第3讲 相似三角形的性质与应用（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第03讲 相似三角形的性质与应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似性质求线段长度 题型2 利用相似性质求周长或面积 题型3 利用相似性质求面积差/面积和 题型4 相似三角形性质与判定的综合证明 题型5 利用相似测高 题型6 题型7 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对应角相等、对应边成比例、相似比、对应高、对应中线、对应角平分线 熟记相似三角形核心性质，明确对应角、对应边、对应线段、周长、面积与相似比的数量关系。 区分相似比、周长比、面积比的换算规则，掌握相关计算方法。 能将实际问题转化为相似三角形模型，解决测量高度、距离、宽度等实际应用问题识别常见相似几何模型，能结合判定定理判定三角形相似。 学习重点：掌握相似三角形对应边、角、线段、周长的比例规律，以及面积比等于相似比的平方这一核心性质，并熟练用于计算。把实际测量问题转化为相似三角形模型，完成实际应用类题目。 学习难点：区分相似比、周长比、面积比，灵活进行三者之间的换算，避免平方关系误用。准确找准相似三角形的对应顶点、对应边、对应线段，尤其图形交错、多三角形叠加时。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 1.基本性质：相似三角形的对应角，对应边成，这个比例叫做。若两个相似三角形的相似比为k，则它们对应边的比值都等于k。 2.对应线段的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于。也就是说，凡是对应位置的线段，只要是从对应顶点引出的线段，比值都等于相似比。 拓展：相似三角形的周长比等于。 3.面积的性质：相似三角形的面积比等于相似比的。反过来，如果已知两个相似三角形的面积比，求相似比或周长比，则需要对面积比开平方，得到相似比后再计算对应比值。 即时即练 1．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的周长之比等于． 2．已知，且相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，相似比为，相似三角形面积比为相似比的平方， ∴与的面积比为． 3．如图，，，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 【方法总结】 1.利用对应角相等的性质，可在几何证明中快速转移角的等量关系，结合已知条件推导新结论；对应边成比例则是建立线段方程、求解未知线段长度的核心依据。 2.遇到涉及相似三角形对应高、中线、角平分线或周长的比值问题，可直接转化为相似比求解，不需要额外计算各线段长度，简化计算过程。 3.计算面积比时，一定不要忘记对相似比平方；已知面积比求相似比，不要漏掉开平方运算，同时要注意相似比具有顺序性，即△ABC∽△DEF的相似比k1，与△DEF∽△ABC的相似比k2满足k1·k2=1，二者互为倒数，计算时需要明确哪个三角形在前，避免顺序出错。 知识点02 相似三角形的常见基本模型 A型 X型（8字型） 子母型（射影型） 即时即练 1．如图，已知，．若的面积为4，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的面积为4， ∴． 2．如图所示，已知，且相似比为，则与的对应边上的高之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比，可直接利用该性质确定对应高的比． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与对应边上的高之比等于相似比，即为 ． 3．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：，错误； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 故选：． 4．如图，已知．若，则值为（   ） A．10 B．15 C．25 D．45 【答案】C 【分析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方． 【方法总结】 解决相似三角形的几何题，第一步就是识别图形属于哪个基本模型，对应模型直接套用结论，可以大大减少推导时间，避免对应关系出错。 知识点03 相似三角形的应用 1. 测量不可直接到达的物体长度/高度：利用相似三角形的对应边，通过测量可以直接测量的线段长度，计算出不可直接测量的物体高度或宽度，常见的测量方法有：利用阳光下的影子测量、利用镜面反射测量、利用标杆测量 2. 证明比例式或等积式：证明线段成比例或者线段乘积相等，是相似三角形最常见的应用。基本思路是：将待证的比例式中的四条线段分别看做两个三角形的对应边，通过证明两个三角形，得到对应边成比例；若待证的是等积式，先将等积式转化为比例式，再用相似三角形证明 3. 解决图形中的动点问题：动点问题中，常结合相似三角形的判定与性质，求解动点运动的时间或动点位置。这类问题通常需要分情况讨论，根据不同的对应角相等，得到不同的相似情况，分别列方程求解，再结合动点的取值范围判断解是否符合题意。 4.求图形的面积或面积比：利用相似三角形面积比等于相似比的，结合同高不同底的三角形面积比等于底的比，求解复杂图形中某一部分的面积，或者面积比值 即时即练 1．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 2．崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】延长、交于点，设，则，容易证明，则，求得，则，，由计算出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 3．如图，小聪从点沿直线走向路灯的正下方点处，他的影长随他与点之间的距离变化而变化．若小聪的身高为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目是点光源，将图像画出来，然后将各个线段的代数式表示出来，根据相似三角形列出相似比，将数值代入，解出答案． 【详解】解：如图所示，是小聪的身高，是小聪的影子长度， ， ∵，小聪与点之间的距离， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 化简，得． 4．杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 【方法总结】 1. 解决测量问题的核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，找出两组对应边，根据比例列出方程求解，注意单位统一。 2. 如果直接证明两个三角形相似有困难，可以采用中间比法，即找到一组中间比，分别证明待证的两个比例都等于这个中间比，从而得到结论；也可以通过等量代换，将相等线段替换后再证明相似。 3. 当图形中存在多个相似三角形时，从已知相似比（或边长比）出发，逐步推导各个三角形的面积关系，不要混淆相似比和面积比的关系，始终牢记面积比是相似比的平方。 题型1利用相似性质求线段长度 【例1】如图，已知，．若的长度为4，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．12 D．13.5 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解： 故选：B． 【例2】如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答． 【详解】解：，与的面积分别是和， 与的相似比为， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是， 故选：D． 【技巧归纳】 1.先根据相似三角形的判定，确定哪两个三角形相似，找到对应边的对应关系，确定相似比； 2.若所求线段是对应边，直接利用对应边成比例列方程求解；若所求线段是对应高、中线、角平分线，直接利用对应线段比等于相似比求解； 3.注意对应关系不能搞混，相似比的顺序要和三角形的顺序一致。 【变式1-1】如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的关键．根据为等边三角形，得出，设米，则米，根据，得出，求出，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴设米，则米， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， 故选：B． 【变式1-2】若，且，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，且，，， ，即， ， 故选：D． 【变式1-3】如图，已知，相似比为，当的长度为时，求的长度是___． 【答案】25 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据相似三角形对应边成比例，列出式子，即可求解． 【详解】 解：∵，相似比为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：25． 题型2利用相似性质求周长或面积 【例1】如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】证明，然后根据相似三角形周长的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的周长的周长． ∵的周长为6， ∴的周长为∶． 【例2】已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【答案】81 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】∵与的相似比为， ∴面积比为， ∵的面积为， ∴的面积为． 故答案为：81． 【技巧归纳】 1. 找准对应关系：先根据图形位置或标注确定对应顶点、对应边、对应角，避免对应关系找错导致计算错误； 2. 性质公式记准：周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反过来如果已知面积比求相似比，一定要给面积比开平方，不要直接把面积比当作相似比计算； 【变式1-1】已知，．若的周长为9，则的周长为（     ） A．27 B．18 C．36 D．9 【答案】B 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：，且， 的周长的周长， 的周长为， 的周长为． 【变式1-2】已知，，若的周长是，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比的性质直接计算，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴相似比为， ∴周长比为， ∵的周长是， ∴的周长是， 故选：． 【变式1-3】两个相似三角形的最长边分别是10和6，并且它们的面积之和为68，那么较大三角形的面积是___________． 【答案】50 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得面积比，较大三角形面积为，较小三角形面积为，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别是10和6， ∴相似比为， ∴面积比为， 可设较大三角形面积为，较小三角形面积为， 则， 解得， ∴较大三角形面积为． 故答案为50． 【变式1-4】如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 【答案】81 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键． 根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解． 【详解】解：如图所示，由题意可得，，，， ，，，， ， 的面积分别为， 对应边的比为， 又四边形与四边形为平行四边形， ， 设，则，， ， ， 由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出： ， ． 故答案为：81 ． 题型3利用相似性质求面积差/面积和 【例1】如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 【例2】若两个相似三角形的相似比为，面积差是，则它们的面积和为（ ） A．60 B．78 C．128 D．150 【答案】B 【分析】先根据相似三角形的性质求出其面积的比，再设较小的三角形的面积为4x，则较大的三角形的面积为9x，由它们面积的差是30即可求出x的值，进而得出问题答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴其面积的比等于4：9，设较小的三角形的面积为4x，则较大的三角形的面积为9x． ∵它们面积的差是30，∴9x﹣4x=30，解得：x=6，∴较大三角形的面积=9×6=54，较小的三角形面积=4×6=24，∴它们的面积和为78． 故选B． 【点睛】本题考查了对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 【技巧归纳】 1.先根据相似比求出两个三角形的面积比，设每份面积为x，用x表示两个三角形的面积； 2.根据面积差或面积和的条件列方程，求出x后再计算对应面积； 3.常见出题场景是三角形被平行于一边的直线截成小三角形和梯形，此时梯形面积=大三角形面积-小三角形面积，不要直接把梯形面积比当成相似比的平方。 【变式1-1】儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为，面积的差为．则这两个三角形地块的①周长比为；②面积比为；③面积之和为；④对应高的比为，其中结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可，相似三角形的周长比、对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵相似比为， ∴周长比为，面积比为，对应高的比为， 故①正确，②错误，④正确， 设两个三角形的面积分别，， ∵面积的差为． ∴， ∴， ∴， 即面积之和为； 故③正确； 正确的是①③④， 故选：B 【变式1-2】两个相似三角形的一对对应边长分别为和，它们的面积差为，则较大的三角形面积为________． 【答案】 【分析】由两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm和14cm，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得其面积比为：25：4，又由它们的面积差为，即可求得答案． 【详解】∵两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm和14cm， ∴其相似比为：5:2， ∴其面积比为：25:4， 设较大的三角形面积为25xcm2,较小的三角形面积为4xcm2. ∵它们的面积差为588cm2， ∴25x−4x=588， 解得：x=28， ∴较大的三角形面积为700cm2. 故答案为700cm2. 【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方. 题型4 相似三角形性质与判定的综合证明 【例1】如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【答案】B 【分析】根据题意证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ． 【例2】比例规，又称扇形圆规，由伽利略于1597年左右发明，是一种按比例放大或缩小线段、转绘与量测距离的简单工具．它由长度相等的两脚和交叉构成，交点处设有可滑动的指标旋钮，通过调节旋钮位置可改变两端脚针张距的比值．如图，当旋钮固定在刻度处（，）时，连接，．若的面积为，的面积为，则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 的面积为，的面积为， ∴． 【技巧归纳】 1.证明思路一般是：先证明两个三角形相似，再利用相似的性质推导角相等、线段成比例或者线段垂直等结论； 2.证明乘积式（如AB⋅CD=AC⋅BD）的时候，先改写成比例式ABAC=BDCD，再找到包含这四条线段的两个三角形，证明相似后利用对应边成比例得到结论； 3.遇到两次相似的情况，先通过第一次相似得到比例或角相等，再用这个结论证明第二次相似，最终推导出所求结论。 【变式1-1】如图，一张锐角纸片，点D，E分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意证明，再根据“沿将剪成面积相等的两部分”可得，进而即可求出的值，根据得出，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴的面积是原面积的一半， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 【变式1-2】如图，已知中，、分别是、的中点，若的面积为，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意得出是的中位线，进而可得，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：、分别是、的中点， ，， ，， ， 的面积为， ， ． 【变式1-3】如图，在四边形中，，，，分别延长，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，过作于点，则，通过勾股定理，直角三角形的性质可求出，，，再证明是等边三角形，则有，得，然后证明，所以，求得，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-4】如图，在中，，点D为中点，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，D为中点， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合题意，证明，利用公共角证明即可； （2）根据三角形相似，得，根据勾股定理，代入比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴． ∵D为中点，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 题型5 利用相似测高 【例1】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．13尺 【答案】C 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ， 可知， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 【例2】杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 【技巧归纳】 常见测高模型有两类，掌握模型特点直接套比例即可： 1.阳光下的影子：同一时刻，物体高度和影长成正比，原理是太阳光线平行，构造两个直角三角形相似； 2.平面镜反射/标杆测量：根据反射角等于入射角得到角相等，构造相似三角形，或者两点共线构造“A型”相似，列比例式求解高度。 【变式1-1】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 【变式1-2】商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 【变式1-3】《海岛算经》为魏晋时期数学家刘徽所著，是中国最早的一部测量数学专著．某校创新实践小组打算利用书中记载的方法测量公园里凉亭AB的高度．如图，先在水平地面上选取观测点E，G（点B，E，G在同一直线上），分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF与GH，两标杆之间的距离．从标杆EF后退1.5m处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，F，C三点在一条直线上；从标杆GH后退2m到D处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，H，D三点也在一条直线上（标杆EF，GH与凉亭AB在同一竖直平面内）．请根据以上测量数据，帮助创新实践小组求出凉亭AB的高度． 【答案】16.5m 【分析】证明，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：，， ． 又， ． 设， 则． ，， ． ∴ ． ，即， 解得． 答：凉亭的高度为16.5m． 【变式1-4】如图，商场门口有一路灯杆．在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求路灯杆的高度． 【答案】路灯杆的高度为米． 【分析】证明，可得，可得，证明，可得，可得，即可得路灯杆的高度． 【详解】解：根据题意可得，米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴路灯杆的高度为米． 题型6 相似三角形在网格中的应用 【例1】如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作辅助线，求得，从而得到相似比，，设，，，再根据，则可求，利用三角形相似，对应边成比例即可求得的长． 【详解】解：如图：延长至点，连接、延长至点，连接， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【例2】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，如图，已知是的网格图中的格点三形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键． 取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案． 【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，    则，且， ∴，， ∴． 同理可证：，． ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 综上，满足条件的三角形有4个， 故选：B． 【技巧归纳】 1.网格中求相似三角形，先利用勾股定理计算所有三角形各边的长度，得到三边长度后，计算三边的比值； 2.根据三边成比例判定相似，或者找两个角相等，验证对应边是否成比例； 3.网格找相似三角形，要注意角度，尤其是钝角或特殊角（45°、135°）相等是快速判定的突破口。 【变式1-1】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵, ∴ 解得： 【变式1-2】如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理． 如解析图所示，可证明，则可得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 由网格的特点和勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 题型7 动态问题中的相似应用 【例1】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 【答案】C 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 【例2】如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象．熟练掌握勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 当时，根据，得出；当时，过点P作于点H，证，得出，根据，即可得出． 【详解】∵在中，，，， ∴， 当时， ， ∴， ∴图象为开口向上的抛物线； 当时， 过点P作于点H，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图象为开口向下的抛物线． 故选：B． 【技巧归纳】 1.动点问题先设运动时间为t，用t表示出题目中所有相关线段的长度； 2.分类讨论哪两组边对应成比例，因为相似的对应关系不唯一，所以要分情况讨论； 3.分别根据相似的性质列方程，求解t之后，验证t是否在运动范围内，舍去不符合题意的解。 【变式1-1】如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据相似三角形的性质，分和，两种情况得出结论即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵，，点D的运动速度为，动点E的运动速度为， ∴， 当时，，即：，解得； 当时，，即：，解得； 故答案为：秒或秒． 【变式1-2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止移动，那么经过______s时，与相似． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 由题意得，，与相似，当与相似时，可知或，则有或，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】解：由题意得，， ∵与相似， ∴有或， ∴或， ∴或， 解得：或． ∴经过3或秒，与相似． 故答案为：3或． 1．如图，在中，点D、E分别在上，且、，若的面积为32，则的面积为（     ） A．9 B．18 C．27 D． 【答案】B 【分析】根据判定，根据，结合相似三角形面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，一张锐角纸片，点D，E分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意证明，再根据“沿将剪成面积相等的两部分”可得，进而即可求出的值，根据得出，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴的面积是原面积的一半， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，，图中阴影部分的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，网格中三角形面积的计算，先求出，再证明，利用相似比求出，最后利用计算即可． 【详解】解：由图可知，在格线上，在格线上，且 观察网格可知，的底，高为3，对应的高为2 4．如图，在中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线证两三角形相似，根据面积比等于相似比平方得到大小三角形面积之比，用大三角形面积减去小三角形面积得到四边形面积，进而求出两者面积比． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则， ， ． 5．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴与的周长之比等于． 6．如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，进而即可求出与的相似比． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与的相似比为． 7．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 8．如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线定理可得，，结合得到，由此得出，那么，再代入线段关系求解即可． 【详解】解：∵为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 9．如图，已知．若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】相似三角形的对应边成比例． 【详解】解：∵， ∴． 10．如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 【答案】D 【分析】根据题意确定出剪下来的三角形与三角形相似，面积比为，得到相似比，逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，剪下来的三角形与三角形相似，面积比为， 故相似比为， 即， ∵，，，， ∴， 观察四个选项，选项D符合题意． 11．如图，边长分别为2，4，6的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的面积，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．先根据正方形的性质得到阴影部分是直角梯形，再证明直线与底边构成的三角形相似，利用相似三角形的性质求得直线在中间正方形左右两边上的截距，进而求得阴影梯形的上下底，然后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，直线分别交、于点、， 根据题意，，，，， ， ，，， ， ，， ，，即，， 解得，， ，， ． 12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在网格的格点上，与相交于点，则______________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，结合列出方程，解方程即可求出的值． 【详解】根据题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， 故， 解得． 13．如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 【答案】4.8或7.5或10 【分析】本题考查相似三角形中的动点问题．分三种情况进行讨论，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 当直线截存在与相似的三角形时，分三种情况讨论： ①当时，则：， 即：，解得：； ②当时，则：， 即：，解得：； ③当点Q和点B重合时，， ∴， ∴ 又∵ ∴，符合题意． 综上：秒或秒或10秒． 14．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的分类讨论，根据题意列出线段的长是解题的关键． 首先设运动时间为t秒，得到，，再分为和两种情况进行讨论，分别求解不同的t值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动， ∴，， ∴， ①当时， ∴，即，解得：； ②当时， ∴，即，解得：； ∴在或时，以A，D，E为顶点的三角形与相似 故答案为：或． 15．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 【答案】3 【分析】如图，先证明，再根据相似三角形对应边的高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，， ， ，， ， 又是中边上的高，是中边上的高， ，即， ， 即光屏上火焰所成像的高度为． 16．一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 【答案】路灯距水平地面的距离为． 【分析】由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：路灯距水平地面的距离为． 17．周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． 【答案】米 【分析】由题意可知，四边形是矩形，米，可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据可以求出音乐厅的高度． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， 米， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， 在中，米， 米， 答：音乐厅的高度为米． 18．龙角塔（图），位于南阳卧龙岗，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为米，到龙角塔的水平距离为米，求龙角塔的高度． 【答案】龙角塔的高度为米． 【分析】由，则四边形为矩形，所以，然后证明，通过相似三角形的性质得，再代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 答：龙角塔的高度为米． 19．乐学班同学们周末来到郑州报业大厦附近进行综合与实践活动，为测量大厦的高度，飞翔组利用标杆测量，他们让小颖站在C处，距离小颖1.5米的小刚在E处拿一个3米的标杆，小颖的眼睛D看到标杆顶端和大厦最高处B在一条直线上，并测得小颖眼睛距地面1.5米，为96米．虎威组在G处放一面平面镜，小军后退3.4米到M处，眼睛N刚好在镜子G里看到大厦最高处B．小军的眼睛距地面1.7米． (1)小颖看大厦最高处B的仰角为多少度？大厦的高度是多少米？（结果保留整数） (2)根据飞翔组的测量结果估计点M处的小军距大厦有多远． 【答案】(1)；99米； (2)201.4米． 【分析】（1）过点D作水平线，利用矩形性质得到相关线段长度，再由相似三角形对应边成比例求出大厦高度，进而利用锐角三角函数求出仰角． （2）利用光的反射定律得到入射角等于反射角，证明两个直角三角形相似，由相似比求出，进而得到． 【详解】（1）解：过点D作于点H，交于点K， 则四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， 解得：， 在中， ， ∴， 即小颖看大厦最高处B的仰角为，大厦AB的高度为99米． （2）解：由光的反射可知， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 即 ， 解得：， ∴， 即点M处的小军距大厦201.4米． 20．三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 【答案】53米 【分析】本题考查相似三角形的应用．由光的反射的性质可以得出，结合，可以证得 ，得到，再由，结合，证得，从而得到与之间的比例关系，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， , ， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 相似三角形的性质与应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用相似性质求线段长度 题型2 利用相似性质求周长或面积 题型3 利用相似性质求面积差/面积和 题型4 相似三角形性质与判定的综合证明 题型5 利用相似测高 题型6 题型7 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 对应角相等、对应边成比例、相似比、对应高、对应中线、对应角平分线 熟记相似三角形核心性质，明确对应角、对应边、对应线段、周长、面积与相似比的数量关系。 区分相似比、周长比、面积比的换算规则，掌握相关计算方法。 能将实际问题转化为相似三角形模型，解决测量高度、距离、宽度等实际应用问题识别常见相似几何模型，能结合判定定理判定三角形相似。 学习重点：掌握相似三角形对应边、角、线段、周长的比例规律，以及面积比等于相似比的平方这一核心性质，并熟练用于计算。把实际测量问题转化为相似三角形模型，完成实际应用类题目。 学习难点：区分相似比、周长比、面积比，灵活进行三者之间的换算，避免平方关系误用。准确找准相似三角形的对应顶点、对应边、对应线段，尤其图形交错、多三角形叠加时。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 1.基本性质：相似三角形的对应角，对应边成，这个比例叫做。若两个相似三角形的相似比为k，则它们对应边的比值都等于k。 2.对应线段的性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于。也就是说，凡是对应位置的线段，只要是从对应顶点引出的线段，比值都等于相似比。 拓展：相似三角形的周长比等于。 3.面积的性质：相似三角形的面积比等于相似比的。反过来，如果已知两个相似三角形的面积比，求相似比或周长比，则需要对面积比开平方，得到相似比后再计算对应比值。 即时即练 1．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 2．已知，且相似比为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，．若，则的长是（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【方法总结】 1.利用对应角相等的性质，可在几何证明中快速转移角的等量关系，结合已知条件推导新结论；对应边成比例则是建立线段方程、求解未知线段长度的核心依据。 2.遇到涉及相似三角形对应高、中线、角平分线或周长的比值问题，可直接转化为相似比求解，不需要额外计算各线段长度，简化计算过程。 3.计算面积比时，一定不要忘记对相似比平方；已知面积比求相似比，不要漏掉开平方运算，同时要注意相似比具有顺序性，即△ABC∽△DEF的相似比k1，与△DEF∽△ABC的相似比k2满足k1·k2=1，二者互为倒数，计算时需要明确哪个三角形在前，避免顺序出错。 知识点02 相似三角形的常见基本模型 A型 X型（8字型） 子母型（射影型） 即时即练 1．如图，已知，．若的面积为4，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．如图所示，已知，且相似比为，则与的对应边上的高之比为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知．若，则值为（   ） A．10 B．15 C．25 D．45 【方法总结】 解决相似三角形的几何题，第一步就是识别图形属于哪个基本模型，对应模型直接套用结论，可以大大减少推导时间，避免对应关系出错。 知识点03 相似三角形的应用 1. 测量不可直接到达的物体长度/高度：利用相似三角形的对应边，通过测量可以直接测量的线段长度，计算出不可直接测量的物体高度或宽度，常见的测量方法有：利用阳光下的影子测量、利用镜面反射测量、利用标杆测量 2. 证明比例式或等积式：证明线段成比例或者线段乘积相等，是相似三角形最常见的应用。基本思路是：将待证的比例式中的四条线段分别看做两个三角形的对应边，通过证明两个三角形，得到对应边成比例；若待证的是等积式，先将等积式转化为比例式，再用相似三角形证明 3. 解决图形中的动点问题：动点问题中，常结合相似三角形的判定与性质，求解动点运动的时间或动点位置。这类问题通常需要分情况讨论，根据不同的对应角相等，得到不同的相似情况，分别列方程求解，再结合动点的取值范围判断解是否符合题意。 4.求图形的面积或面积比：利用相似三角形面积比等于相似比的，结合同高不同底的三角形面积比等于底的比，求解复杂图形中某一部分的面积，或者面积比值 即时即练 1．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 2．崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，小聪从点沿直线走向路灯的正下方点处，他的影长随他与点之间的距离变化而变化．若小聪的身高为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 4．杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 1. 解决测量问题的核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，找出两组对应边，根据比例列出方程求解，注意单位统一。 2. 如果直接证明两个三角形相似有困难，可以采用中间比法，即找到一组中间比，分别证明待证的两个比例都等于这个中间比，从而得到结论；也可以通过等量代换，将相等线段替换后再证明相似。 3. 当图形中存在多个相似三角形时，从已知相似比（或边长比）出发，逐步推导各个三角形的面积关系，不要混淆相似比和面积比的关系，始终牢记面积比是相似比的平方。 题型1利用相似性质求线段长度 【例1】如图，已知，．若的长度为4，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．12 D．13.5 【例2】如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.先根据相似三角形的判定，确定哪两个三角形相似，找到对应边的对应关系，确定相似比； 2.若所求线段是对应边，直接利用对应边成比例列方程求解；若所求线段是对应高、中线、角平分线，直接利用对应线段比等于相似比求解； 3.注意对应关系不能搞混，相似比的顺序要和三角形的顺序一致。 【变式1-1】如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 【变式1-2】若，且，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，已知，相似比为，当的长度为时，求的长度是___． 题型2利用相似性质求周长或面积 【例1】如图，和相交于点O，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．5 C．4 D．2 【例2】已知与相似，相似比为，如果的面积是36，那么的面积是________． 【技巧归纳】 1. 找准对应关系：先根据图形位置或标注确定对应顶点、对应边、对应角，避免对应关系找错导致计算错误； 2. 性质公式记准：周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反过来如果已知面积比求相似比，一定要给面积比开平方，不要直接把面积比当作相似比计算； 【变式1-1】已知，．若的周长为9，则的周长为（     ） A．27 B．18 C．36 D．9 【变式1-2】已知，，若的周长是，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】两个相似三角形的最长边分别是10和6，并且它们的面积之和为68，那么较大三角形的面积是___________． 【变式1-4】如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是______． 题型3利用相似性质求面积差/面积和 【例1】如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【例2】若两个相似三角形的相似比为，面积差是，则它们的面积和为（ ） A．60 B．78 C．128 D．150 【技巧归纳】 1.先根据相似比求出两个三角形的面积比，设每份面积为x，用x表示两个三角形的面积； 2.根据面积差或面积和的条件列方程，求出x后再计算对应面积； 3.常见出题场景是三角形被平行于一边的直线截成小三角形和梯形，此时梯形面积=大三角形面积-小三角形面积，不要直接把梯形面积比当成相似比的平方。 【变式1-1】儿童乐园中，有两块相似三角形的场地，且相似比为，面积的差为．则这两个三角形地块的①周长比为；②面积比为；③面积之和为；④对应高的比为，其中结论正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】两个相似三角形的一对对应边长分别为和，它们的面积差为，则较大的三角形面积为________． 题型4 相似三角形性质与判定的综合证明 【例1】如图，在中 ， 是边 上的高，若，则的长为（     ） A．1.5 B．1.6 C．1.8 D．2.0 【例2】比例规，又称扇形圆规，由伽利略于1597年左右发明，是一种按比例放大或缩小线段、转绘与量测距离的简单工具．它由长度相等的两脚和交叉构成，交点处设有可滑动的指标旋钮，通过调节旋钮位置可改变两端脚针张距的比值．如图，当旋钮固定在刻度处（，）时，连接，．若的面积为，的面积为，则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.证明思路一般是：先证明两个三角形相似，再利用相似的性质推导角相等、线段成比例或者线段垂直等结论； 2.证明乘积式（如AB⋅CD=AC⋅BD）的时候，先改写成比例式ABAC=BDCD，再找到包含这四条线段的两个三角形，证明相似后利用对应边成比例得到结论； 3.遇到两次相似的情况，先通过第一次相似得到比例或角相等，再用这个结论证明第二次相似，最终推导出所求结论。 【变式1-1】如图，一张锐角纸片，点D，E分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 【变式1-2】如图，已知中，、分别是、的中点，若的面积为，则四边形的面积为______． 【变式1-3】如图，在四边形中，，，，分别延长，交于点，若，，则的长为______． 【变式1-4】如图，在中，，点D为中点，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型5 利用相似测高 【例1】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．13尺 【例2】杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 常见测高模型有两类，掌握模型特点直接套比例即可： 1.阳光下的影子：同一时刻，物体高度和影长成正比，原理是太阳光线平行，构造两个直角三角形相似； 2.平面镜反射/标杆测量：根据反射角等于入射角得到角相等，构造相似三角形，或者两点共线构造“A型”相似，列比例式求解高度。 【变式1-1】无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【变式1-3】《海岛算经》为魏晋时期数学家刘徽所著，是中国最早的一部测量数学专著．某校创新实践小组打算利用书中记载的方法测量公园里凉亭AB的高度．如图，先在水平地面上选取观测点E，G（点B，E，G在同一直线上），分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF与GH，两标杆之间的距离．从标杆EF后退1.5m处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，F，C三点在一条直线上；从标杆GH后退2m到D处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，H，D三点也在一条直线上（标杆EF，GH与凉亭AB在同一竖直平面内）．请根据以上测量数据，帮助创新实践小组求出凉亭AB的高度． 【变式1-4】如图，商场门口有一路灯杆．在灯光下，小明在点处的影长米，沿方向行走到达点，米，这时小明的影长米．如果小明的身高为米，求路灯杆的高度． 题型6 相似三角形在网格中的应用 【例1】如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，如图，已知是的网格图中的格点三形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【技巧归纳】 1.网格中求相似三角形，先利用勾股定理计算所有三角形各边的长度，得到三边长度后，计算三边的比值； 2.根据三边成比例判定相似，或者找两个角相等，验证对应边是否成比例； 3.网格找相似三角形，要注意角度，尤其是钝角或特殊角（45°、135°）相等是快速判定的突破口。 【变式1-1】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长是______． 【变式1-2】如图，点A、B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段与网格线的交点，那么的长度为________． 题型7 动态问题中的相似应用 【例1】如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒 【例2】如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.动点问题先设运动时间为t，用t表示出题目中所有相关线段的长度； 2.分类讨论哪两组边对应成比例，因为相似的对应关系不唯一，所以要分情况讨论； 3.分别根据相似的性质列方程，求解t之后，验证t是否在运动范围内，舍去不符合题意的解。 【变式1-1】如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为________． 【变式1-2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止移动，那么经过______s时，与相似． 1．如图，在中，点D、E分别在上，且、，若的面积为32，则的面积为（     ） A．9 B．18 C．27 D． 2．如图，一张锐角纸片，点D，E分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，若，则的长度为（     ） A．1 B． C． D． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，，图中阴影部分的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 4．如图，在中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，与交于，且，，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 6．如图，，若，，则与的相似比是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 8．如图是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，，则的长为（     ） A． B． C． D．2 9．如图，已知．若，则（      ） A． B． C． D． 10．如图，在三角形纸片中，点，是的三等分点，点是的中点．若从上的一点，沿着与平行的方向将纸片剪开，剪下的小三角形纸片面积恰好为面积的，则下列关于点位置的叙述正确的是（     ） A．与点重合 B．与点重合 C．在线段上 D．在线段上 11．如图，边长分别为2，4，6的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为_________． 12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在网格的格点上，与相交于点，则______________． 13．如图，在中，，，，P是上一点，，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为t秒．当直线截，存在与相似的三角形时，_______． 14．如图，，，点E从B出发，沿方向以的速度运动，点D从A出发，沿方向以的速度运动，那么在_____秒后，以A，D，E为顶点的三角形与相似． 15．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 16．一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 17．周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． 18．龙角塔（图），位于南阳卧龙岗，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为米，到龙角塔的水平距离为米，求龙角塔的高度． 19．乐学班同学们周末来到郑州报业大厦附近进行综合与实践活动，为测量大厦的高度，飞翔组利用标杆测量，他们让小颖站在C处，距离小颖1.5米的小刚在E处拿一个3米的标杆，小颖的眼睛D看到标杆顶端和大厦最高处B在一条直线上，并测得小颖眼睛距地面1.5米，为96米．虎威组在G处放一面平面镜，小军后退3.4米到M处，眼睛N刚好在镜子G里看到大厦最高处B．小军的眼睛距地面1.7米． (1)小颖看大厦最高处B的仰角为多少度？大厦的高度是多少米？（结果保留整数） (2)根据飞翔组的测量结果估计点M处的小军距大厦有多远． 20．三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $