第3章 图形的相似（暑假单元自测）新九年级数学新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学图形的相似单元卷，以亚运会会徽、飞云楼测量等真实情境为载体，覆盖比例中项、位似、相似判定与应用等核心知识点，适配暑假巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|比例中项、黄金分割、位似坐标|结合亚运会潮涌设计考黄金分割，体现数学眼光| |填空|6/18|位似比、小孔成像应用|《墨经》小孔成像题，渗透文化传承与模型意识| |解答|8/72|位似作图、测量方案、动点相似|飞云楼测量题融合工具选择与推理能力，动点相似题考查思维严谨性|

第3章 图形的相似 【新教材，北师大】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.（3分）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 2.（3分）第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点是线段的黄金分割点（），则有．列方程即可求解． 【详解】解：设的长为，， 根据黄金分割的定义，得， 化简，整理得， 解得或（不符合题意，舍去） 即的长是． 3.（3分）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图作轴，轴，根据点坐标可得，，根据相似三角形的判定可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵的横坐标为，平行于轴， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即相似比等于位似比， ∴点是的中点， ∵轴，轴， ∴，而， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，则， ∴． 4.（3分）如图，在中，点是边上的点，交对角线于点，，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得到，，由得到，由得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5.（3分）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似三角形的性质求点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴与的位似比为，且B的坐标为， ∴点D的坐标为，即． 6.（3分）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 7.（3分）如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】若能推出，即可证明 ，得到同位角相等，进而推出 ． 【详解】解：A 由可得，结合，得，不能推出 ，A错误； B 仅知道和，无法保证三角形相似，不能推出 ，B错误； C ，，又，， ， ， ， ，C正确； D ，，又，，不能推出 ，D错误； 8.（3分）如图，已知为的角平分线，交于点E， ，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质可证明，得到；证明，得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 9.（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 10.（3分）如图所示，已知正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的，延长交于点M．若．则正方形与正方形的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，，作于设直角三角形的短直角边为，长直角边为，由勾股定理得，小正方形的边长为，证明，得出，，从而可得，证明，求出，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∴， 作于，如图， 设直角三角形的短直角边为，长直角边为， ∵正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的， ∴由勾股定理得，即，小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴正方形与正方形的面积之比为． 二、填空题（共18分） 11.（3分）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 【答案】 【分析】由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，得，然后根据相似三角形的相似比等于位似比可进行求解． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ， 的坐标为，点的坐标为， ， ． 12.（3分）如图，在菱形中，点在对角线上，连接，点在上，且，过点作交于点．若菱形的周长为，则的长为______． 【答案】 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形的对边平行得出，结合已知推出，进而判定，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为 13.（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 【答案】3 【分析】由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ． 14.（3分）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 15.（3分）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【答案】6 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 16.（3分）在正方形中，，点是边的中点，连接，将沿翻折，点落在点处，与交于点，点是的中点，则的长度是__________． 【答案】 【分析】连接，交于点，作于点，根据翻折变换性质得到，，，设为，分别表示出的长，再利用勾股定理解出的值，再利用求出的长． 【详解】解：连接，交于点，作于点， 四边形是正方形， ， ，，经过点O． ． ． 沿翻折， 点落在点处，点 E 是边 的中点 ，．． 设，则， 在中，，，可得 ，． ． 在中，，，可得 ． 在中，，， ， ． 解得（舍去），． ． ，， ． ，即． 解得． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，在小正方形边长都相等的网格中建立平面直角坐标系，线段的端点的坐标分别为，． (1)将线段平移得到线段，使得点A的对应点的坐标为，请在图中画出线段； (2)以原点O为位似中心，把线段AB缩小到原来的一半得到线段，请在第三象限内画出线段； (3)线段上有一点，请用无刻度直尺确定出点P的位置． 【答案】(1)如图，线段即为所求 (2)如图，线段即为所求 (3)如图，点即为所求 【分析】（1）先根据点A和对应点的坐标计算平移的横、纵坐标变化量，利用平移性质得出点B的对应点的坐标，再连接、即可； （2）连接、，分别取、的中点，再连接即可； （3）根据题意得点P满足，先找到直线上的两个网格点并画出该直线，直线与线段的交点即为点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．（8分）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 【答案】(1)①③ (2)测量示意图如解图所示． 测量数据：标杆，标杆影长； (3) 【分析】（1）选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）根据题意，测量数据：标杆，标杆影长； （3）证明，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）略 （3）解：，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ． 答：飞云楼的高度为．（答案不唯一） 19．（8分）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）依据题意，由，则，又，可得，从而可得，进而可以得解； （2）由点E为的中点，得，结合可得，故，又，，则，从而，结合，可得，进而可以得 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 20．（8分）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【分析】先在截取，再作，且交于点D，则点D、E即为所求． 【详解】解：作图依据： ∵，， ∴． 21．（10分）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由，得到，结合夹角相等，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，是，上的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 22．（10分）如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，即， 又∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； (2) 证明：如图，连接、， ∵，，分别是边，，的中点， ∴，，，， ∴， ∴ 由（1）可知， ，，，且 ∴，，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余易得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得，即可证得结论； （2）连接、，根据三角形中位线的性质可证得，，，即可根据证得，最后由全等三角形的对应边相等的性质可得结论； （3）根据全等三角形的性质和平行线的性质可得，，结合三角形外角的定义、三角形内角和定理以及平角的定义，通过角度的和差运算即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∴ ． 23．（10分）如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． (1)当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ (2)当为何值时，的面积为？ (3)当为何值时，与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或时，与相似 【分析】（1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解； （3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由题意，，， ∵是以为顶角的等腰三角形， ∴， ∴， 解得． （2）过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）当时，， ∴， 解得：． 当时，， ∴， 解得：． 综上所述或时，与相似． 24．（10分）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)直接写出当为何值时，能使得与相似． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ (2)5或2 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，得到，，即可证明结论； （2）分两种情况：当时；当时；利用相似三角形的性质，结合等腰三角形的性质和矩形的性质分别求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，如图， ∴，， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，由三线合一可得：， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当为5或2时，能使得与相似． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的相似 【新教材，北师大】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.（3分）若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 2.（3分）第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（   ） A． B． C． D． 3.（3分）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 4.（3分）如图，在中，点是边上的点，交对角线于点，，则的值为(     ) A． B． C． D． 5.（3分）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心是原点O，若，点B的坐标为，则对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 6.（3分）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 7.（3分）如果D，E分别在的两边，上，由下列哪一组条件可以推出（     ） A．， B．， C．， D．， 8.（3分）如图，已知为的角平分线，交于点E， ，那么等于（     ） A． B． C． D． 9.（3分）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 10.（3分）如图所示，已知正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的，延长交于点M．若．则正方形与正方形的面积之比为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11.（3分）如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，点D的坐标为 ．则的值为_______． 12.（3分）如图，在菱形中，点在对角线上，连接，点在上，且，过点作交于点．若菱形的周长为，则的长为______． 13.（3分）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐述了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，小孔的高度为，则实像的高度为_____． 14.（3分）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 15.（3分）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 16.（3分）在正方形中，，点是边的中点，连接，将沿翻折，点落在点处，与交于点，点是的中点，则的长度是__________． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，在小正方形边长都相等的网格中建立平面直角坐标系，线段的端点的坐标分别为，． (1)将线段平移得到线段，使得点A的对应点的坐标为，请在图中画出线段； (2)以原点O为位似中心，把线段AB缩小到原来的一半得到线段，请在第三象限内画出线段； (3)线段上有一点，请用无刻度直尺确定出点P的位置． 18．（8分）飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 19．（8分）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H． (1)求证：； (2)若，求的长度． 20．（8分）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 21．（10分）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 22．（10分）如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 23．（10分）如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒． (1)当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？ (2)当为何值时，的面积为？ (3)当为何值时，与相似？ 24．（10分）如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)直接写出当为何值时，能使得与相似． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $