专项训练03 相似三角形基本模型（5种题型）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以“判定-性质-模型”为逻辑主线，构建“方法提炼-模型识别-综合应用”三阶训练体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判定/性质|4定理+8技巧|AA判定优先级、面积比平方转化、等积式证明流程|从基础判定（概念生成）到性质应用（原理推导），形成逻辑闭环| |五大模型|5题型+20+典例|模型拆分法、动态题优先识别模型、多模型分步证明|以A字/X字/母子/一线三等角/旋转模型为载体，实现从单一模型到综合叠加的应用拓展|

专项训练03 相似三角形基本模型 【知识点1 相似三角形的判定】 一、四大判定定理 1. AA（两角分别相等） 两组对应角相等，两三角形相似；公共角、对顶角、平行线同位/内错角、同角余补角均可推导等角；直角三角形只需一组锐角相等即可判定，考试最常用。 1. SAS（两边对应成比例且夹角相等） 两组对应边比值相等，且相等的角是两组边的夹角；两边成比例+对角相等不能判定相似，是高频易错点。 1. SSS（三边对应成比例） 将两个三角形三边从小到大排序，三组对应边比值全部相等，则两三角形相似，仅题干给出边长时使用。 1. 直角三角形专属HL相似 斜边与一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似。 二、解题技巧 1. 判定优先级：AA＞SAS＞SSS，做题优先寻找等角； 1. 证明等积式思路：横/竖锁定目标三角形，先证相似，再转化为比例式，交叉相乘得等积； 1. 书写规范：相似三角形顶点一一对应，防止找错对应边、角； 1. 网格题型：利用格点计算边长，再用SSS判定相似。 【知识点2 相似三角形的性质】 一、基础性质 1. 边角：对应角相等，对应边成比例，比值称为相似比； 1. 对应线段：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比； 1. 周长：周长之比 = 相似比； 1. 面积：面积之比 = 相似比的平方。 二、拓展推论 1. 相似比为1时，两三角形全等，全等是特殊的相似； 1. 同高/等高三角形面积比等于底边长之比，等底三角形面积比等于高之比； 1. 多层嵌套相似图形，逐层计算相似比再求线段、面积。 三、解题技巧 1. 线段、周长、高线计算直接套用相似比；面积计算必须平方相似比； 1. 已知面积反求边长：对面积比开平方得到相似比； 1. 综合大题流程：先判定相似，再利用性质列分式方程求解线段长度。 【知识点3 相似三角形的基本模型】 一、五大必考模型及结论 1. A字型（平行型） 平行于三角形底边的直线截两边，小三角形∽原三角形；侧边、底边对应成比例；斜A字型依靠公共角+一组等角证相似。 1. 8字型（X型） 平行线形成内错角，搭配对顶角构成两组等角，上下两三角形相似，交叉线段对应成比例。 1. 子母型（共角型） 两三角形共用公共角，一组等角即可证AA相似；直角子母型（射影模型）：直角三角形斜边上的高分出两个小直角三角形，三者两两相似，可直接使用等积结论。 1. 一线三等角模型 同一直线上存在三个相等角，借助平角互余推导两组等角，直线两侧三角形相似，常结合矩形、等腰三角形、直角出题。 1. 旋转相似模型 共顶点，两组边对应成比例，通过加减公共角得到相等夹角，用SAS证明相似。 二、解题技巧 1. 识图方法：剥离图形多余线条，快速拆分基础模型，省去重复找等角步骤； 1. 动态几何、压轴题优先识别模型，直接套用固定比例与等角关系； 1. 多个模型叠加时，分步拆分，依次证明每组相似三角形。 【题型1 相似模型之“A字型”】 1．已知：如图，点在三角形的边上，交于点，，点在上，且． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）利用已知可得，然后利用平行线分线段成比例证明即可； （2）利用两边成比例且夹角相等来证明即可． 【解答】证明：（1）， ， ； （2）， ， 由（1）得：， ． ， ． 2．如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，根据题意不难证明； （2）过点作，交于点，根据等腰三角形的性质可得，则，易证明，则，易证明，则，将，代入即可求解． 【解答】（1）证明：为等腰三角形，， ， 点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点作，交于点， 为等腰三角形，，点是的中点， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由上述知，，， ． 3．如图，在△中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）求证：△△； （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （2）导角证明，，即可得结论； （3）证明△△，即可得．又由（1）可得，从而由△△，可得． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：， ， ，， △△； （3），， △△， ， 又由（1）可得， ． 由（2）知△△， 故． 4．如图，已知和，边，交于点，平分，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解答； （2）． 【分析】（1）先由角平分线的定义说明，再由已知可得结论； （2）先由（1）三角形相似得，再由已知角平分线的定义、公共角可得，代入计算得结论． 【解答】（1）证明：平分，平分， ，． ． 又， ． （2）解：由（1）知， ． 又， ． ， ． 又， ． ． ． 答：的长为． 【题型2 相似模型之“X字型”】 1．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步． 【分析】先说明两个三角形相似，再利用相似三角形的性质得结论． 【解答】解：，， ． ， ． ． （步． 答：、之间相距136步． 2．如图，在中，，，，，是的平分线，交于点．求的长． 【答案】5． 【分析】由角平分线定义得出，由平行线的性质得出，等量代换得出，根据等腰三角形的判定定理得，由，找出“8”字模型相似三角形，由相似三角形的性质列出比例式，得出，根据，计算得出的长度． 【解答】解：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 3．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【答案】（1）（2）证明见解析． 【分析】（1）通过证明，可得，由平行线的性质可得，且，可证； （2）由相似三角形的性质可得，且，可证，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论． 【解答】证明：（1）． ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）因为平分，所以，因为，证得，所以，即； （2）已知，，，可得的长，因为为的中点，可得的长，因为，所以，因为，可证，所以，可得的值． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ，即； （2），，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 【题型3 相似模型之母子型】 1．如图，在中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）、、、是成比例线段吗？为什么？ 【答案】（1）证明见解析； （2）、、、是成比例线段，理由见解析． 【分析】（1）方法一：根据题意可证明，由相似三角形的性质即可得出结论； 方法二：由，以此即可得出结论； （2）根据成比例线段的概念判断即可． 【解答】（1）证明：方法一：，， ， ， ； 方法二：， ； （2）解：、、、是成比例线段，理由如下： 由（1）知，， ， 、、、是成比例线段． 2．如图，在中，，点是斜边的中点，连接，线段线段交于点，交于点，垂足为点． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1）（2）证明见解析； 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论； （2）由直角三角形的性质得，再由相似三角形的判定与性质可得，结合（1）的结论可得答案． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， ， 即； （2）在中，点是斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 3．如图，在中，，于点，，． （1）求证； （2）求的长． 【答案】（1）见解答过程； （2）． 【分析】（1）依据，，即可得到，，进而判定； （2）依据相似三角形的性质即可得到的长，再根据勾股定理进行计算，即可得出的长． 【解答】解：（1）中，， ， ， ， ， 又， ； （2）， ， ， ， 中，． 4．如图，是斜边上的高，为的中点，的延长线交的延长线于点．求证：． 【答案】证明过程见解答． 【分析】先证明，得出，再证明，可得，即可解答． 【解答】证明：， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 即． 【题型4 相似模型之一线三等角】 1．如图，，，为上一点，，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：． 【答案】（1）； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）利用一线三等角模型证明，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得，从而可得，然后证明，即可解答． 【解答】（1）解：，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 的长为； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，等边△中，点、分别在边、上， （1）求证：△△； （2）若，，求等边△的边长． 【分析】（1）由等边三角形的性质及“一线三等角”推出有两个角相等，从而证得结论； （2）设等边△的边长为，由△△，得比例式，求出值即可． 【解答】解：（1）证明：△是等边三角形， ， 又， ，， ， △△； （2）设等边△的边长为， ，， ，， △△， ， ， 解得：， 等边△的边长为6． 3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处． （1）求证：； （2）若时，求． 【分析】（1）由等边三角形的性质可知，再由翻折及“一线三等角”可推得，则； （2）设，则，，，由相似三角形的性质可得与的关系式，解得它们的值，则答案可求． 【解答】解：（1）证明：等边 将沿折叠，点落在边上的处． 又 ； （2） 设，则， 翻折， 设， ，， 由得： ① 由得： ② 由①②解得：， ． 4．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）9． 【分析】（1）利用一线三等角模型证明即可； （2）利用（1）的结论可求出，的长，然后再利用8字模型相似证明，即可解答． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的面积， 答：的面积为9． 【题型5 相似模型之旋转模型（手拉手模型）】 1．如图，已知，求证：． 【分析】根据相似三角形对应角相等、对应边相等的性质可得，，即可求证．即可解题． 【解答】证明：， ，． ， 即， ． ． 2．如图，点在△下方，，将△沿翻折，点的对应点落在上． 【模型建立】 （1）如图1，△是等边三角形，点在上，且，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，△是等腰直角三角形，，． ①用等式写出线段，，之间的数量关系（直接写出结论，不必证明）； ②若，，求的长． 【答案】（1）见证明过程． （2）①．见解答过程． ②． 【分析】（1）利用手拉手证明△△，再换算即可． （2）①构造等腰△，利用两边对应成比例，且夹角相等，得△△，再换算即可． ②利用①中结论计算即可． 【解答】（1）证明：△是等边三角形， ，． ， ， 由翻折得． ， △为等边三角形， ，， ， 由，，， 得△△， ， ． （2）①． 理由： 过作． ，， ， 由翻折得． ， △为等腰△， ， ， ，， ， △△， ， ． ， ， ， 即． ②，， ， ， ，， ， ． 3．（1）【问题呈现】如图1，△和△都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系：　　． （2）【类比探究】如图2，△和△都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系：　　． （3）【拓展提升】如图3，△和△都是直角三角形，，且．连接，．求的值； 【答案】（1）； （2）或； （3）①； 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明△△，即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明△△，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解； （3）根据，，可证△△，可得，在△中，求出，在△中，求出，再证△△，根据相似三角形的性质即可求解； 【解答】解：（1）△和△都是等边三角形， ， ， 在△，△中， ， △△， ， 故答案为：． （2）结论：或，理由如下： △和△都是等腰直角三角形，， ， ， ， △△， ， 或， 故答案为：或； （3）①， ， △△， ，即， ， 设，， 在△中，， 同理，在△中，设，，则， ，，即， △△， ； 4．如图1，在和中，，． （1）①求证：； ②若，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：． 【答案】（1）①见解析；②是等腰三角形； （2）见解析． 【分析】（1）①根据两个角相等可得，得，再根据，可证明结论； ②由①知，当时，，则是等腰三角形； （2）同理证明，得，再利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明结论． 【解答】（1）①证明：，， ， ， 即， 又， ， 即， ； ②解：是等腰三角形，理由如下： 由①知，， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．如图，是△的中位线，若，则等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】根据是△的中位线，可得，可得△△，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出． 【解答】解：是△的中位线， ，， △△， ， 又， ． 故选：． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，与相交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得，，，则△△，有，再根据，可得，从而解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ，，， △△， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 3．如图，在△中，，，，过的中点作，交于点，则的长为 ． 【答案】． 【分析】过点作，垂足为，先证明一线三等角模型△△，从而利用相似三角形的性质可设，则，然后再证明字模型△△，从而可得，进而根据列出关于的方程，进行计算可求出，的长，最后在△中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， △△， ， 设，则， ，， △△， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 4．如图，在矩形中，，分别为，边的中点，分别与，交于点，．若，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】如图，延长、交于，首先利用已知条件证明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出． 【解答】解：如图，延长、交于， 为的中点， ， 四边形为矩形， ，，，，， ， 而， ， ，， ，分别为，边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，因此时，最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出、，即可求出结果． 【解答】解：如图，过点作于点，连接， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，，，为上一点，，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：． 【答案】（1）； （2）证明过程见解答． 【分析】（1）利用一线三等角模型证明，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得，从而可得，然后证明，即可解答． 【解答】（1）解：，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 的长为； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【分析】（1）因为平分，所以，因为，证得，所以，即； （2）已知，，，可得的长，因为为的中点，可得的长，因为，所以，因为，可证，所以，可得的值． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ， ，即； （2），，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ． 8．已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 【答案】（1）（2）详见解答． 【分析】（1）由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到、，再利用相似三角形的性质得结论； （2）利用“两角对应相等”先说明，再利用等腰三角形的三线合一说明，最后利用菱形的判定方法得结论． 【解答】证明：（1）四边形是平行四边形， ，． ，． ，． ． ． （2）， ． ， ． ， ． ，即． ， ． ． 四边形是平行四边形， ． ，即． 平行四边形是菱形． 1．如图，在边长为的等边△中，点从点开始以每秒的速度沿射线方向运动，连结，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点，设点的运动时间为秒． （1）如图①，当点在边上时，若平分，则　30　． （2）如图②，当点在边延长线上时，过点作交于点，若点为中点， ①求证：△△； ②当时，求的值． （3）若点是的三等分点，当△的面积等于，直接写出的值． 【答案】（1）30．（2）①证明见解答； ②的值为3． （3）的值为4或1． 【分析】（1）运用等边三角形性质、角平分线定义、旋转变换性质及直角三角形性质即可求得答案； （2）①利用可证得△△，再利用即可证得△△； ②根据题意建立方程求解即可得出答案； （3）分两种情况：当时，当时，分别求得的值即可． 【解答】（1）解：△是等边三角形， ， 平分， ， 射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点， ， ， ， 故答案为：30． （2）①证明：， ，， 点为中点， ， 又， △△， ， △是等边三角形， ，， ，， ， ， 射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点， ，即， 又， ， △△； ②由①知△△， ， 由题意得 ， ， 解得， 的值为3． （3）点是的三等分点， 或， 当时，如图，过点作于，过点作交的延长线于， 则， △的面积等于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， 解得； 当，即时，如图，过点作交的延长线于， 则， 又， ， ， ， △△， ， ， ，即， 解得：； 综上所述，的值为4或1． 2．在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为　　； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2），证明见解答； （3）线段的长为或． 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）的数量关系不变，理由如下： 当时，， 则， ，， 由勾股定理可得：， ， ， ，， ， 由旋转得：， 即， ， ， ， ； （3），， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，， ， ， 当旋转至直线上方时，如图， 则； 当旋转至直线下方时，如图， 则； 综上所述，线段的长为或． 3．如图，等腰直角三角形中有，，点是线段中点，点是平面内任意一点，将线段绕点逆时针旋转得线段． （1）如图1，连接、，若点与点重合，，求长度； （2）如图2，若点在右侧，取中点，连接、、，，在线段上取一点满足． ①证明：； ②如图3，连接、，作点分别关于，的对称点，，连接，，，若，直接写出的值． 【答案】（1）长度为； （2）①证明见解答； ②的值为． 【分析】（1）过点作交的延长线于点，先证得△△，得出：，，再运用勾股定理即可求得答案； （2）①连接，，过点作交的延长线于点，先证得、、、四点共圆，得出，结合已知推出，再利用三角形中位线定理和旋转的性质证得△△，得出，利用平行线判定推出，可得△△，进而得出，再证得△△，得出，利用等腰直角三角形性质即可证得结论； ②过点作交于点，交的延长线于点，过点作于，连接，，利用轴对称性质可得：点和点到直线的距离等于点到直线的距离，再证得、、三点共线，根据，推出，设，，则，，运用射影定理可得与的关系，再运用勾股定理即可求得答案． 【解答】（1）解：如图1，过点作交的延长线于点， 则， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转得线段， ，， 点与点重合， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ，点是线段的中点， ，， ， ，， ， ； （2）①证明：如图2，连接，，过点作交的延长线于点， 在等腰△中，，，点是线段的中点， ， ，，， ， ， 、、、四点共圆， ， ，， ， 点和点分别为，的中点， 是△的中位线， ，， ， 由旋转的性质可得，， ， ， △△， ，， ， ， △△， ， ， ，， △是等腰直角三角形， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△中，， ， ， ； ②解：如图3，过点作交于点，交的延长线于点，过点作于，连接，， 由轴对称的性质可得：，，点和点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， △△， ，即， ， ，，， ， 在△中，， ， ， ， ， ， 又， △△， ，， ， 在△中，， ． 4．基础学习 （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． 尝试应用 （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． 拓展提高 （3）如图3，矩形中，为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 【答案】（1）证明见解答； （2）； （3）． 【分析】（1）通过证明，，由相似三角形的性质可求解； （2）过点作，分别交、、于、、，通过证明，，，，，得出，，即可求得答案； （3）连接，并延长交于，通过相似三角形的性质可求，点在线段上运动，当且仅当时，有最小值，即可求解． 【解答】（1）证明：， ，， ，， ， ； （2）解：如图，过点作，分别交、、于、、， ， ，，， ，，， ， ， 设，则，，设， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ； （3）如图，连接，并延长交于， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， 点在线段上运动，当且仅当时，有最小值， 在中，， ， ， ， ， ， ，即， ， 的最小值为． 5．【实践探究】（1）如图1，矩形中，，，交于点，则的值是 　　； 【变式探究】（2）如图2，中，，，，为边上一点，连接，，交于点，若，求的长； 【灵活应用】（3）如图3，在矩形中，，点，分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作交于点，若，设△的面积为，的面积为，△的面积为，若，则的值为 　　． 【答案】（1）； （2）的长为； （3）． 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再由矩形性质和垂直定义可得，可证得，即可求得答案； （2）过点作于点，先证得，可求得，，再证得，即可求得答案； （3）设与交于点，过点作交于点，由，可求得，，再证得，可得，则，，，，，再证得△，可得，再运用三角形面积公式可求得：，，，代入，解方程求得，由，可得，再利用平行四边形性质可得，即可求得答案． 【解答】解：（1）如图1， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作于点， 则， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ； （3）如图3，设与交于点，过点作交于点， 由对称性可知，，， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 令， 则，，， ， ， ，， △， ，即， ， ， ， ， ， ， 解得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 6．【证明体验】（1）如图1，在中，为边上一点，连结，若，求证：． （2）在中，，，，为边上一动点，连结，为中点，连结． 【思考探究】①如图2，当时，求的长． 【拓展延伸】②如图3，当时，求的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）①的长为2． ②的长为． 【分析】（1）由已知可证得，得出，化为等积式即可； （2）①延长至，使，连接，由三角形中位线定理可得：，，进而证得，得出，设，则，，建立方程求解即可得出答案； ②延长至，使，连接，过点作于点，同理可得，设，则，，，即，再利用解直角三角形可得，，，，根据勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【解答】（1）证明：，， ， ， ． （2）解：①如图，延长至，使，连接， 则为的中点， 为中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， 则， ，， 设，则， ， ， 解得：，， ， 不符合题意，舍去， 的长为2． ②如图，延长至，使，连接，过点作于点， 则为的中点， 为中点， 是的中位线， ，， ， ， 由①知，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 在中，，，， ，， ， ， 在中，， 即， 解得：，， ， 不符合题意，舍去， 的长为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项训练03 相似三角形基本模型 【知识点1 相似三角形的判定】 一、四大判定定理 1. AA（两角分别相等） 两组对应角相等，两三角形相似；公共角、对顶角、平行线同位/内错角、同角余补角均可推导等角；直角三角形只需一组锐角相等即可判定，考试最常用。 1. SAS（两边对应成比例且夹角相等） 两组对应边比值相等，且相等的角是两组边的夹角；两边成比例+对角相等不能判定相似，是高频易错点。 1. SSS（三边对应成比例） 将两个三角形三边从小到大排序，三组对应边比值全部相等，则两三角形相似，仅题干给出边长时使用。 1. 直角三角形专属HL相似 斜边与一条直角边对应成比例，两个直角三角形相似。 二、解题技巧 1. 判定优先级：AA＞SAS＞SSS，做题优先寻找等角； 1. 证明等积式思路：横/竖锁定目标三角形，先证相似，再转化为比例式，交叉相乘得等积； 1. 书写规范：相似三角形顶点一一对应，防止找错对应边、角； 1. 网格题型：利用格点计算边长，再用SSS判定相似。 【知识点2 相似三角形的性质】 一、基础性质 1. 边角：对应角相等，对应边成比例，比值称为相似比； 1. 对应线段：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比； 1. 周长：周长之比 = 相似比； 1. 面积：面积之比 = 相似比的平方。 二、拓展推论 1. 相似比为1时，两三角形全等，全等是特殊的相似； 1. 同高/等高三角形面积比等于底边长之比，等底三角形面积比等于高之比； 1. 多层嵌套相似图形，逐层计算相似比再求线段、面积。 三、解题技巧 1. 线段、周长、高线计算直接套用相似比；面积计算必须平方相似比； 1. 已知面积反求边长：对面积比开平方得到相似比； 1. 综合大题流程：先判定相似，再利用性质列分式方程求解线段长度。 【知识点3 相似三角形的基本模型】 一、五大必考模型及结论 1. A字型（平行型） 平行于三角形底边的直线截两边，小三角形∽原三角形；侧边、底边对应成比例；斜A字型依靠公共角+一组等角证相似。 1. 8字型（X型） 平行线形成内错角，搭配对顶角构成两组等角，上下两三角形相似，交叉线段对应成比例。 1. 子母型（共角型） 两三角形共用公共角，一组等角即可证AA相似；直角子母型（射影模型）：直角三角形斜边上的高分出两个小直角三角形，三者两两相似，可直接使用等积结论。 1. 一线三等角模型 同一直线上存在三个相等角，借助平角互余推导两组等角，直线两侧三角形相似，常结合矩形、等腰三角形、直角出题。 1. 旋转相似模型 共顶点，两组边对应成比例，通过加减公共角得到相等夹角，用SAS证明相似。 二、解题技巧 1. 识图方法：剥离图形多余线条，快速拆分基础模型，省去重复找等角步骤； 1. 动态几何、压轴题优先识别模型，直接套用固定比例与等角关系； 1. 多个模型叠加时，分步拆分，依次证明每组相似三角形。 【题型1 相似模型之“A字型”】 1．已知：如图，点在三角形的边上，交于点，，点在上，且． 求证：（1）； （2）． 2．如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的值． 3．如图，在△中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）求证：△△； （3）若，求的值． 4．如图，已知和，边，交于点，平分，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型2 相似模型之“X字型”】 1．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 2．如图，在中，，，，，是的平分线，交于点．求的长． 3．已知：如图，在中，点在边上，，与、分别相交于点、，． （1）求证：； （2）联结，求证：． 4．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【题型3 相似模型之母子型】 1．如图，在中，是斜边上的高． （1）求证：； （2）、、、是成比例线段吗？为什么？ 2．如图，在中，，点是斜边的中点，连接，线段线段交于点，交于点，垂足为点． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 3．如图，在中，，于点，，． （1）求证； （2）求的长． 4．如图，是斜边上的高，为的中点，的延长线交的延长线于点．求证：． 【题型4 相似模型之一线三等角】 1．如图，，，为上一点，，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：． 2．如图，等边△中，点、分别在边、上， （1）求证：△△； （2）若，，求等边△的边长． 3．已知等边，，分别在边、上，将沿折叠，点落在边上的处． （1）求证：； （2）若时，求． 4．如图，在正方形中，为上一点，，交于，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【题型5 相似模型之旋转模型（手拉手模型）】 1．如图，已知，求证：． 2．如图，点在△下方，，将△沿翻折，点的对应点落在上． 【模型建立】 （1）如图1，△是等边三角形，点在上，且，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，△是等腰直角三角形，，． ①用等式写出线段，，之间的数量关系（直接写出结论，不必证明）； ②若，，求的长． 3．（1）【问题呈现】如图1，△和△都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系：　　． （2）【类比探究】如图2，△和△都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系：　　． （3）【拓展提升】如图3，△和△都是直角三角形，，且．连接，．求的值； 4．如图1，在和中，，． （1）①求证：； ②若，试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，旋转，使点落在边上，若，．求证：． 1．如图，是△的中位线，若，则等于（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，与相交点，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△中，，，，过的中点作，交于点，则的长为 ． 4．如图，在矩形中，，分别为，边的中点，分别与，交于点，．若，，则的长为 　　． 5．如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 　　． 6．如图，，，为上一点，，连接． （1）若，求的长； （2）若平分，求证：． 7．如图，在四边形中，平分，，为的中点，连接，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 8．已知：如图，在平行四边形中，对角线、交于，是边延长线上的一点，联结，与边交于，与对角线交于点． （1）求证：； （2）联结，如果，求证：平行四边形是菱形． 1．如图，在边长为的等边△中，点从点开始以每秒的速度沿射线方向运动，连结，点在线段上（不与端点重合），将射线绕点逆时针旋转得到的射线与射线交于点，设点的运动时间为秒． （1）如图①，当点在边上时，若平分，则　30　． （2）如图②，当点在边延长线上时，过点作交于点，若点为中点， ①求证：△△； ②当时，求的值． （3）若点是的三等分点，当△的面积等于，直接写出的值． 2．在中，，，为上的一点（不与端点重合），过点作交于点，得到． （1）【问题发现】如图1，当时，为的中点时，与的数量关系为　　； （2）【类比探究】如图2，当时，绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点顺时针旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 3．如图，等腰直角三角形中有，，点是线段中点，点是平面内任意一点，将线段绕点逆时针旋转得线段． （1）如图1，连接、，若点与点重合，，求长度； （2）如图2，若点在右侧，取中点，连接、、，，在线段上取一点满足． ①证明：； ②如图3，连接、，作点分别关于，的对称点，，连接，，，若，直接写出的值． 4．基础学习 （1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，交于点，求证：． 尝试应用 （2）如图2，已知、为的边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和于点、和，求的值． 拓展提高 （3）如图3，矩形中，为常数），点是矩形边上的一个动点，延长至点，使，连接，，与相交于点，连接，求的最小值（用的代数式表示）． 5．【实践探究】（1）如图1，矩形中，，，交于点，则的值是 　　； 【变式探究】（2）如图2，中，，，，为边上一点，连接，，交于点，若，求的长； 【灵活应用】（3）如图3，在矩形中，，点，分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作交于点，若，设△的面积为，的面积为，△的面积为，若，则的值为 　　． 6．【证明体验】（1）如图1，在中，为边上一点，连结，若，求证：． （2）在中，，，，为边上一动点，连结，为中点，连结． 【思考探究】①如图2，当时，求的长． 【拓展延伸】②如图3，当时，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $