专题08 成比例线段与相似多边形（4个知识点+5种题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题08 成比例线段与相似多边形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 比例的性质 题型2 成比例线段 题型3 黄金分割的相关计算 题型4 相似图形 题型5 相似多边形的性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 比例的性质 成比例线段 相似图形 相似多边形的性质 1. 比例的性质：熟记比例各类变形性质，能灵活对比例式、等积式互化，完成求值与简单证明。 2. 成比例线段：理解线段成比例定义，会判断四条线段是否成比例，掌握比例尺、黄金分割相关计算。 3. 相似图形：识别相似图形，抓住“形状相同、大小可不同”核心特征，理解相似本质是缩放变换。 4. 相似多边形的性质：掌握相似多边形对应边、对应角、周长、面积的比例规律，用于边长、周长、面积求解。 学习重点： 比例式、等积式互化；比例基本性质运算；黄金分割计算；相似多边形的性质。 学习难点： 黄金分割比例关系灵活运用；相似多边形的性质灵活运用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 比例的性质 1. 基本性质：，实现比例式、等积式互化； 2. 合比性质：分子同加减分母，比值不变； 3. 等比性质：多组等比，分子和与分母和的比值等于原比值（分母和不为0）； 4. 比例中项：。 即时即练已知a、b、c满足．求的值． 【易错提醒】 1. 等比性质忽略分母之和不为0的限制直接计算； 2. 比例式内外项混淆，等积式变形左右写反； 3. 比例中项漏正负取舍、线段长度只取正值。 知识点02 成比例线段 1. 线段的比：两线段长度之比，单位统一； 2. 成比例线段：四条线段满足，分清内外项； 3. 拓展：黄金分割，短段∶长段=长段∶全长，定值； 4. 应用：比例尺、线段长度计算、判断线段是否成比例。 即时即练已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【易错提醒】 1. 线段求比单位不统一直接运算； 2. 四条线段未排序，随意搭配判定是否成比例； 3. 黄金分割分不清长段、短段比例关系，计算长度出错。 知识点03 相似图形 1. 核心特征：形状完全相同，大小可不等，由图形缩放得到； 2. 判定直观标准：拉伸、扭曲后的图形不相似，仅等比例缩放才相似； 3. 基础铺垫：所有相似多边形、相似三角形都属于相似图形。 即时即练如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【易错提醒】 1. 误把大小不同、形状改变（拉伸、倾斜）的图形判定为相似； 2. 认为周长相等、面积相等才是相似图形。 知识点04 相似多边形的性质 1. 判定条件（缺一不可）：全部对应角相等、全部对应边成比例； 2. 核心性质：对应角相等，对应边比值为相似比；周长比=相似比，面积比=相似比的平方； 3. 易错点：仅有角相等或仅有边成比例，不能判定多边形相似；面积计算勿忘平方相似比。 即时即练如图，在中，点E，F分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【易错提醒】 1. 只满足对应角相等或只满足对应边成比例，就判定多边形相似； 2. 周长、面积计算混淆规律，面积忘记对相似比平方； 3. 找错对应边、对应角，相似比颠倒。 题型1 比例的性质 【例1】若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】若，则_______． 【技巧归纳】 1.比例式、等积式灵活互化； 2.等比性质先验证分母和不为0； 3.求线段长度只取正数。 【变式1-1】若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若，则___________． 题型2 成比例线段 【例3】如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例4】已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【技巧归纳】 先统一线段单位；四条线段先从小到大排序再验证比例；找准内外项快速列式。 【变式2-1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 题型3 黄金分割的相关计算 【例5】点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【例6】音乐课上，老师带领同学们动手制作音乐瓶，发现玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．通过多次实验得到：当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则水面高度约为___________． 【技巧归纳】 牢记比值；分清全长、长线段、短线段关系，已知一段直接列比例求剩余长度。 【变式3-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【变式3-2】在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 题型4 相似图形 【例7】人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【例8】下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【技巧归纳】 抓住核心：仅等比例缩放、形状不变才相似；拉伸、倾斜、变形图形均不相似。 【变式4-1】下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 题型5 相似多边形的性质 【例9】五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【例10】如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【技巧归纳】 先找准对应边角；周长比直接用相似比，面积比取相似比平方；判定需同时满足对应角相等、对应边成比例。 【变式5-1】如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 2．若 ，则 的值是（     ） A． B． C． D． 3．若，且，则的值是（   ） A．4 B．8 C．32 D．2 4．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（     ） A． B． C． D． 6．已知，那么_________． 7．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 8．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 9．黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 10．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 11．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 12．综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 13．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 14．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 15．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． (2)顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． (3)如图3，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形．若的面积为1，则正五角星的面积为___________． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 成比例线段与相似多边形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 比例的性质 题型2 成比例线段 题型3 黄金分割的相关计算 题型4 相似图形 题型5 相似多边形的性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 比例的性质 成比例线段 相似图形 相似多边形的性质 1. 比例的性质：熟记比例各类变形性质，能灵活对比例式、等积式互化，完成求值与简单证明。 2. 成比例线段：理解线段成比例定义，会判断四条线段是否成比例，掌握比例尺、黄金分割相关计算。 3. 相似图形：识别相似图形，抓住“形状相同、大小可不同”核心特征，理解相似本质是缩放变换。 4. 相似多边形的性质：掌握相似多边形对应边、对应角、周长、面积的比例规律，用于边长、周长、面积求解。 学习重点： 比例式、等积式互化；比例基本性质运算；黄金分割计算；相似多边形的性质。 学习难点： 黄金分割比例关系灵活运用；相似多边形的性质灵活运用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 比例的性质 1. 基本性质：，实现比例式、等积式互化； 2. 合比性质：分子同加减分母，比值不变； 3. 等比性质：多组等比，分子和与分母和的比值等于原比值（分母和不为0）； 4. 比例中项：。 即时即练已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 【易错提醒】 1. 等比性质忽略分母之和不为0的限制直接计算； 2. 比例式内外项混淆，等积式变形左右写反； 3. 比例中项漏正负取舍、线段长度只取正值。 知识点02 成比例线段 1. 线段的比：两线段长度之比，单位统一； 2. 成比例线段：四条线段满足，分清内外项； 3. 拓展：黄金分割，短段∶长段=长段∶全长，定值； 4. 应用：比例尺、线段长度计算、判断线段是否成比例。 即时即练已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 【易错提醒】 1. 线段求比单位不统一直接运算； 2. 四条线段未排序，随意搭配判定是否成比例； 3. 黄金分割分不清长段、短段比例关系，计算长度出错。 知识点03 相似图形 1. 核心特征：形状完全相同，大小可不等，由图形缩放得到； 2. 判定直观标准：拉伸、扭曲后的图形不相似，仅等比例缩放才相似； 3. 基础铺垫：所有相似多边形、相似三角形都属于相似图形。 即时即练如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不相似，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【易错提醒】 1. 误把大小不同、形状改变（拉伸、倾斜）的图形判定为相似； 2. 认为周长相等、面积相等才是相似图形。 知识点04 相似多边形的性质 1. 判定条件（缺一不可）：全部对应角相等、全部对应边成比例； 2. 核心性质：对应角相等，对应边比值为相似比；周长比=相似比，面积比=相似比的平方； 3. 易错点：仅有角相等或仅有边成比例，不能判定多边形相似；面积计算勿忘平方相似比。 即时即练如图，在中，点E，F分别在边上，连接，平分，． (1)求证：； (2)若，四边形与四边形相似，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可得到是菱形，再由菱形的性质证明即可； （2）根据菱形可得，再由四边形与四边形相似可得，故，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴. ∵， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长为． 【易错提醒】 1. 只满足对应角相等或只满足对应边成比例，就判定多边形相似； 2. 周长、面积计算混淆规律，面积忘记对相似比平方； 3. 找错对应边、对应角，相似比颠倒。 题型1 比例的性质 【例1】若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比例式可根据性质转化为等积式，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 【例2】若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 【技巧归纳】 1.比例式、等积式灵活互化； 2.等比性质先验证分母和不为0； 3.求线段长度只取正数。 【变式1-1】若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 【变式1-2】若，则___________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，通过设参数表示x和y，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 题型2 成比例线段 【例3】如图，中国最大的室内卧佛位于甘肃省张掖市的大佛寺，又称卧佛寺，张掖大佛寺的卧佛是该寺的核心文物，具有极高的历史、艺术和宗教价值．现已知卧佛的肩宽身长，且肩宽为米，则卧佛的身长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】设卧佛的身长为米，根据肩宽与身长的比为，结合肩宽为米，列出比例式求解即可． 【详解】解：设卧佛的身长为米， 卧佛的肩宽身长，且肩宽为米， ， ， 解得， 即卧佛的身长为米． 【例4】已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 【技巧归纳】 先统一线段单位；四条线段先从小到大排序再验证比例；找准内外项快速列式。 【变式2-1】下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 【变式2-2】已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 题型3 黄金分割的相关计算 【例5】点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 【例6】音乐课上，老师带领同学们动手制作音乐瓶，发现玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．通过多次实验得到：当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则水面高度约为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得， 解得． 【技巧归纳】 牢记比值；分清全长、长线段、短线段关系，已知一段直接列比例求剩余长度。 【变式3-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 【变式3-2】在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 题型4 相似图形 【例7】人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不相同，不符合相似定义，符合题意； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不同，符合相似定义，不符合题意． 【例8】下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】对应角相等，对应边成比例的两个图形是相似图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求． 【技巧归纳】 抓住核心：仅等比例缩放、形状不变才相似；拉伸、倾斜、变形图形均不相似。 【变式4-1】下列说法中正确的有（   ） ①所有的圆都是形状相同的图形； ②所有的正方形都是形状相同的图形； ③所有的等腰三角形都是形状相同的图形； ④所有的矩形都是形状相同的图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查形状相同图形即相似图形的概念，只需逐一判断每个说法，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：形状相同的图形要求对应角相等，对应边成比例，仅大小可以不同. ①∵所有圆仅半径不同，形状完全一致， ∴①正确； ②∵所有正方形的内角均为，对应边一定成比例， ∴所有正方形形状都相同，②正确； ③∵等腰三角形的内角度数不固定，对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不同角度的等腰三角形形状不同， ∴③错误； ④∵矩形的长与宽的比值不一定相等，对应边不成比例，不同长宽比的矩形形状不同， ∴④错误； 综上，正确的说法共2个． 故选：B． 【变式4-2】如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的定义，边数相同，且对应边对应成比例，对应角相等的多边形为相似多边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：①对应角不相等，不符合相似图形的定义，错误；②大小不同的两个正方形，符合相似图形的定义，正确；③对应角相等的两个菱形相似，正确；④对应边的比相等，对应角相等，符合相似图形的定义，正确．故②③④正确． 故选B． 题型5 相似多边形的性质 【例9】五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 【例10】如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【答案】16 【分析】根据相似的性质进行解答即可． 【详解】解：∵如图是两个形状相同的红绿灯图案， ∴两个红绿灯图案相似， ∴， ∴， 经检验，是该方程的解． 即x的值为． 【技巧归纳】 先找准对应边角；周长比直接用相似比，面积比取相似比平方；判定需同时满足对应角相等、对应边成比例。 【变式5-1】如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 【变式5-2】为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 2．若 ，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知比例式变形，推导得到与的关系，即可求出 的值． 【详解】解：， 根据比例的基本性质交叉相乘得：， 展开得， 移项化简得， 等式两边同时除以得， ． 3．若，且，则的值是（   ） A．4 B．8 C．32 D．2 【答案】A 【分析】根据给出的条件得出，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， ． 4．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 5．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙的长度之比是．如果将甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的长度之比是，而它们留在墙外的部分一样长．则甲、乙、丙的长度比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设甲的长度是“1”，即可得出乙的长度，再求出甲，丙入墙的长度，然后求出丙的长度，最后求出比即可． 【详解】解：设甲的长度为“1”，则乙的长度为， 甲留在墙外的长度为，丙入墙的长度为， 由题意可知，丙留在墙外的长度与甲相同，也为，则丙的长度为， 所以． 6．已知，那么_________． 【答案】 【详解】解： 将代入得：． 7．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 【答案】 【分析】、是矩形，是正方形，设的边长为，矩形为黄金矩形，根据宽与长之比为，列出分式方程，解方程即可求解答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∵四边形，是矩形， ∴， 而， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 即， 解得， 检验，当时，，有意义， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴． 8．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 9．黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合，得出，则，结合，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 11．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 12．综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查相似多边形； （1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可； （2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； （2）解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 13．已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1) (2)2或8或18 (3)18 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． 14．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)通过计算说明理由见解析 【分析】（1）根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可； （2）根据黄金矩形的定义及已知条件找到与的长，再求比值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：根据作图可知，， 在中，， ， ， 长方形也是黄金矩形． 15．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． (2)顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． (3)如图3，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），其中是黄金三角形．若的面积为1，则正五角星的面积为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过交叉相乘得到关于的一元二次方程，利用求根公式计算即可得出结果； （2）根据黄金三角形的定义计算即可得出结果； （3）连接，，由正五边形的性质可得，，，由黄金三角形的定义可得，则，，求出，由对称性可得，再求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：设线段，的长为，则可表示为， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：∵为黄金三角形，， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴； （3）解：如图，连接，， 由正五边形的性质可得：，，， ∵是黄金三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由对称性可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴正五角星的面积为 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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