第14讲 二次函数图像与性质（知识点+11题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第14讲二次函数图像与性质（知识点+11题型) 子内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1y=ax的图象和性质 题型2y=ax+k的图象和性质 题型3y=a(x-h)的图象和性质 题型4y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型5把y=ax+bx+c化成顶点式 题型6y=ax2+bx+c的图象与性质 题型7根据二次函数的图象判断式子符号 题型8一次函数、二次函数图象综合判断 题型9已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型10二次函数图象的平移 题型11根据交点确定不等式的解集 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 二次函数的图像（抛 1.经历用描点法绘制二次函数图像的过程，知道二次函数的图像是抛物线， 物线) 认识抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本特征，能准确指出抛物线的顶 抛物线的开口方向、 顶点、对称轴 点坐标和对称轴。 1/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.掌握y=ax(a≠0)形式的二次函数的图像与性质，理解系数a对抛物线 y=ax的图像与性质 开口方向、开口大小的影响，能根据图像判断函数的增减性和最值。 y=ax2+k的图像与 3.掌握y=ax2+k、y=a(x-h、y=a(x-h2+k(a≠0形式的二次函数 性质 y=a(x-h)的图像与 的图像与性质，理解Q、h、k三个系数分别对抛物线位置和形状的影响。 性质 4.掌握二次函数图像的平移规律("上加下减常数项，左加右减自变量")， y=a(x-h)2+k的图 能利用平移规律由y=ax的图像快速得到其他形式二次函数的图像。 像与性质二次函数图 像的平移规律 5.能根据二次函数的图像分析函数的性质，解决简单的实际问题，体会数形 结合的数学思想，发展几何直观能力。 学习重点：y=α(x-h)P+k形式二次函数的图像与性质，二次函数图像的平移规律，利用图像分析函 数的增减性和最值。 学习难点：理解系数h、k对抛物线位置的影响，准确把握平移规律，数形结合思想在函数问题中的 灵活应用。 02 教材全解 知|识|框1架 2/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图像名称：抛物线 基本特征：轴对称图形，有唯一顶点（最高点/最低点） 二次函数图像的基本认知○ 开口方向：由二次项系数a决定o a>0:开口向上，顶点为最低点 a<0:开口向下，顶点为最高点 开口大小：a越大，开口越小；a越小，开口越大 列表：以对称轴为中心，对称选取5-7个×值，计算对应y值 核心步骤0 描点：在平面直角坐标系中标出各点 连线：用平滑曲线顺次连接各点 二、描点法画二次函数图像 不能画成折线 注意事项0 图像两端需自然延伸 取值对称才能保证图像准确 形式1：y=ax2(最基础形式)。 一对称轴：y轴（直线x=0) 顶点坐标：(0,0) 一对称轴：y轴（直线x=0) 形式2：y=ax2+k(上下平移型) 一顶点坐标：(O, 三、核心形式的图像与性质 形式3：y=ax-h(左右平移型) 一对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,0) 对称轴：直线x=h 形式4：y=ax-h)2+k(顶点式，核心形式)。 顶点坐标：(h,k) 地位：所有二次函数均可化为顶点式，便于分析图像 平移本质：仅改变顶点位置，不改变开口方向和大小 核心口诀：上加下减常数项，左加右减自变量 四、二次函数图像的平移规律 上下平移：y=ax2一y=ax2+k(向上k个单位)/y=ax2-k(向下k个单位) 具体平移路径（以y=ax2为基础）。 左右平移：y=ax2一y=a(x+h)2(向左h个单位)/y=a(x-h)2(向右h个单位) 综合平移：y=ax2一y=ax-h)?+k(平移顺序不影响最终结果) 左右平移方向混淆：误将左加右减记为“左减右加 顶点坐标符号错误：将y=a(x-h)?+k的顶点误记为(h,k) 五、高频易错点 忽略a的符号：判断开口方向时只看绝对值 描点连线错误：用折线连接点，或取值不对称 平移量计算错误：综合平移时重复或漏算平移单位 知|识|精|讲 知识点01 二次函数y=ax的图像与性质 图像形状：二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形。 核心性质： a的符 开口方 顶点坐 号 向 对称轴 标 增减性 最值 a>0 向上 y轴（直线 (0,0 X<0时，y随x增大而减小；x>0时， 当x=0时， X=0) y随x增大而增大 y最小值=0 a<0 向下 y轴（直线 (0,0 x<0时，y随x增大而增大；x>0时， 当x=0时， X=0) y随x增大而减小 y最大值=0 重要结论：a越大， 抛物线的开口越小；|a越小，抛物线的开口越大。 即时即练 1.与抛物线y= X形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是 【易错提醒】 3/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q的符号决定开口方向，a>0向上，a<0向下，切勿记反 不要混淆开口大小与a的大小关系，是a决定开口大小，不是a本身 顶点在原点，对称轴是y轴，不是x轴 知识点02二次函数y=ax+c的图像与性质 图像关系：y=ax+c的图像是由y=ax的图像上下平移得到的 平移规律：c>0时，向上平移c个单位：c<0时，向下平移C个单位（简称“上加下减”） 核心性质： 对称轴：y轴（直线x=0) 顶点坐标：(0，c) 开口方向、增减性与y=ax完全相同 最值：当a>0时，y最小值=C;当a<0时，y最大值=C 即时即练 12 2.已知函数y=-2x和y= x-2 3 (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象： (②)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. -1 0 × 1 1 y=- 0 3 3 3 3 y=. 10 > -2 7 10 3 3 3 3 【易错提醒】 上下平移只改变常数项C,二次项系数a不变 平移是针对整个函数值，不是针对自变量x C的正负决定顶点在y轴的正半轴还是负半轴，c=0时顶点在原点 知识点03二次函数y=a(x-h的图像与性质 4/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图像关系：y=a(x-h)的图像是由y=ax的图像左右平移得到的 平移规律：h>0时，向右平移h个单位；h<0时，向左平移h个单位（简称“左加右减”） 核心性质： 对称轴：直线x=h 顶点坐标：(h,0) 开口方向、增减性与y=ax类似，以直线x=h为界 即时即练 3.若点A-3,y1、B-2,y2、C-1,y3三点在抛物线y=ax+11a>0的图象上，则y1,y2,y3的大小 关系是 (用“>”连接)· 【易错提醒】 最高频易错点：左右平移方向极易搞反！记住“左加右减”是针对自变量X本身，不是针对ax 顶点坐标是(h,0),不是(-h,0),如y=(x+22的顶点是(-2,0)，不是(2,0】 左右平移不改变抛物线的开口方向和大小 知识点04二次函数y-ax-hP+k的图像与性质（顶点式） 图像关系：y=ax-h)+k的图像是由y=ax的图像先左右平移h个单位，再上下平移k个单位得到的 核心性质： 对称轴：直线X=h 顶点坐标：(h,k)(抛物线的最高点或最低点) 开口方向：由Q决定，a>0向上，a<0向下 增减性： a>O时，x<h,y随x增大而减小；x>h,y随x增大而增大 a<O时，x<h,y随x增大而增大；x>h,y随x增大而减小 最值：当a>0时，X=h,y最小值=k;当a<0时，x=h,y最大值=k 即时即练 4.当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线！的对称曲线.如果抛物线 C1y=x2-2x与抛物线C2:y=x-h?+b是关于y轴的对称曲线，则h+b的值为() A.3 B.0 C.-1 D.-2 5/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错提醒】 项点式中h和k的符号是易错重灾区，h前面是减号，k前面是加号 最值是k,不是-k,如y=2(x-12+3的最小值是3，不是-3 增减性一定要结合对称轴x=h来判断，不能死记硬背 知识点05二次函数一般式y=ax+bx+c的图像与性质 转化方法：用配方法将一般式转化为顶点式 y=ax2+bx+c=ax+ b +4ac-b2 2a 4a 核心性质： b 对称轴：直线X=- 2a 顶点坐标： b 4ac-b2 2a 4a 开口方向、增减性、最值与项点式一致 即时即练 5.在平面直角坐标系中，将抛物线C关于原点中心对称后得到抛物线y=ax-4ax+5(a为常数，a>0 ),若抛物线y=ax2-4ax+5的最小值为1，则抛物线C的顶点坐标为() A.（-2,10) B.（-2,-3j C.（-2,-2 D.（-2,-1】 【易错提醒】 配方法步骤错误：二次项系数不为1时，必须先将二次项系数提出来，再进行配方 对称轴公式中负号不能漏掉，如y=x2-2x+3的对称轴是x=1,不是X=-1 顶点纵坐标计算错误：分子是4ac-b,不是b2-4ac 不要直接用一般式判断增减性，必须先求出对称轴 知识点06抛物线的平移规律总结 通用规律：左加右减自变量，上加下减常数项 左右平移：只改变自变量x,在x上加减，加向左，减向右 上下平移：只改变常数项，在整个式子后加减，加向上，减向下 数学语言：将抛物线y=ax2平移得到y=a(x-h+k,平移过程中a不变。 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即时即练 6.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为y=ax2-6ax+5a-2(a为常数，a>0). (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标： (2)将抛物线向上平移2个单位后与X轴交于A,B两点，求AB的长： 3)当t≤x≤t+3(0≤t≤1)时，y的最大值与最小值之差为5，求a的取值范围. 【易错提醒】 平移是针对x本身，不是针对ax,如y=2x2向右平移1个单位是y=2(x-12,不是y=2x2-1 多次平移要分步进行，先左右后上下，或先上下后左右，结果相同 不要将平移方向与h、k的正负搞反 03 题型突破 题型1y=ax的图象和性质 【例1】知二次函数y=ax的图像经过点P(2,3),则a的值为() A.4 B.3 2 C. D. 2 【技巧归纳】 项点：(0,0)，对称轴：y轴(x=0) a>0:开口向上，顶点是最低点，x<0时y随x增大而减小，x>0时y随x增大而增大 a<0:开口向下，顶点是最高点，增减性与a>0相反 a越大，抛物线开口越小：a越小，开口越大 【变式1-1】 1.若点A-1,y1,B(4,y2在二次函数y=ax2a<0的图象上，则y1,y2的大小关系是() A.y1<y2 B.Y1>y2 C.yi=y2 D.无法确定 【变式1-2】 2.二次函数y=ax的图象经过点2，-2，则a的值为() 4方 B.-1 c.1 D.2 题型2y=ax+k的图象和性质 【例2】已知点Ax1,y1,Bx2,y2在抛物线y=-x2-1上，且x2>x1>0,则y1 y2(填“><， 7/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 或“=). 【技巧归纳】 顶点：(0，k),对称轴：y轴(x=0) 平移规律：上加下减(k>0向上移k个单位，k<0向下移k个单位) 开口方向、大小、增减性与y=ax完全相同 最值：a>0时最小值为k,a<0时最大值为k 【变式2-1】 1.若抛物线y=m-2x2-3的开口向上，则m的取值范围是 【变式2-2】 2.抛物线y=-2x+4的开口方向 顶点坐标是 对称轴是 题型3y=a(x-h)的图象和性质 【例3】如图，抛物线y=ax-2与y轴交于点A,顶点B在x轴的正半轴上，连接AB,若△AOB是等腰 直角三角形，则a的值为_ B 【技巧归纳】 顶点：(h,0),对称轴：直线x=h 平移规律：左加右减(h>0向右移h个单位，h<0向左移h个单位) 开口方向、大小与y=ax完全相同 增减性以对称轴x=h为界，最值为0 【变式31】 1.已知二次函数y=2(x-h2,当x>3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是() A.h=3 B.h<3 c.h≤3 D.h≥3 【变式32】 2.已知抛物线y=x-h2,其中h>0,该抛物线示意图是() 8/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4y=a(x-h)2+k的图象和性质 【例4】在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2+2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的 抛物线的顶点坐标是() A.-2,6 B.-2,8 C.-2,-8 D.2,-8 【技巧归纳】顶点：(h,k),对称轴：直线x=h 由y=ax先左右平移h个单位，再上下平移k]个单位得到 a>0时，最小值为k;a<0时，最大值为k 增减性：以x=h为界，左减右增(a>0)或左增右减(a<0) 【变式41】 1.对于二次函数y=ax+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)，定义其图象上点(x,y)的“点值”t=y-x. 已知二次函数y=mx-2?+3m-5(m为常数，且m≠0)图象的顶点的“点值”为-1，则m的值为 () 8 4 A.2 B. C.3 D.3 【变式42】 2.已知二次函数y=2x-1+3,其顶点坐标为() A.-1,3 B.1,-3 c.-1,-3 D.1,3 题型5把y=ax+bx+c化成顶点式 【例5】通过配方，写出函数y=-2x2-3x+5的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标. 【技巧归纳】 四步走：提→配→整→写 提：提取二次项系数a(只提前两项) 9/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 配：括号内加一次项系数一半的平方，同时减这个平方 整：将括号内写成完全平方，合并常数项 写：整理成顶点式 示例：y=2x2-4x+1=2(x2-2x)+1=2(x2-2x+1-1)+1=2(x-12-1 【变式51】 1.对于抛物线y=x2-4x+1,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为2，-3 C.抛物线的对称轴为直线X=-2 D.当x>-2时，y随x的增大而增大 【变式52】 2.己知二次函数y=x2+2x-3. (1)将y=x2+2x-3写成y=a(x-h+k的形式，并写出它的顶点坐标： (2)当-4<x<0时，直接写出函数值y的取值范围： 题型6y=ax+bx+c的图象与性质 【例6】已知二次函数y=x2-2bx+c(b,c为常数)，当b-1≤x≤b+2时，该函数的最大值与最小值的 差是-2k,求k的值. 【技巧归纳】 对称轴公式：X=- 2a (必须背熟) b 4ac-b2 顶点坐标公式： 2a’4a 开口方向由a决定，增减性以对称轴为界 与y轴交点：(0，C)；与X轴交点：令y=0解一元二次方程 【变式61】 若对于实数r,s,满足r<s,且当r≤x≤s时，对应的函数值y的取值范围也为r≤y≤s,则称区间r,S为 该函数的一个“保值区间”. (1)若二次函数y=x存在“保值区间”，且当x之0时的一个“保值区间”为0，t小，求t的值； ②)已知a,b为二次函数y=x2-4x+5的“保值区间”，且a<b,求aa-b+5b+1的值. 题型7根据二次函数的图象判断式子符号 【例7】二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a<0:② c>0:③b2-4ac>0；④3a+b=0,其中，正确的有(). 10/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【技巧归纳】 a:开口向上a>0,向下a<0 b:左同右异（对称轴在y轴左侧，a、b同号；右侧则异号） C:与y轴正半轴相交c>0,负半轴c<0 △=b2-4ac:与x轴2个交点△>0,1个交点△=0,0个交点△<0 特殊值：x=1时y=a+b+C,x=-1时y=a-b+c,看对应点在X轴上下判断符号 【变式7-1】 1.知二次函数y=ax+bx+ca≠0的图象如图所示，则下列结论错误的是() Aa心号 B.b<10 C.abc<0 D.a+b+c=2 【变式7-2】 2.如图，二次函数y=aX+bx+ca≠0的图像与x轴交于点A3,0,与y轴交于点B,对称轴为直线 x=1,有下列四个结论：①4a-2b+c>0;②3a+2c>0;③ax+bx≥a+b;④若-3<c<-2,则 4<a+b+c<多下列达项正确的是() A.②④ B.①③ C.①③④ D.①②③ 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8一次函数、二次函数图象综合判断 【例8】已知二次函数y=ax+bx+ca≠0的图象如图所示，则函数y=ax+c的图象可能为() D 【技巧归纳】 先看二次函数图象，确定a、b、C的符号 再看一次函数图象，确定k、b的符号 同一个字母在两个函数中的符号必须一致，不一致的选项直接排除 优先判断a的符号，再判断b、c的符号 【变式81】 1.一次函数y=ax+a与二次函数y=ax2-2x+1在同一坐标系中的图象可能是() 【变式82】 2.在同一坐标系中画出直线y=ax+b与抛物线y=ax2+b,有可能是() 12/21 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型9已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例9】已知抛物线y=2x2+bx+c经过四个不同的点A1,m,B2,n,Cb,y,Dc-1,y2,若 y1=y2,则m+n的值为() A.6 B.8 C.10 D.12 【技巧归纳】 通用公式：若两点(x1,y以、(X,y)纵坐标相同，则对称轴为X=十 2 示例：点1,3)和5,3)关于对称轴对称，对称轴为x=15-3 2 无论纵坐标是多少，只要两点关于对称轴对称，都适用此公式 【变式9-1】 1.经研究发现某型号火箭高度hm与时间ts的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上 竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是() 时间t/s 10 18 20 火箭高度 155 1010 1090 1010 h/m A. 火箭在前18s持续上升 B.火箭在18s后才开始下降 C.火箭在10s前可以达到1090m D.火箭在30s时的高度低于155m 【变式92】 2.己知抛物线y=ax+bx+ca<0过A4,y1,B2,y2,C3,y3,D5,y4四点. 1)若y2=y3. （)求该抛物线的对称轴； 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (ii)比较y1,y3的大小. (2)若y2=C,y2y3<0,判断y4<0是否成立，并说明理由. 题型10二次函数图象的平移 【例10】将抛物线y=x+8x+15向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解 析式是() A.y=x+12-3 B.y=x+72-3 C.y=x+12+1 D.y=x+72+1 【技巧归纳】 第一步：将原函数化为顶点式y=a(x-h)2+k 第二步：根据平移方向改变h和k 左右平移：左加右减自变量(h) 上下平移：上加下减常数项(k) 示例：y=2(x-12+3向左平移2个单位，向下平移1个单位，得y=2(x+12+2 【变式10-1】 1.将抛物线y=x+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是() A.y=(x+22-2 B.y=(x+22+3 c.y=(x-22-2 D.y=(x-12+3 【变式10-2】 2.已知抛物线y=x+bx+c(b为常数)是由抛物线y=x2-2x+3先向左平移2个单位，再向下平移3个 单位得到的， (1)求b,c的值： (②)点Px1,y1在抛物线y=x2-2x+3上，点Qx1+m,y1+2k在抛物线y=x2+bx上. ①用含x1与m的式子表示k: ②若x1+2=m+n(n为常数)，且m>4,k随m的增大而增大，求n的最小值. 题型11根据交点确定不等式的解集 【例11】一次函数y1=mx+nm≠0与二次函数y2=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则不等式 ax2+b-mx+c>n的解集为() 14/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 【技巧归纳】 ax2+bx+c>O的解集：抛物线在x轴上方对应的x的范围 ax+bx+c<0的解集：抛物线在X轴下方对应的x的范围 y1>y2的解集：抛物线y1在直线y2上方对应的X的范围 端点是否包含：原不等式有等号则包含，无等号则不包含 【变式11-1】 1.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线X=1,则下列结论正确的是(). 3 A.ac>0 B.方程ax2+bx+c=0的两根是X1=-1,x2=3 C.不等式ax2+bx+c<0的解集是-1<x<3 D.当X>O时，y随X的增大而减小 【变式11-2】 2.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+ax-2aa≠0的图象与y轴交于负半轴，则下列关于该函数的 结论正确的是() A.图象的开口向下 B.当X>-1时，y的值随x值的增大而增大 C.该函数有最大值4Q D.当1<x<2时，y>0 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.二次函数y=-x+1+4图象的顶点所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.对于抛物线y=2x-1+3,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为1,3 C.抛物线的对称轴为直线X=-1 D.当X>1时，y随x的增大而减小 3.抛物线y=x+4x-3的对称轴是直线() A.X=-4 B.X=-2 C.x=4 D.X=2 4.小明同学在将抛物线表达式化为y=ax+m?+n形式时，他给出的结果是y=4x+22+4,那么这条 抛物线的顶点坐标为() A.-2,4 B.-2,-4 c.-4,4 D.4,-4 5.将抛物线y=x向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式是() A.y=(x-2}2-3 B.y=(x-22+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x+2}2+3 6.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+1川x-1经变换后得到抛物线y=-(x+2)2+1,则下列变换正确 的是() A.向右平移3个单位 B.向左平移3个单位 C.向右平移2个单位 D.向左平移2个单位 7.二次函数y=Qx+bx+c开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，下列结论正确的是() A.a<0 B.b<0 C.c>0 D.b2-4ac>0 8.已知函数的图象经过点M1,2,且在第一象限内y随x的增大而增大.下列函数符合要求的是() A.y=kx+3 B.y=kx-1 C.y=k D.y=ax+3 X 9.若函数y=x+ax+b在0≤x≤1的最大值是M,最小值是m,则M-m() A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 10.已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是() 16/21 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.abc>0 B.b+4a=0 C.5a+c>0 D.当x<-5或x>1时，y>0 11.抛物线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误 的是() A.抛物线开口向上 B.顶点坐标为-1,2 C.若点3，y1和点-1，y2都在抛物线上，则y1=y2 D.当x<O时，y随x的增大而减小 12.如图，点P是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点.下列结论正确的是() ◇ A.2a+b=0 C.对任意实数t,at+bt<4a+2b总成立 D.若点A(1-m,y1),B(1+m,y2在抛物线上，则y1<y2 二、填空题 1.已知二次函数y=ax-5+a}+2,当x>2时，y随x的增大而增大，则a的值可以是 (写出 一个即可) 2.已知二次函数y=x2+4x+5,当-3≤x≤0时，y的取值范围为 3.已知抛物线y=x2-4x+1,当-1≤x≤4时，函数y的最大值是 4.如图为二次函数y=ax+bx+c的图象，其与x轴交于-3,0和1,0两点.①abc>0;②a-b+c>0: 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③对称轴为直线x=-1;④a+c<0:上述结论正确的有 (填序号)· -3 5.探究函数y=乙数图象的性质，下列结论正确的有 (填写序号) ①该函数图象一定过原点； ②若a=1,b=0,则y随x增大而增大： b2 ③若a<0,b20,则函数有最大值-4a: ④若x大于2时y随x增大而减小，则b=-4a; ⑤若a>0,则函数图象与直线y=x+1仅有一个交点. 6.已知点P1,m,Q3,m都在抛物线y=ax2-bx+1上，则b= (用含a的代数式表示). 7.已知二次函数y=ax2+a-2x-2(a为常数，且a≠0).下列四个结论： ①该函数图象经过点-1,0： ②若a=-1,则当x>-1时，y随x的增大而减小： ③若a>2,则关于x的方程ax2+a-2x-2=0有一个根大于0且小于1： ④若Q>2,则关于x的方程ax2+a-2x-2=2的正数根只有1个. 其中正确的是 (填序号)· 8.设二次函数y=ax+bx+1(a,b为常数，a≠0)经过点2,0、-1，q.若q<2,则a的取值范围是 9.填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x号 y=-1.5x+42 y=x2-2x+1 18/21 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-x2-4x+9 y2 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=- 向下 直线X=0(y轴) 0,0 y2 向上 直线X=0(y轴) y=-1.5x+42 向下 直线X=-4 -4,0 y=x2-2x+1 向上 直线x=1 1,0 y=-x2-4x+9 向下 直线X=-2 -2,13 2+2 向上 直线X=3 3,-1 三、解答题 1.在同一个平面直角坐标系中，画出函数y=号X与y=号x2+1的图象. 1 -3 -2 0 1 2 3 y 9 1 1 2 9 2 2 0 2 2 2 y 11 3 3 3 11 3 2 2 2 2 2.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)y=3(x+3)P+4: 2)y=-2(x-1)2-2: 6y=2x+32-2: 19/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④y=2x-1P+0.6 3 3.已知抛物线y=x2-2bx+c(b,c为常数). (1)当b=2,c=5时， ①求该抛物线的顶点坐标. ②将该抛物线向下平移hh>0个单位得到的新抛物线过点n,0,且-1≤n≤3，请求出h的取值范围. (2)当x≤-1时，y的最小值为6；当x>-1时，y的最小值为2.求该抛物线的表达式. 4.己知二次函数y=ax图像经过点P(-2,3. (1)判断这个函数图像的开口方向： (2)点Q2,m在这个函数图像上，求m的值. 5.已知：抛物线y=2x2+8X-6, (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)当X在什么范围内变化时，y随x的增大而增大 6.已知抛物线y=x2-2X+2 (1)求抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标： 2)若点A3,y1,B6,y2在此抛物线上，试比较y1,y2的大小： 3)平移抛物线y=x-2x+2可以得到抛物线y=x-2P+2,请直接写出平移过程. 7已知抛物线y=a-2ax+a-2a为常数，a≠0y,设T=360 a2+1 (1)求该抛物线的对称轴： (2)若抛物线y=ax-2ax+a-2有最小值-1，求T的值. 8.已知直线l交抛物线y=ax2-4ax-3(常数a≠0)于点s,8a,t,8a,s<t. (1)求抛物线的对称轴， (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求t的值： ②若点Px1,y1,QX2,y2是b≤x≤t范围内抛物线上的两点，且b<2,X1<x2.当y1-y2取得最大值时， 记点P向右平移3个单位后的点为P,求线段PQ的中点的坐标 9.已知=次函数y方X-mx+2m-3(m为常数) (1)若该函数图象上有两个点Am+2,y1、Bm-1,y2,试比较y1与y2的大小： (2)当2≤x≤4时，函数有最小值为-2，请直接写出的值. 20121 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax-4axa≠0. 1)当a=1,且-2≤x≤n时，y有最大值32，求n的值； 2)已知Mx1,y1和N(x2,y2是抛物线上的两点.若对于1=5a,5≤x2≤6，都有y1>y2,求a的取值 范围. 11.已知二次函数y=x2-2mx+2m-1.若点Aa,y1,Bb,y2都是该二次函数图象上的点. (I)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）： 2)若m=-3,a+b=-4,求证：y1+y2≥-30， 3)若a=p+1,b=2m-p,且点A在对称轴的左侧，求证：y1<y2~1. 12.已知M=a2-b2,N=3a+2b,其中a,b为整数. 1)当a=2时，求M与N的大小关系： (2)当b=1时，求M+N的最小值： 3)是否存在使M+3=2N的a,b的值，若有请写出a,b的值；没有则说明理由. 21/21 第14讲 二次函数图像与性质（知识点+11题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 的图象和性质 题型2 的图象和性质 题型3 的图象和性质 题型4 的图象和性质 题型5 把化成顶点式 题型6 的图象与性质 题型7 根据二次函数的图象判断式子符号 题型8 一次函数、二次函数图象综合判断 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型10 二次函数图象的平移 题型11根据交点确定不等式的解集 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的图像（抛物线） 抛物线的开口方向、顶点、对称轴 的图像与性质 的图像与性质 的图像与性质 的图像与性质二次函数图像的平移规律 1. 经历用描点法绘制二次函数图像的过程，知道二次函数的图像是抛物线，认识抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本特征，能准确指出抛物线的顶点坐标和对称轴。 2. 掌握形式的二次函数的图像与性质，理解系数对抛物线开口方向、开口大小的影响，能根据图像判断函数的增减性和最值。 3. 掌握、、形式的二次函数的图像与性质，理解、、三个系数分别对抛物线位置和形状的影响。 4. 掌握二次函数图像的平移规律（"上加下减常数项，左加右减自变量"），能利用平移规律由的图像快速得到其他形式二次函数的图像。 5. 能根据二次函数的图像分析函数的性质，解决简单的实际问题，体会数形结合的数学思想，发展几何直观能力。 学习重点：形式二次函数的图像与性质，二次函数图像的平移规律，利用图像分析函数的增减性和最值。 学习难点：理解系数h、k对抛物线位置的影响，准确把握平移规律，数形结合思想在函数问题中的灵活应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的图像与性质 图像形状：二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形。 核心性质： 的符号 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 向上 轴（直线） 时，随增大而减小；时，随增大而增大 当时， 向下 轴（直线） 时，随增大而增大；时，随增大而减小 当时， 重要结论：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。 即时即练 1．与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 【易错提醒】 的符号决定开口方向，向上，向下，切勿记反 不要混淆开口大小与的大小关系，是决定开口大小，不是本身 顶点在原点，对称轴是轴，不是轴 知识点02 二次函数的图像与性质 图像关系：的图像是由的图像上下平移得到的 平移规律：时，向上平移个单位；时，向下平移个单位（简称“上加下减”） 核心性质： 对称轴：轴（直线） 顶点坐标： 开口方向、增减性与完全相同 最值：当时，；当时， 即时即练 2．已知函数和． (1)在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)解：图象如下图所示： (2)解：函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 函数：开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）由函数解析式列表描点作图即可． （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，如下图所示： （2）略 【易错提醒】 上下平移只改变常数项，二次项系数不变 平移是针对整个函数值，不是针对自变量 的正负决定顶点在轴的正半轴还是负半轴，时顶点在原点 知识点03 二次函数的图像与性质 图像关系：的图像是由的图像左右平移得到的 平移规律：时，向右平移个单位；时，向左平移个单位（简称“左加右减”） 核心性质： 对称轴：直线 顶点坐标： 开口方向、增减性与类似，以直线为界 即时即练 3．若点、、三点在抛物线的图象上，则的大小关系是________________（用“”连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵， ∴． 【易错提醒】 最高频易错点：左右平移方向极易搞反！记住“左加右减”是针对自变量本身，不是针对 顶点坐标是，不是，如的顶点是，不是 左右平移不改变抛物线的开口方向和大小 知识点04 二次函数的图像与性质（顶点式） 图像关系：的图像是由的图像先左右平移个单位，再上下平移个单位得到的 核心性质： 对称轴：直线 顶点坐标：（抛物线的最高点或最低点） 开口方向：由决定，向上，向下 增减性： 时，，随增大而减小；，随增大而增大 时，，随增大而增大；，随增大而减小 最值：当时，，；当时，， 即时即练 4．当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线．如果抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线，则的值为（     ） A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质与图象的轴对称变换，得出两条关于轴对称的抛物线开口大小方向一致，顶点关于轴对称，先求出的顶点坐标，再得到对称顶点，对应得到和的值，即可计算出结果 【详解】解：抛物线与抛物线是关于轴的对称曲线， 二者开口大小方向一致，顶点坐标关于轴对称， 对配方得 ， 的顶点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为，即的顶点坐标为， 又的顶点式为，其顶点坐标为， ，， 【易错提醒】 顶点式中和的符号是易错重灾区，前面是减号，前面是加号 最值是，不是，如的最小值是3，不是-3 增减性一定要结合对称轴来判断，不能死记硬背 知识点05 二次函数一般式的图像与性质 转化方法：用配方法将一般式转化为顶点式 核心性质： 对称轴：直线 顶点坐标： 开口方向、增减性、最值与顶点式一致 即时即练 5．在平面直角坐标系中，将抛物线C关于原点中心对称后得到抛物线（a为常数，），若抛物线的最小值为1，则抛物线C的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出已知抛物线的参数和顶点坐标，再根据中心对称的性质求抛物线的顶点坐标，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点纵坐标为抛物线的最小值， 由题意最小值为， 可得 ， 解得， ∴已知抛物线的顶点坐标为， ∵ 抛物线关于原点中心对称后得到该抛物线， 因此两个抛物线的顶点也关于原点中心对称， ∵点关于原点中心对称的点坐标为， 设抛物线的顶点为， 则，， 解得， 因此抛物线的顶点坐标为． 【易错提醒】 配方法步骤错误：二次项系数不为1时，必须先将二次项系数提出来，再进行配方 对称轴公式中负号不能漏掉，如的对称轴是，不是 顶点纵坐标计算错误：分子是，不是 不要直接用一般式判断增减性，必须先求出对称轴 知识点06 抛物线的平移规律总结 通用规律：左加右减自变量，上加下减常数项 左右平移：只改变自变量，在上加减，加向左，减向右 上下平移：只改变常数项，在整个式子后加减，加向上，减向下 数学语言：将抛物线平移得到，平移过程中不变。 即时即练 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长； (3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）将代入抛物线解析式，通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得出顶点坐标． （2）根据平移规律得到平移后的抛物线解析式，令求出与轴的交点坐标，再计算两点间的距离． （3）先确定抛物线的对称轴与开口方向，再根据自变量的取值范围（），分析函数在该区间内的最大值与最小值，根据最大值与最小值之差为5列方程求解，最后结合的取值范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线为． ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向上平移2个单位后为， 令，即， ， ， 解得或， ∴抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， ∴对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ，， ∴当时，取到最小值为， 当时，取到最大值，最大值为， 的最大值与最小值之差为5， ， 化简得：，即， ， ， ， ， ． 【易错提醒】 平移是针对本身，不是针对，如向右平移1个单位是，不是 多次平移要分步进行，先左右后上下，或先上下后左右，结果相同 不要将平移方向与、的正负搞反 题型1 的图象和性质 【例1】知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【技巧归纳】 顶点：，对称轴：y轴（） ：开口向上，顶点是最低点，时随增大而减小，时随增大而增大 ：开口向下，顶点是最高点，增减性与相反 越大，抛物线开口越小；越小，开口越大 【变式1-1】 1．若点，在二次函数 的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 【变式1-2】 2．二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 【详解】∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 题型2 的图象和性质 【例2】已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 【技巧归纳】 顶点：，对称轴：y轴（） 平移规律：上加下减（向上移个单位，向下移个单位） 开口方向、大小、增减性与完全相同 最值：时最小值为，时最大值为 【变式2-1】 1．若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上. 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴ ， ∴. 故答案为：. 【变式2-2】 2．抛物线的开口方向__________，顶点坐标是__________，对称轴是__________． 【答案】 向下 y轴 【分析】根据二次函数的系数确定图象开口方向，顶点坐标与对称轴． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下， 该二次函数为的形式， 可得顶点坐标为，对称轴为y轴． 题型3 的图象和性质 【例3】如图，抛物线与轴交于点，顶点在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为___． 【答案】/0.5 【分析】求出抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标，再根据列式求解． 【详解】解：的顶点坐标为， 将代入，得：， 结合图象可得，， 是等腰直角三角形，， ， ， 解得． 【技巧归纳】 顶点：，对称轴：直线 平移规律：左加右减（向右移个单位，向左移个单位） 开口方向、大小与完全相同 增减性以对称轴为界，最值为0 【变式3-1】 1．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 【变式3-2】 2．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 题型4 的图象和性质 【例4】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 【技巧归纳】顶点：，对称轴：直线 由先左右平移个单位，再上下平移个单位得到 时，最小值为；时，最大值为 增减性：以为界，左减右增（）或左增右减（） 【变式4-1】 1．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 【变式4-2】 2．已知二次函数，其顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 题型5 把化成顶点式 【例5】通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【详解】略 【技巧归纳】 四步走：提→配→整→写 提：提取二次项系数（只提前两项） 配：括号内加一次项系数一半的平方，同时减这个平方 整：将括号内写成完全平方，合并常数项 写：整理成顶点式 示例： 【变式5-1】 1．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将抛物线的一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：将抛物线解析式配方得 ， 二次项系数， 抛物线开口向上， 故A选项错误； 由顶点式可知，抛物线顶点坐标为， 故B选项正确； 由抛物线的解析式可知，对称轴为直线， 故C选项错误； 根据二次函数性质，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而而减小， 故D选项错误. 【变式5-2】 2．已知二次函数． (1)将写成的形式，并写出它的顶点坐标； (2)当时，直接写出函数值的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标； （2）利用二次函数的增减性求出的取值范围； 本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． 【详解】（1）解： ， 则得顶点坐标为：； （2）解： ∴对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又， 当时，， 当时，， 当时，函数的取值范围为． 题型6 的图象与性质 【例6】已知二次函数（，为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，求的值． 【答案】 【分析】先确定顶点坐标为，可得最小值为，当时，函数取得最大值，为，即可列方程求解． 【详解】解：， 顶点坐标为， ，即抛物线开口向上，，最小值为， 当时，该函数的最小值为， ， 当时，函数取得最大值，为， 由题意可得， 解得． 【技巧归纳】 对称轴公式：（必须背熟） 顶点坐标公式： 开口方向由决定，增减性以对称轴为界 与轴交点：；与轴交点：令解一元二次方程 【变式6-1】 若对于实数，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． (1)若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； (2)已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由当时的一个保值区间为，可得当时，，据此求解即可； （2）由为二次函数的“保值区间”，可得，，所以，为关于的一元二次方程的根，求出，，，然后用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵的二次项系数1大于0，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时的一个“保值区间”为，且， 当时，， ，． 又 ∴； （2）解：的二次项系数1大于0，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 为二次函数的“保值区间”， 当时，， 当时，， 整理得，， ，为关于的一元二次方程的根， ，，， ∴原式． 题型7 根据二次函数的图象判断式子符号 【例7】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意；综上，共有4个符合题意． 【技巧归纳】 ：开口向上，向下 ：左同右异（对称轴在轴左侧，、同号；右侧则异号） ：与轴正半轴相交，负半轴 ：与轴2个交点，1个交点，0个交点 特殊值：时，时，看对应点在轴上下判断符号 【变式7-1】 1．知二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入解析式可判断D正确；根据对称轴、开口方向、与y轴的交点可判断C正确；由得，结合可判断A正确；举反例可判断B错误． 【详解】解：把代入，得，故D正确； ∵抛物线开口向上， ∴． ∵， ∴． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故A正确； 取，满足， 此时， ∴不一定成立，故B错误． 【变式7-2】 2．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（     ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． 题型8 一次函数、二次函数图象综合判断 【例8】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 【技巧归纳】 先看二次函数图象，确定、、的符号 再看一次函数图象，确定、的符号 同一个字母在两个函数中的符号必须一致，不一致的选项直接排除 优先判断的符号，再判断、的符号 【变式8-1】 1．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，结合一次函数和二次函数的图象性质，从系数的符号，特殊点、对称轴等方面逐项分析即可． 【详解】解：A、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数：开口向上，说明，的符号矛盾，A选项错误； B、选项一次函数从左到右上升，说明，二次函数对称轴：因为，但图中抛物线对称轴在轴左侧，矛盾，B选项错误； C、选项一次函数从左到右上升，说明，与x轴交点为，符合一次函数的性质，二次函数开口向上，说明，对称轴，与图中抛物线对称轴在轴右侧一致，判别式：，若且抛物线与轴有两个交点，则，，即，是合理的，所有性质均一致，C选项正确； D、选项一次函数从左到右下降，说明，二次函数开口向下，说明，一次函数与轴交点应为，但图中直线与轴交点不是，矛盾，D选项错误． 故选：C． 【变式8-2】 2．在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例9】已知抛物线经过四个不同的点，，，D，若，则的值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据二次函数上两点纵坐标相等的性质，得到和的关系式，排除点重合的情况后，将用，表示，代入即可求值． 【详解】解：∵抛物线上，点和满足， 若，则横坐标相同，为同一个点，不符合四个不同点的条件，舍去； 若，抛物线的对称轴为 ∴ ∴ ∵，在抛物线上 ∴， ∴ 将代入得． 【技巧归纳】 通用公式：若两点、纵坐标相同，则对称轴为 示例：点和关于对称轴对称，对称轴为 无论纵坐标是多少，只要两点关于对称轴对称，都适用此公式 【变式9-1】 1．经研究发现某型号火箭高度与时间的关系近似满足二次函数，科研人员在测试该型号火箭向上竖直升空时，获得的部分数据如下表，则下列判断正确的是（     ） 时间 火箭高度 A．火箭在前持续上升 B．火箭在后才开始下降 C．火箭在前可以达到 D．火箭在时的高度低于 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，结合火箭运动轨迹确定开口方向，再利用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数的增减性和对称性逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：∵二次函数中，和时相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵火箭先上升后下降， ∴二次函数开口向下， ∴，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，最高点在处， ∴火箭在后已经开始下降，故选项错误； 设函数解析式为，代入和得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得或， ∴最早才达到，前无法达到，故选项错误； ∵关于对称轴的对称点为， ∴， ∵时随增大而减小，且， ∴，即时高度低于，故选正确． 【变式9-2】 2．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 题型10 二次函数图象的平移 【例10】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 【技巧归纳】 第一步：将原函数化为顶点式 第二步：根据平移方向改变和 左右平移：左加右减自变量（） 上下平移：上加下减常数项（） 示例：向左平移2个单位，向下平移1个单位，得 【变式10-1】 1．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数平移“左加右减，上加下减”的规律，逐步推导即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线平移规律为左加右减自变量，上加下减常数项，原抛物线解析式为， ∴向左平移2个单位后，解析式变为，再向下平移3个单位，解析式整理得， ∴所得抛物线解析式为． 【变式10-2】 2．已知抛物线（为常数）是由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的． (1)求，的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①用含与的式子表示； ②若（为常数），且，随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) ， (2) ① ；② 的最小值为 【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，再根据平移规律得到平移后的函数解析式，由此 即可求解； （2）①根据题意，分别把点P，Q代入计算即可； ②根据题意得到，代入解析式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴， ∴； （2）解：①点在抛物线上， ∴， 点在抛物线上，且， ∴， ∴， 整理得，； ②∵， ∴， ∴， 整理得：， 该二次函数二次项系数，开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且对称轴为， ∵时，随增大而增大， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 题型11 根据交点确定不等式的解集 【例11】一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 【技巧归纳】 的解集：抛物线在轴上方对应的的范围 的解集：抛物线在轴下方对应的的范围 的解集：抛物线在直线上方对应的的范围 端点是否包含：原不等式有等号则包含，无等号则不包含 【变式11-1】 1．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ）． A． B．方程的两根是， C．不等式的解集是 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向和与轴的交点得到，故选项错误；根据对称轴和一个与轴的交点可得另一个与轴的交点，即可得到选项正确；根据图象可得不等式的解集是或，当时，随的增大而增大，故、选项错误． 【详解】解：根据二次函数的图象和性质，逐一分析各选项， 选项：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴正半轴， ∴， ∴，故选项错误； 选项：∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，即另一个交点坐标是， ∴方程的两根是，，故选项正确； 选项：∵由图象可知当或时，抛物线在轴的下方， ∴不等式的解集是或，故选项错误； 选项：由图象可知，当时，随的增大而增大，故选项错误． 【变式11-2】 2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．该函数有最大值 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据图象与y轴交于负半轴确定的取值范围，再配方得到顶点式，结合开口方向、对称轴、增减性和与x轴的交点逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于负半轴， 当时，， ∴， 解得，抛物线开口向上，故A错误． 将二次函数配方得：，可得对称轴为直线，顶点坐标为． ∵，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小，故B错误． ∵，开口向上， ∴二次函数有最小值，没有最大值，故C错误． 令，则， ∵，等式两边同除以得， 因式分解得， 解得，． ∵抛物线开口向上， ∴当时，， ∵满足， ∴当时，，故D正确． 一、单选题 1．二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据顶点式的特点，分别判断开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴， ∴抛物线开口向上，故错误； 顶点坐标为，故正确； 对称轴为直线，故错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故错误． 3．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 4．小明同学在将抛物线表达式化为形式时，他给出的结果是，那么这条抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ 抛物线顶点坐标为． 5．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线解析式是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则计算即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ∵抛物线向左平移2个单位，根据平移规则“左加右减自变量”，得平移后解析式为 再将得到的抛物线向下平移3个单位，根据平移规则“上加下减常数项”，得最终解析式为． 6．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（  ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵变换后抛物线为， ∴变换后抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标不变，横坐标从变为， ∴原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 7．二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 8．已知函数的图象经过点，且在第一象限内y随x的增大而增大．下列函数符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先将已知点代入各选项解析式求出参数，再根据函数增减性，判断是否满足“第一象限内随的增大而增大”的条件，用到一次函数、反比例函数、二次函数的增减性性质． 【详解】解：选项A：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴ 随的增大而减小，不符合要求，排除A； 选项B：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴ 随的增大而增大，在第一象限满足条件，符合要求； 验证其余选项： 选项C：∵ 函数经过点， ∴代入坐标得， ∵ ，反比例函数在第一象限内随的增大而减小，不符合要求，排除C； 选项D：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， 在第一象限时随的增大而减小，不符合要求，排除D． 9．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 10．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 11．抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，下列有关平移后的抛物线说法错误的是（     ） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．若点和点都在抛物线上，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，得到平移后的抛物线解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线解析式为 ． ∵， ∴抛物线开口向上，A说法正确； 抛物线的顶点坐标为，不是，B说法错误； 抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，两点到对称轴距离相等，因此，C说法正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，D说法正确． 12．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题 1．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的值可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（的值即可） 【分析】先确定二次函数的对称轴和开口方向，根据函数增减性得到的取值范围，在范围内取一个值即可． 【详解】解：二次函数整理为顶点式得， ∴该二次函数的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， 由题意当时，随的增大而增大，可得对称轴需满足， 解得； 因此的值可以是（答案不唯一）． 2．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 3．已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 4．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 5．探究函数数图象的性质，下列结论正确的有__________（填写序号） ①该函数图象一定过原点； ②若，，则随增大而增大； ③若，，则函数有最大值； ④若大于时随增大而减小，则； ⑤若，则函数图象与直线仅有一个交点． 【答案】①②③⑤ 【分析】①根据过原点，判断时对应的方程，即可求解； ②分情况讨论，当时，，则可判断一次函数的增减性，当时，将，的值代入，再根据二次函数的性质判断即可； ③分情况讨论，当时，，则可判断一次函数的最大值，当时，根据，的取值范围，判断开口方向和对称轴的大小，最后根据二次函数的性质判断即可； ④若大于时随增大而减小，判断开口方向，对称轴的取值范围即可求解； ⑤分情况讨论，当时，与没有交点，当，，再根据，分别画出，，与的草图，即可判断． 【详解】①当时，，则该函数图象一定过原点，故符合题意； ②∵当时，，，则随增大而增大， 又∵当时，若，，，对称轴为轴，且，则随增大而增大， ∴综上，无论取任何值，随增大而增大，故符合题意； ③∵当时，，，当时，存在最大值， ∵当时，若，，开口向下，那么对称轴直线，则在存在最大值， ∴综上，函数有最大值为，故符合题意； ④若大于，则，当随增大而减小，那么对称轴直线，解得，故不符合题意； ⑤∵若，当时，此时， 即当时，与没有交点； ∵当时，，， ∴（）如图，， （）， （）， 综上，若，则函数图象与直线仅有一个交点． 6．已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式． 【详解】解：∵点P和点Q的纵坐标都是m，且两点都在抛物线上， ∴点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 7．已知二次函数（a为常数，且）．下列四个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，y随x的增大而减小； ③若，则关于x的方程有一个根大于0且小于1； ④若，则关于x的方程的正数根只有1个． 其中正确的是________．（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、含绝对值方程的根的个数分别验证四个结论即可． 【详解】解：当时，， 该函数图象经过点，故①正确； 当时， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 当时，随的增大而减小，故②正确； 对于关于的方程，由①可知是方程的一个根，设方程的另一个根为， 由根与系数的关系得： ，解得， ， ，即方程有一个根大于且小于，故③正确； 方程可化为两个方程： 当时，， 由根与系数的关系，两根之积为， 该方程有两个不相等的实数根，且为一正一负； 当时，， ∴， 解得或， ， ，即此方程没有正根； 综上所述，原方程只有个正数根，故④正确． 8．设二次函数（，为常数，）经过点、．若，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】将已知两点代入二次函数解析式，对式子变形整理得到关于的表达式，结合的条件，解不等式即可得到的取值范围，再结合即可得解． 【详解】二次函数经过点、， ， 得，， ， ， ，解得， ， 的取值范围是且． 9．填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线（轴） 向上 直线（轴） 向下 直线 向上 直线 向下 直线 向上 直线 【分析】根据二次函数顶点式的性质，由的符号判断开口方向，由确定对称轴，由，确定顶点坐标，将一般式通过配方化为顶点式后对应求解即可． 【详解】二次函数顶点式为：； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向上，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 三、解答题 1．在同一个平面直角坐标系中，画出函数与的图象． 【答案】 【分析】由函数解析式列表描点作图即可． 【详解】解：由函数解析式，列表可得 描点、连线、画出这两个函数的图象，图略． 2．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为． (2)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为． (3)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为． (4)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】利用抛物线（，h、k为常数）是由向左或向右平移个单位长度，向上或向下平移个单位长度平移得到，先由的符号判断开口方向，时开口向上，时开口向下；然后根据平移的性质得到对称轴为直线和顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 3．已知抛物线（b，c为常数）． (1)当，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入抛物线，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标； ②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【详解】（1）①解：当，时，抛物线， 则抛物线的顶点坐标为； ②解：由①知抛物线， 将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线为：， 将点代入新抛物线得：，即， 由于， 则当时，有最小值，最小值为1， 当时，， 当时，， 因此，h的取值范围为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， 则 即当时，；时，， 代入抛物线得， 解得或（舍去）， 则该抛物线的表达式为． 4．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 5．已知：抛物线． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当在什么范围内变化时，随的增大而增大． 【答案】(1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先配方成顶点式，再根据二次项系数可判断开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向上， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向上， 在对称轴的右侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 6．已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若点在此抛物线上，试比较的大小； (3)平移抛物线可以得到抛物线，请直接写出平移过程． 【答案】(1) (2) (3)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）将一般式化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性进行判断即可； （3）根据平移前后的解析式，判断平移过程即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∵点在此抛物线上，， ∴； （3）解：∵抛物线平移后得到抛物线， ∴新的抛物线是由原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到． 7．已知抛物线（a为常数，），设． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线有最小值，求T的值． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式，代入系数即可求出对称轴； （2）先根据抛物线有最小值确定，再将顶点纵坐标用表示，结合最小值为得到的关系式，再通过整式变形化简，即可求出的值． 【详解】（1）解：由抛物线为， 抛物线对称轴为直线 ； （2）解：∵抛物线有最小值， ∴抛物线开口向上，即，抛物线的最小值为顶点纵坐标，顶点横坐标为， 将代入解析式得： ， 由最小值为得， ， 整理得， ∵， ， ， 8．已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ② 取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 9．已知二次函数（m为常数）． (1)若该函数图象上有两个点、，试比较与的大小； (2)当时，函数有最小值为，请直接写出m的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）先求二次函数对称轴，利用二次函数开口向上时，点到对称轴距离越远函数值越大的性质比较和； （2）对于范围内的最值问题，先确定对称轴为，因为二次函数开口向上，所以分三种情况讨论：如果对称轴在范围左侧，那么最小值在处取得；如果对称轴在区间内，那么最小值在顶点处取得；如果对称轴在区间右侧，那么最小值在处取得，分别列方程求解后验证是否符合对应范围条件． 【详解】（1）解：已知二次函数，二次项系数，抛物线开口向上． 根据对称轴公式得对称轴为： ， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 开口向上的二次函数，点离对称轴越远，函数值越大， 因为， 因此． （2）解：根据对称轴位置分三种情况讨论： 当时： 在上y随x的增大而增大，最小值在处取得： ，此情况无解． 当时： 函数最小值在顶点取得： ，整理得， 解得，只有满足条件； 当时： 在上y随x的增大而减小，最小值在处取得： ， 解得，不满足，舍去． 综上，． 10．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当，且 时，y有最大值32，求n的值； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于 ，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入即可求出抛物线的对称轴，结合时，y有最大值32，可得当时，取得最大值32，建立方程求解即可； （2）根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：当时，， 此时抛物线的对称轴为直线． 对于，当时，， 当时，， ∴当时，取得最大值32， ∴， 解得 （舍去），， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线 ， 两种情况讨论： ①当时，抛物线开口向上， ． 当时，对于 ，都有， ∴ ，解得， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， 当时， ∵对于 ，都有， ∴， ∴， ∴当时，a的取值范围为； ②当时，抛物线开口向下， ． 由对称可知，直线关于直线对称的直线为， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知，的取值范围是或． 11．已知二次函数．若点，都是该二次函数图象上的点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)若，，求证：； (3)若，，且点在对称轴的左侧，求证：． 【答案】(1) (2)证明：当时，． ，是函数图象上的点，且， ， ， ， ． ， 当时，的最小值为， 即； (3)证明：， 该二次函数图象的对称轴为直线， 点在对称轴的左侧， ，即． ， ， ， ． 【分析】（1）将函数化为顶点式，求解顶点坐标即可； （2）先表示出二次函数解析式，再表示出与，结合的最小值即可证明； （3）求解出二次函数的对称轴，表示出，由此可证明． 【详解】（1）解：， ， 该二次函数图象的顶点坐标为． （2）略 12．已知，，其中，为整数． (1)当时，求与的大小关系； (2)当时，求的最小值； (3)是否存在使的，的值，若有请写出，的值；没有则说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 假设存在整数，， 由得， 移项配方得， 因式分解得， 与奇偶性相同， ∴与奇偶性相同， 的整数因数分解中，两个因数必为一奇一偶（1和2，和）， 无法分解为两个同奇或同偶的数之积，故不存在满足条件的整数． 【分析】（1）代入求差，配方判断符号； （2）代入，整理成关于的二次函数，利用整数求最值； （3）把、代入等式，整理配方，利用条件求解． 【详解】（1）解：当时，， ． （2）当时，， 又为整数， 当或时，取得最小值，为． （3）略 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $