第1讲 线段的比和平行线分线段（暑假预习讲义）新九年级数学新教材湘教版

第01讲 线段的比和平行线分线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断四条线段是否成比例 题型2 利用比例的基本性质求线段长度或比值 题型3 找比例尺相关计算 题型4 平行线分线段成比例基本定理应用 题型5 黄金分割 题型6 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段的比、比值、成比例线段、比例基本性质、等比性质 黄金分割、黄金分割点、黄金比 1. 理解线段的比、成比例线段相关概念，掌握比例基本性质。 2. 认识黄金分割与黄金比，会简单运用相关结论解题。 3. 熟记平行线分线段成比例定理及其推论，分清对应线段，准确列出比例式。 4. 结合图形找准对应关系，规范书写推理过程，规避比例对应出错等常见问题。 学习重点：比例的基本性质，比例式和等积式的相互转化。 平行线分线段成比例定理、三角形平行线推论，能根据图形列出正确比例式。 学习难点： 复杂图形中准确识别对应线段，避免比例对应错位。灵活运用等比性质进行比例变形与求值。结合黄金分割、综合题型进行推理计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线段的比 1.核心概念：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是，其中a叫做比的，b叫做比的。 2.关键要点：单位要求：两条线段的长度必须用同一，如果单位不同，需要先统一单位再求比，线段的比和所选用的长度单位无关。 顺序性：线段的比是有的，若，(a:b)和(b:a)不相等。 比值性质：线段的长度都是正数，因此两条线段的比值一定是正数。 即时即练 若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 求两条线段比的步骤： 1.统一两条线段的长度单位； 2.分别计算两条线段的长度； 3.按照指定顺序写出比，化简为最简整数比。 知识点02 成比例线段 核心概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或），那么这四条线段叫做，简称比例线段。 在中，a、d叫做比例的，b、c叫做比例的，如果，那么b叫做a、c的，此时。 即时即练 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【方法总结】 判断四条线段是否成比例的步骤： 1.将四条线段的长度按从小到大（或从大到小）的顺序排列； 2.分别计算前两条线段的比和后两条线段的比，判断是否相等；或者计算最长线段和最短线段的乘积，判断是否等于另外两条线段的乘积； 3.若比值相等（乘积相等）则是成比例线段，反之不是。 知识点03 比例的性质 1. 基本性质：如果，那么；反过来，如果（(a,b,c,d)都不等于0），那么。 2. 合比性质：如果，那么。 3. 等比性质：如果，且，那么 即时即练 已知，那么_________． 【方法总结】 比例基本性质是解比例的核心依据，也可以用来判断两个比能否组成比例。 只要四个数能组成比例，必然满足外项积等于内项积；反之，如果四个数满足其中两个数的积等于另外两个数的积，这四个数一定能组成比例。 知识点04 平行线分线段成比例基本定理 核心内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段。 2.关键要点：对应线段：“对应”指的是位置的线段，同一条直线上的线段是一组，被平行线截出来的线段位置对应，比值才相等。 平行线组数：定理中的“一组平行线”指的是至少三条平行线，两条直线被这组平行线所截。 结论延伸：对应线段的比等于截得的直线的总长之比，所有对应线段都成比例。 即时即练 如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 应用基本定理写比例式的步骤： 1.确定截线和平行线：找出被平行线所截的两条直线； 2.标注截得的线段，确定对应线段的位置； 3.根据定理写出成比例的关系式。 题型1判断四条线段是否成比例 【例1】下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 【例2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【技巧归纳】 判断四条线段是否成比例的核心步骤分两步：第一步，先将四条线段的单位统一后按长度从小到大（或从大到小）排序；第二步，计算前两条线段的比和后两条线段的比，若两个比值相等，则四条线段成比例，否则不成比例；也可以利用“交叉相乘相等”验证：排序后若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则四条线段成比例。 【变式1-1】知三条线段的长为，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是______． A． B． C． D． 【变式1-2】下列各组线段中，能成比例的是（ ） A． B． C． D． 题型2利用比例的基本性质求线段长度或比值 【例1】若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】若，则_________． 【技巧归纳】 运算时系数相除作为结果的系数，被开方数相除作为结果的被开方数； 1.比例基本性质核心：若ab=cd，则ad=bc（交叉相乘相等），反之也成立；遇到连比形式（如a:b:c=m:n:k），常设参数k，设a=mk，b=nk，c=kk，代入条件求解参数后再计算目标值。 2.遇到合比、分比性质可以直接简化计算：若ab=cd，则a±bb=c±dd，不需要重新交叉推导。 【变式1-1】若，则的值为____． 【变式1-2】一个三角形的三边长满足，周长是，则这个三角形的最长边的长度是_____． 【变式1-3】已知，，则的值为______． 【变式1-4】已知，若，且，则_________． 题型3找比例尺相关计算 【例1】地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【例2】地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 【技巧归纳】 比例尺的定义是比例尺=图上距离:实际距离，计算时必须先统一图上距离和实际距离的单位，牢记：单位换算中1km=1000m=100000cm。已知比例尺和其中一个距离，直接用比例关系求未知距离即可。 【变式1-1】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为___________． 【变式1-2】甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 题型4 平行线分线段成比例基本定理应用 【例1】如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 【技巧归纳】 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。解题关键是找准“对应线段”：同一条直线上被平行线截出来的线段，对应位置的线段比相等。牢记口诀：“上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比全等于下比全” 【变式1-1】如图，在中，，点E是的中点，交于点D，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式1-2】八年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（     ） 【变式1-3】如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【变式1-4】如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，交于点．求证：为的中点． 题型5 黄金分割 【例1】第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，利用黄金分割法，作将矩形窗框分为上下两部分，其中点为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【技巧归纳】 黄金分割比值约为0.618，较长段与全长、短段与较长段的比均等于该值；解题先找准分割点与对应线段，利用比例式列方程或直接套比值计算即可。 【变式1-1】大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知《青藏高原》共27小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第___________小节附近．（计算结果四舍五入保留整数） 【变式1-3】在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【变式1-4】“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 题型6 由平行判断成比例的线段 【例1】如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 平行线截线段，可得对应线段成比例；解题先找平行线与被截直线，找准对应线段再列式计算，注意线段对应关系别混淆。 【变式1-1】在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 1．下列各组数中，成比例的是（   ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 2．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 3．如果一个三角形的一条边是，且边上的高为，另一条边是，且边上的高为，那么下列式子中未必成立的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 6．如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 7．摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，交于点，下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 10．如图，，，，则的长是（     ） A．4 B．10 C．9 D．15 二、填空题 11．已知为的三边，且，则的形状是_____． 12．已知线段，线段是的比例中项，则_______ ． 13．若线段、、、是成比例线段，且，则的值为______． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 15．如图，若，，则的长为_____． 16．如图，在中，，，，，则_____． 17．已知，求的值，且． 18．已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 19．如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，求的长． 20．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 线段的比和平行线分线段 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断四条线段是否成比例 题型2 利用比例的基本性质求线段长度或比值 题型3 找比例尺相关计算 题型4 平行线分线段成比例基本定理应用 题型5 黄金分割 题型6 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 线段的比、比值、成比例线段、比例基本性质、等比性质 黄金分割、黄金分割点、黄金比 1. 理解线段的比、成比例线段相关概念，掌握比例基本性质。 2. 认识黄金分割与黄金比，会简单运用相关结论解题。 3. 熟记平行线分线段成比例定理及其推论，分清对应线段，准确列出比例式。 4. 结合图形找准对应关系，规范书写推理过程，规避比例对应出错等常见问题。 学习重点：比例的基本性质，比例式和等积式的相互转化。 平行线分线段成比例定理、三角形平行线推论，能根据图形列出正确比例式。 学习难点： 复杂图形中准确识别对应线段，避免比例对应错位。灵活运用等比性质进行比例变形与求值。结合黄金分割、综合题型进行推理计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 线段的比 1.核心概念：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是，其中a叫做比的，b叫做比的。 2.关键要点：单位要求：两条线段的长度必须用同一，如果单位不同，需要先统一单位再求比，线段的比和所选用的长度单位无关。 顺序性：线段的比是有的，若，(a:b)和(b:a)不相等。 比值性质：线段的长度都是正数，因此两条线段的比值一定是正数。 即时即练 若，且b是a、c的比例中项，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例中项的概念可得，由此即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∴． 【方法总结】 求两条线段比的步骤： 1.统一两条线段的长度单位； 2.分别计算两条线段的长度； 3.按照指定顺序写出比，化简为最简整数比。 知识点02 成比例线段 核心概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即（或），那么这四条线段叫做，简称比例线段。 在中，a、d叫做比例的，b、c叫做比例的，如果，那么b叫做a、c的，此时。 即时即练 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 【方法总结】 判断四条线段是否成比例的步骤： 1.将四条线段的长度按从小到大（或从大到小）的顺序排列； 2.分别计算前两条线段的比和后两条线段的比，判断是否相等；或者计算最长线段和最短线段的乘积，判断是否等于另外两条线段的乘积； 3.若比值相等（乘积相等）则是成比例线段，反之不是。 知识点03 比例的性质 1. 基本性质：如果，那么；反过来，如果（(a,b,c,d)都不等于0），那么。 2. 合比性质：如果，那么。 3. 等比性质：如果，且，那么 即时即练 已知，那么_________． 【答案】 【详解】解： 将代入得：． 【方法总结】 比例基本性质是解比例的核心依据，也可以用来判断两个比能否组成比例。 只要四个数能组成比例，必然满足外项积等于内项积；反之，如果四个数满足其中两个数的积等于另外两个数的积，这四个数一定能组成比例。 知识点04 平行线分线段成比例基本定理 核心内容：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段。 2.关键要点：对应线段：“对应”指的是位置的线段，同一条直线上的线段是一组，被平行线截出来的线段位置对应，比值才相等。 平行线组数：定理中的“一组平行线”指的是至少三条平行线，两条直线被这组平行线所截。 结论延伸：对应线段的比等于截得的直线的总长之比，所有对应线段都成比例。 即时即练 如图，在中，交于点，交于点，下列式子中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，选项A成立，不符合题意； ，选项B成立，不符合题意； ，选项C成立，不符合题意； ，选项D不成立，符合题意； 故选：D． 【方法总结】 应用基本定理写比例式的步骤： 1.确定截线和平行线：找出被平行线所截的两条直线； 2.标注截得的线段，确定对应线段的位置； 3.根据定理写出成比例的关系式。 题型1判断四条线段是否成比例 【例1】下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于中间两线段的乘积，若相等，则成比例；否则不成比例，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：线段排序为2，3，4，6，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项B：线段排序为，5，8，15，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项C：线段排序为，∵，，，∴四条线段不成比例，符合题意； 对于选项D：线段排序为，∵ ，∴四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 【例2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 【技巧归纳】 判断四条线段是否成比例的核心步骤分两步：第一步，先将四条线段的单位统一后按长度从小到大（或从大到小）排序；第二步，计算前两条线段的比和后两条线段的比，若两个比值相等，则四条线段成比例，否则不成比例；也可以利用“交叉相乘相等”验证：排序后若最长线段与最短线段的乘积等于中间两条线段的乘积，则四条线段成比例。 【变式1-1】知三条线段的长为，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是______． 【答案】或或． 【分析】根据四条线段成比例可得、、，分别求出d即可得． 【详解】解∶根据题意，得∶ 当时，解得∶； 当时，解得∶； 当时，解得：； 故答案为：为或或． A． B． C． D． 【变式1-2】下列各组线段中，能成比例的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判定，关键是掌握比例线段的定义；根据成比例线段的定义，若四条线段成比例，则满足，通过验证各选项中线段是否满足该关系即可得出答案． 【详解】解：∵判断四条线段成比例可通过验证最长线段与最短线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积 ∴A选项：，故不成比例 B选项：，故不成比例 C选项：，故不成比例 D选项：，故成比例 故选：D． 题型2利用比例的基本性质求线段长度或比值 【例1】若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 【例2】若，则_________． 【答案】 【分析】根据题意可得，把代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【技巧归纳】 运算时系数相除作为结果的系数，被开方数相除作为结果的被开方数； 1.比例基本性质核心：若ab=cd，则ad=bc（交叉相乘相等），反之也成立；遇到连比形式（如a:b:c=m:n:k），常设参数k，设a=mk，b=nk，c=kk，代入条件求解参数后再计算目标值。 2.遇到合比、分比性质可以直接简化计算：若ab=cd，则a±bb=c±dd，不需要重新交叉推导。 【变式1-1】若，则的值为____． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式1-2】一个三角形的三边长满足，周长是，则这个三角形的最长边的长度是_____． 【答案】 【分析】根据设，，，然后根据周长求出，进而求解即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长满足， ∴设，，， ∵周长是， ∴ ∴ ∴ ∴这个三角形的最长边的长度是． 【变式1-3】已知，，则的值为______． 【答案】8 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 【变式1-4】已知，若，且，则_________． 【答案】15 【分析】根据题意求得，，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， 提取公因式得， 解得． 题型3找比例尺相关计算 【例1】地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 【例2】地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的应用．依据比例尺的定义，通过图上距离与实际距离的数量关系计算出结果，注意统一单位再进行计算． 【详解】解：设小明在图上应该画厘米，依题意， 解得： 故答案为：． 【技巧归纳】 比例尺的定义是比例尺=图上距离:实际距离，计算时必须先统一图上距离和实际距离的单位，牢记：单位换算中1km=1000m=100000cm。已知比例尺和其中一个距离，直接用比例关系求未知距离即可。 【变式1-1】在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为___________． 【答案】 300 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，进行计算即可求解． 【详解】解：∵比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故答案为：300． 【变式1-2】甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【答案】120 【分析】本题考查了比例尺，图上距离等于实际距离乘以比例尺，将实际距离单位统一为厘米即可． 【详解】解：实际距离千米厘米， 图上距离厘米． 故答案为：120． 题型4 平行线分线段成比例基本定理应用 【例1】如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴． 【例2】如图，在中，点在边上，，交于点，若线段，则线段的长为（     ） A．7.5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】由平行线分线段成比例列比例式即可求得答案． 【详解】解：， ， ∴． 【技巧归纳】 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。解题关键是找准“对应线段”：同一条直线上被平行线截出来的线段，对应位置的线段比相等。牢记口诀：“上比下等于上比下，上比全等于上比全，下比全等于下比全” 【变式1-1】如图，在中，，点E是的中点，交于点D，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例，得到，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵，点E是的中点，，， ∴， ∴． 【变式1-2】八年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例这一性质，由左侧已知相等的线段推导出右侧对应的线段相等，即，进而求出的长度． 【详解】解：， （平行线分线段成比例定理）， ， ， ，即， ， ， ． 【变式1-3】如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-4】如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，交于点．求证：为的中点． 【答案】证明：，E分别是，边的中点， 为的中位线，   ． 为的中点，   为的中位线，为的中位线．   ，．   是边的中点，       为的中点 【分析】由中位线的性质可知为的中点，进而可得为的中位线，为的中位线，再利用中位线的性质即可证明． 【详解】略 题型5 黄金分割 【例1】第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若点是线段的黄金分割点（），则有．列方程即可求解． 【详解】解：设的长为，， 根据黄金分割的定义，得， 化简，整理得， 解得或（不符合题意，舍去） 即的长是． 【例2】如图，利用黄金分割法，作将矩形窗框分为上下两部分，其中点为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】由黄金分割得，将代入即可求解． 【详解】解：点为边的黄金分割点，， ， ， ， 即线段的长为米． 【技巧归纳】 黄金分割比值约为0.618，较长段与全长、短段与较长段的比均等于该值；解题先找准分割点与对应线段，利用比例式列方程或直接套比值计算即可。 【变式1-1】大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 【变式1-2】音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知《青藏高原》共27小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第___________小节附近．（计算结果四舍五入保留整数） 【答案】 【分析】根据高潮位于全曲后半部分的黄金分割点，用总小节数乘黄金分割比，计算后四舍五入即可得到结果． 【详解】解：黄金分割比为， 由题意可得：． 【变式1-3】在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 【变式1-4】“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛位于头顶到下巴的黄金分割点，如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为4分米，那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为_______分米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米，根据黄金分割的定义列出方程求解． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为分米， 由题意得， 解得， 那么该兵马俑的头顶到眼睛的距离约为分米． 题型6 由平行判断成比例的线段 【例1】如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 【例2】如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意． 故选：A． 平行线截线段，可得对应线段成比例；解题先找平行线与被截直线，找准对应线段再列式计算，注意线段对应关系别混淆。 【变式1-1】在中，是边上的中线，点在上，且．若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例得，进而得，计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 1．下列各组数中，成比例的是（   ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 【答案】D 【分析】根据比例的性质，即最小的数和最大的数相乘与另外两个数相乘的积相等，即可判断． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 2．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 3．如果一个三角形的一条边是，且边上的高为，另一条边是，且边上的高为，那么下列式子中未必成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一三角形面积不变，结合三角形面积公式推导出，再利用比例的基本性质判断各选项即可． 【详解】解：设该三角形的面积为， ， ， 根据比例的基本性质，交叉相乘验证各选项： 选项A： ，则，式子成立． 选项B：，则，与不恒等，式子未必成立． 选项C：由且边长、高均不为，可得，式子成立． 选项D：交叉相乘得，式子成立． 4．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用分式的运算性质变形所求式子，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 5．在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 6．如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 7．摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到主体高度和总高度的比例关系，代入黄金分割比的近似值计算即可解答． 【详解】解：设该风景照画面主体的高度为， ∵ 画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值为黄金分割比，总高度为，黄金分割比， ∴，即该风景照画面主体的高度约为． 8．如图，，交于点，下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐一排除即可，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，故不符合题意； 、∵， ∴，故不符合题意； 、∵， ∴，故不符合题意； 、∵， ∴，故该选项符合题意； 故选：． 9．如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．如图，，，，则的长是（     ） A．4 B．10 C．9 D．15 【答案】B 【分析】运用平行线分线段成比例定理解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 11．已知为的三边，且，则的形状是_____． 【答案】等边三角形 【分析】设比值为，利用比例的性质求出的值，再推导得到三边相等，即可判断三角形形状． 【详解】解：设， ∴， ∴， 为的三边， ， ， ∴， ，， ∴①，②， 得：，即， ， 同理可得， ， 是等边三角形． 12．已知线段，线段是的比例中项，则_______ ． 【答案】 【分析】由比例中项定义列式，将代入计算即可． 【详解】解：由线段是的比例中项，得到， ． 13．若线段、、、是成比例线段，且，则的值为______． 【答案】 6 【分析】根据成比例线段的顺序写出比例式，再根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：若线段、、、是成比例线段， ∴ ∵， ∴． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．点恰好是线段的黄金分割点（），即．若线段，则线段的长为________． 【答案】 【分析】根据题意设线段的长为，用含的代数式表示出，代入已知等式建立关于的一元二次方程，解方程并根据线段长为正数取舍即可． 【详解】解：设， ∵，点在线段上，， ∵， ∴ ，整理得：， 解得：， ∵为线段长，， ∴， 即线段的长为． 15．如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 16．如图，在中，，，，，则_____． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 三、解答题 17．已知，求的值，且． 【答案】3 【分析】本题考查了分式求值．通过转化思想，将转化为含有相同比值的量是解题的关键．设公共比例系数为k，将转化成用k表示的量，再代入所求分式，化简计算，即可得到结果. 【详解】解：设，则， ， ， 原式． 18．已知． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质，一元一次方程的应用，求分式的值，代数式的值． （1）设，，（），代入计算即可； （2）设，，（），代入即可得到关于k的方程，求解即可得到a，b，c的值，进而解答． 【详解】（1）解：∵， 设，，（）， ∴； （2）解：∵， 设，，（）， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，，它们依次交直线m，n于点A，B，C和点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由，可得，即，再进一步计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 解得，， ∴． 20．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $