第18章 矩形、菱形与正方形过关训练 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形、菱形与正方形的性质及判定，通过生活应用（千斤顶）、文化传承（李善兰证勾股定理）情境与分层问题设计，适配初中数学第18章单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/48分|特殊四边形性质（如菱形对角线）、关系转化（四边形关系图）|结合生活情境与文化素材，考查数学眼光观察现实世界| |填空题|4题|正方形判定（添加条件）、菱形对角线计算|开放探究与性质应用，培养空间观念| |解答题|6题|矩形判定、动态问题（动点）、分层探究（三问）|综合证明与创新应用，体现推理能力与模型意识|

第18章矩形、菱形与正方形过关训练 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（每小题4分，共48分) 1.如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形ABCD(如 图2)，当千斤顶工作时，横杆BD与地面平行.若∠ADC=60°，则CD与地面的夹角为( ) D 手柄 图1 图2 A.15° B.30° C.60° D.120° 2.下列说法错误的是( A.平行四边形的对角相等 B.正方形的对称轴有四条 C.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 D.菱形的对角线相等且互相平分 3.如图，在菱形ABCD中，ACBD交于点O,AB=5,BD=8,AE⊥BC于点B,则OE的长为 10 A. B. C.3 D.3 4.在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应 添加的条件填写错误的是( 矩形 ① ③ 平行四边形 正方形 ② 菱形 4 A.①处应添加对角相等 B.②处应添加对角线互相垂直 C.③处应添加有一组邻边相等 D.④处应添加有一个角是直角 5.如图，口ABCD由五个部分组成：两个面积都是m的等腰直角三角形，两个面积都是n的直角三角形， 一个面积为9的正方形，则四边形ABCD的面积一定可以表示为( ) 9 m A.3m+4n B.4n+g C.4m D.4n 6.我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股 定理.如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作S,S2,正方形ABCD的面积记作S,则S,S, 与5的关系是( ) A.S+S2<S3 B.S+S2=S3 c.S1+S2>S, D.2S1+S2=S 7.如图，矩形ABCD的面积为48，对角线AC的长为10，P是AD边上不与端点重合的动点，过点P分 别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,则PE+PF的值为( ) D E 24 A.5 B.5 C.5 D.12 8.如图，菱形ABCD对角线交于点O,E为AD中点，连接OE,若OE=2,则菱形ABCD的周长为 A.2 B.4 C.16 D.32 9.生活中处处有数学的影子珍珍观察如图1所示的鱼：并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形 ABCD中，EFGH,MNIH,根据图中数据可得∠BFE的度数为( ) D 130 M 155°> F 图1 图2 A.45° B.35° C.30° D.25 1O.如图，延长矩形ABCD的边DC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠DBC=a,则∠E的度数是 ) A.45- B.30°+ 2 c.号 D.a-45 11.如图，在正方形ABCD内侧作等边△APB,连接CP,AC.则∠ACP的度数为( ) A.75° B.60° C.30° D.15° 12.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P为AB边上一动点（不与点A,B重合）， PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6,则EF的最小值为( ) D B A.3 B.2 e号 月 二、填空题 13.如图，口ABCD的对角线交于点O,若AC=BD,请你添加一个条件，使口ABCD是正方形 D 0 14.如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=60°，那么对角线BD的长为 B 15.如图，在RIABC中，∠C=90°.D在AB上，DE⊥AC于E,DF⊥BC于R.已知AE=1,BF=2 则四边形CFDE的面积为 16.己知：在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E、G分别在边BC、CD上，EG⊥AE.将△EGC沿 直线EG翻折得△EGF,连接AF.当△AEF为等腰三角形时，线段BE的长为 D G B 三、解答题 17.如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线BE和∠BCD的平分线CE交于点E,以BE,CE为邻边作 BECF.求证：四边形BECF是矩形. 18.如图，在口ABCD中，O是CD的中点.分别延长AO,BC交于点E,连接AC,DE. D B C E (1)求证：四边形ACED是平行四边形： (2)若BE=8，,∠BAE=90°，求四边形ACED的周长. 19.如图，己知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，对角线AC和BD相交于点O,点E、 F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，且AE=BF=CG=DH.证明：四边形EFGH是一个矩形. D E H F G 20.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，过点A作直线AE交 DO并延长到点B,使∠EAB=∠C,连接BE, (1)求证：BCI AE (2)求证：四边形AEBD是矩形： (3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形，并说明理由. 21.如图1，在矩形ABCD中，AB=12,AD=17,点E在边BC上，且BE=5,动点P从点E出发，沿折 线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动.作∠PEQ=90°，EO交边AD或边DC于点O,连接PO 当点Q与点C重合时，点P停止运动，设点P的运动时间为t秒. A B P E 图1 图2 (1)当点P和点B重合时，线段PO的长为 一一； (2)如图2，当点P在边AD上时，猜想△PQE的形状，并说明理由； (3)作点E关于直线PQ的对称点F,当点P运动到AB上，且点F恰好也落在边AB上时，直接写出此时t的 值. 22.在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解 答 B ○ B B 图1 图2 图3 【初步尝试】 (1)如图1，在△ABC中，AB=AC,过点B作BOI‖AC,B0=2,连接Ag.点P在线段AB上，满足 ∠BPC=∠CAQ,求AP的长. 【类比探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC上，P,O分别是线段 AB,BE上的动点（不含端点），AP=BO.当LBPC=∠BCD时，用等式表示出CD和QE的数量关系， 并说明理由， 【拓展迁移】 (3)如图3，在矩形AEBD中，P,Q分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BO.当 ∠BAQ-)∠DAP时，用等式表示出BP和QE的数量关系，并浇明理由. 2 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B D C A B A D A 题号 11 12 答案 C 7 4 13.AB=BC(答案不唯一) 14.45 15.2 16.8或3 17.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ABI DC .∠ABC+∠DCB=180°， :BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， :∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD, ZBEC=180-(B8c+∠EB0)=180-24Bc+∠DC)=90, :四边形BECF是平行四边形， ∴四边形BECF是矩形. 18.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADIIBC,即ADIICE .LDAO=∠CEO,∠ADO=∠ECO」 ,O是CD的中点， .D0=C0 在△AOD与△EOC中， ∠DAO=∠CEO ∠ADO=∠ECO DO=CO .△AOD≌aEOC(AAS), AD=CE, 又：ADIICE, 四边形ACED是平行四边形 (2)解：，四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD 由(1)得AD=CE, .BC=CE,即C为BE的中点， ,BE=8,∠BAE=90° CE=8E=4,4C=E=4, ,四边形ACED是平行四边形， .四边形ACED的周长=2(AD+AC)=2×(4+4)=16 19.证明：，四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， ∴.四边形ABCD是矩形， AAC=BD,40=C0-4C,B0=D0-8D, 1 2 ..AO=BO=DO=CO AE=BF=CG=DH ..OE=OF=OG=OH,EG=FH .四边形EFGH是平行四边形， EG=FH .四边形EFGH是矩形. 20.(1)证明：AB=AC, .∠CBA=∠C, ∠EAB=∠C, .∠EAB=∠CBA, .BC∥AE. (2)证明：，点O为AB的中点 BO=A0. 在△BOD和△AOE中， [∠DBO=∠EAO BO=AO ∠BOD=∠AOE ·△BOD≌△AOE(ASA), ∴.BD=EA, :BC∥AE,即BD‖AE. ∴.四边形AEBD是平行四边形： ,AB=AC,AD是△ABC的角平分线， AD⊥BC, .∠DBA=90°， .AEBD是矩形. (3)当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEBD是正方形. 理由如下： AB=AC,∠BAC=90°， ÷∠ABc=∠4CB-0s0-∠B4C)-×0s0-90）-45 ,AD是△ABC的角平分线， ∠BMD=2∠B1C=45。 ∴.∠ABC=∠BAD. :BD=DA, :四边形AEBD是矩形， ∴.四边形AEBD是正方形. 21.(1)13 (②)解：△PE是等腰直角三角形，理由如下： 如图2，过点P作PH⊥BC于点H, .∠PHE=∠ECQ=90° BH龙 图2 ∴.∠HPE+∠HEP=90°. .∠PEQ=90° .∠QEC+∠HEP=90° .∠HPE=∠QEC, ,四边形ABCD是矩形， .∠A=∠B=90°， .∠A=∠B=∠BHP=90°， ∴.四边形ABHP是矩形， .'PH=AB=12,AP=BH 又，EC=BC-BE=17-5=12, .PH=EC, .△PHE≌aECQ(ASA), .PE=OE, .△PQE是等腰直角三角形： (3)解：当P点在AB上时， O D ,点E关于直线PQ的对称点F, .PE=PF,OE=OF. ..PO=PO .△PFO≌aPEQ(SSS)」 .∠PFQ=∠PEQ=90°， .当F,A重合时，当点F恰好落在边AB上，如图4， A(F 图4 PB=t-BE=t-5,PE=AP=AB-PB=12-(L-5)=17-1, 在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2, .(17-t)}=(t-5)}2+52, 239 解得1=24 22.(1)解：.BQ‖AC, .∠PAC=∠QBA ∠BPC=∠CAQ ∴.∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠QAB .∠PCA=∠QAB :∠PAC=∠QBA,AC=BA,∠PCA=∠OAB, ∴.△PAC≌△QBA(ASA) ∴.AP=BQ=2 AP=2 (②)解：CD=E,理由如下： 如图1，连接AQ B D 图1 ,四边形AEBD为矩形， .BEIl AD .∠PAC=∠QBA AC=BA,∠PAC=∠QBA,AP=BQ .△PAC≌△QBA(SAS). ∴.∠CPA=∠AQB .180°-∠CPA=180°-∠AQB, 即∠BPC=∠AQE ∠BPC=∠BCD, .∠BCD=∠AQE, ,四边形AEBD为矩形， .BD=AE,∠BDC=∠BDA=∠AEQ=90° .△BDC≌△AEQ(AAS). ..CD=OE (3)解：BP=2QE,理由如下： 如图2，延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF, B OE 图2 .AF AB, ∠DFB=∠ABr-5080-∠DMP)=90-号D4P. ∠EA0=∠DAP, ∴.∠DFB=90°-∠EAQ=∠EQA 由(2)同理可得，△DFB≌aEQA(AAS), ..FD=OE .AB=AF, :AP+BP=AD+FD, .AP+BP=AD+OE 四边形AEBD为矩形， .AD=BE, .AP+BP=BE+OE, ∴.AP+BP=BQ+2QE AP=BO, .BP=20E