专题09 探索三角形相似的条件与证明（3个知识点+10种题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题09 探索三角形相似的条件与证明 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平行线分线段成比例 题型2 利用平行判定相似 题型3 利用两角对应相等判定相似 题型4 利用三边对应成比例判定相似 题型5 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 相似三角形的经典模型：A字型 题型8 相似三角形的经典模型：8字型 题型9 相似三角形的经典模型：子母型 题型10 相似三角形的经典模型：一线三等角模型 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平行线分线段成比例 三角形相似的判定 相似几何模型 1. 平行线分线段成比例：掌握平行线截线段的比例规律，能利用线段比例列式计算、推导线段平行。 2. 三角形相似的判定：熟记AA、SAS、SSS、直角三角形HL四类判定定理，规范完成三角形相似证明。 3. 相似几何模型：识别A字、8字、一线三等角、母子相似等经典模型，快速挖掘等角、比例关系简化证明。 学习重点： 熟练运用AA、SAS、SSS、直角三角形HL判定；识别A字、8字、母子相似、一线三等角模型。 学习难点： 区分“平行推比例”与“比例推平行”的双向使用条件；2. 多个模型叠加时拆分图形、找准相似三角形 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平行线分线段成比例 一、核心定理 1.基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 2.三角形推论（必考） ① 平行于三角形一边的直线，截另外两边，对应线段成比例； ② 平行于三角形一边的直线，截三角形两边延长线，依旧对应成比例。 3.逆定理：直线截三角形两边，所得对应线段成比例，则这条直线平行于三角形第三边。 二、常用比例口诀 上比下=上比下，上比全=上比全，下比全=下比全 三、解题技巧 1.找平行线，直接锁定对应线段，横向对齐列式； 2.求值优先列分式方程，快速求解线段长度； 3.证明平行：优先证线段成比例，用逆定理证线平行； 4.可直接推导A字型、8字型三角形相似，省去找角步骤。 即时即练在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 【易错提醒】 1.线段不对应，乱列比例式； 2.逆定理仅限“三角形两边（延长线）”使用，不可随意套用； 3.区分：平行⇒比例，比例⇒平行，双向条件不同。 知识点02 三角形相似的判定 一、四大判定方法（按做题优先级排序） 1.两角分别相等（AA）：最常用，两组对应角相等，三角形相似 2.两边对应成比例且夹角相等（SAS）：两边比值相等，夹角必须相等 3.三边对应成比例（SSS）：三组对应边比值全部相等 4.直角三角形专属判定： ① 一组锐角相等直接相似； ② 斜边、一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 二、解题技巧 1.判定优先级：AA＞SAS＞SSS，做题优先找等角； 2.等角获取途径：公共角、对顶角、平行线同位/内错角、同角的余角补角相等； 3.SAS判定：死死认准夹角，一边对角相等不能证相似； 4.边长类题目：边长从小到大排序，再求比值，避免找错对应边； 5.证明比例式/等积式：先证三角形相似，再转化边长比例。 三、书写规范 相似三角形书写，对应顶点必须一一对应，防止边角找错。 即时即练如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含 角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为， 作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确； 对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 【易错提醒】 1.误用两边成比例+一组对角相等判定相似； 2.复杂图形看错对应边角； 3.直角三角形混用普通三角形判定定理。 知识点03 相似几何模型 一、五大基础模型+结论+解题技巧 1.A字型（平行型） 特征：底边平行线，构成小三角形嵌套大三角形 结论：上下三角形相似 技巧：见平行直接写相似，直接列边长比例 2.8字型/X字型（平行对顶型） 特征：两直线相交，一组对顶角，一组平行线 结论：对顶两三角形相似 技巧：平行线得内错角相等，快速证AA相似 3.母子相似模型（共角型） 特征：公用一个角，内嵌小三角形 细分：普通母子、直角射影母子（考试高频） 技巧：公共角+一组等角，直接AA相似；直角母子直接套用边长等积结论 4.一线三等角模型 特征：同一条直线上，三个角大小相等（常为直角） 结论：直线两侧两个三角形相似 技巧：利用平角+互余，快速推导两组等角，秒证AA相似 5.旋转相似模型 特征：共顶点，等角夹成比例边，图形旋转重合 技巧：共顶点等角，加减公共角，构造夹角相等，用SAS证相似 二、通用解题技巧 1.识图技巧：剥离多余线条，拆分基础模型，快速找相似三角形； 2.做题捷径：熟记模型固定等角、比例结论，不用重复推导； 3.大题思路：模型找等角→判定相似→转化边长、角度、面积关系。 即时即练在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【易错提醒】 1.模型变形后无法识别，看不出隐藏等角； 2.旋转相似找错对应边、对应角； 3.一线三等角忽略角在同一直线上的前提条件。 题型1 平行线分线段成比例 【例1】如图，，若，，，则的长为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， 解得． 【例2】如图，，若，，，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 【技巧归纳】 熟记平行线截线段比例口诀：上比下=上比下、上比全=上比全；做题优先找准对应线段，杜绝乱列式； 可正向由平行得比例求值，也可反向利用线段成比例，证明两直线互相平行； 多条平行线时，分层拆分图形，避免线段对应出错。 【变式1-1】如图，，若，，则的长为（） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求出未知线段的长度． 【详解】解：∵， ∴， 将已知条件，，代入上式，得： 化简，得： ∴ 【变式1-2】如图，，，且，则AC的长为_______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：，， ， ∵ ∴， 解得：． 题型2 利用平行判定相似 【例3】如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例4】如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质，根据两直线平行， 同位角相等，可证、，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【技巧归纳】 平行可直接推出同位角、内错角相等，依托AA判定快速证相似； 主要适配A字型、8字型基础图形；只要直线平行三角形一边，直接判定小三角形与原三角形相似，省去繁琐找角步骤，直接书写对应边比例式。 【变式2-1】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 【变式2-2】我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 题型3 利用两角对应相等判定相似 【例5】某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 【答案】见解析 【分析】根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． 【例6】如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据等腰三角形的性质，易证，再根据三角形外角的性质和等量代换，可证，最后利用“”，即可求证． 【详解】证明：， ， ，，， ， ， ， ． 【技巧归纳】 考试首选判定方法，难度最低、使用率最高；优先挖掘隐藏等角： 公共角、对顶角、平行线夹角、同角余角、同角补角；只需找到两组对应角相等即可证相似； 直角三角形只需一组锐角相等，即可判定两直角三角形相似。 【变式3-1】已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【变式3-2】如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定． 根据等边对等角得到，证明是的中位线，得到，即，，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型4 利用三边对应成比例判定相似 【例7】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【例8】在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 【技巧归纳】 无相等角、仅给边长时使用；解题步骤：先将两个三角形三边从小到大排序，再依次计算对应边比值；三组比值完全相等，即可判定相似；书写相似式子，必须对应顶点有序书写，防止边角匹配错误。 【变式4-1】如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则的各边长分别为1、、．则 ②的各边长分别为1、、； ③的各边长分别为2、、（为各边长的2倍）； ④的各边长分别为5、、（为各边长的倍）； ⑤的各边长分别为2、、（为各边长的倍）； ⑥的各边长分别为3、、． 根据三组对应边成比例的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤． 【变式4-2】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 题型5 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例9】如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【答案】 证明：，， ． ，， ． ∴． ． ． 【分析】根据边成比例以及对应角相等证明相似即可． 【详解】略 【例10】如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【技巧归纳】 先计算两组对应边比值相等，核心关键点：相等角必须是两组对应边的夹角；切记：两边成比例+一组对角相等，无法判定三角形相似；大题务必标注夹角相等，步骤才得分。 【变式5-1】如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)是直角三角形，理由见详解． 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定定理、勾股定理及其逆定理的综合应用． （1）先利用正方形性质得到，再结合已知条件求出相关线段的长度，计算对应边的比例，最后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明； （2）通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 【变式5-2】如图，，，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的证明，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似是解题的关键． 首先根据得到，再根据即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 【例11】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 【例12】如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 【技巧归纳】 已有一组公共角/等角：优先补充一组等角，其次补充夹这个角的两边成比例； 题干只给边长条件：补充第三组边成比例即可； 直角三角形：可补充一组锐角相等，或斜边直角边对应成比例； 做题结合已有条件，优先选最简单条件。 【变式6-1】如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 【变式6-2】如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定即可得到答案． 【详解】解：①添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ③添加， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 题型7 相似三角形的经典模型：A字型 【例13】如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质；由，可证，由性质得出，由，可证，由性质得出，将两个式子相加，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：． 【例14】如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 【技巧归纳】 分为普通平行A字、斜A字两类； 平行A字：底边平行线，小三角内嵌大三角，自动相似，侧边、底边对应成比例； 斜A字：共用公共角，再一组等角即可相似； 解题直接套用固定比例，快速求边长。 【变式7-1】如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论． 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中， ∵，， ∴△AEF∽△ABC； （2）∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,， ∴． 【变式7-2】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 【答案】（1），；（2）t＝3或 【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案； （2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值． 【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， ∴△AMN的面积＝AN•AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2， ∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm ∴△ABD的面积为AB•AD＝×6×12＝36， ∵△AMN的面积是△ABD面积的， ∴6t﹣t2＝， ∴t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝4，t2＝2， 答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm， 若△AMN∽△ABD， 则有，即， 解得t＝3， 若△AMN∽△ADB， 则有，即， 解得t＝， 答：当t＝3或时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似． 题型8 相似三角形的经典模型：8字型 【例15】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 【例16】如图与交于B，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两组边对应成比例，且这两组边的夹角相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据相似三角形对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【技巧归纳】 分为平行8字、非平行8字； 平行8字：对顶角+平行线内错角相等，直接AA相似； 交叉对应边成比例；非平行8字：需额外找一组等角证相似； 图形交叉，务必找准上下对应三角形，避免找反边角。 【变式8-1】如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【变式8-2】如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 【答案】1.5 【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，，即可求出CD的长． 【详解】解：∵AD与BC交于O点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． 题型9 相似三角形的经典模型：子母型 【例17】如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等、三角形相似与菱形综合问题，掌握三角形相似的几何模型——母子型及中间比解题的关键． （1）利用菱形性质证明，进而得到即可得证； （2）由得到，再利用得到，通过作为中间比即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． 又， ． ， ∴， ． 又 ． （2）证明 ． ， ． ． ． 【例18】如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【技巧归纳】 共用唯一一个公共角，一大一小三角形嵌套； 普通子母型：公共角+一组等角，直接AA相似； 直角子母型（高频）：直角三角形作斜高，分出两个小直角三角形，两两互相相似，可直接使用等积式结论，快速计算边长。 【变式9-1】如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 【变式9-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】 （1）∵，， ∴； （2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 题型10 相似三角形的经典模型：一线三等角模型 【例19】如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 【例20】如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 【技巧归纳】 一条直线上有三个大小相等的角，多为直角； 利用平角定义+互余性质，自主推导两组内角相等，AA证两侧三角形相似； 常考等腰三角形、矩形、直角背景题型；模型变形后，依旧依托互余找等角即可解题。 【变式10-1】如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形相似的判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的定义及性质，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质可得，结合即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：，， ， ， 即， ， ， ． 【变式10-2】如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点为的中点，理由见解析 【分析】（1）利用“两角法”证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ，， ； （2）点为的中点时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 2．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴． 3．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 4．如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】 15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 5．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 6．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ， ， 又， ∴． 7．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 通过计算对应边的比例，结合公共角相等，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴． 9．在中，是内一点，．求证：． 【答案】见详解 【分析】该题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定，根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 10．如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理1和2． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，再由夹角相等，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，则可证明，，据此可证明结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 12．如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称，勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据中心对称的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据勾股定理求出，结合已知可求出，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． 13．如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】先得，然后结合即可求证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先作，再作即可，由于，则，故，再由得到是等边三角形，则，那么，则，再由即可证明． 【详解】解：如图，点即为所求； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 探索三角形相似的条件与证明 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 平行线分线段成比例 题型2 利用平行判定相似 题型3 利用两角对应相等判定相似 题型4 利用三边对应成比例判定相似 题型5 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 相似三角形的经典模型：A字型 题型8 相似三角形的经典模型：8字型 题型9 相似三角形的经典模型：子母型 题型10 相似三角形的经典模型：一线三等角模型 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 平行线分线段成比例 三角形相似的判定 相似几何模型 1. 平行线分线段成比例：掌握平行线截线段的比例规律，能利用线段比例列式计算、推导线段平行。 2. 三角形相似的判定：熟记AA、SAS、SSS、直角三角形HL四类判定定理，规范完成三角形相似证明。 3. 相似几何模型：识别A字、8字、一线三等角、母子相似等经典模型，快速挖掘等角、比例关系简化证明。 学习重点： 熟练运用AA、SAS、SSS、直角三角形HL判定；识别A字、8字、母子相似、一线三等角模型。 学习难点： 区分“平行推比例”与“比例推平行”的双向使用条件；2. 多个模型叠加时拆分图形、找准相似三角形 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 平行线分线段成比例 一、核心定理 1.基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。 2.三角形推论（必考） ① 平行于三角形一边的直线，截另外两边，对应线段成比例； ② 平行于三角形一边的直线，截三角形两边延长线，依旧对应成比例。 3.逆定理：直线截三角形两边，所得对应线段成比例，则这条直线平行于三角形第三边。 二、常用比例口诀 上比下=上比下，上比全=上比全，下比全=下比全 三、解题技巧 1.找平行线，直接锁定对应线段，横向对齐列式； 2.求值优先列分式方程，快速求解线段长度； 3.证明平行：优先证线段成比例，用逆定理证线平行； 4.可直接推导A字型、8字型三角形相似，省去找角步骤。 即时即练在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【易错提醒】 1.线段不对应，乱列比例式； 2.逆定理仅限“三角形两边（延长线）”使用，不可随意套用； 3.区分：平行⇒比例，比例⇒平行，双向条件不同。 知识点02 三角形相似的判定 一、四大判定方法（按做题优先级排序） 1.两角分别相等（AA）：最常用，两组对应角相等，三角形相似 2.两边对应成比例且夹角相等（SAS）：两边比值相等，夹角必须相等 3.三边对应成比例（SSS）：三组对应边比值全部相等 4.直角三角形专属判定： ① 一组锐角相等直接相似； ② 斜边、一条直角边对应成比例，两直角三角形相似。 二、解题技巧 1.判定优先级：AA＞SAS＞SSS，做题优先找等角； 2.等角获取途径：公共角、对顶角、平行线同位/内错角、同角的余角补角相等； 3.SAS判定：死死认准夹角，一边对角相等不能证相似； 4.边长类题目：边长从小到大排序，再求比值，避免找错对应边； 5.证明比例式/等积式：先证三角形相似，再转化边长比例。 三、书写规范 相似三角形书写，对应顶点必须一一对应，防止边角找错。 即时即练如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（     ） A．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C．当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D．当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【易错提醒】 1.误用两边成比例+一组对角相等判定相似； 2.复杂图形看错对应边角； 3.直角三角形混用普通三角形判定定理。 知识点03 相似几何模型 一、五大基础模型+结论+解题技巧 1.A字型（平行型） 特征：底边平行线，构成小三角形嵌套大三角形 结论：上下三角形相似 技巧：见平行直接写相似，直接列边长比例 2.8字型/X字型（平行对顶型） 特征：两直线相交，一组对顶角，一组平行线 结论：对顶两三角形相似 技巧：平行线得内错角相等，快速证AA相似 3.母子相似模型（共角型） 特征：公用一个角，内嵌小三角形 细分：普通母子、直角射影母子（考试高频） 技巧：公共角+一组等角，直接AA相似；直角母子直接套用边长等积结论 4.一线三等角模型 特征：同一条直线上，三个角大小相等（常为直角） 结论：直线两侧两个三角形相似 技巧：利用平角+互余，快速推导两组等角，秒证AA相似 5.旋转相似模型 特征：共顶点，等角夹成比例边，图形旋转重合 技巧：共顶点等角，加减公共角，构造夹角相等，用SAS证相似 二、通用解题技巧 1.识图技巧：剥离多余线条，拆分基础模型，快速找相似三角形； 2.做题捷径：熟记模型固定等角、比例结论，不用重复推导； 3.大题思路：模型找等角→判定相似→转化边长、角度、面积关系。 即时即练在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【易错提醒】 1.模型变形后无法识别，看不出隐藏等角； 2.旋转相似找错对应边、对应角； 3.一线三等角忽略角在同一直线上的前提条件。 题型1 平行线分线段成比例 【例1】如图，，若，，，则的长为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【例2】如图，，若，，，则________． 【技巧归纳】 熟记平行线截线段比例口诀：上比下=上比下、上比全=上比全；做题优先找准对应线段，杜绝乱列式； 可正向由平行得比例求值，也可反向利用线段成比例，证明两直线互相平行； 多条平行线时，分层拆分图形，避免线段对应出错。 【变式1-1】如图，，若，，则的长为（） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式1-2】如图，，，且，则AC的长为_______． 题型2 利用平行判定相似 【例3】如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【例4】如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【技巧归纳】 平行可直接推出同位角、内错角相等，依托AA判定快速证相似； 主要适配A字型、8字型基础图形；只要直线平行三角形一边，直接判定小三角形与原三角形相似，省去繁琐找角步骤，直接书写对应边比例式。 【变式2-1】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【变式2-2】我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 题型3 利用两角对应相等判定相似 【例5】某学习小组进行小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，物体通过小孔成像，物体成像后的顶端与点重合，底端落在点处．求证． 【例6】如图，在中，，点、分别在、上，且． 求证：． 【技巧归纳】 考试首选判定方法，难度最低、使用率最高；优先挖掘隐藏等角： 公共角、对顶角、平行线夹角、同角余角、同角补角；只需找到两组对应角相等即可证相似； 直角三角形只需一组锐角相等，即可判定两直角三角形相似。 【变式3-1】已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【变式3-2】如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 题型4 利用三边对应成比例判定相似 【例7】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【例8】在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【技巧归纳】 无相等角、仅给边长时使用；解题步骤：先将两个三角形三边从小到大排序，再依次计算对应边比值；三组比值完全相等，即可判定相似；书写相似式子，必须对应顶点有序书写，防止边角匹配错误。 【变式4-1】如图，正方形网格上有6个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②～⑥中，与三角形①相似的三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 题型5 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例9】如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【例10】如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【技巧归纳】 先计算两组对应边比值相等，核心关键点：相等角必须是两组对应边的夹角；切记：两边成比例+一组对角相等，无法判定三角形相似；大题务必标注夹角相等，步骤才得分。 【变式5-1】如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)试判断是否为直角三角形，并说明理由． 【变式5-2】如图，，，求证：． 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 【例11】如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【例12】如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【技巧归纳】 已有一组公共角/等角：优先补充一组等角，其次补充夹这个角的两边成比例； 题干只给边长条件：补充第三组边成比例即可； 直角三角形：可补充一组锐角相等，或斜边直角边对应成比例； 做题结合已有条件，优先选最简单条件。 【变式6-1】如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 题型7 相似三角形的经典模型：A字型 【例13】如图，，点在上，与交于点，，，求的长． 【例14】如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【技巧归纳】 分为普通平行A字、斜A字两类； 平行A字：底边平行线，小三角内嵌大三角，自动相似，侧边、底边对应成比例； 斜A字：共用公共角，再一组等角即可相似； 解题直接套用固定比例，快速求边长。 【变式7-1】如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式7-2】如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts． （1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的； （2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值． 题型8 相似三角形的经典模型：8字型 【例15】如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【例16】如图与交于B，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【技巧归纳】 分为平行8字、非平行8字； 平行8字：对顶角+平行线内错角相等，直接AA相似； 交叉对应边成比例；非平行8字：需额外找一组等角证相似； 图形交叉，务必找准上下对应三角形，避免找反边角。 【变式8-1】如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 【变式8-2】如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 题型9 相似三角形的经典模型：子母型 【例17】如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G． (1)求证：． (2)如果，求证：． 【例18】如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【技巧归纳】 共用唯一一个公共角，一大一小三角形嵌套； 普通子母型：公共角+一组等角，直接AA相似； 直角子母型（高频）：直角三角形作斜高，分出两个小直角三角形，两两互相相似，可直接使用等积式结论，快速计算边长。 【变式9-1】如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【变式9-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 题型10 相似三角形的经典模型：一线三等角模型 【例19】如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【例20】如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【技巧归纳】 一条直线上有三个大小相等的角，多为直角； 利用平角定义+互余性质，自主推导两组内角相等，AA证两侧三角形相似； 常考等腰三角形、矩形、直角背景题型；模型变形后，依旧依托互余找等角即可解题。 【变式10-1】如图所示，在中，，，E，D分别是，上的点，且．求证：． 【变式10-2】如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F． (1)求证：； (2)连接BF，若，试确定点E的位置并说明理由． 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 4．如图，，，，，则的长度是_______． 5．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 6．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 7．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 8．如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 9．在中，是内一点，．求证：． 10．如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 11．如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 12．如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 13．如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 14．如图，在中，，用尺规作图法在上分别取点，（点位于点的左侧），使得．（保留作图痕迹，不写作法） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $