故选：A 4．已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义即可求得结果. 【详解】因为集合，集合，且，所以， 故选：B 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 二、多选题 6．下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 7．设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 8．已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 9．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 10．某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 三、填空题 11．已知全集，集合，，则 ，（ ． 【答案】 或 或． 【详解】或  利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图： 则或．又，所以或，或． 12．已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 13．若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 四、解答题 14．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 15．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 交集、并集 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1交集的概念及运算 题型2根据交集结果求参数 题型3并集的概念及运算 题型4根据并集结果求参数 题型5交并补的混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 交集、并集的概念、区间的表示 1. 理解两个集合交集、并集的含义，会求两个简单集合的交集、并集； 2. 能使用韦恩图表示集合的关系及运算； 3. 掌握区间的表示方法； 学习重点：交集、并集的运算 学习难点：交集并集补集的混合运算 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 交集、并集 【知识清单1 交集、并集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 2．交集的性质 性质 说明 A∩B＝B∩A 满足交换律 A∩A＝A 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 A∩∅＝∅ 任何集合与空集的交集等于空集 (A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 4．并集的性质 性质 说明 A∪B＝B∪A 满足交换律 A∪A＝A 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 A∪∅＝A 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点2 区间】 1．区间 (1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”. (2)区间的几何表示 设a,b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] (3)特殊区间的几何表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 题型1 交集的概念及运算 【例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式1-1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型2根据交集结果求参数 【例2】已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式2-1】已知集合，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】设，且，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2-3】设集合，. (1)，，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 题型3并集的概念及运算 【例3】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式3-1】设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型4根据并集结果求参数 【例4】已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式4-1】已知集合，，且，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知集合，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 题型5交并补的混合运算 【例5】已知全集， 集合，则（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】/【方法总结】 【变式5-1】已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 一、单选题 1．已知集合则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 7．设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 8．已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 9．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 10．某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 三、填空题 11．已知全集，集合，，则 ，（ ． 12．已知集合和，满足，，则实数 ． 13．若或，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 14．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 15．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $