专题11 图形的位似（3个知识点+6种题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题11 图形的位似 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 位似图形的识别 题型2 判断位似中心 题型3 求位似图形的相似比 题型4 利用位似变换作图 题型5 求位似图形的对应坐标 题型6 坐标与图形综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 位似的概念与性质 利用位似变换作图 图形的变换与坐标 1.位似的概念与性质：分清位似图形、位似中心、位似比；掌握位似图形对应边、对应点、周长、面积比例规律，能区分位似与普通相似。 2.利用位似变换作图：掌握以图形内外任意点位中心，放大或缩小图形的标准作图步骤，规范画出位似图形。 3.图形的变换与坐标：熟记平移、轴对称、旋转、位似四类变换的坐标变化规律，能根据坐标判断变换类型，也可通过变换写出对应点坐标。 学习重点： 掌握位似图形定义，识别位似中心、位似比；掌握以任意点位中心放大、缩小图形的完整作图步骤；熟记平移、轴对称、旋转、位似四种变换的坐标变化规律。 学习难点： 区分普通相似图形与位似图形；位似比正负、内外位似图形作图容易混淆；多种变换叠加时，坐标变化顺序容易颠倒 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 位似的概念与性质 一、核心概念 1. 位似图形定义：两个图形①相似；②对应顶点连线相交于同一点；③对应边互相平行或共线，三者兼备即为位似图形。 2. 专属名词：公共交点叫位似中心，相似比又叫位似比。 3. 从属关系：位似一定相似，相似不一定位似（相似无线共点，就不是位似）。 4. 分类： ①同侧位似：对应点在位似中心同一侧； ②异侧位似：对应点分居位似中心两侧； 5. 位似中心位置：可在图形外、图形内、图形边上、顶点上。 二、核心性质 1. 对应角相等，对应边平行或共线； 2. 所有对应点连线必过位似中心； 3. 对应点到位似中心的距离之比=位似比； 4. 位似图形周长比=位似比； 5. 位似图形面积比=位似比的平方（必考）； 6. 位似只改变图形大小，不改变图形形状。 三、解题技巧 1. 位似判定两步法：先证相似，再延长对应顶点连线，交于同一点即可判定； 2. 求线段长：直接用「点到位似中心距离比=位似比」列比例方程； 3. 比例换算：已知位似比求面积平方，已知面积比求位似比开平方； 4. 找位似中心：连接两组对应顶点并延长，交点即为中心。 即时即练如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查位似变换的概念、相似三角形的判定与性质， （1）由与的相似比为，可得，再求的长即可； （2）先求出的度数，再根据位似图形的性质求解即可． 掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与的相似比为，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）∵，， ∴， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 【易错提醒】 1. 误把相似图形直接判定为位似图形； 2. 面积计算忘记平方位似比； 3. 混淆原图与新图的位似比，放大缩小比值写反。 知识点02 利用位似变换作图 一、标准作图步骤（考试踩分步骤） 1. 定点：确定题目指定位似中心； 2. 连线：连接位似中心与原图所有顶点，双向延长射线； 3. 取点：按位似比，在射线上截取对应顶点；同侧同向截取，异侧反向截取； 4. 连线：依照原图顶点顺序，顺次连接新顶点； 5. 标注：标注字母，保留虚线作图痕迹。 二、作图分类 1. 放大图形：位似比k>1； 2. 缩小图形：0<k<1； 3. 一个中心可作两个位似图形：同侧、异侧各一个。 三、解题作图技巧 1. 审题重点：看清位似比是原图∶新图，防止放大缩小做反； 2. 网格作图：依托格点找点，保证对应边平行，作图零误差； 3. 大题要求：辅助线必须用虚线，不可擦除作图痕迹； 4. 多顶点图形：只需确定顶点位置，无需刻画内部线条。 即时即练如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点． (1)以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2； (2)无刻度直尺作图，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点D即为所求． 【分析】（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点连线即可； （2）以为边，在的上方构造正方形，再过点A连接对角线，交于点D，则． 【详解】（1）略 （2）略 【易错提醒】 1. 顶点连线延长方向错误，作出反向位似图； 2. 顶点连接顺序错乱，图形形状改变； 3. 忽略题目要求，只画同侧，漏画异侧图形。 知识点03 图形的变换与坐标 一、四大全等变换坐标规律（不改变大小） 设平面内一点坐标为(x，y) 1. 平移变换：左减右加横坐标，上加下减纵坐标； 2. 轴对称：关于x轴对称(x,y)→(x,-y)；关于y轴对称(x,y)→(-x,y)； 3. 中心对称（原点）：(x,y)→(-x,-y)； 4. 旋转90°：原点顺时针90°(x,y)→(y,-x)；原点逆时针90°(x,y)→(-y,x)。 二、位似变换坐标规律（改变大小，重点考点） 1. 位似中心为原点，位似比k： 同侧位似：(x,y)→(kx,ky) 异侧位似：(x,y)→(-kx,-ky) 2. 位似中心非原点：不可直接乘k，解题三步：平移至原点→位似缩放→平移还原。 三、解题技巧 1. 变换题型：单一变换直接套坐标公式，多重变换按先后顺序依次改写坐标，不可颠倒； 2. 位似坐标题：先判断位似中心是否为原点，再判断同侧/异侧，确定符号； 3. 识图做题：根据坐标横纵坐标变化，快速判断平移、对称、位似类型； 4. 求值技巧：坐标变化倍数=位似比，直接套用周长、面积比例公式计算。 即时即练在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，连接并延长至，使，则称点为点关于点的平移关联点． (1)如图1，已知 ①若点，则点的坐标为 ； ②若点的坐标为，则当 时，点在轴上； (2)如图2，已知正方形的边长为1，各边与轴平行或垂直，其中心为，点为正方形上的动点． ①当点为时，点运动过程中，点形成的图形的面积是 ； ②当点为时，在点运动过程中，若点形成的图形与坐标轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②； (2)①；②或 【分析】（1）先根据平移关联点的定义，利用中点坐标公式推导点与点、点的坐标关系，得到；再代入具体数值求解各小问． （2）根据正方形边长与中心坐标确定的坐标范围，①求出图形面积即可；②同理，得到的轨迹范围，最后结合坐标轴交点条件求参数范围． 【详解】（1）设点，点， ∵点由点向右平移、向上平移得到， ∴， 又∵连接并延长至，使， ∴是线段的中点， ∴， （1）已知， ①∵点， ∴， ∴， ②∵点， ∴， 又∵点在轴上， ∴， ∴， （2）已知正方形中心为，边长为，边与坐标轴平行，点P坐标为 ∴点的横坐标范围是：，纵坐标范围是：， ①∵点为， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点形成的图形是边长为的正方形， ∴， ②∵点为， ∴， ∴点的横坐标范围，纵坐标范围， ∵点形成的图形与坐标轴有交点， ∴与轴有交点时， ∴， 又∵与轴有交点时， ∴， ∴的取值范围是或． 【易错提醒】 1. 平移坐标加减搞反，记错“左加右减”； 2. 原点异侧位似，忘记坐标整体变号； 3. 非原点位似，直接给坐标乘k，忽略平移步骤； 4. 多种变换叠加，变换顺序颠倒，坐标计算出错。 题型1 位似图形的识别 【例1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【例2】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用位似图形的画法：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形中，都是的位似图形． 【技巧归纳】 1.判定两步走：先看两个图形是否相似，再延长所有对应顶点连线，验证全部交于同一点；两个条件缺一不可。 2.区分易混概念：相似图形不一定位似，只有对应顶点连线共点、对应边平行才是位似。 3.快速排除：对应边不平行、顶点连线无法交于一点，直接判定不是位似图形。 【变式1-1】下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【变式1-2】下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． 题型2 判断位似中心 【例3】如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及位似中心的确定，解题的关键是明确位似中心是对应顶点连线的公共交点，通过排除法排除无效对应情况，再验证有效对应下的交点． 先计算各线段长度确定位似比与初步对应关系；再根据位似中心在对应顶点连线上，验证四个选项是否在、上，排除、情况；最后针对的有效对应，求对应顶点连线的交点即位似中心． 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． 【例4】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 【技巧归纳】 1.基础方法：任选两组对应顶点，分别连接并延长，两条直线的交点就是位似中心。 2.特殊情况：若一组对应顶点重合，该重合点直接为位似中心；中心可在图形内、外、边上。 3.网格图技巧：借助格点延长顶点连线，直观找到交点，不用复杂计算。 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出图中位似中心，再由正方形性质得到，进而判定，由相似比代值得到，再根据点的坐标及正方形性质得到相关线段长度，代入比例式解方程即可得到答案． 【详解】解：若正方形与正方形是位似图形，连接对应点并延长，如图所示： 则点就是位似中心， 点的坐标分别为，， ， ， ， 则， 点的坐标分别为，， ， 则， ， 即，解得， 的位似中心的坐标是， 故选：A． 【变式2-2】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 题型3 求位似图形的相似比 【例5】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 【答案】 【详解】解：由和是以点为位似中心的位似图形，可知：， ∵为的中点， ∴， ∴与的面积比是． 【例6】如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 【技巧归纳】 1.定义计算：取一组对应点到位似中心的线段长度，长度比值即为位似比，看清顺序（原图∶新图）。 2.边长速算：直接取一组对应边，边长之比等于位似比。 3.面积反向求比：已知面积比，对数值开平方得到位似比；周长比直接等于位似比。 4.注意区分：放大图形位似比＞1，缩小图形0＜位似比＜1。 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形一定是相似图形，且对应边的比等于位似比，通过观察网格图确定与的长度求出位似比，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由图可知，，， 以原点为位似中心，将放大后得到， ， ， ， ． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点， ∴， ∵， ∴，即：. 题型4 利用位似变换作图 【例7】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 【答案】(1)线段为所求： (2) 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点和点的位置，根据平行四边形的性质即可依托点求得点． 【详解】（1）略． （2）解：如图， ∵，， ∴根据平行四边形的性质将点向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵， ∴． 【例8】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 【答案】(1)如图，为所求； (2)如图，为所求； (3)如图，垂线为所求． 【分析】（1）将点A向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至，使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，可得，，，，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【技巧归纳】 1.标准四步流程：定位似中心→连接中心与各顶点延长射线→按位似比截取对应点→顺次连接新顶点。 2.同侧、异侧区分：同侧沿射线同向截取；异侧向中心反方向延长截取。 3.作图规范：连线、延长线用虚线，保留全部作图痕迹，最后标注顶点字母。 4.审题关键点：分清位似比是原图比新图，避免放大、缩小操作颠倒。 【变式4-1】如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到； （2）解：以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，分别延长、、到点、、，使得、、，得到放大后的． 题型5 求位似图形的对应坐标 【例9】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是____________． 【答案】 【分析】首先根据平行四边形的性质求出点B的坐标，然后根据位似变换中对应点坐标的变化规律，结合相似比和点所在的象限，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为， ∵以原点O为位似中心作一个四边形，且它与四边形的相似比为， ∴点的坐标是点B的坐标乘以或， ∵顶点B在第一象限内的对应点， ∴点的横、纵坐标均为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【例10】如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标． 【详解】解：作于E， ． ，，， ，． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ，． ，． ． ，解得． 点A的坐标为． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为， 点C的坐标为，即． 【技巧归纳】 1.位似中心在原点：位似比k，同侧(x,y)→(kx,ky)，异侧(x,y)→(-kx,-ky)。 2.位似中心不是原点：先平移坐标系使中心到原点，缩放后再平移还原坐标，不能直接乘k。 3.已知两点求坐标：先算出位似比，再代入公式统一计算所有顶点坐标。 4.多解提醒：无说明同侧/异侧时，需要写出两组坐标答案。 【变式5-1】如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，且， ∴与的位似比是， 点坐标为，点B在第四象限， 点B的坐标是． 题型6 坐标与图形综合 【例11】中，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式滚动，则滚动2025次后，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先计算，结合三角形滚动规律为每3次一循环，每滚动3次，点横坐标增量恰好为的周长，求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 此时点B的坐标为； 第1次滚动后，点B的坐标为，即； 第2次滚动后，点B的坐标不变； 第3次滚动后，点B的坐标为，即； 根据图象可得三角形滚动规律为每3次一循环，每滚动3次，点横坐标增量恰好为的周长， ∵， ∴滚动2025次后，点的横坐标为， 故点的坐标为． 【例12】如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】由题可知当点在线段与直线的交点处时，取得最小值，利用待定系数法求出直线的解析式，再求交点坐标即可． 【详解】解：由题可知，当点在线段与直线的交点处时，取得最小值， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得， ． 【技巧归纳】 1.解题顺序：先判断变换类型（平移、对称、旋转、位似），分步改变坐标，多重变换严格遵循先后顺序。 2.数形结合思路：根据坐标求出线段长度，计算位似比，再求解周长、面积。 3.动点综合题：设动点坐标，利用位似比例列方程求解参数。 4.答题技巧：先画图标出关键点坐标，再结合位似性质列式，减少计算失误。 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，四边形是正方形，可以求出正方形的边长为，、，利用勾股定理求出的长度为，从而可知，设，即可求出，利用勾股定理列方程求出的值，再根据三角形的面积公式求出结果． 【详解】解：点的坐标为，四边形是正方形， 点的坐标为，， ，， ， 由折叠可知， ， ，， 设，则有， 由折叠可知， ， ， 解得：， ， ． 【变式6-2】如图，矩形在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作，交轴于，过点作轴交直线于，过点作直线，交轴于，过点作轴交直线于，……，则________，的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，且， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点坐标为，即， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，即， 以此类推...，的坐标为， 故答案为：，． 1．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 2．如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离比等于相似比（位似比），根据相似比计算即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，，， ∴，， ∴与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 以原点为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为， 点的坐标为，即． 4．在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，则与的面积比为______． 【答案】 【分析】先根据对应点坐标求出相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：以原点为位似中心放大得到， ， 点和对应点的坐标分别为， 与的相似比为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 与的面积比为 ． 5．如图，放在同一平面直角坐标系中的两个气球恰好是位似图形，点、点分别是①号、②号气球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是__________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为那么位似图形对应点的坐标的比等于或是解题的关键． 【详解】解：∵两个气球恰好是位似图形，位似中心为点，位似比是，， 则点的对应点的坐标为，即． 6．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 7．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． (2) 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 8．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)以点为位似中心，将放大得到，使得，请在所给的网格图中画出； (2)的面积为______． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)16 【分析】（1）利用位似图形的性质，连接，并延长至，使，同理得到点，的坐标，然后依次连接即可； （2）用的外接矩形面积减去其周围三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为：． 9．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出，此时与的面积比为________； (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 【答案】(1)作图见详解， (2)作图见详解 【分析】（1）根据位似图形的性质，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，需要将点A和点B分别沿着和的方向，以点C为中心，延长到原来的2倍距离，得到点M和N，最后连接、、即可得到放大后的三角形，由位似图形的性质可知，三角形面积比为位似比的平方； （2）利用平行线分线段成比例定理，先构造直角三角形，然后在上截取3个单位长度和2个单位长度的线段，找到第二个分点N，过点N作一条平行于的格线，该格线与的交点即为所求的点M． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，点M即为所求： 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出周长比即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：∵，且相似比为， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 图形的位似 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 位似图形的识别 题型2 判断位似中心 题型3 求位似图形的相似比 题型4 利用位似变换作图 题型5 求位似图形的对应坐标 题型6 坐标与图形综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 位似的概念与性质 利用位似变换作图 图形的变换与坐标 1.位似的概念与性质：分清位似图形、位似中心、位似比；掌握位似图形对应边、对应点、周长、面积比例规律，能区分位似与普通相似。 2.利用位似变换作图：掌握以图形内外任意点位中心，放大或缩小图形的标准作图步骤，规范画出位似图形。 3.图形的变换与坐标：熟记平移、轴对称、旋转、位似四类变换的坐标变化规律，能根据坐标判断变换类型，也可通过变换写出对应点坐标。 学习重点： 掌握位似图形定义，识别位似中心、位似比；掌握以任意点位中心放大、缩小图形的完整作图步骤；熟记平移、轴对称、旋转、位似四种变换的坐标变化规律。 学习难点： 区分普通相似图形与位似图形；位似比正负、内外位似图形作图容易混淆；多种变换叠加时，坐标变化顺序容易颠倒 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 位似的概念与性质 一、核心概念 1. 位似图形定义：两个图形①相似；②对应顶点连线相交于同一点；③对应边互相平行或共线，三者兼备即为位似图形。 2. 专属名词：公共交点叫位似中心，相似比又叫位似比。 3. 从属关系：位似一定相似，相似不一定位似（相似无线共点，就不是位似）。 4. 分类： ①同侧位似：对应点在位似中心同一侧； ②异侧位似：对应点分居位似中心两侧； 5. 位似中心位置：可在图形外、图形内、图形边上、顶点上。 二、核心性质 1. 对应角相等，对应边平行或共线； 2. 所有对应点连线必过位似中心； 3. 对应点到位似中心的距离之比=位似比； 4. 位似图形周长比=位似比； 5. 位似图形面积比=位似比的平方（必考）； 6. 位似只改变图形大小，不改变图形形状。 三、解题技巧 1. 位似判定两步法：先证相似，再延长对应顶点连线，交于同一点即可判定； 2. 求线段长：直接用「点到位似中心距离比=位似比」列比例方程； 3. 比例换算：已知位似比求面积平方，已知面积比求位似比开平方； 4. 找位似中心：连接两组对应顶点并延长，交点即为中心。 即时即练如图，与位似，点为位似中心． (1)若与的相似比为，，求的长； (2)若，，求的度数． 【易错提醒】 1. 误把相似图形直接判定为位似图形； 2. 面积计算忘记平方位似比； 3. 混淆原图与新图的位似比，放大缩小比值写反。 知识点02 利用位似变换作图 一、标准作图步骤（考试踩分步骤） 1. 定点：确定题目指定位似中心； 2. 连线：连接位似中心与原图所有顶点，双向延长射线； 3. 取点：按位似比，在射线上截取对应顶点；同侧同向截取，异侧反向截取； 4. 连线：依照原图顶点顺序，顺次连接新顶点； 5. 标注：标注字母，保留虚线作图痕迹。 二、作图分类 1. 放大图形：位似比k>1； 2. 缩小图形：0<k<1； 3. 一个中心可作两个位似图形：同侧、异侧各一个。 三、解题作图技巧 1. 审题重点：看清位似比是原图∶新图，防止放大缩小做反； 2. 网格作图：依托格点找点，保证对应边平行，作图零误差； 3. 大题要求：辅助线必须用虚线，不可擦除作图痕迹； 4. 多顶点图形：只需确定顶点位置，无需刻画内部线条。 即时即练如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点． (1)以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2； (2)无刻度直尺作图，在线段上找一点，使得． 【易错提醒】 1. 顶点连线延长方向错误，作出反向位似图； 2. 顶点连接顺序错乱，图形形状改变； 3. 忽略题目要求，只画同侧，漏画异侧图形。 知识点03 图形的变换与坐标 一、四大全等变换坐标规律（不改变大小） 设平面内一点坐标为(x，y) 1. 平移变换：左减右加横坐标，上加下减纵坐标； 2. 轴对称：关于x轴对称(x,y)→(x,-y)；关于y轴对称(x,y)→(-x,y)； 3. 中心对称（原点）：(x,y)→(-x,-y)； 4. 旋转90°：原点顺时针90°(x,y)→(y,-x)；原点逆时针90°(x,y)→(-y,x)。 二、位似变换坐标规律（改变大小，重点考点） 1. 位似中心为原点，位似比k： 同侧位似：(x,y)→(kx,ky) 异侧位似：(x,y)→(-kx,-ky) 2. 位似中心非原点：不可直接乘k，解题三步：平移至原点→位似缩放→平移还原。 三、解题技巧 1. 变换题型：单一变换直接套坐标公式，多重变换按先后顺序依次改写坐标，不可颠倒； 2. 位似坐标题：先判断位似中心是否为原点，再判断同侧/异侧，确定符号； 3. 识图做题：根据坐标横纵坐标变化，快速判断平移、对称、位似类型； 4. 求值技巧：坐标变化倍数=位似比，直接套用周长、面积比例公式计算。 即时即练在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，连接并延长至，使，则称点为点关于点的平移关联点． (1)如图1，已知 ①若点，则点的坐标为 ； ②若点的坐标为，则当 时，点在轴上； (2)如图2，已知正方形的边长为1，各边与轴平行或垂直，其中心为，点为正方形上的动点． ①当点为时，点运动过程中，点形成的图形的面积是 ； ②当点为时，在点运动过程中，若点形成的图形与坐标轴有交点，则的取值范围是 ． 【易错提醒】 1. 平移坐标加减搞反，记错“左加右减”； 2. 原点异侧位似，忘记坐标整体变号； 3. 非原点位似，直接给坐标乘k，忽略平移步骤； 4. 多种变换叠加，变换顺序颠倒，坐标计算出错。 题型1 位似图形的识别 【例1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】如图所示，是位似图形的几种画法，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 1.判定两步走：先看两个图形是否相似，再延长所有对应顶点连线，验证全部交于同一点；两个条件缺一不可。 2.区分易混概念：相似图形不一定位似，只有对应顶点连线共点、对应边平行才是位似。 3.快速排除：对应边不平行、顶点连线无法交于一点，直接判定不是位似图形。 【变式1-1】下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 题型2 判断位似中心 【例3】如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【技巧归纳】 1.基础方法：任选两组对应顶点，分别连接并延长，两条直线的交点就是位似中心。 2.特殊情况：若一组对应顶点重合，该重合点直接为位似中心；中心可在图形内、外、边上。 3.网格图技巧：借助格点延长顶点连线，直观找到交点，不用复杂计算。 【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边和正方形的边都在轴上，且点的坐标分别为，．若正方形与正方形是位似图形，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 题型3 求位似图形的相似比 【例5】如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 【例6】如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【技巧归纳】 1.定义计算：取一组对应点到位似中心的线段长度，长度比值即为位似比，看清顺序（原图∶新图）。 2.边长速算：直接取一组对应边，边长之比等于位似比。 3.面积反向求比：已知面积比，对数值开平方得到位似比；周长比直接等于位似比。 4.注意区分：放大图形位似比＞1，缩小图形0＜位似比＜1。 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 题型4 利用位似变换作图 【例7】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 【例8】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； (2)以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； (3)利用网格图，过点向画垂线． 【技巧归纳】 1.标准四步流程：定位似中心→连接中心与各顶点延长射线→按位似比截取对应点→顺次连接新顶点。 2.同侧、异侧区分：同侧沿射线同向截取；异侧向中心反方向延长截取。 3.作图规范：连线、延长线用虚线，保留全部作图痕迹，最后标注顶点字母。 4.审题关键点：分清位似比是原图比新图，避免放大、缩小操作颠倒。 【变式4-1】如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 题型5 求位似图形的对应坐标 【例9】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是____________． 【例10】如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【技巧归纳】 1.位似中心在原点：位似比k，同侧(x,y)→(kx,ky)，异侧(x,y)→(-kx,-ky)。 2.位似中心不是原点：先平移坐标系使中心到原点，缩放后再平移还原坐标，不能直接乘k。 3.已知两点求坐标：先算出位似比，再代入公式统一计算所有顶点坐标。 4.多解提醒：无说明同侧/异侧时，需要写出两组坐标答案。 【变式5-1】如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 题型6 坐标与图形综合 【例11】中，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式滚动，则滚动2025次后，点的坐标为___________． 【例12】如图，在平面直角坐标系中，线段的两端点的坐标分别为，，有一动点P在直线上运动，连接，设点P的横坐标为m．当取得最小值时，______． 【技巧归纳】 1.解题顺序：先判断变换类型（平移、对称、旋转、位似），分步改变坐标，多重变换严格遵循先后顺序。 2.数形结合思路：根据坐标求出线段长度，计算位似比，再求解周长、面积。 3.动点综合题：设动点坐标，利用位似比例列方程求解参数。 4.答题技巧：先画图标出关键点坐标，再结合位似性质列式，减少计算失误。 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，点的坐标为，与轴交于点，点在边上，将沿直线翻折，得到．若点恰好落在轴上，则的面积为________． 【变式6-2】如图，矩形在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作，交轴于，过点作轴交直线于，过点作直线，交轴于，过点作轴交直线于，……，则________，的坐标是________． 1．如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点A，D的坐标分别为，．若的长为4，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，则与的面积比为______． 5．如图，放在同一平面直角坐标系中的两个气球恰好是位似图形，点、点分别是①号、②号气球的扎口，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标是__________． 6．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． 7．如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 8．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)以点为位似中心，将放大得到，使得，请在所给的网格图中画出； (2)的面积为______． 9．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)在图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出，此时与的面积比为________； (2)在图2中，线段上作点M，利用格点作图使得． 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点为位似中心，将在第一象限内缩小为原图形的得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为和，试求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $