江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年扬州邗江梅苑双语学校八年级（下）期末数学模拟卷，以概率、二次根式、四边形等核心知识为载体，融入科技（配送机器人）、生活（二维码）情境，通过新定义（友好二次根式）、几何探究（梯形分割）等题设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|概率、因式分解、统计|成语情境考可能性（第1题），折线图分析增长率（第5题）| |填空题|10/30|二次根式、矩形性质、样本容量|二维码面积估算（第15题），动点函数关系（第18题）| |解答题|10/96|分式方程、四边形证明、新定义|“友好二次根式”定义应用（24题），梯形分割证对角线相等（26题），正方形动点综合（28题）|

2025-2026学年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校八年级（下）期末数学模拟试卷（一） 一、选择题：（每题3分，共计24分） 1．（3分）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．冬去春来 2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B． C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．x2﹣5x+4＝x（x﹣5）+4 4．（3分）某农科院选育了新品种耐盐碱水稻，为了了解稻穗的生长情况，抽取了100个稻穗，测量了稻穗的长度．下列说法正确的是（　　） A．该新品种水稻所有稻穗的长度是总体 B．每一个新品种稻穗是个体 C．抽取的100个新品种稻穗是总体的一个样本 D．100个新品种稻穗是样本容量 5．（3分）A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加； ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势； ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 6．（3分）小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（　　） ①AB∥CD，AD＝BC； ②∠ADC＝90°； ③AC＝BD； ④AB＝AD； ⑤AC＝BD． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）若m为任意正整数，则（m+2）2﹣m2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．若∠A+∠B＝90°，AD＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．2.5 B．3.5 C． D． 二、填空题（每题3分，共计30分） 9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是　 　 ． 10．（3分）一个样本共有60个数据，这些数据分别落在5个组内，第1，2，3，4组数据的频率分别为0.1，0.3，0.2，0.1，则第5组数据的频数为 　 　 ． 11．（3分）为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案： ①随机抽取300名女生调查； ②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查； ③从初一年级中随机抽取300名学生调查． 其中抽取的样本具有代表性的是　 　 ．（填序号） 12．（3分）如图，点E是矩形ABCD内一点，连接AE、BE，BE＝CD．若∠DAE＝25°，则∠CBE的度数为　 　 °． 13．（3分）已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　 　 ． 14．（3分）若实数x、y同时满足，则xy的值为　 　 ． 15．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图所示的二维码纸片是一个面积为8的正方形．为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为　 　 ． 16．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝　 　 ． 17．（3分）已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　 　 ． 18．（3分）如图①，点M是矩形ABCD各边和对角线上一动点，若点M从边AB上的一点开始移动，设点M运动的路程为x，，y与x的函数关系如图②所示，则矩形ABCD的周长为　 　 ． 三、解答题（共计96分） 19．（9分）计算： （1）； （2）． 20．（9分）解分式方程． （1）； （2）． 21．（9分）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近　 　 （精确到0.1），估计盒子里白球有　 　 个，假如摸一次，摸到白球的概率为　 　 ； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 22．（12分）某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是_____”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为 　 　 人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为 　 　 度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 23．（9分）如图，在四边形AECD中，AE∥DC，DB平分∠ADC，CD＝CB． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD＝5，△ACD的周长为18，求菱形ABCD的面积． 24．（9分）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为　 　 ； （2）若与是关于8的友好二次根式，求x． （3）已知，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 25．（9分）2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． （1）求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ （2）企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 26．（9分）我们在遇到梯形问题的时候，通常通过分割的方法将其转化为我们熟悉的图形来解决． （1）仅用无刻度的直尺和圆规将等腰梯形ABCD进行分割（保留作图痕迹，无需写作法） ①图2，分割成一个平行四边形和一个三角形； ②图3，分割成一个矩形和两个直角三角形； （2）苏科版教材给出了如下定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形； 两腰相等的梯形叫作等腰梯形． 请你结合第（1）题的分割方法证明：等腰梯形的对角线相等． 27．（9分）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”． 例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． （1）下列　 　 （填序号）是关于x的“4值分式”； ①与； ②与． （2）若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值． （3）若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出A2+B2的值． 28．（12分）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使∠CED＝90°，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′，射线DE，E′B交于点F． 特例研究： （1）精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE′C的形状为　 　 ． 探究发现： （2）博雅小组发现，如图2，只要∠CED＝90°，四边形EFE′C的形状都是正方形，请证明． （3）卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G，连接E′G，FO，AF，又发现：在点E运动过程中，FO与E′G始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由． 拓展应用： （4）在（3）的条件下，已知AF＝1，BC＝5，直接写出BF的长． 2025-2026学年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校八年级（下）期末数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析 一、选择题：（每题3分，共计24分） 1．（3分）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（　　） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．冬去春来 【分析】根据必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间分析即可． 【解答】解：由题意可得： 其中水中捞月是不可能事件，可能性为0， 大海捞针、守株待兔是发生可能性极低的随机事件，可能性远小于1， 冬去春来是必然事件，发生可能性为1， ∴四个选项中，冬去春来发生的可能性最大． 故选：D． 【点评】本题考查可能性的大小，正确进行计算是解题关键． 2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母，2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件的即为所求． 【解答】解：A．，分母含根号，不是最简二次根式，不符合题意； B．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C．，被开方数是小数即含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D．的被开方数13是质数，不含分母，也没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了最简二次根式，分母有理化，掌握相应的运算法则是关键． 3．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B． C．x2+6x+9＝（x+3）2 D．x2﹣5x+4＝x（x﹣5）+4 【分析】判断每个选项是否符合因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式）； A选项是整式乘法，不符合； B选项右边含分式，不是整式，不符合； C选项将多项式化为整式的积，符合； D选项右边是和的形式，不符合． 【解答】解：A选项，（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，是将两个整式的积化为一个多项式，并非因式分解，所以A选项错误； B选项，中，不是整式，不符合因式分解中“化为几个整式的积”的要求，所以B选项错误； C选项，x2+6x+9＝（x+3）2是把多项式x2+6x+9化为了整式（x+3）与自身相乘的积的形式，符合因式分解的定义，所以C选项正确； D选项，x2﹣5x+4＝x（x﹣5）+4的右边不是几个整式的积的形式，而是一个整式与一个数的和，不符合因式分解的定义，所以D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解的意义，解决本题的关键是正确掌握因式分解的定义． 4．（3分）某农科院选育了新品种耐盐碱水稻，为了了解稻穗的生长情况，抽取了100个稻穗，测量了稻穗的长度．下列说法正确的是（　　） A．该新品种水稻所有稻穗的长度是总体 B．每一个新品种稻穗是个体 C．抽取的100个新品种稻穗是总体的一个样本 D．100个新品种稻穗是样本容量 【分析】总体是所有调查对象的全体；样本是所抽查对象的情况；个体是每一个调查的对象；样本容量所抽查对象的数量． 【解答】解：A．该新品种水稻所有稻穗的长度是总体，故本选项说法正确，符合题意； B．每一个新品种稻穗的长度是个体，故本选项说法错误，不符合题意； C．抽取的100个新品种稻穗的长度是总体的一个样本，故本选项说法错误，不符合题意； D．100是样本容量，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了统计的有关知识，解决此题的关键是掌握总体、样本、样本容量、个体的定义． 5．（3分）A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加； ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势； ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多． 其中正确的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【分析】根据折线统计图中增长率的正负判断销售量的增减，结合增长率的含义分析各说法的正误． 【解答】解：根据折线统计图中增长率的正负判断销售量的增减，结合增长率的含义逐项分析判断如下： ①B品牌牛奶的销售增长率始终为正，故销售量逐年增加，此说法正确； ②A品牌牛奶2023到2024年的增长率虽下降，但仍为正，销售量仍在增加，并非下降，此说法错误； ③折线图反映的是增长率，无法比较销售量的大小，此说法错误． 综上，只有①正确， 故选：D． 【点评】本题考查了折线统计图的分析，解题的关键是区分增长率与销售量的概念，增长率为正则销售量增加，增长率下降但仍为正，销售量仍增加，增长率无法直接反映销售量的大小． 6．（3分）小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（　　） ①AB∥CD，AD＝BC； ②∠ADC＝90°； ③AC＝BD； ④AB＝AD； ⑤AC＝BD． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【解答】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形，逐项分析判断如下： ①四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故①错误，不符合题意； ②平行四边形ABCD中， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故②正确，符合题意； ③平行四边形ABCD中， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，不是菱形，故③错误，不符合题意； ④矩形ABCD中， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形，故④正确，符合题意； ⑤菱形ABCD中， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形，故⑤正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了多边形，熟练掌握相关知识点是关键． 7．（3分）若m为任意正整数，则（m+2）2﹣m2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【解答】解：（m+2）2﹣m2 ＝（m+2+m）（m+2﹣m） ＝4（m+1）， ∴4（m+1）是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是关键． 8．（3分）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．若∠A+∠B＝90°，AD＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．2.5 B．3.5 C． D． 【分析】连接AC，取AC的中点G，连接FG，EG，由三角形中位线定理推出FG∥AD，EG∥BC，FGAD＝1.5，GEBC＝2，由平行线的性质，三角形的外角性质推出∠FGE＝∠BAD+∠B＝90°，由勾股定理即可求出EF的长． 【解答】解：连接AC，取AC的中点G，连接FG，EG， ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴FG是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线， ∴FG∥AD，EG∥BC，FGAD，GEBC， ∴∠FGC＝∠DAC，∠AEG＝∠B， ∵∠CGE＝∠GAE+∠AEG， ∴∠FGC+∠CGE＝∠DAC+∠GAE+∠AEG， ∴∠FGE＝∠BAD+∠B＝90°， ∵AD＝3，BC＝4， ∴FG＝1.5，GE＝2， ∴EF2.5． 故选：A． 【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，平行线的性质，关键是通过作辅助线构造△ADC和△ABC的中位线，判定△FGE是直角三角形． 二、填空题（每题3分，共计30分） 9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围是x＞2　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件进行计算． 【解答】解：若式子有意义， ∴x﹣2＞0， 解得：x＞2． 故答案为：x＞2． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是关键． 10．（3分）一个样本共有60个数据，这些数据分别落在5个组内，第1，2，3，4组数据的频率分别为0.1，0.3，0.2，0.1，则第5组数据的频数为 　18　 ． 【分析】先求出第5组数据的频率，然后根据频数＝总次数×频率进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：第5组数据的频率＝1﹣0.1﹣0.3﹣0.2﹣0.1＝0.3， ∴第5组数据的频数＝60×0.3＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数＝总次数×频率是解题的关键． 11．（3分）为了解某初中学校学生的视力情况，该校数学兴趣小组设计了如下三种调查方案： ①随机抽取300名女生调查； ②分别从三个年级中各随机抽取100名学生调查； ③从初一年级中随机抽取300名学生调查． 其中抽取的样本具有代表性的是　②　 ．（填序号） 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【解答】解：①和③不具有广泛性与代表性，抽取的样本具有代表性的是②． 故答案为：②． 【点评】本题考查了抽样调查的可靠性，抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 12．（3分）如图，点E是矩形ABCD内一点，连接AE、BE，BE＝CD．若∠DAE＝25°，则∠CBE的度数为　40　 °． 【分析】先根据矩形性质得到∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝BE，再根据等边对等角和三角形的内角和定理得到∠E＝∠BAE＝65°，∠ABE＝50°，然后进行角度运算可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BE＝CD， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝BE， ∴∠E＝∠BAE， ∵∠DAE＝25°， ∴∠E＝∠BAE＝90°﹣∠DAE＝65°， ∴∠ABE＝180°﹣2×65°＝50°， ∴∠CBE＝90°﹣∠ABE＝40°， 故答案为：40． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．（3分）已知m﹣n＝4，mn＝5，则多项式mn2﹣m2n的值是 　﹣20　 ． 【分析】依据题意，对要求多项式进行因式分解，然后代入数值即可得解． 【解答】解：由题意，mn2﹣m2n＝mn（n﹣m）＝﹣mn（m﹣n）， 又∵m﹣n＝4，mn＝5， ∴mn2﹣m2n＝﹣5×4＝﹣20． 故答案为：﹣20． 【点评】本题考查了利用因式分解的方法进行化简求值，运用合适的因式分解的方法进行变形是解题的关键． 14．（3分）若实数x、y同时满足，则xy的值为　　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可求出y的值，再计算即可． 【解答】解：根据题意得， 解得x＝5， ∴y＝﹣1， ∴xy， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握这个知识点是解题的关键． 15．（3分）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．如图所示的二维码纸片是一个面积为8的正方形．为了估计二维码纸片中黑色阴影部分的面积，小明在二维码纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为　4.8　 ． 【分析】总面积乘落在黑色阴影的频率稳定值即可得出答案． 【解答】解：据此估计此二维码纸片中黑色阴影部分的面积为8×0.6＝4.8， 故答案为：4.8． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 16．（3分）若关于x的分式方程无解，则a＝　1或﹣2　 ． 【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答． 【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1）， 整理得，（a+2）x＝3， 当整式方程无解时，a+2＝0即a＝﹣2， 当分式方程无解时：①x＝0时，a无解， ②x＝1时，a＝1， 所以a＝1或﹣2时，原方程无解． 故答案为：1或﹣2． 【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 17．（3分）已知x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 　2　 ． 【分析】先将x，y分母有理化化简为含n的代数式，可得x+y＝4n+2，xy＝1，然后将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985，结果化简为x2+y2＝98，进而求解． 【解答】解：∵x（）2＝2n+1﹣2， y（）2＝2n+1+2， ∴x+y＝4n+2，xy＝1， 将xy＝1代入19x2+123xy+19y2＝1985得19x2+123+19y2＝1985， 化简得x2+y2＝98， （x+y）2＝x2+y2+2xy＝98+2＝100， ∴x+y＝10． ∴4n+2＝10， 解得n＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查二次根式的分母有理化，解题关键是利用整体思想求解． 18．（3分）如图①，点M是矩形ABCD各边和对角线上一动点，若点M从边AB上的一点开始移动，设点M运动的路程为x，，y与x的函数关系如图②所示，则矩形ABCD的周长为　28　 ． 【分析】根据函数图象可知，当x＝0时y＝1，说明起点M为AB中点；当x＝3时y＝0，说明M到达点A，由此可求出AB的长；当x＝8时y＝1，说明M到达对角线交点O，由此可求出AO及AC的长，利用勾股定理求出BC的长，进而求出矩形周长． 【解答】解：由图②可知，当x＝0时，y＝1，即， ∴S△AMD＝S△BMC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， ∴点M到AD的距离等于点M到BC的距离， ∴点M为AB的中点， ∵当x＝3时，y＝0，即S△AMD＝0， ∴此时点M与点A重合， ∴AB＝2×3＝6， ∵当3＜x≤8时，y随x的增大而增大，且当x＝8时，y＝1， ∴此时S△AMD＝S△BMC，点M运动到了对角线交点O处， ∴OA＝8﹣3＝5， ∴AC＝2OA＝10，∠ABC＝90°， 由勾股定理可得， ∴矩形ABCD的周长为2（AB+BC）＝2×（6+8）＝28． 故答案为：28． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，理解题意是关键． 三、解答题（共计96分） 19．（9分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． 20．（9分）解分式方程． （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边乘2x﹣3，再化简求解，检验即可； （2）方程两边乘x（x+2），再化简求解，检验即可． 【解答】解：（1）， 6﹣x＝4（2x﹣3）， ﹣9x＝﹣18， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，2x﹣3≠0， ∴原分式方程的解为x＝2； （2）， 3x+x+2＝4， 解得：， 检验：当时，x（x+2）≠0， ∴原分式方程的解为． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键． 21．（9分）在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小丽做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近　0.5　 （精确到0.1），估计盒子里白球有　15　 个，假如摸一次，摸到白球的概率为　　 ； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【分析】（1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；由30×0.5＝15，即可得出结果；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由摸到白色球”的概率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.5， ∵30×0.5＝15， ∴盒子里白球为15， ∵随实验次数的增多，频率的值稳定于0.50， ∴摸到白球的概率， 故答案为：0.5，15，； （2）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得x＝15； 经检验，x＝15是原方程的解，且符合实际意义， 故需要往盒子里再放入15个白球． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 22．（12分）某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是_____”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）、B（轻松游戏类）、C（自由交流类）、D（艺术创作类）”四种类型中选择一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息，完成下列问题： （1）本次调查的学生人数为 　100　 人； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为 　108　 度； （3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？ 【分析】（1）从两个统计图中可知，选择“B（轻松游戏类）”的人数是35人，占调查人数的35%，可求出调查人数； （2）求出选择“A（体育竞技类）”所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数； （3）用总人数减去A、B、D的人数，求出选择“C（自由交流类）”的人数，即可补全条形统计图； （4）利用样本中“D（艺术创作）”的百分比估计总体2000人喜爱“D（艺术创作）”的学生的人数． 【解答】解：（1）本次调查的学生人数为35÷35%＝100（人）， 故答案为：100； （2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为360°108°； 故答案为：108； （3）选择“C（自由交流类）”的人数为100﹣30﹣35﹣25＝10（人）， 补全条形统计图如下： （4）2000500（人）， 答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人． 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图和用样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键． 23．（9分）如图，在四边形AECD中，AE∥DC，DB平分∠ADC，CD＝CB． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AD＝5，△ACD的周长为18，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）因为DB平分∠ADC，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出AD＝AB；因为AE∥DC，可先证四边形ABCD是平行四边形，再结合AD＝AB，证得是菱形； （2）先根据△ACD的周长和AD的长度，求出AC的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线BD的一半长度，进而得到BD的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠CDB＝∠ADB（角平分线的定义）． ∵CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD（等边对等角）， ∴∠ADB＝∠CBD（等量代换）， ∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行）． 又∵AE∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CD＝CB， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，AC⊥DB，OA＝OC，OD＝OB． ∵AD＝5，△ACD的周长为18， ∴AC＝18﹣2×5＝8，则． 在Rt△AOD中，， ∴DB＝2OD＝6． ∴菱形ABCD的面积为． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 24．（9分）定义：若两个二次根式m，n满足m•n＝p，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为　　 ； （2）若与是关于8的友好二次根式，求x． （3）已知，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 【分析】（1）根据已知条件和“友好二次根式”的定义，列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据已知条件和“友好二次根式”的定义，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据已知条件和“友好二次根式”的定义，列出关于a，b的方程组，解方程组即可． 【解答】解：（1）∵a与是关于6的友好二次根式， ∴， ， 故答案为：； （2）∵与是关于8的友好二次根式， ∴， ， ， ， ， ； （3）∵，m与n是关于1的“友好二次根式”， ∴， ， ， ∵a，b为整数， ∴， ②×2得：2b+4a＝0③， ①﹣③得：a＝1， 把a＝1代入②得：b＝﹣2， ∴． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义． 25．（9分）2026年3月，贵州科学城企业融云创新的配送机器人和翰凯斯的无人驾驶小巴成功出口海外．已知一台配送机器人的出口成本比一台无人驾驶小巴贵1万元，用60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同． （1）求配送机器人和无人驾驶小巴每台的出口成本各是多少万元？ （2）企业计划出口配送机器人和无人驾驶小巴共6台，要求小巴的数量不超过配送机器人数量的一半，且两种产品都要出口（即每种至少1台）．已知每台配送机器人的出口售价为5万元，每台无人驾驶小巴的出口售价为3万元．请写出所有可能的出口方案，并指出哪种方案的总利润最大． 【分析】（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是（x+1）万元，根据“60万元采购配送机器人的数量与用40万元采购无人驾驶小巴的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶下巴（6﹣m）台，根据“小巴的数量不超过配送机器人数量的一半”列出不等式求出m的取值范围，得出配送方案，并求出每一种方案的利润，得出最大值． 【解答】解：（1）设无人驾驶小巴每台的出口成本是x万元，则配送机器人每台的出口成本是（x+1）万元， 根据题意得：， 解得x＝2， 检验，当x＝2时，x（x+1）≠0，所以x＝2是原方程的解， 此时x+1＝3， 答：无人驾驶小巴每台的出口成本是2万元，则配送机器人每台的出口成本是3万元； （2）设出口配送机器人m台，则出口无人驾驶下巴（6﹣m）台， 根据题意得：6﹣mm， 解得m≥4， 又6﹣m≥1， ∴m≤5， ∴m的取值范围为4≤m≤5， ∵m为整数， ∴m＝4或5， 方案1：配送机器人4台，无人驾驶小巴2台， 总利润：4×（5﹣3）+2×（3﹣2）＝10（万元）； 方案2：配送机器人5台，无人驾驶小巴1台， 总利润：5×（5﹣3）+21×（3﹣2）＝11（万元）； ∴方案2的利润最大，最大为11万元． 答：所有出口方案为：①配送机器人4台，无人驾驶小巴2台；②配送机器人5台，无人驾驶小巴1台；其中方案2总利润最大． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式（组）的应用，关键是找到数量关系列出方程和不等式． 26．（9分）我们在遇到梯形问题的时候，通常通过分割的方法将其转化为我们熟悉的图形来解决． （1）仅用无刻度的直尺和圆规将等腰梯形ABCD进行分割（保留作图痕迹，无需写作法） ①图2，分割成一个平行四边形和一个三角形； ②图3，分割成一个矩形和两个直角三角形； （2）苏科版教材给出了如下定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形； 两腰相等的梯形叫作等腰梯形． 请你结合第（1）题的分割方法证明：等腰梯形的对角线相等． 【分析】（1）①以点B为圆心，AD的长为半径画弧交BC于点E，连接DE即可；②分别过点A，D作AG⊥BC，DH⊥BC即可； （2）在（1）①的图中连接AC，BD，证明△ADC≌△DAB（SAS），即可证明结论． 【解答】（1）解：①如图，平行四边形ABED和△DCE即为所求作； ∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC， 由作图知AD＝BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ②如图所示，矩形AGHD和直角三角形ABG和直角三角形DHC即为所求作； 由作图知AG⊥BC，DH⊥BC， ∴∠AGH＝∠AGB＝∠DHC＝∠DHG＝90°， ∴△ABG，△DHC均为直角三角形， ∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠GAD＝∠AGB＝90°， ∴∠AGH＝∠GAD＝∠DHG＝90°， ∴四边形AGHD是矩形； （2）证明：如图，在（1）①的图中连接AC，BD， ∵四边形ABED是平行四边形， ∴AB＝DE，AB∥DE， ∴∠ABE＝∠DEC， ∵等腰梯形ABCD中，AB＝CD， ∴DE＝CD， ∴∠DCB＝∠DEC， ∴∠DCB＝∠ABE， ∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DCB+∠ADC＝180°，∠ABE+∠BAD＝180°， ∴∠ADC＝∠BAD， ∵AD＝AD， ∴△ADC≌△DAB（SAS）， ∴AC＝BD，即等腰梯形的对角线相等． 【点评】本题考查作图，掌握平行四边形、矩形、直角三角形的判定是解题的关键． 27．（9分）已知分式A与B，当存在A与B的差为常数k，则称分式A与B为关于x的“k值分式”． 例如，，因为，所以A与B为关于x的“2值分式”． （1）下列　②　 （填序号）是关于x的“4值分式”； ①与； ②与． （2）若分式与是关于x的“2值分式”，求a与b的值． （3）若分式与是关于x的“k值分式”，求出k的值；若此时A与B也使得成立，请直接写出A2+B2的值． 【分析】（1）利用“4值分式”的定义进行逐一判断即可； （2）利用“2值分式”的定义列出P﹣Q＝2，根据多项式恒等对应项系数相等列方程求解即可； （3）先分别化简A、B的分子，再通分计算A﹣B，约分后得到的常数即为k值；先对进行通分化简，结合A﹣B＝2的关系，再利用完全平方公式推导A2+B2的取值． 【解答】解：（1）①4，不是关于x的“4值分式”，不符合题意； ②，是关于x的“4值分式”，符合题意； 故答案为：②； （2）根据题意可知，， ax2+2x﹣bx﹣b＝2（x2﹣1）， ax2+（2﹣b）x﹣b＝2x2﹣2， 则， 解得：； （3）由题意得：， ， ∴A﹣B ＝2， 由于分式A与B是关于x的“k值分式”， 则k＝2； ∵， ∴A（B+1）+B（A+1）＝（A+1）（B+1）， ∴AB+A+BA+B＝AB+A+B+1， ∴AB＝1， ∴A2+B2＝（A﹣B）2+2AB＝22+2×1＝6． 【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 28．（12分）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使∠CED＝90°，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′，射线DE，E′B交于点F． 特例研究： （1）精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE′C的形状为　正方形　 ． 探究发现： （2）博雅小组发现，如图2，只要∠CED＝90°，四边形EFE′C的形状都是正方形，请证明． （3）卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G，连接E′G，FO，AF，又发现：在点E运动过程中，FO与E′G始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由． 拓展应用： （4）在（3）的条件下，已知AF＝1，BC＝5，直接写出BF的长． 【分析】（1）利用正方形的性质即可得出结论； （2）先证明△CBE′≌△CDE（SAS），再利用正方形的判定定理证明即可； （3）利用正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （4）取AF的中点M，取BF的中点N，连接OM，ON，OB，MN，求得，再证明∠MON＝45°，利用勾股定理求得，即可求得BF． 【解答】（1）解：∵点E在对角线AC中点O处，点F与点B重合，四边形ABCD是正方形， ∴FE＝CE，∠FEC＝90°， ∵将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′， ∴∠ECE′＝90°，CE＝CE′， ∴∠FEC+∠ECE′＝180°，FE＝CE′， ∴FE∥CE′， ∴四边形EFE′C是平行四边形， ∵∠FEC＝90°， ∴四边形EFE′C是矩形， ∵FE＝CE， ∴四边形EFE′C是正方形， 故答案为：正方形； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠BCE+∠DCE＝90°， ∵点E绕点C逆时针旋转90°得到点E′， ∴CE＝CE′，∠ECE′＝90°， ∵∠CED＝90°， ∴∠BCE+∠DCE＝90°，∠BCE+∠BCE′＝90°， ∴∠DCE＝∠BCE′， 在△CBE′和△CDE中， ， ∴△CBE′≌△CDE（SAS）， ∴∠CED＝∠CE′B＝90°， ∴四边形EFE′C是矩形， ∵CE＝CE'， ∴四边形EFE′C是正方形； （3）解：；理由如下： 如图3，四边形ABCD是正方形，O是AC的中点，连接BD，OG， ∴O是BD的中点，， ∵四边形EFE′C是正方形， ∴∠BFE＝90°， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， ∴OC＝OB，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵G是BC的中点， ∴OG＝BG＝GC， 在直角三角形COG中，由勾股定理得：， ∵四边形EFE′C是正方形， ∴∠BE′C＝90°， ∵G是BC的中点， ∴， ∴， ∴； （4）解：BF的长为．理由如下： 如图4，取AF的中点M，取BF的中点N，连接OM，ON，OB，MN， ∴， 根据（3）得OB＝OC＝OF＝OA，AF＝1， ∴，， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，O是AC的中点， ∴∠AOB＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，， ∴， ∴， 过点M作MQ⊥ON于点Q， ∵∠MOQ＝∠FOM+∠FON＝45°， ∴△MOQ是等腰直角三角形 ∴， 在直角三角形MNQ中，由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形ONF中，由勾股定理得：， ∴． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/23 8:17:30；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $