精品解析：江苏苏州高新区实验初级中学2025－2026学年下学期初二数学期末模拟卷(三)

苏州高新区实验初级中学2025-2026学年第二学期数学 实初教育集团初二数学期末模拟卷（三） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 频数是表示所有对象出现的次数 B. 频率是表示每个对象出现的次数 C. 所有频率之和等于1 D. 所有频数之和等于1 2. 某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（ ） A. 抽一次不可能抽到一等奖 B. 抽次也可能没有抽到一等奖 C. 抽次奖必有一次抽到一等奖 D. 抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 3. 如图，四边形 是菱形，于，则 等于（ ） A. B. C. D. 4. 数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个 ，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，，， ，平面上有一点 ，连接 ，，若，取 的中点 ．连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　） A. 2x% B. 1+2x% C. （1+x%）x% D. （2+x%）x% 8. 设a，b，c为实数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 10. 如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形．依据是________的四边形是平行四边形． 11. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 13. 如图，在正方形 中， 是 上一点， 是点 关于的对称点．若，，则 的面积为__________________． 14. 如图，已知在梯形 中，，，，， 平分，交 边于点 ．如果是直角三角形，那么 的长为____． 15. 已知，是关于 的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则 的值是_______________． 16. 如图，在矩形 中， 为对角线， ， ．点 、 分别在边 ， 上， 连接， ．作点关于的对称点，点 关于 的对称点、，恰好落在对角线 上，连接 ， ，则四边形 的周长为_____________． 三、解答题．（本大题共9小题，共60分） 17. 解方程． （1）； （2）． 18. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 、点、点 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作 使点 在边 上，点 、点 均在格点上且点 不与点 、点 重合（画出一个即可）； （2）在图②中，作使点 为对称中心； （3）在图③中，在边 上找一点，在边 上找一点，连接， ，使四边形为矩形． 19. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后，随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分，根据以上信息解决下列问题： 组别 正确字数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E 20 （1）在统计表中，________，_______，并补全直方图． （2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是_________度． （3）若该校共有800名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数有多少人？ 20. 小明做作业：解方程：．发现系数“”印刷不清楚． （1）他把“”猜成8，请你解方程； （2）若此方程两个实根都是整数，请直接写出“”中所有可能的正数之和． 21. 如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交 于点F，滑动 使O，G，P在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交 于点E，滑动，使，， 在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽 为．试根据以上数据计算出建筑物的高度 ．（结果精确到） 22. 如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，矩形的周长为14，求 的长． 23. 如图，在正方形 中， 为对角线，点 为 的中点，垂直平分线段，分别交 ， ， 于点 ， ，．已知． （1）求线段 的长． （2）求的值． 24. 某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 25. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接， ，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在 的中线的延长线上时，延长交于点G，求 的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段 的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州高新区实验初级中学2025-2026学年第二学期数学 实初教育集团初二数学期末模拟卷（三） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 频数是表示所有对象出现的次数 B. 频率是表示每个对象出现的次数 C. 所有频率之和等于1 D. 所有频数之和等于1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了频数和频率的概念和性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据频数和频率的概念和性质，进行作答，然后即可求解； 【详解】解：A、频数表示每个对象出现的次数，所以A错误； B、频率表示每个对象出现的次数与总次数的比值，而不是出现的次数，所以B错误； C、每个频率是频数除以所有对象的总数，所以所有频率之和等于1，C正确； D、所有频数之和等于数据总数，不一定等于1，所以D错误； 故选：C； 2. 某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（ ） A. 抽一次不可能抽到一等奖 B. 抽次也可能没有抽到一等奖 C. 抽次奖必有一次抽到一等奖 D. 抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】B 【解析】 【分析】概率是描述事件发生可能性大小的量，不代表事件一定发生或一定不发生，每次抽奖为独立事件，据此判断各选项即可． 【详解】解：抽到一等奖的概率为，说明每次抽奖都有的可能性抽到一等奖，可能性小但仍可能发生， A．抽一次也可能抽到一等奖，故该选项错误，不符合题意， B．抽次也可能没有抽到一等奖，故该选项正确，符合题意， C．抽次不一定必有一次抽到一等奖，故该选项错误，不符合题意， D．前次没抽到，第次抽到一等奖的概率仍为，不是肯定抽到，故该选项错误，不符合题意． 3. 如图，四边形 是菱形，于，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 与 交于点 ，根据菱形的性质可得 ，，，利用勾股定理求出 的长，再根据菱形的面积公式即可求出 的长． 【详解】解：设 与 交于点 ， 四边形 是菱形， ，， ，，， 在中，， ， ， ． 4. 数学兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形相框的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故不符合题意； B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故符合题意； C、由两组对边相等得到该四边形是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意； D、先由对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，再由对角线相等得到该四边形是矩形，故不符合题意． 5. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个 ，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：分别为的中点，， ， 点距离地面的高度为． 故选：B． 6. 如图，在 中，，， ，平面上有一点 ，连接，，若，取的中点 ．连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取 的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取 的中点N，连接， ∵点N为 中点， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为 中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 7. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（　　） A. 2x% B. 1+2x% C. （1+x%）x% D. （2+x%）x% 【答案】D 【解析】 【详解】设第一季度的原产值为a，则第二季度的产值为 ，第三季度的产值为 ，则则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 故选D. 8. 设a，b，c为实数，且满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分当时和当时，两种情况讨论求解即可．当时，利用二次函数与x轴的交点问题求解即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，设二次函数解析式为 ， ∵，， ∴当 时，，当时，， ∴抛物线 与x轴有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 综上所述，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，二次函数与x轴的交点问题，熟知不等式和二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_____（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， ， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率． 10. 如图，点D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形．依据是________的四边形是平行四边形． 【答案】两组对边分别相等 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记两组对边分别相等的四边形为平行四边形是解题的关键． 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定即可． 【详解】由作图可知，， 所以四边形 是平行四边形， 依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：两组对边分别相等． 11. 如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC=90°，若AC=10，BC=16，则DF的长为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，计算即可． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=8， ∵∠AFC=90°，E是AC的中点， ∴EF=AC=5， ∴DF=DE-EF=3， 故答案为:3. 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题关键． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根时，根的判别式大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 13. 如图，在正方形 中， 是 上一点， 是点 关于的对称点．若，，则 的面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设 与交于点 ，先利用轴对称性质得出，，再根据正方形的性质得到，，结合勾股定理，利用含角的直角三角形的性质求出 及的长，从而将求 面积转化为求底边 和对应高的长度，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，设 与交于点 ， 是点 关于的对称点， ，， ， 四边形 是正方形， ，， 在中，，， ，， ，， 在中，，则， 则， 由勾股定理得，， 即， 解得， ． 14. 如图，已知在梯形 中，，，，， 平分，交 边于点 ．如果是直角三角形，那么 的长为____． 【答案】或 【解析】 【分析】当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，过点作，交延长线于，先证明四边形为矩形，得，，设，则，再证明得，由此得，然后在中，由勾股定理求出，由此可得 的长；②当时，过点 作于，先证明得，再证明得，由此可得，综上所述即可得 的长． 【详解】解：依题意得，当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点作，交延长线于，如图所示： ∵， ∴， 又∵，交延长线于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵ 平分， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则； ②当时，过点 作于，如图2所示： ∵，于， ∴， ∵ 平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 的长为或 ． 【点睛】本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握梯形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解决问题的关键． 15. 已知，是关于 的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则 的值是_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式．然后代入求值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ， 故答案为：3． 16. 如图，在矩形 中， 为对角线， ， ．点 、 分别在边 ， 上， 连接， ．作点关于的对称点，点 关于 的对称点、，恰好落在对角线 上，连接 ， ，则四边形 的周长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求对角线 ，再利用对称性求 ， ，在 中利用勾股定理求 （即 ），同理求 进而得 ，最后通过作高利用面积法和勾股定理求 ． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴ ， 由轴对称的性质可知： ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴， 设 ，则 ， 在 中，， ∴， 解得， ∴， 过点 作 于点 ，如图： ∴ ， ∵ ， ∴， 在 中，， ∴， 在 中，， ∴四边形 的周长： ． 三、解答题．（本大题共9小题，共60分） 17. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得， 因式分解得，， 解得：，． 【小问2详解】 解： 移项得，， 配方得，，即， ∴， 解得：，． 18. 图①、图②、图③均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 、点、点 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作 使点 在边 上，点 、点 均在格点上且点 不与点 、点 重合（画出一个即可）； （2）在图②中，作使点 为对称中心； （3）在图③中，在边 上找一点，在边 上找一点，连接， ，使四边形为矩形． 【答案】（1）解：作 如下所示（作图不唯一）： （2）解：作如下所示： （3）解：作图如下所示： 【解析】 【分析】（1）分别取A点与B点向右2格和向上2格的格点，连线即可； （2）先确定E点与F点，再连线； （3）取图中C点向左移动4格，向下移动3格的格点记为点E，取A点向右移动4格，向上移动3格的格点为点F．连线即可确定G点与H点． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：略 19. 某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后，随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分，根据以上信息解决下列问题： 组别 正确字数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E 20 （1）在统计表中，________，_______，并补全直方图． （2）扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是_________度． （3）若该校共有800名学生，如果听写正确的个数少于16个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数有多少人？ 【答案】（1）30； ，补全直方图为 （2）90 （3）200人 【解析】 【分析】（1）由题意根据“A组”有10人，所占的百分比是即可求得本次调查的学生总人数，再将总人数乘以“D组”的百分比，即可求出m的值，将“E组”人数除以总人数，即可求出n的值，进而补全直方图； （2）将 乘以“C组”所占百分比即可求解； （3）将全校总人数800乘以对应的比例进行计算即可． 【小问1详解】 解：抽查的总人数是（人）， 则“D组”人数， “E组”所占百分比． 补全直方图略 【小问2详解】 解：扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是． 【小问3详解】 解：样本中听写正确的个数少于16个的比例为， （人）． 答：估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数有200人． 20. 小明做作业：解方程：．发现系数“”印刷不清楚． （1）他把“”猜成8，请你解方程； （2）若此方程两个实根都是整数，请直接写出“”中所有可能的正数之和． 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】本题考查了配方法求方程的根，根与系数关系，活用根与系数关系，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）利用根与系数关系定理解答即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得． 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 【小问2详解】 解：设中的数是n，是方程的两个实数根， 则， 根据题意，得， 又都是整数，且 ， 由于， 故 或或， 解得或 或， 故正数之和为． 21. 如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 ．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交 于点F，滑动 使O，G，P在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交 于点E，滑动，使，， 在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽 为．试根据以上数据计算出建筑物的高度 ．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设， 则,， 根据题意可得, ∴， ∴， ∴， 同理可得, ∴， 即， ， ∴， ∴． 22. 如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，矩形的周长为14，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）6或8 【解析】 【分析】（1）先证明是平行四边形，根据四边形 是菱形得出，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得出，，在中，由勾股定理可得：或，根据菱形的性质即可求得 的长． 【小问1详解】 证明：， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形 是菱形 四边形是矩形 【小问2详解】 四边形 是菱形， ， ∵矩形的周长为14 在中，由勾股定理可得： ，即 解得：或 在菱形 中， 的长为6或8 23. 如图，在正方形 中， 为对角线，点 为 的中点，垂直平分线段，分别交 ， ， 于点 ， ，．已知． （1）求线段 的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由点 为 的中点得，设，则，再由垂直平分线段得，在中，由勾股定理得：，据此即可求出线段 的长； （2）连接 ， ，设，则，由垂直平分线段得，在和中，由勾股定理得，由（1）可知,则，证明，再由相似三角形的性质可得的值． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： 四边形 是正方形，且， ，，， 是直角三角形， 点 为 的中点， ， 设，则， 垂直平分线段， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即线段 的长为； 【小问2详解】 连接 ， ，如图 所示： 设，则， 垂直平分线段， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ， 解得， ， 由（1）可知：，则， ， ， ， 即的值为 ． 24. 某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【答案】（1）, （2）每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元 （3）不能实现．见解析 【解析】 【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． 【小问1详解】 设每件童装降价 元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． 【小问2详解】 解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． 【小问3详解】 解：不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了． 25. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接， ，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在 的中线的延长线上时，延长交于点G，求 的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段 的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图 ， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图 和图 ，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长 交于，连接交 于 ， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点 作于 ， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图 ，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上， 的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $