第2讲 相似图形与相似三角形的判定（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第02讲 相似图形与相似三角形的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 相似图形的概念辨析 题型2 相似多边形的性质应用 题型3 利用平行判断相似 题型4 利用两角对应相等判定相似 题型5 利用三边对应成比例判定相似 题型6 题型7 题型8 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 形状相同、大小不等、对应角相等、对应边成比例、两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、平行得相似 1. 理解相似图形、相似三角形的概念，能准确区分相似图形，掌握相似三角形的对应边、对应角关系。 2. 熟记相似三角形各类判定定理，能结合图形条件灵活选用判定方法证明三角形相似。 3. 会运用判定定理解决计算、证明类题型，规范推理步骤，找准对应边角。 学习重点：掌握相似图形、相似三角形的定义与性质。熟练运用各类判定定理证明三角形相似。 学习难点：准确识别图形中对应边、对应角，避免对应关系出错。根据已知条件灵活选择合适的判定方法，综合推理解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似图形 1.概念：形状的图形叫做相似图形。需要注意：相似图形的大小不一定，形状不同的图形一定不是相似图形；全等图形是相似图形的特殊情况，全等图形不仅形状相同，大小也相等。 2.性质：相似图形的对应角，对应边成。 一个图形放大或缩小得到的图形与原图形一定相似。 相似图形具有传递性：若图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，则图形A与图形C。 即时即练 人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不相同，不符合相似定义，符合题意； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意； 选项，两个图形形状不同，符合相似定义，不符合题意 【方法总结】 判断两个图形是否为相似图形，核心依据是形状是否完全相同，与图形的位置、大小、方向无关；若存在部分形状差异，即使整体看起来相近，也不属于相似图形。 知识点02 相似多边形 1.概念：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做。相似多边形对应边的比叫做。 2.性质：相似多边形的对应角，对应边。相似多边形的周长比等于相似比。相似多边形的面积比等于相似比的。 即时即练 1．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 2．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 【答案】D 【分析】形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A．任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不符合题意； B．任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不符合题意； D．任意两个正多边形的对应角相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 3．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【答案】16 【分析】根据相似的性质进行解答即可． 【详解】解：∵如图是两个形状相同的红绿灯图案， ∴两个红绿灯图案相似， ∴， ∴， 经检验，是该方程的解． 即x的值为． 【方法总结】 判断四条线段是否成比例的步骤： 1.将四条线段的长度按从小到大（或从大到小）的顺序排列； 2.分别计算前两条线段的比和后两条线段的比，判断是否相等；或者计算最长线段和最短线段的乘积，判断是否等于另外两条线段的乘积； 3.若比值相等（乘积相等）则是成比例线段，反之不是。 知识点03 相似三角形的概念 1.概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做。相似用符号“”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比叫做（或相似系数）。 2.要点：全等三角形一定是相似三角形，全等三角形的相似比为。相似比与三角形的顺序有关，若△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为k，则△A₁B₁C₁∽△ABC的相似比为。 相似三角形的写在对应位置，方便快速找到对应角和对应边。 即时即练 下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图示知该三角形是腰长为1.5的等腰三角形，所以由相似三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：如图， A．根据图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； B．由图示知，该三角形为等边三角形，则它的内角均为60°，与已知三角形的对应角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误； C．由图示知，该等腰三角形与已知等腰三角形可以由“两边及其夹角法”证得相似．故本选项正确； D．由图示知，该等腰三角形的顶角与已知等腰三角形的顶角不相等，所以它们不是相似三角形．故本选项错误． 【方法总结】 比例基本性质是解比例的核心依据，也可以用来判断两个比能否组成比例。 只要四个数能组成比例，必然满足外项积等于内项积；反之，如果四个数满足其中两个数的积等于另外两个数的积，这四个数一定能组成比例。 知识点04 平行线判定三角形相似 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形。 若在△ABC中，DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E，则△ADE∽△ABC。 即时即练 如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 【方法总结】 当题目中出现平行于三角形一边的线段时，可直接利用预备定理得到三角形相似，进而得到角相等或边成比例的关系，是证明相似最常用的基础结论之一。 知识点05 两角分别相等的两个三角形相似 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应，那么这两个三角形，可简述为“两角对应相等，两三角形相似”。 即时即练 如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 【方法总结】 只需找到两个三角形两组对应角相等，即可直接判定相似，是考试最简便、最常用的判定方法。 解题优先挖掘公共角、对顶角、直角、平行线等隐含等角条件，无需证明边长关系，快速破题。 知识点06 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如果两个三角形的两组对应边，并且相等，那么这两个三角形相似，可简述为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。 要点提示：这个相等的角必须是两组对应边的夹角，如果是一边的对角相等，不能判定两个三角形相似，注意不要和SSA全等混淆，此处必须要求夹角相等。 即时即练 在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【方法总结】 先找出两个三角形的两组对应边成比例，重点验证两组边的夹角必须对应相等即可判定相似。 该方法适用于题干给出线段长度、线段比例的题型，严禁用非夹角进行判定，这是核心易错点。 知识点07 三边成比例的两个三角形相似 如果两个三角形的三组成比例，那么这两个三角形相似，可简述为“三边对应成比例，两三角形相似”。 即时即练 如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 【方法总结】 三边成比例判定三角形相似，只需验证两个三角形三组对应边的比值全部相等即可。该方法适用于已知完整边长的题型，无需验证角度条件。解题关键是先定对应边、再算比值，杜绝乱配边导致判定错误。 题型1相似图形的概念辨析 【例1】下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】此题考查了相似图形的定义．根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形），对各选项逐一分析，利用排除法确定正确选项． 【详解】解：相似图形的定义是对应角相等、对应边成比例的图形， A选项：两个等腰三角形的顶角与底角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； B选项：两个直角三角形只有直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； C选项：两个正方形的所有内角均为，各角都相等，且各边均相等，对应边的比值一定相等， ∴一定相似； D选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似； 故选：C． 【例2】观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 【技巧归纳】 1. 紧扣定义逐一验证：先判断两个图形对应角是否全部相等，再判断对应边是否成比例，两个条件同时满足才是相似图形；2. 结合常见结论快速排除：所有正方形都相似，所有圆都相似，对应边成比例的矩形不一定相似（内角都相等但邻边比例不一定一致），对应角相等的平行四边形不一定相似（边不成比例），根据这些常见结论直接排除错误选项；3. 特殊情况特殊分析：如果两个图形都是轴对称或中心对称图形，可通过放缩法判断，将其中一个图形放大或缩小后能完全重合则一定相似。 【变式1-1】如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（    ） A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是掌握：把形状相同的图形叫做相似图形，相似图形之间的互相变换称为相似变换．据此分析即可． 【详解】解：用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，属于图形的形状相同，大小不相同， ∴这种图形的变换是相似变换． 故选：A． 【变式1-2】下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，相似图形是指具有相同形状但大小不同的图形，由此判断即可． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； B．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； D．两个图形形状不同，不是相似图形，符合题意； 故选：D． 题型2相似多边形的性质应用 【例1】制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质可得扩大后版面面积为原来的倍，即可求解． 【详解】解：长方形版面边长均扩大为原来的2倍，则扩大后长方形与原长方形相似， ∴扩大后版面面积为原来的倍， 原来的制作费用300元，则扩大后付制作费用为（元）． 【例2】如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 【技巧归纳】 1. 找准对应关系：先根据图形位置或标注确定对应顶点、对应边、对应角，避免对应关系找错导致计算错误； 2. 性质公式记准：周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反过来如果已知面积比求相似比，一定要给面积比开平方，不要直接把面积比当作相似比计算； 【变式1-1】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似多边形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 【变式1-3】如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-4】如图，四边形四边形，则（    ） A．10 B．12.5 C．20 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 故选：C． 题型3利用平行判断相似 【例1】如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 【例2】如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行计算即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设直尺上表示数字1的点为B，表示数字3的点为A，表示数字10 的点为C，如图，∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴点P表示的数是， 故选：C． 【技巧归纳】 1. 遇平行线直接找A型、X型基本相似模型，对应角相等即可判定三角形相似。 2. 利用平行线得等角，结合两角分别相等，快速完成相似证明与边长比例计算。 【变式1-1】如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质，根据两直线平行， 同位角相等，可证、，根据有两个角对应相等的三角形相似，可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【变式1-2】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由即可得出结论 【详解】证明：， ． 题型4 利用两角对应相等判定相似 【例1】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 【例2】下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 【技巧归纳】 先找两组对应角相等，优先利用**对顶角、平行线、公共角、直角**推导等角；锁定等角后直接判定相似，再结合对应边比例求解线段长度。 【变式1-1】如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 【变式1-2】如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 题型5 利用三边对应成比例判定相似 【例1】如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 【例2】如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据三角形相似判定定理：三边对应成比例，分别利用勾股定理计算各三角形的边长，然后逐个选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 【技巧归纳】 先将两个三角形的三边按长度从小到大排序，依次计算三组对应边的比值；若三组比值全部相等，即可判定两三角形相似。解题时务必分清对应边，防止比例关系写错，再结合比例式求解线段、周长等问题。 【变式1-1】若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 题型6 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例1】满足下列条件的各对三角形中，相似的两个三角形是（   ） A．，，；，， B．，，；，， C．，，；， D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法：利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似逐一排除即可． 【详解】解：、∵，，，， ∴，， ∴， ∴不能判定与相似，故不符合题意； 、∵，，，， ∴，， ∴， ∵不是夹角， ∴与不相似，故不符合题意； 、∵，，，， ∴，， ∵和不是夹角， ∴不能判定与相似，故不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴，故符合题意． 【例2】能说明的条件是（   ） A． B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法：利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似逐一排除即可． 【详解】解：、由，但缺少夹角，故不能说明，故该选项不符合题意； 、当，且时，不能证明，故该选项不符合题意； 、当，且时，能证明，符合题意； 、当，且时，不能证明，故该选项不符合题意 【技巧归纳】 先选取两组对应边并计算比值，保证比值相等，再验证这两组边的夹角相等，即可判定三角形相似。解题时要严格区分夹角与非夹角，避免角找错，再利用比例关系推导边长、线段等结果。 【变式1-1】如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 【变式1-2】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 题型7 补充条件使三角形相似 【例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 【例2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 【技巧归纳】 先分析现有边角条件，结合平行线、公共角、对顶角等隐含条件，对照相似判定定理找准欠缺要素。按需补充一组等角或两边成比例且夹角相等，同时注意对应关系，避免边角匹配出错。 【变式1-1】如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加或，根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；或添加，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】解：， 当或或时，． 【变式1-2】如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 题型8 相似三角形的证明解答题 【例1】如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解此题的关键．首先得到，然后结合即可得证． 【详解】证明：，，，， ，， ， ， ． 【例2】如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 故答案为：． 【技巧归纳】 先观察图形识别A、X型等常见相似模型，梳理已知边角条件。结合判定定理筛选合适方法，找准对应边角列出推理过程。得出相似后利用对应边成比例、对应角相等，求解线段、角度等问题。全程留意对应关系，防止比例和边角匹配失误。 【变式1-1】如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴． 【变式1-2】如图，在中，，垂足分别为与交于点．请你在图中找出4对相似三角形（不需要写出证明过程）． 【答案】，，，， 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等的三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式1-3】如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由垂直的定义推出，再由，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式1-4】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 1．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解． 【详解】解：、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意， 故选：． 2．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）． A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边成比例． 根据相似多边形的性质逐一判断即可． 【详解】解： A选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似，故不符合题意； B选项：两个矩形的对应角均为相等，但对应边的比例不一定相等，不一定相似，故不符合题意； C选项：两个直角三角形仅直角相等，其余两个锐角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似，故不符合题意； D选项：等边三角形的边相等，角相等，所以任意两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，一定相似，故符合题意． 故选：D． 3．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似图形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：B． 4．如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形四边形，且相似比， ∴面积比为：， 故选：C． 5．如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】解：矩形与矩形是相似的矩形， ， 设，，则， ， 故，即， ∴， ∴， 故选：B 6．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 7．下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，需逐一分析各选项是否符合判定条件，找出不能判定相似的选项． 【详解】解：∵两角分别相等的两个三角形相似，选项A中，，，A选项能判定． ∵三边对应成比例的两个三角形相似，选项B中，，B选项能判定． ∵两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，选项C中，且是与的夹角，是与的夹角，，，C选项能判定． ∵选项D中，但不是与的夹角，不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，D选项符合题意． 故选D． 8．能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，熟悉判定定理是解题的关键． 根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等）进行分析即可． 【详解】解：∵，且． ∴． 故选：D． 9．如图，补充一个条件仍无法判断是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】， ，即， 对于A， ，但夹角不一定相等，不能判定，故A符合题意； 对于B，，且， ，即，故B不符合题意； 对于C，，， ，即，故C不符合题意； 对于D，，， ，即，故D不符合题意． 故选：A． 10．如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 11．如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【答案】60 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解. 【详解】解：设放大后的长为， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴放大后的长为， 放大后的矩形的面积． 12．如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 13．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 14．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 15．如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 首先根据可推出，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定即可得到答案． 【详解】解：①添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴； ③添加， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 16．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 17．根据下列条件判断与是否相似，其中（需说明理由）． (1)． (2)． 【答案】(1)与相似．理由见解析 (2)与不相似．理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形相似的判定方法以及勾股定理的应用，正确把握判定方法是解题关键． （1）易得且，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，进而判断即可； （2）通过计算可得，进而判断即可． 【详解】（1）解：与相似．理由如下： ． ， ． （2）解：与不相似．理由如下： 在中，， ． ，， ． 又， ， 与不相似． 18．如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角的和差关系得到，即可证明出． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 19．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定、对顶角相等和三角形内角和定理，根据题意可得，对顶角，再利用三角形内角和定理得，因此得证． 【详解】证明：、， ， 又， ， ． 20．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 相似图形与相似三角形的判定 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 相似图形的概念辨析 题型2 相似多边形的性质应用 题型3 利用平行判断相似 题型4 利用两角对应相等判定相似 题型5 利用三边对应成比例判定相似 题型6 题型7 题型8 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 形状相同、大小不等、对应角相等、对应边成比例、两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、平行得相似 1. 理解相似图形、相似三角形的概念，能准确区分相似图形，掌握相似三角形的对应边、对应角关系。 2. 熟记相似三角形各类判定定理，能结合图形条件灵活选用判定方法证明三角形相似。 3. 会运用判定定理解决计算、证明类题型，规范推理步骤，找准对应边角。 学习重点：掌握相似图形、相似三角形的定义与性质。熟练运用各类判定定理证明三角形相似。 学习难点：准确识别图形中对应边、对应角，避免对应关系出错。根据已知条件灵活选择合适的判定方法，综合推理解题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似图形 1.概念：形状的图形叫做相似图形。需要注意：相似图形的大小不一定，形状不同的图形一定不是相似图形；全等图形是相似图形的特殊情况，全等图形不仅形状相同，大小也相等。 2.性质：相似图形的对应角，对应边成。 一个图形放大或缩小得到的图形与原图形一定相似。 相似图形具有传递性：若图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，则图形A与图形C。 即时即练 人们出行方式越来越丰富．以下四组图中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断两个图形是否为相似图形，核心依据是形状是否完全相同，与图形的位置、大小、方向无关；若存在部分形状差异，即使整体看起来相近，也不属于相似图形。 知识点02 相似多边形 1.概念：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做。相似多边形对应边的比叫做。 2.性质：相似多边形的对应角，对应边。相似多边形的周长比等于相似比。相似多边形的面积比等于相似比的。 即时即练 1．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 2．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 3．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【方法总结】 判断四条线段是否成比例的步骤： 1.将四条线段的长度按从小到大（或从大到小）的顺序排列； 2.分别计算前两条线段的比和后两条线段的比，判断是否相等；或者计算最长线段和最短线段的乘积，判断是否等于另外两条线段的乘积； 3.若比值相等（乘积相等）则是成比例线段，反之不是。 知识点03 相似三角形的概念 1.概念：对应角相等，对应边成比例的三角形叫做。相似用符号“”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比叫做（或相似系数）。 2.要点：全等三角形一定是相似三角形，全等三角形的相似比为。相似比与三角形的顺序有关，若△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为k，则△A₁B₁C₁∽△ABC的相似比为。 相似三角形的写在对应位置，方便快速找到对应角和对应边。 即时即练 下列与下图中的三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 比例基本性质是解比例的核心依据，也可以用来判断两个比能否组成比例。 只要四个数能组成比例，必然满足外项积等于内项积；反之，如果四个数满足其中两个数的积等于另外两个数的积，这四个数一定能组成比例。 知识点04 平行线判定三角形相似 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形。 若在△ABC中，DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E，则△ADE∽△ABC。 即时即练 如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【方法总结】 当题目中出现平行于三角形一边的线段时，可直接利用预备定理得到三角形相似，进而得到角相等或边成比例的关系，是证明相似最常用的基础结论之一。 知识点05 两角分别相等的两个三角形相似 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应，那么这两个三角形，可简述为“两角对应相等，两三角形相似”。 即时即练 如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【方法总结】 只需找到两个三角形两组对应角相等，即可直接判定相似，是考试最简便、最常用的判定方法。 解题优先挖掘公共角、对顶角、直角、平行线等隐含等角条件，无需证明边长关系，快速破题。 知识点06 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如果两个三角形的两组对应边，并且相等，那么这两个三角形相似，可简述为“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”。 要点提示：这个相等的角必须是两组对应边的夹角，如果是一边的对角相等，不能判定两个三角形相似，注意不要和SSA全等混淆，此处必须要求夹角相等。 即时即练 在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 先找出两个三角形的两组对应边成比例，重点验证两组边的夹角必须对应相等即可判定相似。 该方法适用于题干给出线段长度、线段比例的题型，严禁用非夹角进行判定，这是核心易错点。 知识点07 三边成比例的两个三角形相似 如果两个三角形的三组成比例，那么这两个三角形相似，可简述为“三边对应成比例，两三角形相似”。 即时即练 如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【方法总结】 三边成比例判定三角形相似，只需验证两个三角形三组对应边的比值全部相等即可。该方法适用于已知完整边长的题型，无需验证角度条件。解题关键是先定对应边、再算比值，杜绝乱配边导致判定错误。 题型1相似图形的概念辨析 【例1】下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【例2】观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 紧扣定义逐一验证：先判断两个图形对应角是否全部相等，再判断对应边是否成比例，两个条件同时满足才是相似图形；2. 结合常见结论快速排除：所有正方形都相似，所有圆都相似，对应边成比例的矩形不一定相似（内角都相等但邻边比例不一定一致），对应角相等的平行四边形不一定相似（边不成比例），根据这些常见结论直接排除错误选项；3. 特殊情况特殊分析：如果两个图形都是轴对称或中心对称图形，可通过放缩法判断，将其中一个图形放大或缩小后能完全重合则一定相似。 【变式1-1】如图，用放大镜将桂林日月双塔的图片放大，这种图形的变换是（    ） A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．轴对称变换 【变式1-2】下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 题型2相似多边形的性质应用 【例1】制作一块的长方形版面需付制作费用300元，假设每平方米版面的制作费用相同，如果把版面边长均扩大为原来的2倍，则需的付制作费用为（     ） A．600元 B．900元 C．1200元 D．2700元 【例2】如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【技巧归纳】 1. 找准对应关系：先根据图形位置或标注确定对应顶点、对应边、对应角，避免对应关系找错导致计算错误； 2. 性质公式记准：周长比=相似比，面积比=相似比的平方，反过来如果已知面积比求相似比，一定要给面积比开平方，不要直接把面积比当作相似比计算； 【变式1-1】如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【变式1-3】如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1-4】如图，四边形四边形，则（    ） A．10 B．12.5 C．20 D．50 题型3利用平行判断相似 【例1】如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【例2】如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（    ） A．2 B． C． D．5 【技巧归纳】 1. 遇平行线直接找A型、X型基本相似模型，对应角相等即可判定三角形相似。 2. 利用平行线得等角，结合两角分别相等，快速完成相似证明与边长比例计算。 【变式1-1】如图，在中，点在边上，，，点、分别在边、上．求证：． 【变式1-2】如图，D、E分别是的边、上的点，，求证：． 题型4 利用两角对应相等判定相似 【例1】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【例2】下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 【技巧归纳】 先找两组对应角相等，优先利用**对顶角、平行线、公共角、直角**推导等角；锁定等角后直接判定相似，再结合对应边比例求解线段长度。 【变式1-1】如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 题型5 利用三边对应成比例判定相似 【例1】如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【例2】如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A．B． C． D． 【技巧归纳】 先将两个三角形的三边按长度从小到大排序，依次计算三组对应边的比值；若三组比值全部相等，即可判定两三角形相似。解题时务必分清对应边，防止比例关系写错，再结合比例式求解线段、周长等问题。 【变式1-1】若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【变式1-2】已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 题型6 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【例1】满足下列条件的各对三角形中，相似的两个三角形是（   ） A．，，；，， B．，，；，， C．，，；， D．，且 【例2】能说明的条件是（   ） A． B．，且 C．，且 D．，且 【技巧归纳】 先选取两组对应边并计算比值，保证比值相等，再验证这两组边的夹角相等，即可判定三角形相似。解题时要严格区分夹角与非夹角，避免角找错，再利用比例关系推导边长、线段等结果。 【变式1-1】如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 题型7 补充条件使三角形相似 【例1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 先分析现有边角条件，结合平行线、公共角、对顶角等隐含条件，对照相似判定定理找准欠缺要素。按需补充一组等角或两边成比例且夹角相等，同时注意对应关系，避免边角匹配出错。 【变式1-1】如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【变式1-2】如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 题型8 相似三角形的证明解答题 【例1】如图，已知点，分别在的边，上，，，，．求证：． 【例2】如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【技巧归纳】 先观察图形识别A、X型等常见相似模型，梳理已知边角条件。结合判定定理筛选合适方法，找准对应边角列出推理过程。得出相似后利用对应边成比例、对应角相等，求解线段、角度等问题。全程留意对应关系，防止比例和边角匹配失误。 【变式1-1】如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【变式1-2】如图，在中，，垂足分别为与交于点．请你在图中找出4对相似三角形（不需要写出证明过程）． 【变式1-3】如图，在中，，点D是上一点，，于点E，连接．求证：． 【变式1-4】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）． A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 3．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 4．如果四边形四边形，且相似比为，则他们的面积比为（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 5．如图，在矩形中，分别是的中点．若矩形与矩形是相似的矩形，则等于（    ） A． B． C． D．2 6．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 7．下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 8．能判定的条件是（   ） A． B． C． D． 9．如图，补充一个条件仍无法判断是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 12．如图，四边形和相似，则________．      13．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 14．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 15．如图，在与中，，只需添加一个条件即可证明与相似，这个条件可以是_______．（写出一个即可） 16．如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 17．根据下列条件判断与是否相似，其中（需说明理由）． (1)． (2)． 18．如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 19．如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，求证：． 20．如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $