第06讲 一元二次方程根与系数关系（韦达定理）（知识点+4题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第06讲一元二次方程根与系数关系（知识点+4题型) 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1直接求两根之和与两根之积 题型2已知一根，求另一根及未知系数 题型3求与两根有关的代数式的值 题型4根与系数的关系与完全平方公式 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.经历一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导过程，理解定理的内 一元二次方程根与系 容及成立的前提条件（△=b2-4ac≥0），掌握对于一元二次方程 数的关系 aX+bx+c=0a≠0).两根满足+X=台X:=合。2.掌握韦达定理 b 韦达定理的推导 的基本应用：已知方程的一个根，求另一个根及方程中的未知参数；不解方 两根代数式的变形 韦达定理的基本应用 程，末两根常见代式如X+x、之+X~x门的值，3了解利 根的判别式与韦达定 用根与系数的关系构造一元二次方程的方法，能根据给定的两个实数根，写 理的综合利用根构造 出对应的一元二次方程。4.能综合运用根的判别式和韦达定理解决含参数的 一元二次方程 一元二次方程问题，养成“先判断判别式，再应用韦达定理”的解题习惯， 体会整体代入和分类讨论的数学思想。 学习重点：韦达定理的内容及其基本应用，根的判别式与韦达定理的综合应用。 学习难点：两根代数式的灵活变形技巧，含参数问题中判别式的前置判断，以及韦达定理在复杂几 何、实际问题中的综合应用。 1/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 知|识|框1架 -般式：ax2+bz+c=0(a卡0) b 两根之和：x1十x2=一 一、 定理核心内容O a 两根之积：x1·C2= e 适用前提：△>0（方程有实数根） 已知方程，求两根和与积 二、 基础直接应用O 已知一根，求另一根及参数 x子+x号=(x1+c2)2-2x12 11 三、常见对称式求值⊙ c1+C2 X1 T2 M12 c1-c2= (x1+2)2-4x1c2 四、定理逆用O 已知两根，构造一元二次方程 根据根的关系求参数值 五、 含参问题求解○ 必须结合△≥0检验参数 忽略二次项系数a卡0 六、易错提醒O 记错1十x2的负号 不检验判别式导致多解 知1识|精讲 知识点01一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 内容：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式△=b2-4ac≥0时，方程的两个实数根x1、 X2满足： b 两根之和：X1+X2= 两根之积：名X a 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学语言： ,方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根X1、X2 6 .X1+X2=- 水=9 a' a 即时即练 1.已知一元二次方程x2-3x+a=0的一个根为2，则另一个根为() A.-3 B.-1 C.2 D.1 【易错提醒】 必须同时满足两个前提条件：①是一元二次方程(a≠0)；②方程有实数根（△≥0），缺一不可。 b 两根之和的公式中有负号，是- ,不是 ,这是本节最高频易错点。 系数a、b、c包含前面的符号，如方程2x-5x-3=0中，b=-5,c=-3,因此X1+X2= 2。 知识点02二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系 特殊形式：对于一元二次方程x+px+q=0(p、q为常数)，当△=p-4q≥0时，两根X1、X2满足： X1+X2=-p,X1X2=q 即时即练 2.己知x1、X2是一元二次方程x+20x+15=0的两个实数根，则X1X2+X1+X2= 【易错提醒】 此公式是一般形式的特例(a=1)，计算更简便，但仅适用于二次项系数为1的方程。 同样注意符号：一次项系数P前面有负号，如方程x2+3x-4=0中，X1+X2=-3,X1X2=-4。 知识点3根与系数关系的常见应用 1.己知一根求另一根及参数值 方法：将已知根代入原方程求参数，再利用根与系数关系求另一根；或直接利用两根之积/之和求 另一根，再求参数。 示例：已知方程x2-6x+m=0的一个根是2，求另一根和m的值。 解：设另一根为X1,则2+X1=6,得X1=4;m=2×4=8。 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.求两根的对称式的值 核心思路：将所求代数式转化为只含X1+x2和X1X2的形式，再整体代入求值。 教材常用变形公式： x+x3=(x+x22-2x1x2 1+1=+x X1 X2 X1X2 (x1-x2P=(x1+x22-4X1X2 |x1-x2=x1+x22-4x1x2 3.已知两根构造一元二次方程 方法：若已知方程的两个根为X1、x2,则以这两个数为根的最简一元二次方程（二次项系数为1) 为： x2-(x1+x2)x+X1X2=0 即时即练 3.已知关于x的一元二次方程x2+1-mx+m-2=0. (1)求证：不论为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为X1,X2,x+x+3x1x2=1,求m的值. 【易错提醒】 已知一根求参数时，必须检验△≥0，否则可能得到不符合题意的参数值。 求对称式时，不要直接代入求根公式计算，不仅计算量大，还容易出错，优先使用整体代入法。 构造方程时，注意一次项系数是-(X1+x2),不要漏写负号；二次项系数可以取任意非零数，通常取1。 03 题型突破 题型1直接求两根之和与两根之积 【例1】己知方程x-2x-3=0,则该方程根的情况判断正确的是() A.两实数根之和为-2 B.两实数根之和为2 C.两实数根之积为3 D.没有实数根 【技巧归纳】 先将方程化为标准一般式ax2+bx+c=0(a≠0) 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 韦达定理：名+x=. a ,x2=9 a 重中之重：系数带符号代入，如x2-5x+6=0中b=-5,故x1+x2=5 隐含前提：方程有实数根（△≥0），无实根时不能用韦达定理 【变式1-1】 1.关于方程x2+2x-4=0的根的情况，下列结论错误的是（) A.有两个不相等的实数根 B.两实数根的和为-2 C.没有实数根 D.两实数根的积为-4 【变式1-2】 2.关于一元二次方程x2-2x+3=0的根的说法，正确的是() A.有两个相等实数根 B.没有实数根 C.两根之和为-2 D.两根之积为3 题型2已知一根，求另一根及未知系数 【例2】已知方程x-3x+m=0有两个不相等的实数根， (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根. 【技巧归纳】 求另一根：已知x,则X=x1(优先用，一步到位) 求未知系数： 方法1：将已知根代入原方程，解关于系数的方程 方法2：利用X1+X,=·。 b 列方程求解 两种方法结果一致，可互相验证 【变式2-1】 1.已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2-1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程的一个根为0，求出m的值及方程的另一个根。 【变式2-2】 2.已知关于x的方程x2-2x-2=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围： 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若方程的一个根为4，求方程的另一个根和m的值. 题型3求与两根有关的代数式的值 【例3】阅读下列材料，完成相应任务。 材料一十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当 b 判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个根x1,x2有如下关系：X1+X2=- a 飞心。”、此关系通常被称为“韦达定理 材料二若X1,X2是一元二次方程2x2+4x-1=0的两个根，求x+x的值. 解：，x1,X2是一元二次方程2x+4x-1=0的两个根， 2x=2 1 ∴.X1+X2=- ∴x+x=x1+x2-2x1x2=(-22-2× 1 2 =5 任务： (1)材料理解：若一元二次方程x+2x-1=0的两个实数根为X1,X2,则x1+x2= ,X1X2= (②)拓展应用：己知关于x的方程x2+(2m-1)x+m=0有两个实数根， ①求的取值范围； ②若此方程的两根分别为c,B,且a邱+c+B=9,求m的值. 【技巧归纳】 通用步骤：先算X1+X2和X1x2一变形所求代数式→代入求值 必考变形公式（必须背熟）： 平方和：x+x3=(x1+x22-2x1x2 1,1X1+x2 倒数和： X1 X2 X1X2 差的绝对值：|X1x2=(x1+x22-4x1x2 两根差的平方：(x1x2}=(x1+x2尸-4x1x2 【变式31】 1.阅读材料： 如果X1,x是一元二次方程aX+bx+c=0的两根，那么有：X+Xy=. 一。这是一元二次方程 根与系数的关系，我们利用它可以用来解题. 6/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例：X1,x2是方程x2+6X-3=0的两根，求x1+x的值， 解.X1,2是方程x2+6x-3=0的两根 .X1+X2=-6,X1X2=-3 .x7+x=x1+x22-2x1x2=(-62-2×(-3)=42. 请你根据以上解法解答下题： (1)已知：关于x的一元二次方程x-m+3x+m=0. ①求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根： ②若X1,X2是原方程的两个实数根，且满足x1X2·X1+x2-2=X1X2,求m的值. (2)设m、n是方程x+x-2021=0的两个实数根，求m+2m+n的值. 【变式32】 2.已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-2=0 (1)求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根： (②)设x2+mx+m-2=0的两个实数根为X1,X2,若y=x+x+4x1x2,求出y与m的函数关系式： 3)在(2)的条件下，若-2≤m≤2时，求y的取值范围. 题型4根与系数的关系与完全平方公式 【例4)】已知Rt△ABC的两条直角边a,b分别是一元二次方程x2+px+q=0的两个根，且a2+b2=25, a-b=1,则p和q的值分别为() A.-1,5 B.-7,12 C.3,4 D.7,-12 【技巧归纳】 核心公式：（x1x2P=(x1+x22-4x1x2 b2-4ac=4 2 a a 直接结论：x1xa (求两根距离、抛物线截x轴线段长直接用) 已知x1~2的值，可直接平方后转化为韦达定理形式求参数 【变式41】 1.若实数a,b满足a2-3a-5=0,b2-3b-5=0,且a≠b,则a-b的值为() A.±3V3 B.±27 c.±V29 D.1+31-/13 2或2 【变式42】 2.解答下列各题： 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)已知实数a,b是方程x-x=1的两根，求a2+b的值： (②)已知实数a,b满足a-a=1,b-3b=9,且b≠3a,求ab的值； 3)若两个不相等的实数p,q满足p+mp-1=q,q+mq-1=p,求pq-m的值， 04 过关检测 一、单选题 1.关于x的一元二次方程x2+x-1=0的根的情况描述正确的是() A.有两个不相等的实数根 B,有两个相等的实数根 C.两实数根互为倒数 D.没有实数根 2.已知a、b是一元二次方程Xx-3=0的两个根，则白+g a6的值为() 7 D. 5 A.-3 B.1 C.3 3.一元二次方程x2-2X-3=0的两个实数根为X1,X2,则下列结论正确的是（) A.X1+X2=-3 B.X1+X2=3 C.X1+X2=-2 D.X1+X2=2 4.已知关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个根为X1,X2,则X1X2的值为() A.-5 B.5 C.2 D.-2 5.若一元二次方程x+2x-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点m,n在平面直角坐标系中位 于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程x-5x+6=0来描述其位移-时间关系（其中X代 表位移相关量)，该方程的两个实数根为X1,X2.在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论 正确的是() A.X1+X2=-5B.X1+X2=6 C.X1X2=5 D.X1X2=6 7.一元二次方程x+2x+a=0两根异号，则α的取值范围是() A.a<1 B.a>1 C.a<0 D.0<a<1 8.己知X1、2是一元二次方程3x2+2x-6=0的两根，则x1+1X2+1的值是() A含 c D.3 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.已知方程x2+bx+3=0的一根为5+2，则方程的另一根为() A.V5-2 B.5+2 c.V2-75 D.3 10.嘉嘉在求解关于x的一元二次方程2x2+x-1=0时，抄错了k的正负号，解出x的一个根为-2，则下 列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根：结论二：原方程的两根之和为4() A.结论一正确，结论二不正确 B.结论一不正确，结论二正确 C.结论一正确，结论二正确 D.结论一不正确，结论二不正确 11.如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍，则 称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程说法 ①方程x2-3x+2=0是2倍方程： ②若x-3川mx+1=0为3倍方程，则m= ③若p,q满足pq=8,则关于x的方程Px2-6x+q=0为2倍方程： ④若关于x的方程ax2+bx+c=0为n倍方程，则nb2=n+1ac. 正确的个数有()个 A.1 B.2 C.3 D.4 12.下列说法正确的是() ①最简二次根式a-3与V2a是同类二次根式，则a=3: ②若是2的小数部分，则m+m-2=2 ③若Rt△ABC的斜边长c=3,另两边长a,b恰好是关于x的方程x-k+2x+2k=0的两个根，则 k=±V5； ④若关于x的方程x+m2-3x+m+1=0的两根互为相反数，则m的值是±V3. A.①② B.①②④ C.③④ D.②③④ 二、填空题 1.已知一元二次方程x2+x-2026=0的两根分别为，，则mn的值为一 2.一元二次方程x2-25=0的根为X1和X2,则代数式X1·X2的值为一 3.已知a,B是方程x2-2x-1=0的两个根，则a+B= 4.已知一元二次方程x+aX+b=0的两个根为X1,X2,且x1+X2=4,X1X2=3,那么这个一元二次方程 是 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.一元二次方程3x2+6x-7=0的两根为X1,X2,则X1+X2= ,X1X2= 6.在方程3x2+6X-a=0中，小金解得X1+X2-X1X2=3,则a= 7.若m,n是方程x-10x-1=0的两个实数根，则代数式m-9m+n的值为 8.若Q、β是方程x+3x-28=0的两个实数根，则α+4a+B的值为 9.设关于x的方程x2-a-2x-3a-7=0的两根分别是x1、2,则代数式3x1+x+X1X2的值为 1+1 10.已知一元二次方程X-6x+5=0的两根为1，x,则元，x,的值是 11.已知一元二次方程x2+4x-3=0的两根是X1,X2,则x+x2的值为 12.已知关于x的一元二次方程x2+V3k-1x+k-2=0的两根X1和x2满足x+x2=(x1x22-7,则k的值为 13.已知x1,X2是一元二次方程x2-3X+m=0的两个根，若3x-8X1=6-X2,则m的值为 4已知一元次方0心+x2=0的两个实根为x,光，若文+号2,0的取在范型为 15.已知a,b是方程x+5x+3=0的两个根，则bb +a的值 a 三、解答题 1.已知方程x-3x+m=0有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根. 2.不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积. 1)x2+3x+1=0 (2)3x2-2x-1=0: 3)2x2+6x+4=0. 3.若关于x的一元二次方程x2-2x+2k+1=0有两个不相等的实数根x1、X2. 1)求实数k应满足的条件 (2)当k取最大整数时，求X1+X2-X1·X2的值。 4.关于x的一元二次方程x2-2k+1x+k2+k-2=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)己知方程的两个实数根分别为X1,X2,且X1=2x2,求k的值. 5.已知关于x的一元二次方程x-k+1x+k=0. (1)求证：方程总有两个实数根： 10112 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)若该方程的两个实数根，2满足x1+1x2+1=8，求k的值. a c 6.规定bd =ad-bc,回答以下问题： 3 (1)计算 6 (2)已知X1,X2是一元二次方程x+6x+k=0的两个根， 且12 1+1 的值 7.定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根X1,X2,且满足X1+X2=X1X2,则称此类方程为“和积 方程”. 例如：父号x+号=0，可x3x引0，解=3，多 3 (1)方程x2-5x+6=0 (填是或不是)“和积方程”； (②)关于x的方程x-n+3x+3n=0是“和积方程”，则n= 3)若关于x的一元二次方程x2+2m+1x+m2+2m=0是“和积方程”，求m的值. 8.学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程x+x-m=0开展探究. (1)当m=1时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数” (②)若实数a,b满足a+a-m=0,b2+3b-9m=0,且3a≠b,求3a+b的值： 3)若两个不相等的实数p,q满足p2+p-m=mq,q2+q-m=mp,求证：pq=m2. 9.定义：若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0a≠0中的常数项c是该方程的一个根，则称该一元二次 方程为理想方程， (1)已知关于X的方程x+2x+c=0是理想方程，求C的值： (②)当b,C满足什么条件时，方程x+bx+c=0是理想方程： 3)关于x的理想方程ax+bx+c=0的两个实根为X1,X2,若C=2a,求X1+x2的取值范围. 10.新定义：关于x的一元二次方程C1:cx2+mx+n=0与C2:cx2-mx+n=0互为“师梅方程”. ()根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打 “×”): ①x2+2x=0与x2-2x=0() ②2x+4=0与2x2-4=0() ③x2+3x-2=0与x-3x-2=0() 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若关于x的一元二次方程C:(a+1)X+(a+1x+2.3 =0的两实数根X1=X2=P. ①求a的值： ②记方程C1的“师梅方程”为方程C2,q是方程C2的一个实数根，求p+q的值， 3)若关于x的一元二次方程(x-1P+(k+2)(x-1)+2k=0与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根， 求k的值. 12112 第06讲 一元二次方程根与系数关系（知识点+4题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 直接求两根之和与两根之积 题型2 已知一根，求另一根及未知系数 题型3 求与两根有关的代数式的值 题型4 根与系数的关系与完全平方公式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元二次方程根与系数的关系 韦达定理的推导 两根代数式的变形 韦达定理的基本应用 根的判别式与韦达定理的综合利用根构造一元二次方程 1. 经历一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导过程，理解定理的内容及成立的前提条件（），掌握对于一元二次方程，两根满足，。2. 掌握韦达定理的基本应用：已知方程的一个根，求另一个根及方程中的未知参数；不解方程，求两根常见代数式（如、、）的值。3. 了解利用根与系数的关系构造一元二次方程的方法，能根据给定的两个实数根，写出对应的一元二次方程。4. 能综合运用根的判别式和韦达定理解决含参数的一元二次方程问题，养成“先判断判别式，再应用韦达定理”的解题习惯，体会整体代入和分类讨论的数学思想。 学习重点：韦达定理的内容及其基本应用，根的判别式与韦达定理的综合应用。 学习难点：两根代数式的灵活变形技巧，含参数问题中判别式的前置判断，以及韦达定理在复杂几何、实际问题中的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 内容：对于一元二次方程（），当判别式时，方程的两个实数根、满足： 两根之和： 两根之积： 数学语言： ∵ 方程（）有两个实数根、 ∴ ， 即时即练 1．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程另一个根为， 由根与系数的关系得：， 解得：， 即方程另一个根为1． 【易错提醒】 必须同时满足两个前提条件：①是一元二次方程（）；②方程有实数根（），缺一不可。 两根之和的公式中有负号，是，不是，这是本节最高频易错点。 系数、、包含前面的符号，如方程中，，，因此，。 知识点02 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系 特殊形式：对于一元二次方程（、为常数），当时，两根、满足： ， 即时即练 2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【分析】对于一元二次方程 ，若方程有两个实数根，根据根与系数的关系可得 ，，据此求解即可． 【详解】解：已知一元二次方程 ， 其中 ，，， 因此可得：，， 将其代入所求代数式得：． 【易错提醒】 此公式是一般形式的特例（），计算更简便，但仅适用于二次项系数为1的方程。 同样注意符号：一次项系数前面有负号，如方程中，，。 知识点03 根与系数关系的常见应用 1.已知一根求另一根及参数值 · 方法：将已知根代入原方程求参数，再利用根与系数关系求另一根；或直接利用两根之积/之和求另一根，再求参数。 · 示例：已知方程的一个根是2，求另一根和的值。 · 解：设另一根为，则，得；。 2.求两根的对称式的值 · 核心思路：将所求代数式转化为只含和的形式，再整体代入求值。 · 教材常用变形公式： 3.已知两根构造一元二次方程 · 方法：若已知方程的两个根为、，则以这两个数为根的最简一元二次方程（二次项系数为1）为： · 即时即练 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根； (2)若方程的两个根分别为，，求m的值． 【答案】(1)证明： ， 任何实数的平方均为非负数，即， 恒成立， 即不论为何值，方程总有实数根． (2)或 【分析】（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式恒成立； （2）利用根与系数的关系，将变形为含和的形式，代入已知条件列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据韦达定理，对于方程，两根满足： ，， 已知，利用变形得： ， 将，代入，结合条件得： ， 展开并整理方程： ， ， 因式分解求解： ， 解得： ，． 【易错提醒】 已知一根求参数时，必须检验，否则可能得到不符合题意的参数值。 求对称式时，不要直接代入求根公式计算，不仅计算量大，还容易出错，优先使用整体代入法。 构造方程时，注意一次项系数是，不要漏写负号；二次项系数可以取任意非零数，通常取1。 题型1 直接求两根之和与两根之积 【例1】已知方程，则该方程根的情况判断正确的是（   ） A．两实数根之和为 B．两实数根之和为2 C．两实数根之积为3 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用因式分解法求出方程的根，再计算两根的和与积即可判断选项． 【详解】解： ， 解得，， 可知方程有两个不相等的实数根，两根之和为，两根之积为， 对照选项，只有B正确． 【技巧归纳】 先将方程化为标准一般式 （） 韦达定理：， 重中之重：系数带符号代入，如 中 ，故 隐含前提：方程有实数根（），无实根时不能用韦达定理 【变式1-1】 1．关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为﹣2 C．没有实数根 D．两实数根的积为﹣4 【答案】C 【分析】利用根的判别式,判断△的正负即可求解. 【详解】解：方程x2+2x﹣4＝0， 这里a＝1，b＝2，c＝﹣4， ∵△＝4+16＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4， 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式的应用，属于简单题，熟悉根的判别式的计算方法是解题关键. 【变式1-2】 2．关于一元二次方程的根的说法，正确的是（   ） A．有两个相等实数根 B．没有实数根 C．两根之和为 D．两根之积为 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式可得出，进而可得出该方程没有实数根． 【详解】解：由题意可知：， ∴方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积， 故选：B． 题型2 已知一根，求另一根及未知系数 【例2】已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即方程的另一根是． 【技巧归纳】 求另一根：已知 ，则 （优先用，一步到位） 求未知系数： 方法1：将已知根代入原方程，解关于系数的方程 方法2：利用 列方程求解 两种方法结果一致，可互相验证 【变式2-1】 1．已知关于的一元二次方程． 若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； 若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根． 【答案】（1）；（2）m=1;0,或m=-1;4. 【分析】(1)根据判别式的意义得到,然后解不等式即可； (2)根据方程解的定义把x=0代入方程得，即可解得m=1或-1，然后分别把m=1或-1代入方程，再解方程即可． 【详解】根据题意得， 解得； 把代入方程得， 解得或， 当时，方程变形为， 解得，即方程的另一个根为； 当时，方程变形为， 解得，，即方程的另一个根为． 【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当=0时,方程有两个相等的两个实数根;当<0时,方程无实数根． 【变式2-2】 2．已知关于x的方程x2－2x－2m＝0有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的一个根为4，求方程的另一个根和m的值． 【答案】(1) m>－；(2)方程的另一个根为－2，m的值为4. 【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4+8m＞0，然后解不等式即可得到m的取值范围； （2）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=2，然后解关于t的一次方程即可． 【详解】（1）根据题意得△=4+8m＞0， 解得m＞-； （2）设方程另一个根为t， 根据题意得4+t=2， 解得t=-2， 即方程的另一根为-2， 把x=4代入x2－2x－2m＝0中，得42－2×4－2m＝0， 解得m=4， 故方程的另一个根为－2，m的值为4.． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系． 题型3 求与两根有关的代数式的值 【例3】阅读下列材料，完成相应任务． 材料一  十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于x的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． 材料二  若，是一元二次方程的两个根，求的值． 解：，是一元二次方程的两个根， ，． ． 任务： (1)材料理解：若一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________． (2)拓展应用：已知关于x的方程有两个实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； ②根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 由①知， ∴． 【技巧归纳】 通用步骤：先算 和 → 变形所求代数式 → 代入求值 必考变形公式（必须背熟）： 平方和： 倒数和： 差的绝对值： 两根差的平方： 【变式3-1】 1．阅读材料： 如果，是一元二次方程的两根，那么有：，．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题． 例：，是方程的两根，求的值． 解，是方程的两根 ， ． 请你根据以上解法解答下题： （1）已知：关于的一元二次方程． ①求证：无论取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根； ②若，是原方程的两个实数根，且满足，求的值． （2）设、是方程的两个实数根，求的值． 【答案】（1）①证明见解析；②或；（2）． 【分析】（1）①利用一元二次方程的根的判别式进行证明即可；②由一元二次方程根与系数的关系得到，，代入中，得到关于m的一元二次方程，求解即可； （2）m、是方程的两个实数根，可得，，代入即可求解． 【详解】（1）①证明：． ， ，即， 无论实数取何值，方程总有两个不相等的实数根； ②由根与系数的关系可知：，， ， ， ， 或． （2）、是方程的两个实数根 ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记x1＋x2＝−，x1•x2＝，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【变式3-2】 2．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根为，，若，求出y与m的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若时，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）只要证明方程的判别式即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可； （3）根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵方程的判别式， ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵的两个实数根为，， ∴，， ∴ ； ∴y与m的函数关系式是； （3）∵， ∴此抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是， ∵ ∴当时，y取得最小值，当时，y取得最大值是， ∴y的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型4 根与系数的关系与完全平方公式 【例4】已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求出和的值． 【详解】解：∵，是直角三角形的直角边， ，． 由，两边平方得：． 将代入上式，得， 解得． ，且， ． ，是一元二次方程的两个根， ∴，． 代入得，， 即，． 【技巧归纳】 核心公式： 直接结论：（求两根距离、抛物线截x轴线段长直接用） 已知 的值，可直接平方后转化为韦达定理形式求参数 【变式4-1】 1．若实数满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由题意可知，和是一元二次方程的两个不相等实根，利用根与系数的关系以及完全平方公式求解． 【详解】解：∵实数，满足，且， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】 2．解答下列各题： (1)已知实数是方程 的两根，求 的值； (2)已知实数满足 ，且，求 的值； (3)若两个不相等的实数满足 ，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式将转化为，代入计算即可； （2）先将变形，再结合，判断与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出的值； （3）联立方程作差，化简得出的关系，代入方程后利用根与系数的关系求，进而得． 【详解】（1）解：∵是方程 即的两个根， ∴，， ∴； （2）解：两边同时除以9，可得， ∵，，且，即， ∴与是方程，即的两个不相等的实数根， 对于方程， 由（1）得两根之积为，即， ∴； （3）解： ，得 ， ， ∵， ∴方程两边同时除以得，， ∴， ∴③， ④， 将④代入①，得 ， ， 将③代入②，得 ， ， ∴是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴． 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的根的情况描述正确的是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．两实数根互为倒数 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：， 其中，，，， ， ∵对任意实数 ，都有 ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根，故A正确，B，D错误； 方程两根的乘积为，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C错误． 2．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 3．一元二次方程的两个实数根为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，两根之和，据此求解即可． 【详解】解∶∵方程中，， ∴． 4．已知关于的一元二次方程的两个根为，，则的值为（     ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 ，则 ，据此求解即可． 【详解】解：∵给定一元二次方程为 ，可得，， ∴． 5．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，计算两根之和与两根之积，再根据点的横纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：对一元二次方程， ， 解得方程两根为：，， ∵两根之和， 两根之积， ∴点即为， ∵点的横坐标小于，纵坐标小于， ∴该点位于第三象限． 6．在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程来描述其位移时间关系（其中代表位移相关量），该方程的两个实数根为，．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论． 【详解】解：对于一元二次方程，若方程有两个实数根，，则，， ∵给定方程为， ∴，，， ∴，故错误， ，故错误，正确． 7．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 8．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解： ，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 9．已知方程的一根为，则方程的另一根为（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项与二次项系数的比，据此求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， 由根与系数的关系得：， ∵， ∴， 因此方程的另一根为． 10．嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为（     ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【答案】A 【分析】先根据错方程和已知根求出原方程的k值，再分别验证两个结论即可． 【详解】解：∵原方程为，嘉嘉抄错的正负号， ∴嘉嘉解的错方程为， 将代入错方程得：，解得， 验证结论一：原方程的判别式， ∴原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 验证结论二：根据一元二次方程根与系数的关系，对于，两根之和为，这里，， ∴， ∵结论二给出两根之和为， ∴结论二不正确； 综上，结论一正确，结论二不正确． 11．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程说法 ①方程是2倍方程； ②若为3倍方程，则； ③若p，q满足，则关于x的方程为2倍方程； ④若关于的方程为倍方程，则． 正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题干中的新定义“倍方程”，结合一元二次方程的解法和根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到正确结论． 【详解】解：①解方程，因式分解得，解得， ，满足2倍方程定义，①正确. ②的两根为，， 方程是3倍方程，分两种情况：当时，，解得， 当时， ，解得， 或，故②错误. ③若，则方程的判别式 ，方程有两个不相等的实数根， 解方程得，即，， ，满足2倍方程定义，③正确. ④设的两根为 ， 由根与系数的关系得：，即，得， ，即，将代入得， 两边同乘整理得 ，故④正确. 综上，①③④正确，正确的个数为3个． 12．下列说法正确的是（     ） ①最简二次根式与是同类二次根式，则； ②若m是的小数部分，则； ③若的斜边长，另两边长a，b恰好是关于x的方程的两个根，则； ④若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值是． A．①② B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题需逐个判断四个说法的正误，分别利用同类二次根式定义、二次根式化简、勾股定理、一元二次方程根与系数关系和根的判别式进行判断，最终得到正确选项． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 整理得：， 解得或， 当时，，舍去， ， 故①正确； ，是的小数部分， ，， ， ， ， 故②正确； ，是方程的两根， 由根与系数的关系得：，， 斜边， 由勾股定理得：， ， ， 整理得：， 解得：， ，是边长， ， 当时，，舍去， ， 故③错误； 方程两根互为相反数， 两根之和为， 解得：， 当时，常数项， 判别式，方程无实根，舍去； 当时，常数项， 判别式方程有实根，符合要求， ， 故④错误； 综上所述，只有①②正确． 二、填空题 1．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 2．一元二次方程的根为和，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定二次项系数与常数项，再利用根与系数的关系即可求出两根之积． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得：， 本题中，，代入得 ． 3．已知α，β是方程的两个根，则______． 【答案】2 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】解：，其中，， 根据根与系数的关系可得 ． 4．已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 5．一元二次方程的两根为，，则 _______________， _______________． 【答案】 【分析】先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解： ，可得 ，，， 因此 ，． 6．在方程中，小金解得，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 解得. 7．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再利用根与系数的关系得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 8．若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义与根与系数的关系，利用方程解的定义和根与系数的关系得到对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 9．设关于的方程的两根分别是、，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关于的一元二次方程的两个根，满足，，根据该关系得到和，代入所求代数式化简计算即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别是，， 由根与系数的关系可得，， 将和代入所求代数式得． 10．已知一元二次方程的两根为，，则的值是_______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， 由根与系数的关系得：，， ∴． 11．已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ∴， ∴． 12．已知关于x的一元二次方程的两根和满足，则k的值为________． 【答案】6 【分析】首先根据二次根式有意义的条件和判别式非负确定的取值范围，再利用完全平方公式变形和根与系数的关系构造关于的方程，求解后根据取值范围舍去不合题意的解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实根， ∴， 解得， 根据根与系数的关系可得，， 由完全平方公式变形得， 代入已知等式得， 即， 整理得， 解得，（不满足，舍去）， ∴． 13．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，得到以及，将用含和的式子表示后代入已知等式整理，即可求出的值. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 将代入得， 解得. 14．已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 15．已知a，b是方程的两个根，则的值________ 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系求出与的值，判断的符号，再对所求二次根式进行化简，最后整体代入计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，． ，， ，． ∴ ． 三、解答题 1．已知方程有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求的值，并求出方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得 ，， 解得，． 即，方程的另一个根为． 2．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，； （2）解：， ，； （3）解：， ，． 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 4．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 5．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 6．规定，回答以下问题： (1)计算________． (2)已知，是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用新定义列式计算即可； （2）由新定义可得，结合根与系数的关系可得，，进一步求解即可. 【详解】（1）解：. （2）解：， ， ， ， ，， ， . 7．定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”． （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或． （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 8．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 9．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 10．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $