第4讲 位似（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第04讲 位似 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 位似图形的识别 题型2 确定位似中心 题型3 求相似比、周长比、 面积比 题型4 求位似图形的对应坐标 题型5 画位似图形 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 位似图形、位似中心、位似比（相似比）、周长比 = 位似比，面积比 =位似比的平方 1. 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确判断两个图形是否为位似图形。 2. 掌握位似图形的性质，会利用位似比计算线段长度、周长与面积。 3. 学会按要求画位似图形，能对图形进行放大、缩小变换。 4. 掌握平面直角坐标系中，以原点为位似中心的坐标变化规律，并完成相关计算与作图。 5. 区分相似与位似的联系和区别，能解决位似相关基础题型与简单综合题。 学习重点：位似图形、位似中心、位似比的概念与核心性质。平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律。利用位似对图形进行放大、缩小作图。 学习难点：准确辨别位似图形，区分相似与位似的关系。结合位似比求解图形周长、面积问题。 非原点作为位似中心时的坐标变换与作图。位似知识与几何图形结合的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 位似图形的概念 1.概念：如果两个图形不仅，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做，这个交点叫做位似，这时的相似比又叫做位似。 2.关键要点：位似图形必须同时满足三个条件：两个图形是相似图形；对应顶点的连线相交于同一个点；对应边互相平行（或共线）。三个条件缺一不可，相似是位似的前提，对应顶点共点、对应边平行是位似区别于普通相似的核心特征。 3.位似中心的位置：位似中心可以在两个图形的内部、外部，也可以在两个图形的公共顶点上，还可以在其中一个图形的边上，位置不影响位似关系的判定。 即时即练 下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 位似图形是相似且对应顶点连线交于一点、对应边平行的图形，交点为位似中心，相似比又称位似比。 位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比，相似图形不一定位似。 坐标系中以原点为位似中心，坐标按k或-k缩放得到对应点。 作图只需连接中心与顶点，按位似比截取点后顺次相连即可。 知识点02 位似图形的性质 1.位似图形一定是图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例。 2位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于，这个性质是位似作图、位似变换计算的核心依据。 3.位似图形的对应边互相（或在同一条直线上），对应边平行是位似的基本性质，反过来，若两个相似图形对应边都，且对应顶点连线交于一点，就可判定为位似图形。 5.位似图形的周长比等于，面积比等于位似比的平方，和相似图形的周长、面积性质一致。 即时即练 1．如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比为，的周长为6，则的周长等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 2．如图，若与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则，两点之间的距离为（     ） A．2 B． C．5 D． 3．如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 4．如图，与位似，点是它们的位似中心．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 利用对应点到位似中心的距离比等于位似比，可以快速计算位似图形的边长、周长、面积，也可以确定位似中心的位置。当两个位似图形的位似中心在公共顶点时，对应边共线，距离比直接等于对应边的长度比，计算最为简便。 知识点03 位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即若原图形上点的坐标为 (x,y)，则位似变换后对应点的坐标为( kx,ky)或( )。 1.符号代表位似图形和原图形的位置关系：当 k 为正数，坐标为( kx,ky)时，位似图形和原图形在位似中心的侧；坐标为( )时，位似图形和原图形在位似中心的侧。 2.若位似中心不是原点：坐标变换需要结合位似的性质，通过对应点连线共点、距离比等于位似比来计算，不能直接套用原点位似的坐标公式。 3.同一个位似中心下：以原点为例，同一个原图形和同一个位似比，会得到两个不同的位似图形，分别在原点两侧，作图时需要注意两种情况，不要漏解。 即时即练 1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点在第一象限的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.确定位似中心、位似比和原图形各顶点坐标； 2.若位似中心是原点，直接利用坐标变换公式计算对应点坐标；若位似中心不是原点，设对应点坐标，根据对应点连线过位似中心、对应点到位似中心距离比等于位似比列方程求解； 3.依次连接各对应点，得到位似图形。 知识点04 位似图形的作图步骤 1.确定位似中心：位似中心可以根据题目要求选择，题目没有指定位置时可以自行选择； 2.确定原图形的关键点：一般多边形选择顶点作为关键点； 3.确定位似比：根据位似比确定关键点对应点的位置，分位似和位似两种情况； 4.连接对应点：按照原图形的顺序依次连接各对应点，得到新的位似图形。 即时即练 詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； (2)画出关于轴对称的． 【方法总结】 1.当要求作一个图形与已知图形位似且位似比为( k )时，若( k>1 )，说明新图形比原图形放大；若( 0<k<1 )，说明新图形比原图形缩小，作图时要根据位似比调整尺寸。 2.题目没有说明位似位置时，要考虑两种情况：位似图形在原图形的一侧，或者位似图形在原图形的另一侧，不要漏画一种情况。 3.可以利用刻度尺和量角器完成作图，也可以利用平面直角坐标系结合坐标法完成作图，两种方法本质都是利用位似的性质，保证对应点共点、距离比等于位似比。 题型1位似图形的识别 【例1】下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.判断依据：位似图形需要同时满足两个条件：一是两个图形是相似图形，二是对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上）。两个条件缺一不可。 2.常见误区：相似图形不一定是位似图形，但位似图形一定是相似图形，判断时不能只看形状是否相同，必须验证对应顶点连线是否共点、对应边是否平行。 3.解题步骤：第一步先判断两个图形是否相似，排除形状不同的选项；第二步观察对应顶点的连线是否能交于同一点，同时对应边是否平行，满足两个条件即为位似图形。 【变式1-1】观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 题型2确定位似中心 【例1】在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【技巧归纳】 1.找位似中心方法：位似中心是对应顶点连线的交点，因此只需将两组对应顶点分别连接起来，两条连线的交点就是位似中心；如果有多组对应顶点，连线会交于同一点，可用于验证结果。 2.分类讨论：位似中心可能在两个图形的同侧（两个图形都在位似中心的同一侧）、两个图形之间（位似中心在两个图形中间），也可能在图形的内部、边上或顶点上，题目未给出位置时需要全面考虑。 【变式1-1】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【变式1-2】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 题型3 求相似比、周长比、 面积比 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 【例2】如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 位似图形一定相似，位似比就是相似比，等于对应线段、对应点到位似中心距离的比值。 2. 图形周长比等于位似比，直接用位似比代入计算即可。 3. 面积比是位似比的平方，计算时记得将位似比平方。 4. 已知周长或面积，可反向开方、约分求出位似比。 【变式1-1】如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【变式1-3】如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________． 【变式1-4】如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则_____． 题型4 求位似图形的对应坐标 【例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，已知点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 原点为位似中心时，位似比k，同向坐标乘k，反向坐标乘-k。 非原点位似中心，先算顶点与中心横纵坐标差值，再乘位似比平移还原。 看清放大缩小与同侧异侧，正负符号决定图形所处方位。 算出坐标后代入验证，保证对应点连线过位似中心。 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 【变式1-2】如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 题型5 画位似图形 【例1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【例2】如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知，，． (1)以原点为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为； (2)利用格点，在线段上找一点，使得． 【技巧归纳】 先找准位似中心，连接中心与原图所有顶点并延长射线。 按给定位似比在射线上截取对应顶点，分清同侧或异侧。 依次连接截取的各点，得到所求放大或缩小的位似图形。 作图后检查对应边是否平行、连线是否共过位似中心。 【变式1-1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点（顶点为网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，给出了格点(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (3)与的相似比是 ． 1．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 2．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 3．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则为（    ） A． B． C． D． 7．如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 8．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    10．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为12．则的周长为_________． 11．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 12．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点的坐标为__________． 14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 15．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 16．在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)以点为位似中心，在方格纸中画出，使它与的位似比为； (3)在的内部取一点，则点在中的对应点的坐标为___________． 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点． (1)以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2； (2)无刻度直尺作图，在线段上找一点，使得． 18．如图，在每个小正方形边长均为的方格中，的顶点都在格点上． (1)将向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； (2)以点为位似中心，将线段缩小到原来的，在图中画出缩小后的线段； (3)图中能使的格点的个数是_____（不包括点）． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在轴上找一点，使得的长度最小； (2)以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似的，且使得它与的位似比为，并写出坐标． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 位似 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 位似图形的识别 题型2 确定位似中心 题型3 求相似比、周长比、 面积比 题型4 求位似图形的对应坐标 题型5 画位似图形 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 位似图形、位似中心、位似比（相似比）、周长比 = 位似比，面积比 =位似比的平方 1. 理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确判断两个图形是否为位似图形。 2. 掌握位似图形的性质，会利用位似比计算线段长度、周长与面积。 3. 学会按要求画位似图形，能对图形进行放大、缩小变换。 4. 掌握平面直角坐标系中，以原点为位似中心的坐标变化规律，并完成相关计算与作图。 5. 区分相似与位似的联系和区别，能解决位似相关基础题型与简单综合题。 学习重点：位似图形、位似中心、位似比的概念与核心性质。平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变化规律。利用位似对图形进行放大、缩小作图。 学习难点：准确辨别位似图形，区分相似与位似的关系。结合位似比求解图形周长、面积问题。 非原点作为位似中心时的坐标变换与作图。位似知识与几何图形结合的综合应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 位似图形的概念 1.概念：如果两个图形不仅，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做，这个交点叫做位似，这时的相似比又叫做位似。 2.关键要点：位似图形必须同时满足三个条件：两个图形是相似图形；对应顶点的连线相交于同一个点；对应边互相平行（或共线）。三个条件缺一不可，相似是位似的前提，对应顶点共点、对应边平行是位似区别于普通相似的核心特征。 3.位似中心的位置：位似中心可以在两个图形的内部、外部，也可以在两个图形的公共顶点上，还可以在其中一个图形的边上，位置不影响位似关系的判定。 即时即练 下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意． 故选：． 【方法总结】 位似图形是相似且对应顶点连线交于一点、对应边平行的图形，交点为位似中心，相似比又称位似比。 位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比，相似图形不一定位似。 坐标系中以原点为位似中心，坐标按k或-k缩放得到对应点。 作图只需连接中心与顶点，按位似比截取点后顺次相连即可。 知识点02 位似图形的性质 1.位似图形一定是图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质：对应角相等，对应边成比例。 2位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于，这个性质是位似作图、位似变换计算的核心依据。 3.位似图形的对应边互相（或在同一条直线上），对应边平行是位似的基本性质，反过来，若两个相似图形对应边都，且对应顶点连线交于一点，就可判定为位似图形。 5.位似图形的周长比等于，面积比等于位似比的平方，和相似图形的周长、面积性质一致。 即时即练 1．如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比为，的周长为6，则的周长等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，进而根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴． 2．如图，若与是以点为位似中心的位似图形，若的周长等于周长的，，则，两点之间的距离为（     ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质，周长比等于相似比，对应点到位似中心的距离之比等于相似比，求出的长，再利用线段的和差关系求解即可． 【详解】 解：与是以点为位似中心的位似图形 的周长等于周长的 与的相似比为 ． 3．如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于4， ∴的面积为 ． 4．如图，与位似，点是它们的位似中心．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与位似得出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（负值舍去）． 【方法总结】 利用对应点到位似中心的距离比等于位似比，可以快速计算位似图形的边长、周长、面积，也可以确定位似中心的位置。当两个位似图形的位似中心在公共顶点时，对应边共线，距离比直接等于对应边的长度比，计算最为简便。 知识点03 位似变换与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即若原图形上点的坐标为 (x,y)，则位似变换后对应点的坐标为( kx,ky)或( )。 1.符号代表位似图形和原图形的位置关系：当 k 为正数，坐标为( kx,ky)时，位似图形和原图形在位似中心的侧；坐标为( )时，位似图形和原图形在位似中心的侧。 2.若位似中心不是原点：坐标变换需要结合位似的性质，通过对应点连线共点、距离比等于位似比来计算，不能直接套用原点位似的坐标公式。 3.同一个位似中心下：以原点为例，同一个原图形和同一个位似比，会得到两个不同的位似图形，分别在原点两侧，作图时需要注意两种情况，不要漏解。 即时即练 1．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 2．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似，位似比为，已知点，则点在第一象限的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似比为，点在第一象限，得出对应点的横坐标、纵坐标都乘以，即可得出答案． 【详解】解：∵与关于原点位似，位似比为，点在第一象限， ∴点的横坐标、纵坐标都乘以， ∵， ∴点的坐标是． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵， ∴点的坐标为，即． 【方法总结】 1.确定位似中心、位似比和原图形各顶点坐标； 2.若位似中心是原点，直接利用坐标变换公式计算对应点坐标；若位似中心不是原点，设对应点坐标，根据对应点连线过位似中心、对应点到位似中心距离比等于位似比列方程求解； 3.依次连接各对应点，得到位似图形。 知识点04 位似图形的作图步骤 1.确定位似中心：位似中心可以根据题目要求选择，题目没有指定位置时可以自行选择； 2.确定原图形的关键点：一般多边形选择顶点作为关键点； 3.确定位似比：根据位似比确定关键点对应点的位置，分位似和位似两种情况； 4.连接对应点：按照原图形的顺序依次连接各对应点，得到新的位似图形。 即时即练 詹记桃酥是合肥知名传统糕点，其历史可追溯至1896年清代光绪年间徽州府婺源县詹氏家族开设的手作传统糕点店，享有“宫廷桃酥”之美誉，品尝过詹记桃酥的游客纷纷赞道：“每一片桃酥都藏有惊喜，每一处詹记桃酥店都蕴含着‘皖’式魅力”．据报道，近期某詹记桃酥店推出了圆形和三角形两款桃酥，如图，将一块三角形桃酥放在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为，，． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请画出； (2)画出关于轴对称的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）根据位似图形的作图方法作图即可． （2）根据轴对称的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 【方法总结】 1.当要求作一个图形与已知图形位似且位似比为( k )时，若( k>1 )，说明新图形比原图形放大；若( 0<k<1 )，说明新图形比原图形缩小，作图时要根据位似比调整尺寸。 2.题目没有说明位似位置时，要考虑两种情况：位似图形在原图形的一侧，或者位似图形在原图形的另一侧，不要漏画一种情况。 3.可以利用刻度尺和量角器完成作图，也可以利用平面直角坐标系结合坐标法完成作图，两种方法本质都是利用位似的性质，保证对应点共点、距离比等于位似比。 题型1位似图形的识别 【例1】下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【例2】下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【技巧归纳】 1.判断依据：位似图形需要同时满足两个条件：一是两个图形是相似图形，二是对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上）。两个条件缺一不可。 2.常见误区：相似图形不一定是位似图形，但位似图形一定是相似图形，判断时不能只看形状是否相同，必须验证对应顶点连线是否共点、对应边是否平行。 3.解题步骤：第一步先判断两个图形是否相似，排除形状不同的选项；第二步观察对应顶点的连线是否能交于同一点，同时对应边是否平行，满足两个条件即为位似图形。 【变式1-1】观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、两个图形不相似，故不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个图形是相似图形，故是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，故不是位似图形，不符合题意； D、两个图形不是相似图形，故不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：∵由网格知，， ∴与是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， ∴与是位似图形， 故选：C． 题型2确定位似中心 【例1】在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． 【例2】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【技巧归纳】 1.找位似中心方法：位似中心是对应顶点连线的交点，因此只需将两组对应顶点分别连接起来，两条连线的交点就是位似中心；如果有多组对应顶点，连线会交于同一点，可用于验证结果。 2.分类讨论：位似中心可能在两个图形的同侧（两个图形都在位似中心的同一侧）、两个图形之间（位似中心在两个图形中间），也可能在图形的内部、边上或顶点上，题目未给出位置时需要全面考虑。 【变式1-1】如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 【变式1-2】如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 题型3 求相似比、周长比、 面积比 【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 【答案】C 【分析】由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴与相似，相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为． 【例2】如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形， 若， 四边形和的相似比为， 相似多边形的周长之比等于相似比， 四边形和的周长比为． 【技巧归纳】 1. 位似图形一定相似，位似比就是相似比，等于对应线段、对应点到位似中心距离的比值。 2. 图形周长比等于位似比，直接用位似比代入计算即可。 3. 面积比是位似比的平方，计算时记得将位似比平方。 4. 已知周长或面积，可反向开方、约分求出位似比。 【变式1-1】如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为点O，， ∴，且相似比为， ∴； 【变式1-2】如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 【变式1-3】如图，四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则四边形和四边形的周长之比为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似多边形的周长比等于相似比，据此求解即可． 【详解】解：，且点在线段上， ， 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形与四边形的相似比为， 相似多边形的周长比等于相似比， 四边形和四边形的周长之比为． 【变式1-4】如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则_____． 【答案】8 【分析】先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ， ， ． 题型4 求位似图形的对应坐标 【例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，已知点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出位似比，进而可知点的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形， ∴位似比为， ∵， ∴． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，是的位似图形，位似中心为点，位似比为，若点的对应点为，则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵是的位似图形，位似中心为点，位似比为， ∵如图，点的对应点为在第四象限， ∴的坐标为，即． 【技巧归纳】 原点为位似中心时，位似比k，同向坐标乘k，反向坐标乘-k。 非原点位似中心，先算顶点与中心横纵坐标差值，再乘位似比平移还原。 看清放大缩小与同侧异侧，正负符号决定图形所处方位。 算出坐标后代入验证，保证对应点连线过位似中心。 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出坐标即可． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，且， ∴与的位似比是， 点坐标为，点B在第四象限， 点B的坐标是． 【变式1-2】如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 题型5 画位似图形 【例1】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 可得． 【例2】如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知，，． (1)以原点为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为； (2)利用格点，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【技巧归纳】 先找准位似中心，连接中心与原图所有顶点并延长射线。 按给定位似比在射线上截取对应顶点，分清同侧或异侧。 依次连接截取的各点，得到所求放大或缩小的位似图形。 作图后检查对应边是否平行、连线是否共过位似中心。 【变式1-1】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点（顶点为网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为位似中心，将作位似变换得到，使得，画出位似变换后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，给出了格点(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点的坐标为． (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在给定的网格中画，使与位似，且点的坐标为． (3)与的相似比是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据关于轴对称点的坐标特点，分别求出点，，的坐标，顺次连接即可； （2）根据关于原点位似的坐标特点，分别求出点，，的坐标，顺次连接即可； （3）根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，，，，则关于轴的对称点，，，顺次连接即是； （2）解：如图，即为所求； 根据题意，，，，顺次连接即是； （3）解：与位似，点，点， ，， ， 则与的相似比是． 1．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 2．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【答案】A 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 3．如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． 4．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 5．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念，得到四边形四边形，，，进一步得出，，进一步得，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，，， ，， ，． ， ， ． 6．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知两个三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比即可求解． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 7．如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可得，且相似比为，再由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心， ∴， 根据位似图形的性质，位似比（即相似比）等于对应顶点到位似中心的距离之比， ∵， ∴相似比为， ∴与的面积比是． 8．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的周长比为． 9．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 10．如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长为12．则的周长为_________． 【答案】6 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定相似，相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似， ∴与相似， ∵相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为12， ∴的周长为6； 故答案为：6． 11．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【答案】9 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 12．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到，点，都在格点上．若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似图形一定是相似图形，且对应边的比等于位似比，通过观察网格图确定与的长度求出位似比，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：由图可知，，， 以原点为位似中心，将放大后得到， ， ， ， ． 13．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】由位似图形性质得出点的横纵坐标分别为点横纵坐标的三倍即可解决 【详解】由与是以原点为位似中心的位似图形， 则， 得 ， 故点的横纵坐标分别为点横纵坐标的三倍，即 14．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点， ∴， ∵， ∴，即：. 15．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，得出与的相似比，即可得出面积比． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 16．在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)以点为位似中心，在方格纸中画出，使它与的位似比为； (3)在的内部取一点，则点在中的对应点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了位似三角形，画位似三角形，解题的关键是掌握位似三角形的定义和性质． （1）找出位似中心，然后得出坐标即可； （2）根据位似三角形的性质画出位似三角形即可； （3）根据位似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点为位似中心， ∴点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵与的位似比为， ∴点的坐标为． 故答案为：． 17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点． (1)以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2； (2)无刻度直尺作图，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点D即为所求． 【分析】（1）把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点连线即可； （2）以为边，在的上方构造正方形，再过点A连接对角线，交于点D，则． 【详解】（1）略 （2）略 18．如图，在每个小正方形边长均为的方格中，的顶点都在格点上． (1)将向左平移格，再向上平移格，在图中画出平移后的； (2)以点为位似中心，将线段缩小到原来的，在图中画出缩小后的线段； (3)图中能使的格点的个数是_____（不包括点）． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（）根据平移的性质画出图形即可； （）根据位似图形的性质画出图形即可； （）过点画出的平行线，找出格点个数即可求解； 本题考查了平移作图，位似图形作图，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，点均符合题意， ∴点的个数是， 故答案为：． 19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在轴上找一点，使得的长度最小； (2)以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 【分析】（1）利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点，连接对称点与C，与x轴交点即为所求P点． （2）位似变换中，位似中心为原点，相似比为2，则各顶点坐标乘以（第三象限为负）． 【详解】（1）解：作点A关于x轴的对称点A′(0,-3)，连接A′C，与x轴交于点P，则点P即为所求． （2）解：∵ 位似中心为原点O，相似比为2，且在第三象限， ，即， ，即， ，即， 在网格中描出三点，顺次连接即可得． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似的，且使得它与的位似比为，并写出坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，坐标为 【分析】（1）作出A、B、C关于轴对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）把A，B，C的坐标都乘以得到点，，，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴坐标为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $