第三章 图形的相似全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测）新九年级数学上册新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学第三章图形的相似全章综合检测卷，120分钟120分，覆盖相似判定、位似变换等核心知识，通过分层题型与实际应用情境，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配暑假单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|相似图形判定（第1题）、位似中心识别（第4题）|网格图形相似辨析（第6题）、动态相似存在性（第10题）| |填空|6/18|黄金分割（第12题）、位似比计算（第13题）|平行线分线段成比例应用（第11题）、正方形零件边长求解（第16题）| |解答|8/72|位似作图与变换（第18题）、相似证明与计算（第20题）|塔高测量实际应用（第24题）、矩形相似探究（第23题）|

第三章 图形的相似（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 2．（3分）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（3分）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（3分）如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（3分）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 9．（3分）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（    ）时，与相似． A． B． C．或 D．或 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 12．（3分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 13．（3分）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则______． 14．（3分）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 15．（3分）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 16．（3分）如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，已知，为钝角，．请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 19．（9分）已知线段、、满足，且 （1）求、、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求线段的长； （3）若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 20．（9分）已知：四边形的两条对角线相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21．（9分）已知，如图，，，，． （1）求的长； （2）如果，，试求的长． 22．（9分）中，，点在边上，且． （1）求证：； （2）若面积，面积，求． 23．（9分）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． （1）若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． （2）若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（12分）某数学兴趣小组测量一座塔的高度，有以下两种方案，请你分别利用两个方案，求塔的高度． 方案一：如图（2），小华拿着一把长为的直尺站在离塔有的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔（即，，在一条直线上，，，在一条直线上），已知点到直尺的距离为． 方案二：如图（1），在距离塔底点远的处竖立一根高的标杆，小明在处蹲下，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上，已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，，在同一直线上． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选：B． 2．（3分）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 故选：C． 3．（3分）已知，，，成比例线段，其中，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段的定义，根据成比例线段的性质列出比例式，再分别代入数值计算即可求出d的长． 【详解】，，，是成比例线段， ，即， ， 代入，，得： ． 故选：B． 4．（3分）如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换的性质．根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，即可解答． 【详解】解：如图， ∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上， 点Q为位似中心． 故选：D． 5．（3分）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 6．（3分）如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 7．（3分）如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 8．（3分）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键． 先求出两个三角形的相似比，再根据点的坐标计算即可； 【详解】 和是以点为位似中心的位似图形， ， 和的周长之比为， 和的相似比为， 点的坐标为， 的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， 在第四象限， 点的坐标为． 故选． 9．（3分）如图，在平行四边形中，E，F分别为边的中点，连接交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作交BF于点G，证明，则．进一步得到．证明，即可得到． 【详解】解：过点E作交BF于点G， ∴ ∴ ∵E是的中点， ∴． ∵F是的中点， ∴ 在平行四边形中， ∴． ∴ ∴， ∴． 故选：B． 10．（3分）如图，在中，，，，点从点出发，沿以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，若点分别从点同时出发，设运动时间为，当取（    ）时，与相似． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，用含的式子分别表示出，，，，分类讨论，第一种情况，当时；第二种情况，当时；根据相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：已知，，，点的速度为，点的速度为，设运动时间为， ∴，， ∴，， 第一种情况，当时，， ∴，整理得，， ∴； 第二种情况，当时，， ∴，整理得，， ∴； 综上所述，当或时，与相似， 故选：． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 12．（3分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 【答案】 【分析】根据题意设线段的长为，用含的代数式表示出，代入已知等式建立关于的一元二次方程，解方程并根据线段长为正数取舍即可． 【详解】解：设， ∵，点在线段上，， ∵， ∴ ，整理得：， 解得：， ∵为线段长，， ∴， 即线段的长为． 故答案为：． 13．（3分）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．根据题意求出，根据位似图形的概念得到，，进而得出，，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点O， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（3分）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 _____． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，作，可得，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 由题意得： ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 15．（3分）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】设已知连等式的比值为，根据等式性质得到的关系，求出的值，推出，代入所求代数式化简计算即可得到结果； 【详解】解：设， ∴，，， 将三式左右两边分别相乘，得， 移项得， 因为均为分式的分母，故，，，即， 因此， 解得：， ∴，且， 将代入所求代数式，得． 故答案为：． 16．（3分）如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形对应高的比等于相似比，正确理解相似三角形的性质是解题的关键．先根据正方形对边平行，可证得，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：是的高， ， 在正方形中，， ，四边形是矩形， 令厘米，则厘米， ，解得． 这个零件的边长为厘米． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，已知，为钝角，．请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段的垂直平分线，交于点P即可． 本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握作线段垂直平分线的方法． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 点P即为所求． 由题可知：, , ∵， , ∵, ∴． 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （2）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （3）判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【分析】（1）根据位似变换的性质找出对应点即可求解． （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解． （3）根据位似图形的定义即可判断，连接对应点的交点即为位似中心点，写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图为所求： （2）解：如图为所求： （3）解：和是位似图形； 由图可得点M的坐标为． 19．（9分）已知线段、、满足，且 （1）求、、的值； （2）若线段是线段、的比例中项，求线段的长； （3）若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 20．（9分）已知：四边形的两条对角线相交于点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 由四边形的两条对角线相交于点，得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； 由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，而，，，所以，求得． 【详解】（1）证明：四边形的两条对角线相交于点， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ，，， ， ， 的长是． 21．（9分）已知，如图，，，，． （1）求的长； （2）如果，，试求的长． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． （1）根据，可得：，因为，，，所以可得：，从而求出的长度； （2）过点作交于点，交于点，可知四边形和四边形都是平行四边形，所以可得：，根据可证，根据相似三角形的性质可得：，求出的长度，根据得到结果． 【详解】（1）解： ， ， ，，， ， ， 解得：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，交于点， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 22．（9分）中，，点在边上，且． （1）求证：； （2）若面积，面积，求． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）先利用平行线分线段成比例得到，再结合已知得到，从而得到，从而证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）先证明得到，推出，再证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ； （2） ， ， ，， ， ， , ，即， ， 又， ， ． 23．（9分）如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． （1）若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． （2）若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 24．（12分）某数学兴趣小组测量一座塔的高度，有以下两种方案，请你分别利用两个方案，求塔的高度． 方案一：如图（2），小华拿着一把长为的直尺站在离塔有的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔（即，，在一条直线上，，，在一条直线上），已知点到直尺的距离为． 方案二：如图（1），在距离塔底点远的处竖立一根高的标杆，小明在处蹲下，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上，已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点，，，在同一直线上． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形． 方案一：过点E作，垂足为M，延长交于点N，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； 方案二：过点E作，垂足为H，延长交于点G，根据题意可得：，从而可得，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：方案一：如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N， ∵， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴塔的高度为． 方案二：如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴塔的高度为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $