专项4 第十章二元一次方程组 压轴题型 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项 复习

**基本信息** 聚焦二元一次方程组压轴题型，构建“基础解法-变式拓展-实际应用”三阶训练体系，通过16类题型系统提炼换元法、整体思想等解题策略，强化模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|题型1-5（参数、特殊解法等）|代入消元、换元法、矩阵思想|从解的意义到三元方程组，构建方程求解逻辑链| |实际应用|题型6-16（行程、工程等）|分类讨论、图表信息转化|以“问题情境-等量关系-方程建模”为主线，强化应用意识|

专项4 第十章 二元一次方程组压轴题型 目录 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 1 题型2 二元一次方程组的特殊解法 6 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 14 题型4 二元一次方程组相同解问题 19 题型5 三元一次方程组 23 题型6 方案问题 33 题型7 行程问题 39 题型8 工程问题 45 题型9 数字问题 50 题型10 年龄问题 57 题型11 分配问题 61 题型12 销售问题 68 题型13 和差倍分问题 74 题型14 几何问题 80 题型15 图表信息问题 88 题型16 古代问题 95 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 1．已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 【答案】 【详解】解：把代入，得， 解得， ∴. 2．要使方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】 【分析】先通过消元用含的代数式表示出，再根据方程组有正整数解的要求，得到为正整数，从而推出是的正约数，即可求出整数的值. 【详解】解：， 由②得 ， 把代入①得， 整理得 ， ∴， ∵方程组有正整数解，为整数，， 是正整数时，即可满足题意， ∴是的正约数， ∴， ∴. 3．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式： (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的方程组的解为，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将原方程组变为标准形式，再根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值；． （3）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出，， 然后代入计算即可．． 【详解】（1）解：将原方程组整理为标准形式， 根据题中规定，写出矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 解得； （3）解：矩阵对应的二元一次方程组为 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 整理得，， ∴． 4．已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c是常数），有，，且是方程的一个解． (1)求a，b，c的值； (2)求方程满足，的非负整数解． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）将已知解代入方程，并用 、 消元，解出 后，进而解得 、． （2）将 代入得方程 ，可得 ，由非负整数解及 列举即可求出解． 【详解】（1）解：是的解， ， 把代入得， 把，代入得， ，解得， ，． （2）解：由（1）得，，， 方程，化为， 即 ， ， x为非负整数，为非负整数，且，， 当，，不符合题意， 当，，不符合题意， 当，，符合题意， 当，，不符合题意， 当，，不符合题意， 原方程的整数解为：． 5．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接按规则将二元一次方程组的系数和常数项按顺序填入矩阵即可； （2）先根据矩阵写出对应的二元一次方程组，再将已知的解代入方程组，即可求出和的值． 【详解】（1）解： 根据题目给出的矩阵定义，二元一次方程组写成矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 将代入方程组得： ， 解得： ． 题型2 二元一次方程组的特殊解法 6．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组． 观察发现： (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为______，解关于m，n的方程组，得所以，解方程组，得______． 探索猜想： (2)运用上述方法解方程组：； 拓展延伸： (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：原方程组可化为； 方程组，得； （2）解：设，． 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：方程组整理得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得． 7．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为__________； (2)下列方程组是“开心”方程组的是__________；（填序号） ①，②，③， (3)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)②③ (3)或 【分析】（1）根据计算即可； （2）分别判断是否符合即可； （3）根据加减消元法求出的值，根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵有一个“开心”方程组的解为， ∴ ， 解得或； （2）解：①由可知 ，不是“开心”方程组； ②由得可知，是“开心”方程组； ③两方程相加得，化简得，可知，是“开心”方程组； 综上，是“开心”方程组的是②③； （3）解：， 得 ． ． 关于，的方程组是“开心”方程组， ．     解得或． 8．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题三个小题均使用换元法将原复杂方程组转化为简单的二元一次方程组求解，解出换元后的未知数后，再还原得到原问题的结果． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得； （2）设，， 则方程组可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 解得； （3）设，， 则原方程组可化为， 解得， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握整体代换、构造新元简化方程组是解题的关键． 9．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将并化简即可得到，将即可得到； （2）先根据题干的定义列出方程组，再写出的计算式，利用整体思想构造即可． 【详解】（1）解：， 将，得， 两边同除以，得， 将，得； （2）解：∵，， ∴， 将，得， ∴． 10．对于方程组，不妨设，，则原方程组就变成关于、的二元一次方程组，解得，把代入，，从而求得原方程组的解是，这种解法称为换元法． (1)请将上述方程组的解填写在相应空白处； (2)用换元法解方程组． (3)拓展延伸：已知关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的方程组的解为____________． 【答案】(1)7， (2) (3) 【分析】（1）直接求解即可； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）把变形为，结合已知可得出，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 把代入，， 得， 解得； （3）解：∵， ∴， ∵、的二元一次方程组的解为， ∴ 解得：， 故方程组的解为：． 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 11．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）甲看错方程①中的，就把代入②式，乙看错了方程②中的，就把代入①式； （2）将代入用代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：，解得； 将代入方程得：，解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 12．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】求出的解，然后代入中求得的值；设方程中的系数为，的系数为，把原方程组的正确解与错误解代入第一个方程中求解即可求解． 【详解】解：解方程组，得， 把代入，得，， 设方程组中含有▲的方程中的系数为，的系数为， 把和代入含有▲的方程得， 解得， 原方程组为． 13．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 【答案】，，0 【分析】根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此分别代入到对应的方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：把代入中得， 解得， 把代入中得， 解得， ． 14．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，0 【详解】解：将代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 故 15．综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）当时，化成具体方程组，解答即可． （2）求得原方程组的解，结合，求k的值即可． （3）根据，把方程组进行化简，后根据题意，解方程组即可． 本题考查了解方程组，方程组看错问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组变形为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为． （2）解：方程为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 故方程组的解为． 由得， 解得． （3）解：根据题意，得， 故方程组变形为， 整理，得， 根据题意，方程组的解为，方程组的解为， 故； 解得， 此时方程组变形为， 解得， 故． 题型4 二元一次方程组相同解问题 16．已知关于 ，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】， 【分析】两个方程组有相同的解，说明这组解同时满足四个方程，解题的关键是先通过不含参数的两个方程求出公共解，再将解代入含参数的方程，转化为关于参数的二元一次方程组，进而求出，的值． 【详解】解：∵两个方程组的解相同， ∴先解不含参数的方程组：， 解得：， 把代入，得， 解得：． 17．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同解的性质，将两个不含参数的方程组成新方程组，利用加减消元法解方程组即可得到相同的解； （2）将得到的相同解代入含参数的方程，求出参数，的值，再代入代数式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：两个方程组有相同的解， 该解满足两个方程组的所有方程， 将不含参数的方程组合为新方程组， 得，解得， 把代入，得，解得， 这个相同的解为； （2）解：把代入含参数的两个方程，得， 由得， 将代入得， 整理得，解得， 把代入，得， 将，代入得 ． 18．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同解方程组，代数式求值，理解题意正确计算是解题的关键． （1）根据题意联立得，即可求出两个方程组的相同的解； （2）把方程组的解分别代入方程和中，得到关于、的方程组求解，然后代入要求的式子计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即这两个方程组的相同解是； （2）解：把分别代入方程和中，得， 解得， ． 19．若关于x，y的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 20．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）依题意得，解得，然后代入，解得，即可作答． （2）由无论实数取何值，方程总有一个固定的解，可得含的项的系数为，可得出，即可求出的值，从而得出这个方程的公共解． 【详解】（1）解：∵方程组的解满足，且关于x，y的方程组， ∴联立， 解得， 把代入， 可得， 解得． （2）解： 无论实数取何值，方程总有一个公共解， ∴方程的解与无关， ∴， 将代入， 可得． ∴这个公共解为． 题型5 三元一次方程组 21．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先用加减消元法消，得到方程，解得，再代入解得； （2）先用表示，再消，联立求解； （3）先消z，再联立消元求解； （4）先消去，再联立解． 【详解】（1）解：， ①+②：④， 由①得：，代入③： ， ⑤， ④×3+⑤：， ， ， 把代入④：， ， ， ． （2）解：， 由①：④， ②③：， ⑤， 将④代入⑤：， ， ， ， 代入②：， ， ． （3）解：， ①+③：④， ③×3+②：， ⑤， 由⑤：代入④， ， ， ， ， ， 代入①：， ， ． （4）解：， ②+③：④， ④−①：， ， 代入①：， ， ， 代入②：， ， ， ． 22．在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：由②－①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)已知，求的值． (2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1)3 (2) 购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1），即可得出结果； （2）设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元，根据题意，列出方程组，利用整体求值法求解即可. 【详解】（1）解：， ，得， ∴； （2）解：设1本笔记本的费用为元，1支签字笔的费用为元，1支记号笔的费用为元， 由题意， ，得， ∴（元）； 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元. 23．阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 24．下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得 ，解得 ． 把 代入②，得 ．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为 ，即 ③ 把①代入③，得 ． ． 把 代入①，得 ． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组； (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出 的值． (3)每年5月第二个星期日为母亲节，小芳准备提前为今年5月10日的母亲节准备礼物，她来到花店，看到康乃馨、萱草、玫瑰特别漂亮，决定从这三种花中各预定几枝，到时候给妈妈个惊喜．她发现有人预定6枝康乃馨，10枝萱草，3枝玫瑰需要50元，3支康乃馨，5枝萱草，2枝玫瑰需要30元．请计算她若预定3枝康乃馨，5枝萱草，4枝玫瑰需要多少钱？ 【答案】(1) (2) (3)预定3枝康乃馨，5枝萱草，4枝玫瑰需要50元 【分析】（1）按照例1的方法，把②代入①，求出a的值即可解答； （2）将方程①变形为，即可解答； （3）设一枝康乃馨a元，一枝萱草b元，一枝玫瑰c元，根据题意列出方程组，用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为，即， 把②代入③得：， 即； （3）解：设一枝康乃馨a元，一枝萱草b元，一枝玫瑰c元， 根据题意可得：， 得：， 把代入②得：， 整理得：， ∴， 答：预定3枝康乃馨，5枝萱草，4枝玫瑰需要50元． 25．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 题型6 方案问题 26．某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱32吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨 (2)该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用8辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆B型车 (3)费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元 【分析】（1）设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B 型车载满洋葱一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）根据一次运送32吨洋葱，即可得出关于a，b的二元一次方程，解之a，b均为非负整数，即可得出各租车方案； （3）分别计算两种方案的租车费用，然后比较解答即可. 【详解】（1）解：设1辆A型车载满洋葱一次可运送x吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送y吨， 依题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满洋葱一次可运送3吨，1辆B型车载满洋葱一次可运送4吨； （2）解：依题意得：， ∴ 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用8辆A型车，2辆B型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆B型车； （3）解：方案1所需租车费为（元）； 方案2所需租车费为（元）． ∵， ∴费用最少的租车方案为：租用4辆A型车，5辆B型车，最少租车费为1000元． 27．上周六，一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．利用二元一次方程组的知识，求上周六咖啡店使用无人机配送了多少单? 【答案】上周六咖啡店使用无人机配送了20单 【分析】设上周六咖啡店使用传统骑手配送了单，使用无人机配送了单， 根据“咖啡店共发出了50单外卖和该店当天的总运费支出为380元”列出关于、的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设上周六咖啡店使用传统骑手配送了单，使用无人机配送了单， 根据题意可得： ， 解得， 答：上周六咖啡店使用无人机配送了20单． 28．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买1个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元． (1)求A，B两种品牌的足球的单价． (2)该校打算通过“京东商城”网购20个A品牌的足球和3个B品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？ 【答案】(1)A品牌足球单价为40元/个，B品牌足球单价为100元/个． (2)学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了190元． 【分析】（1）设品牌足球单价为元/个，品牌足球单价为元/个，根据题目列出二元一次方程组解出即可； （2）用打折前的总价减去打折后的总价即可． 【详解】（1）解：设品牌足球单价为元/个，品牌足球单价为元/个， 得， 答：A品牌足球单价为40元/个，B品牌足球单价为100元/个． （2）打折前：（元） 打折后：（元） （元） 答：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了190元． 29．某学校布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见右表（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 拖布 15 小黑板 40 格言贴 45 2 90 门垫 35 1 35 合计 8 280 请完成下列问题： (1)求该学校购买的拖布、小黑板的数量． (2)若干天后，该学校再次购买格言贴和拖布两种物品（两种物品都有），共花费105元，则有几种不同的购买方案？请将方案列举出来． 【答案】(1)该学校购买拖布个，小黑板个 (2)共有2种不同的购买方案，购买1个格言贴，4个拖布；购买2个格言贴，1个拖布 【分析】（1）设该学校购买拖布个，小黑板个，利用总价单价数量，结合表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个格言贴，个拖布，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设该学校购买拖布个，小黑板个， 依题意得， 解得． 答：该学校购买拖布个，小黑板个； （2）解：设购买个格言贴，个拖布， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该学校共有2种购买方案， 方案1：购买1个格言贴，4个拖布； 方案2：购买2个格言贴，1个拖布． 30．某乡镇助农服务站计划将当地种植的草莓和蔬菜打包运往市区商超，现准备调配两种型号的冷链配送车．已知用2辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载一次可运货10箱；用1辆小型冷链车和2辆中型冷链车满载一次可运货11箱． (1)1辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载时分别可运货多少箱？ (2)服务站打包好后共有35箱农产品，需要一次性运往市区，计划租用小型冷链车辆，中型冷链车辆（，均为正整数），每辆车都载满货物； ①请你帮该服务站列出所有符合条件的租车方案； ②若小型冷链车每辆每次的运输成本为85元，中型冷链车每辆每次的运输成本为110元，请写出最省钱的方案，并算出最少运输成本是多少元？ (3)在（2）的基础上，农户又临时增加箱农产品（为正整数），服务站发现：如果把其中1辆小型冷链车换成一辆中型冷链车，恰好能一次性运完（每辆车均满载），直接写出农户又临时增加多少箱农产品． 【答案】(1)1辆小型冷链车满载时可运3箱，1辆中型冷链车满载时可运4箱； (2)①共有3种租车方案：方案1：小型冷链车1辆，中型冷链车8辆；方案2：小型冷链车5辆，中型冷链车5辆；方案3：小型冷链车9辆，中型冷链车2辆；②最省钱的方案是租用小型冷链车1辆，中型冷链车8辆，最少运输成本是965元； (3)农户又临时增加1箱农产品． 【分析】（1）利用“总货运量1辆小型冷链车满载时的货运量数量1辆中型冷链车满载时的货运量数量”列式求解即可； （2）利用“总货运量1辆小型冷链车满载时的货运量数量1辆中型冷链车满载时的货运量数量”列二元一次方程，再根据二元一次方程的整数解求解； （3）根据题意算出总的货运量，用总的货运量减去原来的35箱即可解出答案． 【详解】（1）解：1辆小型冷链车满载时可运货箱，1辆中型冷链车满载时可运货箱， 可列式为， 解得， 答：1辆小型冷链车满载时可运货箱，1辆中型冷链车满载时可运货箱． （2）解：①由题意可列式， 运输成本为， ∵为奇数，均为正整数， ∴为偶数，为奇数，即为奇数； 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有3种租车方案： 方案1：小型冷链车1辆，中型冷链车8辆； 方案2：小型冷链车5辆，中型冷链车5辆； 方案3：小型冷链车9辆，中型冷链车2辆； ②由①得： 当时，，（元）； 当时，，（元）； 当时，，（元）； 最省钱的方案是租用小型冷链车1辆，中型冷链车8辆，最少运输成本是965元； （3）解：由（2）知，原来小型冷链车1辆，中型冷链车8辆， 将辆小型冷链车换成辆中型冷链车，此时运货量为（箱）， ∴货运量增加（箱）， ∴农户又临时增加箱农产品． 题型7 行程问题 31．爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 【答案】(1)；；； (2)，时里程表上的数为51 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程表上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； （2）解：根据题意，得， 解得：． ∴小靖在时看到里程表上的两位数． 答：小靖在时看到里程表上的两位数是51． 32．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 【分析】（1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 33．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； (3)①，；②应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里 【分析】（1）设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）由题意得，，则，再求出符合题意的整数解即可； （3）①根据“本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为”即可求解每行驶的磨损量； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意得，，则， ∵m，n均为非负整数，且“保证新工人和熟练工在工作上有照应”， ∴， ∴或 ∴共有2种新工人的招聘方案，即方案一：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案二：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：①∵本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为 ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为，后轮每行驶的磨损量为； ②设自行车行驶时交换前后轮，总行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：应在自行车行驶里程达到公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废；前、后轮报废时自行车的行驶里程为公里． 34．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 35．2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表： 购票人数/人 1600以上 每人门票价/元 58 50 48 学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元， (1)两个批次各去了多少人？ (2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看做一个点整个过程总共划行了，龙舟在其间航行，顺水航行用了，逆水航行用了，求龙舟在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答） 【答案】(1)第一批去798人，第二批去808人； (2)龙舟在静水中的速度是，水流速度分别是 【分析】（1）设第一批人数为x人，第二批为y人，列方程组求解； （2）龙舟在静水中的速度为，水流速度为，列方程组求解． 【详解】（1）解：设第一批人数为x人，第二批为y人， ∵每人门票价为50元，且两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元，77088不是50的倍数， ∴两批次去的人数和为1600以上， ∴， 解得， ∴第一批去798人，第二批去808人； （2）解：设龙舟在静水中的速度为，水流速度为， ， 解得， 答：龙舟在静水中的速度是，水流速度分别是． 题型8 工程问题 36．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 37．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 38．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 39．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹 (2)，甲、乙工作时间分别为5小时，4小时 【分析】（1）设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，根据表格中的等量关系列出方程组并解方程组即可； （2）设甲、乙工作时间为a、小时，根据题意列出二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙每小时各拣包裹x件、y件，则： ； 解得 答：甲每小时各拣300件包裹，乙每小时各拣250件包裹； （2）解：设甲、乙工作时间为a、小时， 则 即 ∴ ∵a、k均为正整数， ∴ 甲、乙工作时间为5小时，小时． 40．【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： (1)若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； (2)请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 【答案】(1)若选择方案①，该公司所得的利润为57500元 (2)选择第③种方案能使公司利润最大化，理由见解析 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）先求出方案②的利润，当选择方案③时，设进行粗加工并包装天，进行精加工并包装天，列出二元一次方程组，继而求出方案③的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：若选择方案①，该公司所得的利润为57500元． （2）解：当选择方案②时，由题意得，进行7天精加工，余下的直接销售． 则精加工的数量为，直接销售的数量为． ∴此时的利润为：（元）． 当选择方案③时，设进行精加工x天，进行粗加工y天，由题意得 ， 解得， ∴此时的利润为：（元）． 由（1）知，当选择方案①时，利润为57500元， ∵， ∴选择第③种方案能使公司利润最大化． 题型9 数字问题 41．【阅读资料】对任意的正奇数，都有两个连续的正整数和（），使得．由规律可得如下数表： ，，间的关系 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 … … … … 【特殊值验证】 (1)当时，请你求出和的值，并验证所得，，是否满足小温的猜想． 【一般化证明】 (2)小温对猜想的条件和结论分析如下，请你帮助小温完成证明过程． 已知：正奇数和两个连续的正整数和（）满足． 求证：． 证明：…… 【答案】(1)，，满足 (2) 证明：由题意得，， ∵， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据题意得到，求出和的值，再验证和是否相等即可得出结论； （2）结合和，计算和，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； ∵，，， ∴，， ∴， 即，，满足小温的猜想； （2）略 42．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 43．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【答案】(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． 【分析】（）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． 【详解】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 44．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 45．将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)见详解 (3)39 【分析】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． （1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出，，即可证明． （3）设该幻方的幻方值为，根据，，得出，，则，由幻方的特征得，，即，，由幻方的特征，用分别表示出幻方空的数，根据最中间的数列等式得出，再根据幻方的特征列方程，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：， 故答案为： 8，0 ； （2）证明：如图， ①根据题意可得，则； ②根据题意可得，则； （3）解：设该幻方的幻方值为， ∵，， ∴，， 则， 由幻方的特征得，， 即， 整理可得，， 则， 由幻方的特征得，左上角的数为， 第三排中间的数为， 第二排第三个空的数为， 最中间的数为， 或， 即， 整理得， 由幻方的特征得，对角线三个数之和为m，即， 解得：， 则， 即幻方值为39． 题型10 年龄问题 46．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 47．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 48．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 49．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 50．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 题型11 分配问题 51．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 52．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 53．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 【答案】(1)万元 (2)三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元；理由见解析 【分析】（1）设三楼每户分摊费用为万元，每升高一层每户增加万元，再根据“七楼每户费用是三楼的倍”和“户总自筹资金万元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）先明确保持原分配核心原则，即七楼每户费用是三楼的倍、每升高一层每户增加万元，再根据剩余户的楼层分布和总自筹资金万元不变的条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组求出新的三楼每户分摊费用和每层增加额的近似值，最后得出分摊方案并说明理由即可． 【详解】（1）解：设三楼每户的费用为万元，则七楼每户的费用是万元，可列方程组为 ， 解得； 答：老张这户应自筹资金万元． （2）解：保持原分配核心原则，按总自筹资金万元重新计算，可列方程组： ， 解得， 即分摊方案为：三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元； 理由：该方案延续了原有的“楼层越高，受益越多，付费越高”的公平分摊原则，且总自筹资金仍为万元，完全符合题目要求． 54．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图； 方案1：_______________ 方案2：__________________； (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ (3)该工厂购买块板材和套铁架（且），共花费1815元，其中板材价格33元/块，铁架价格17元/套．请你求出所有购买方案，并求出能做成椅子数量的最大值． 【答案】(1)方案1：裁剪1块椅座，6块椅背，图形见解析；方案2：裁剪4块椅座，2块椅背，图形见解析 (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 (3)购买方案为：购买38块板材和33套铁架或购买21块板材和66套铁架或购买4块板材和99套铁架；最多能做成66个椅子 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； （3）根据题意得：，再由a，b均为正整数，可得b为33的正整数倍，从而得到b取33，66，99，即可求解． 【详解】（1）解：方案1：裁剪1块椅座，6块椅背，如图： 方案2：裁剪4块椅座，2块椅背，如图： （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪； （3）解：根据题意得：， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴b为33的正整数倍， ∴b取33，66，99， 当时，，此时最多能做成33个椅子； 当时，， 设有x块板材按方案1裁剪，有y块板材按方案2裁剪； 此时，解得：， 即有6块板材按方案1裁剪，有15块板材按方案2裁剪， 此时最多能做成个椅子； 当时，， 若4块板材按方案2裁剪，可以做成个椅子； 若3块板材按方案2裁剪，有1块板材按方案1裁剪，可以做成个椅子； 若2块板材按方案2裁剪，有2块板材按方案1裁剪，可以做成个椅子； 若4块板材按方案1裁剪，可以做成4个椅子； 此时最多能做成12个椅子； 综上所述，购买方案为：购买38块板材和33套铁架或购买21块板材和66套铁架或购买4块板材和99套铁架；最多能做成66个椅子． 55．综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 题型12 销售问题 56．黎锦刺绣属于世界级与国家级双重非物质文化遗产．黎锦刺绣作为海南特色传统手工艺，闻名中外．在消博会举办之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的刺绣作品作为纪念品．已知购买1件A种刺绣作品与2件B种刺绣作品共需要700元，购买2件A种刺绣作品与3件B种刺绣作品共需要1200元． (1)求A、B两种刺绣作品的单价； (2)该国际旅游公司计划购买A种刺绣作品35件和B种刺绣作品50件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． (2)总费用是20500元． 【分析】（1）先设出A、B两种刺绣作品的单价，根据题干给出的两种购买方案的总费用列出二元一次方程组，求解得到两种作品的单价； （2）根据计划购买的数量计算总费用即可． 【详解】（1）解：设A种刺绣作品的单价为元，B种刺绣作品的单价为元． 根据题意可得 解得 答：A种刺绣作品的单价为300元，B种刺绣作品的单价为200元． （2）解：总费用为：（元） 答：总费用是20500元． 57．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 【答案】(1) (2)购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个 【分析】（1）根据“购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元”，列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 解得 经检验，符合题意． 答：购进甲种型号篮球个，乙种型号篮球个． 58．请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需170元；若购买3袋A种食材和1袋B种食材共需190元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共800元，两种都要采购． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种食材每袋的单价分别是多少元？（用方程解决问题） (2)任务二：请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出采购方案． 【答案】(1)A种食材每袋的单价是50元，B种食材每袋的单价是40元 (2)共有3种采购方案，分别为：方案1：采购A种食材4袋，B种食材15袋；方案2：采购A种食材8袋，B种食材10袋；方案3：采购A种食材12袋，B种食材5袋． 【分析】（1）设A种食材每袋的单价是x元，B种食材每袋的单价是y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A种食材m袋，购买B种食材n袋，根据采购这两种食材共800元建立方程，求出方程的正整数解即可得出答案． 【详解】（1）解：设A种食材每袋的单价是x元，B种食材每袋的单价是y元， 由题意得， 解得， 答：A种食材每袋的单价是50元，B种食材每袋的单价是40元； （2）解：设购买A种食材m袋，购买B种食材n袋， 由题意得，， ∴， ∵两种食材都要采购， ∴m、n都是正整数， ∴是正整数，且是正整数， ∴m一定是4的倍数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， ∴共有3种采购方案：方案1：采购A种食材4袋，B种食材15袋；方案2：采购A种食材8袋，B种食材10袋；方案3：采购A种食材12袋，B种食材5袋． 59．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案? 素材1 为落实劳动教育与美育融合育人的要求，玉溪市红塔区某非遗文创工作室依托本地文化资源，推出了一系列兼具实用性与文化内涵的文创商品，让学生在感受本土非遗之美的同时，体会工匠劳动的价值．该工作室有两种核心非遗文创商品：青花书签（融合玉溪青花瓷烧制技艺，学生可参与简易彩绘劳动体验）和瓦猫冰箱贴（源自瓦窑社区瓦猫非遗，承载传统美学与民俗文化）． 素材2 若小明在该工作室购买了4套青花书签和5个瓦猫冰箱贴，共花费114元；若小红购买了3套青花书签和2个瓦猫冰箱贴，共花费68元． 素材3 临近期中考试，某中学的数学王老师，计划用部分资金在该工作室购买上述两种文创商品作为奖品，奖励表现优秀的学生，既肯定学生的综合表现，也进一步传播本土非遗文化． 问题解决： (1)任务1：该工作室1套青花书签和1个瓦猫冰箱贴的售价分别是多少元？ (2)任务2：若王老师购买了青花书签和瓦猫冰箱贴，两种商品都必须购买，用于期中考试优秀的学生，且总花费恰好为180元，请设计出可行的购买方案． 【答案】(1) 1套青花书签的售价是16元，1个瓦猫冰箱贴的售价是10元 (2) 共有2种可行的购买方案，方案1：购买5套青花书签，10个瓦猫冰箱贴；方案2：购买10套青花书签，2个瓦猫冰箱贴 【分析】（1）根据两种购买情况的总花费，设单价为未知数，列二元一次方程组求解即可得到单价； （2）根据总花费列出二元一次方程，结合两种商品都必须购买即未知数均为正整数的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到可行购买方案. 【详解】（1）解：设1套青花书签的售价为元，1个瓦猫冰箱贴的售价为元， 根据题意可得方程组， 解得； 答：1套青花书签的售价为元，1个瓦猫冰箱贴的售价为元； （2）解：设购买套青花书签，个瓦猫冰箱贴，其中均为正整数， 由题意得， ∴， ∵是正整数， ∴是5的正倍数， ∴或， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 故可行的购买方案为两种，分别是购买5套青花书签和10个瓦猫冰箱贴，或购买10套青花书签和2个瓦猫冰箱贴. 60．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 新郑大枣以其皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，是河南省新郑的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某商店销售，两种红枣，种红枣为鲜枣，标价元/千克，种红枣为枣干，标价元/千克 素材一 小陈在这家商店按标价购买了，两种红枣共千克，合计付款元 素材二 小陈计划再到这家商店购买，两种红枣，且种红枣比种红枣多买千克，小陈到这家商店后，发现，两种红枣正在进行优惠活动：种红枣打八折；一次购买种红枣不超过千克不优惠，超过千克后，超过的部分打七折 任务： (1)在素材一中，这两种红枣小陈各购买了多少千克? (2)在素材二中，若小陈买两种红枣合计付款元，问购买种红枣多少千克? 【答案】(1)种红枣购买了千克，种红枣购买了千克； (2)购买种红枣千克． 【分析】（1）设种红枣购买了千克，种红枣购买了千克，再建立方程组解题即可； （2）设购买种红枣千克，则购买种红枣千克，通过比较，可知，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：设种红枣购买了千克，种红枣购买了千克， 由题意得， 解得， 答：种红枣购买了千克，种红枣购买了千克； （2）设购买种红枣千克，则购买种红枣千克， 当时，两种红枣合计费用为元， 两种红枣合计付款元， ， ， 解得， 答：购买种红枣千克． 题型13 和差倍分问题 61．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【答案】 每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 【详解】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 62．箱子里装有若干个红球和白球，小明、小丽分别按固定方式不放回取球：小明每次取4个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩6个红球；小丽每次取6个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩9个白球． (1)设小明取了x次，则原有红球个数为 ，白球个数为 ．（请用含x 的代数式表示）； (2)求小明和小丽各取了多少次？ (3)求箱子里红球、白球各自的数量． 【答案】(1)； (2)小明取了12次，小丽取了9次 (3)红球有54个，白球36个 【分析】（1）根据每次取球数量与剩余球数，用取球次数x直接列代数式表示红、白球总数． （2）设小丽取y次，依托红、白球总数不变列二元一次方程组，解方程组得到两人取球次数． （3）把求得的x或y代入对应代数式，算出红、白球实际数量． 【详解】（1） 小明每次取个红球，取次后剩个红球， 原有红球：． 每次取个白球，白球全部取完， 原有白球：． （2）解：设小明取了x次，小丽取y次，根据题意，得 解得 答：小明取了12次，小丽取了9次． （3）解：根据题意得： 红球数量： 白球数量：（个） 答：红球有54个，白球36个． 63．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元 (2)方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型；方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型 【分析】（1）设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元，根据“2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元； （2）解：设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，； ∴所有购买方案如下： 方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型； 方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型． 64．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车 (2)①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车，根据3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车； （2）解：设调熟练工m人， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴当，3，4时，，4，2， 即：①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人． 65．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） (2)任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ (3)任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 【答案】(1)； (2)单，过程见详解； (3)①共有4种满足条件的采购方案，分别为：方案一：旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台；方案二：旋翼A型无人机5台，旋翼B型无人机5台；方案三：旋翼A型无人机8台，旋翼B型无人机3台；方案四：旋翼A型无人机11台，旋翼B型无人机1台； ②采购旋翼A型无人机2台，旋翼B型无人机7台的方案一载重最大，最大载重为 【分析】（1）本题主要考查等量关系式“时间路程速度”． （2）本题主要考查二元一次方程组的应用． （3）本题主要考查二元一次方程的整数解． 【详解】（1）解：传统骑手的送货时间为（时），（分）； 无人机送货时间为（时），（分）； （分）， ∴使用“无人机”比“传统骑手”节省分钟． （2）解：设使用“无人机”配送单，使用“传统骑手”配送单． 则， 解得， ∴咖啡店使用“无人机”配送了单． （3）解：①设购买旋翼型无人机台，旋翼型无人机台． 则，解出整数解． 方案一：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案二：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案三：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台； 方案四：当时，，即购买旋翼型无人机台，购买旋翼型无人机台． ②旋翼型无人机与旋翼型无人机的载重为：， 分别将①中数据代入： 当时，，（）； 当时，，（）； 当时，， （）； 当时，，（）； 综上所述，当按照旋翼型无人机2台，购买旋翼型无人机7台的方案一购买时，载重最大，最大载重为． 题型14 几何问题 66．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 【答案】(1)1，6，； 4，2， (2)有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪 【分析】（1）根据题意可得可以裁剪1块椅座，6块椅背或裁剪4块椅座，2块椅背，即可解答； （2）设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意，列出方程组，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：设有m块板材按方案1裁剪，有n块板材按方案2裁剪，根据题意得： ， 解得：， 答：有40块板材按方案1裁剪，有100块板材按方案2裁剪． 67．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）． (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大平方厘米，乙块木板面积为平方厘米，求木箱的体积； (2)如果购买一块长为厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 【答案】(1)木箱的体积为立方厘米 (2) 【分析】（1）先表示出甲乙丙三块木板面积，再由题意列二元一次方程组求解即可； （2）由木板的利用率为，列出等式，恒等变形得到，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：由图可得甲块木板的面积为；乙块木板的面积；丙块木板的面积； 由题意可得， 整理得， 解得， 则木箱的体积为（立方厘米）， 答：木箱的体积为立方厘米； （2）解：由题意可得， 整理得， ∴， ∴． 68．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 69．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 70． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可； 任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸张，正方形宣纸张，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务三：根据两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 题型15 图表信息问题 71．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承中华传统文化，激发学生的爱国情怀，某中学计划在四月六号组织本校优秀学生代表前往猎民村扫墓． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有，两种型号的客车可供选择，型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量/辆 租用型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆型或型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司，两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 【答案】(1)每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元 (2)共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型客车，10辆型客车； (3)租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少 【分析】（1）设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型客车，辆型客车，根据租用的客车恰好可以乘载人，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各租车方案； （3）求出各租车方案所需总费用，再比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆型客车的租金是元，每辆型客车的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 每辆型客车的租金是600元，每辆型客车的租金是1000元； （2）解：设租用辆型客车，辆型客车， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 当时，则； 当时，则； 或， 共有2种租车方案， 方案1：租用13辆型客车，5辆型客车； 方案2：租用2辆型号客车，10辆型客车； （3）解：租用2辆型客车，10辆型客车，理由如下： 当租用13辆型客车，5辆型客车时， 此时租车费用为（元）， 当租用2辆型客车，10辆型客车时， 此时租车费用为（元）， ， 应选择方案2：租用2辆型客车，10辆型客车，费用最少． 72．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【分析】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【详解】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 73．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 74．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 75． 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）56个；（3）20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）根据题意列出代数式，即可完成表格； （2）根据题意，列出关于的方程组，求出的值，即可解答； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少，设买张正方形铝皮，根据题意列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）根据素材，完成表格如下： 圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 （2）由题意得， 解得：， 则长方形材料有（张）， 因为1个铝制罐头需要2张圆形材料和1张长方形材料， 所以最多可以做56个罐头； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少， 设买张正方形铝皮，则圆形材料有张，长方形材料有张， 由题意得，， 解得：， 所以至少应该买20张正方形铝皮，才能将库存一次性用完． 故答案为：20． 题型16 古代问题 76．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【答案】(1)1头牛需要3两银子，1只羊需要2两银子 (2)购买了7只羊 (3)商人有3种购买方案，最多买5头牛 【分析】（1）设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了m头牛，n只羊，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设购买a头牛，b只羊，可得二元一次方程，则，再列举a的值，确定b的值即可解答． 【详解】（1）解：设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子， 由题意可得，解得：， 答：买1头牛需要3两银子，买1只羊需要2两银子． （2）解：设购买了m头牛，n只羊， 由题意可得，解得； 答：购买了7只羊． （3）解：设购买a头牛，b只羊， 依题意有，则， ∵a、b都是正整数， ∴共有三种购买方案： ①当时，，即购买1头牛，9只羊； ②当时，，购买3头牛，6只羊； ③当时，，购买5头牛，3只羊． 当均不符合题意． 答：共有三种购买方案，最多买5头牛． 77．列方程解应用题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？题目大意是几个人合伙买东西，若每人出钱；则会多出3钱；若每人出钱，则还少钱．求合伙人数，物品的价格分别是多少？ 【答案】合伙人数是人，物品的价格是钱 【详解】解：设合伙人数是人，物品的价格是钱， 由题意得， 解得． 答：合伙人数是人，物品的价格是钱． 78．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 79．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 80．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项4 第十章 二元一次方程组压轴题型 目录 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 1 题型2 二元一次方程组的特殊解法 2 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 5 题型4 二元一次方程组相同解问题 6 题型5 三元一次方程组 7 题型6 方案问题 10 题型7 行程问题 12 题型8 工程问题 14 题型9 数字问题 16 题型10 年龄问题 18 题型11 分配问题 19 题型12 销售问题 22 题型13 和差倍分问题 24 题型14 几何问题 27 题型15 图表信息问题 30 题型16 古代问题 33 题型1 已知二元一次方程组的解求参数 1．已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 2．要使方程组有正整数解，求整数的值． 3．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式： (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的方程组的解为，则______． 4．已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c是常数），有，，且是方程的一个解． (1)求a，b，c的值； (2)求方程满足，的非负整数解． 5．在现代高等代数领域中，可以将关于，的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：______； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求与的值； 题型2 二元一次方程组的特殊解法 6．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组． 观察发现： (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为______，解关于m，n的方程组，得所以，解方程组，得______． 探索猜想： (2)运用上述方法解方程组：； 拓展延伸： (3)已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的方程组的解是______． 7．对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为__________； (2)下列方程组是“开心”方程组的是__________；（填序号） ①，②，③， (3)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值． 8．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”，所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元． 如，分析：由于方程组中含有式子和，所以可设，，原方程组转化为，解得，，由倒数定义得，原方程组的解为． 【问题解决】用换元法解决下列问题： (1)关于，的方程组的解_____； (2)若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_____； (3)已知关于，的方程组，求，的值． 9．【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数，满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得， ，得． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，根据方法二求的值． 10．对于方程组，不妨设，，则原方程组就变成关于、的二元一次方程组，解得，把代入，，从而求得原方程组的解是，这种解法称为换元法． (1)请将上述方程组的解填写在相应空白处； (2)用换元法解方程组． (3)拓展延伸：已知关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的方程组的解为____________． 题型3 二元一次方程组的错解复原问题 11．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 12．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 13．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 14．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 15．综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 题型4 二元一次方程组相同解问题 16．已知关于 ，的方程组与有相同的解，求、的值． 17．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 18．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 19．若关于x，y的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 20．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ 题型5 三元一次方程组 21．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 22．在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：由②－①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)已知，求的值． (2)某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 23．阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 24．下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得 ，解得 ． 把 代入②，得 ．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为 ，即 ③ 把①代入③，得 ． ． 把 代入①，得 ． 方程组的解为 …… 任务： (1)类比“例1”的方法，解方程组； (2)已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出 的值． (3)每年5月第二个星期日为母亲节，小芳准备提前为今年5月10日的母亲节准备礼物，她来到花店，看到康乃馨、萱草、玫瑰特别漂亮，决定从这三种花中各预定几枝，到时候给妈妈个惊喜．她发现有人预定6枝康乃馨，10枝萱草，3枝玫瑰需要50元，3支康乃馨，5枝萱草，2枝玫瑰需要30元．请计算她若预定3枝康乃馨，5枝萱草，4枝玫瑰需要多少钱？ 25．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 题型6 方案问题 26．某市生产的洋葱品质好、干物质含量高且耐储存，因而受到国内外客商青睐．现欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满洋葱一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满洋葱一次可运走11吨．现有洋葱32吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱．根据以上信息，解答问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 27．上周六，一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元．利用二元一次方程组的知识，求上周六咖啡店使用无人机配送了多少单? 28．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买1个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元． (1)求A，B两种品牌的足球的单价． (2)该校打算通过“京东商城”网购20个A品牌的足球和3个B品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？ 29．某学校布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见右表（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 拖布 15 小黑板 40 格言贴 45 2 90 门垫 35 1 35 合计 8 280 请完成下列问题： (1)求该学校购买的拖布、小黑板的数量． (2)若干天后，该学校再次购买格言贴和拖布两种物品（两种物品都有），共花费105元，则有几种不同的购买方案？请将方案列举出来． 30．某乡镇助农服务站计划将当地种植的草莓和蔬菜打包运往市区商超，现准备调配两种型号的冷链配送车．已知用2辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载一次可运货10箱；用1辆小型冷链车和2辆中型冷链车满载一次可运货11箱． (1)1辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载时分别可运货多少箱？ (2)服务站打包好后共有35箱农产品，需要一次性运往市区，计划租用小型冷链车辆，中型冷链车辆（，均为正整数），每辆车都载满货物； ①请你帮该服务站列出所有符合条件的租车方案； ②若小型冷链车每辆每次的运输成本为85元，中型冷链车每辆每次的运输成本为110元，请写出最省钱的方案，并算出最少运输成本是多少元？ (3)在（2）的基础上，农户又临时增加箱农产品（为正整数），服务站发现：如果把其中1辆小型冷链车换成一辆中型冷链车，恰好能一次性运完（每辆车均满载），直接写出农户又临时增加多少箱农产品． 题型7 行程问题 31．爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 32．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 33．骑自行车出行，已经成为了人们健康环保的出行方式，根据市场需求，某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划每天生产安装10辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂抽调名熟练工，招聘名新工人，既能使得工人们刚好能完成每日的安装任务，又能保证新工人和熟练工在工作上有照应，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为；如安装在后轮，安全行驶路程为，更换轮胎时，如果只更换前轮，骑行的舒适性会降低，如果同时更换前后轮胎，则维护成本会提高．为了解决这个问题，一般会有定期更换自行车前后轮胎的建议． ①设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮每行驶的磨损量为___________，后轮每行驶的磨损量为___________； ②如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮，那么应在自行车行驶里程达到多少公里时交换前、后轮，能使自行车的两前、后轮同时报废？并求出前、后轮报废时自行车的行驶里程． 34．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 35．2024年10月，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲举行，我校为了着眼于培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在峰会结束后举行了前往北斗峰会场馆的研学活动，峰会场馆门票价格如下表： 购票人数/人 1600以上 每人门票价/元 58 50 48 学校计划七年级分成两批1-16班，17-32班去游览该场馆，其中1-16班的人数少于800人，如果第一批只单独购买本批次学生门票，则需支付46284元：如果两个批次32个班联合起来作为一个团体购票，则只需花费77088元， (1)两个批次各去了多少人？ (2)研学活动的下午前往了悠移劳动教育实践基地，为了培养学习团队合作和了解中国传统文化，举行了划龙舟的活动．在过程之中龙舟划到尽头就调转船头（调头时间忽略不计），返回起点码头，我们把龙舟看做一个点整个过程总共划行了，龙舟在其间航行，顺水航行用了，逆水航行用了，求龙舟在静水中的速度和水流速度分别是多少？（此问需利用方程解答） 题型8 工程问题 36．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 37．为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 38．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 39．某快递公司使用机器人进行包裹分拣，具体分拣情况如下表所示： 甲机器人工作时间（） 乙机器人工作时间（） 分拣包裹总数（件） 信息一 2 4 1600 信息二 3 2 1400 (1)试问甲乙两台机器人每小时各拣多少件包裹？ (2)现有包裹2500件，若安排甲、乙两台机器人工作，且甲的工作时间比乙多k小时（k为正整数），两台机器人的工作时间均为整数小时，问是否存在这样的k？若存在，求出所有可能的k的值及各自的工作时间；若不存在，请说明理由． 40．【问题情景】内乡县作为“中国核桃之乡”，依托得天独厚的自然条件，核桃种植规模已达10.8万亩，核桃产业成为带动乡村振兴、促进农户增收的核心支柱产业．某农产品深加工企业一次性收购了23吨优质内乡核桃，经市场调研测算，若直接销售，每吨可获利500元；若经过粗加工（提取核桃油、制作核桃干果），每吨可获利2500元；若经过精加工（开发核桃酥、核桃蛋白粉等高端产品），每吨可获利4000元．该企业现有加工能力有限，每天只能开展一种加工模式：单日可粗加工4吨，或单日可精加工1.5吨，且同一天无法同时开展两种加工．为保障产业效益，企业需在7天内完成全部23吨核桃的加工或销售，为此制定了三种运营方案：①全部进行粗加工并包装；②尽可能多地精加工，剩余部分直接销售；③部分核桃精加工，其余粗加工，且恰好7天完成全部加工任务． 【解决问题】请根据以上信息，解答下列问题： (1)若选择方案①，求该企业最终可获得的总利润； (2)请通过计算分析，为该企业选择最优方案，即哪种方案能实现利润最大化，并说明具体理由． 题型9 数字问题 41．【阅读资料】对任意的正奇数，都有两个连续的正整数和（），使得．由规律可得如下数表： ，，间的关系 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 … … … … 【特殊值验证】 (1)当时，请你求出和的值，并验证所得，，是否满足小温的猜想． 【一般化证明】 (2)小温对猜想的条件和结论分析如下，请你帮助小温完成证明过程． 已知：正奇数和两个连续的正整数和（）满足． 求证：． 证明：…… 42．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 43．传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 44．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 45．将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 题型10 年龄问题 46．小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 47．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 48．若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 49．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 50．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型11 分配问题 51．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 52．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 53．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 54．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图； 方案1：_______________ 方案2：__________________； (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ (3)该工厂购买块板材和套铁架（且），共花费1815元，其中板材价格33元/块，铁架价格17元/套．请你求出所有购买方案，并求出能做成椅子数量的最大值． 55．综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 题型12 销售问题 56．黎锦刺绣属于世界级与国家级双重非物质文化遗产．黎锦刺绣作为海南特色传统手工艺，闻名中外．在消博会举办之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的刺绣作品作为纪念品．已知购买1件A种刺绣作品与2件B种刺绣作品共需要700元，购买2件A种刺绣作品与3件B种刺绣作品共需要1200元． (1)求A、B两种刺绣作品的单价； (2)该国际旅游公司计划购买A种刺绣作品35件和B种刺绣作品50件，那么总费用是多少元？ 57．某体育用品专卖店准备购进甲、乙两种型号篮球．其中甲、乙两种型号篮球的进价和售价如下表．已知购进6个甲种型号篮球与5个乙种型号篮球共花费1000元． 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） (1)求的值； (2)店长购进甲、乙两种型号篮球共20个，销售完这20个篮球获得总利润500元，问该专卖店购进甲、乙两种型号篮球各多少个？（利润=售价-进价） 58．请你根据下列材料，完成有关任务． 背景 “守护学生身心健康，筑牢民族未来根基”．为了办好校园餐，丰富食堂菜品，注重膳食营养搭配，学校食堂计划采购A，B两种新鲜食材． 素材一 商家：若购买1袋A种食材和3袋B种食材共需170元；若购买3袋A种食材和1袋B种食材共需190元．并且整袋售卖，不拆分． 素材二 食堂：下周星期一准备采购这两种食材共800元，两种都要采购． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种食材每袋的单价分别是多少元？（用方程解决问题） (2)任务二：请你用所学的数学知识，帮食堂师傅设计出采购方案． 59．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购买方案? 素材1 为落实劳动教育与美育融合育人的要求，玉溪市红塔区某非遗文创工作室依托本地文化资源，推出了一系列兼具实用性与文化内涵的文创商品，让学生在感受本土非遗之美的同时，体会工匠劳动的价值．该工作室有两种核心非遗文创商品：青花书签（融合玉溪青花瓷烧制技艺，学生可参与简易彩绘劳动体验）和瓦猫冰箱贴（源自瓦窑社区瓦猫非遗，承载传统美学与民俗文化）． 素材2 若小明在该工作室购买了4套青花书签和5个瓦猫冰箱贴，共花费114元；若小红购买了3套青花书签和2个瓦猫冰箱贴，共花费68元． 素材3 临近期中考试，某中学的数学王老师，计划用部分资金在该工作室购买上述两种文创商品作为奖品，奖励表现优秀的学生，既肯定学生的综合表现，也进一步传播本土非遗文化． 问题解决： (1)任务1：该工作室1套青花书签和1个瓦猫冰箱贴的售价分别是多少元？ (2)任务2：若王老师购买了青花书签和瓦猫冰箱贴，两种商品都必须购买，用于期中考试优秀的学生，且总花费恰好为180元，请设计出可行的购买方案． 60．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 新郑大枣以其皮薄、肉厚、核小、味甜备受人们青睐，是河南省新郑的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某商店销售，两种红枣，种红枣为鲜枣，标价元/千克，种红枣为枣干，标价元/千克 素材一 小陈在这家商店按标价购买了，两种红枣共千克，合计付款元 素材二 小陈计划再到这家商店购买，两种红枣，且种红枣比种红枣多买千克，小陈到这家商店后，发现，两种红枣正在进行优惠活动：种红枣打八折；一次购买种红枣不超过千克不优惠，超过千克后，超过的部分打七折 任务： (1)在素材一中，这两种红枣小陈各购买了多少千克? (2)在素材二中，若小陈买两种红枣合计付款元，问购买种红枣多少千克? 题型13 和差倍分问题 61．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 62．箱子里装有若干个红球和白球，小明、小丽分别按固定方式不放回取球：小明每次取4个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩6个红球；小丽每次取6个红球、3个白球，连续取若干次后，箱子里仅剩9个白球． (1)设小明取了x次，则原有红球个数为 ，白球个数为 ．（请用含x 的代数式表示）； (2)求小明和小丽各取了多少次？ (3)求箱子里红球、白球各自的数量． 63．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 64．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 65．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （效率对比） 配送时间计算模型： 传统骑手：受红绿灯和拥堵影响，平均时速为，且取货加送货上楼固定消耗10分钟． 无人机：沿直线飞行，无拥堵，平均时速为，起飞与降落（含装卸）固定消耗5分钟 （注：配送总时长＝行驶时长＋固定消耗时长） 素材2 （运营成本） 某咖啡店的配送账单： 上周六，该市一家网红咖啡店共发出了50单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费6元，无人机每单运费10元，该店当天的总运费支出为380元． 素材3 （运力升级） 新机型采购计划： 为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队． 旋翼型：单价0.4万元，最大载重15千克； 旋翼型：单价0.6万元，最大载重25千克． 公司计划正好投入5万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：现有一份紧急文件需要从地送往地，两地直线距离为12公里．若仅考虑配送时长，使用“无人机”比使用“传统骑手”能节省________分钟．（假设骑手行驶路程等于直线距离） (2)任务2：根据素材2，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“无人机”配送了多少单？ (3)任务3：根据素材3的预算限制，请你帮助公司设计采购方案： ①共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； ②在上述方案中，哪一种方案能使这批新购入无人机的载重最大？最大载重是多少？ 题型14 几何问题 66．学生的椅子设计如图1，主要由椅背、椅座及铁架组成，如图2所示是椅背与椅座的尺寸示意图．因学校需要，某工厂配合制作该款椅子．椅子的铁架直接购买，现只需在市场上购进某型号板材加工制作该款学生椅的椅背与椅座，再与铁架进行组装． (1)如图3，已知该工厂购进一批板材长为，宽为（裁切时不计损耗），请你在不造成板材浪费的情况下（板材全部利用），设计出两种裁剪方案，并画出裁剪方案的设计示意图． 方案1：裁剪________块椅座，________块椅背； 方案2：裁剪________块椅座，________块椅背． (2)若该工厂用这两种方案裁剪板材140块，刚好配套做成若干个椅子，没有任何材料剩余，请问该怎么分配板材？ 67．用如图所示的甲、乙、丙三块木板做一个长、宽、高分别为厘米，厘米和厘米的长方体木箱，其中甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙块木板刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板刚好能做一个箱盖和剩下的一个短侧面（厚度忽略不计，）． (1)若甲块木板的面积比丙块木板的面积大平方厘米，乙块木板面积为平方厘米，求木箱的体积； (2)如果购买一块长为厘米，宽为厘米的长方形木板做这个木箱，木板的利用率为，试求的值． 68．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 69．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 70． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 题型15 图表信息问题 71．项目式学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为传承中华传统文化，激发学生的爱国情怀，某中学计划在四月六号组织本校优秀学生代表前往猎民村扫墓． 数据收集： ①计划参加活动的优秀学生代表及教师共600人 ②某租车公司有，两种型号的客车可供选择，型客车每辆有25个座位，型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用型客车数量/辆 租用型客车数量/辆 租车总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决： (1)根据该公司租车记录单上的信息，租用一辆型或型客车的租金分别是多少元？ (2)学校本次研学准备租用该租车公司，两种型号的客车若干辆，若每辆客车恰好都坐满且两种型号的客车都要租，请你求出所有满足条件的租车方案． (3)在（2）的条件下，请你说明应选择哪种方案，才能使租车费用最少？ 72．阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 73．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 74．为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 75． 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 题型16 古代问题 76．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 77．列方程解应用题：《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？题目大意是几个人合伙买东西，若每人出钱；则会多出3钱；若每人出钱，则还少钱．求合伙人数，物品的价格分别是多少？ 78．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    79．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 80．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $