第16讲 图形的旋转（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第16讲图形的旋转 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断生活中的旋转现象 题型2根据旋转的性质求解 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 题型4求绕某点旋转90°点的坐标 题型5求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型6几何图形中的旋转综合问题 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点0转动一个角度），掌 握旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）。 旋转、旋转中心、旋 2.掌握旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心 转角、三要素、对应 所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。 点、性质、全等、作 3.能按要求作出简单平面图形旋转后的图形（如线段、三角形等）。 图。 4.经历观察、操作、猜想、验证等过程，体会图形变换思想，发展空间观 念。 学习重点：旋转的定义和三要素，旋转的基本性质，按要求作出旋转后的图形。 学习难点：理解旋转前后图形的对应关系（对应点、对应线段、对应角），以及利用旋转性质解决几 何问题（如证明线段相等、角相等）。 02 教材全解 ◇ 知1识|框1架 1/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 旋转的定义 把一个图形绕某点转动角度 旋转口诀：定中心连关键点，同向等长 画弧线 三个要素：旋转中心、方向、角度 解题方法与口诀 找对应角：对应边夹角是旋转角 对应点到旋转中心距离相等 旋转的性质 旋转方向混淆 对应点与中心连线夹角等于旋转角 高频易错点 旋转角判断错误 图形的旋转 旋转前后图形全等 旋转角度计算 旋转作图 步骤：定点、连线、量角、截等长 利用旋转构造全等三角形 高频考点 关键：找对应点 旋转作图 中心对称是旋转特例（旋转180度） 旋转与中心对称 中心对称性质与旋转一致 知|识|精1讲 知识点01旋转的概念及性质 (1)旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换。 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角： 图形上点P旋转后得到点P',这两个点叫作对应点 (2)旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心：③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上 (3)旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等：两组对应点 分别与旋转中心连线所成的角相等， 【易错提醒】 旋转概念性质易错警示：旋转三要素（旋转中心、方向、角度）。性质：对应点到旋转中心距离相等，对 应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。注意：旋转不改变图形形状大小，但方向可能改变。勿与平移混 淆。 即时即练1. (25-26八年级下·全国课后作业)有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动：③传送 带传送物品：④雨刮器来回摆动.其中属于旋转的是() A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.(25-26九年级上·北京期中)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，将△ABC绕点A顺时针方 向旋转得到△ADE,AB与CE相交于点F,下列说法错误的是() 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.若AD∥CE,则∠BAE=30° B.∠BAE=2∠BCE C.∠B=∠AEC D.连接BE及CD,则BE∥CD 知识点02确定旋转中心及旋转作图 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂 直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点。 2旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方 向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形 作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心： (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点： (4)连接所得到的各对应点. 【易错提醒】 旋转作图易错警示：找对应点与旋转中心连线，量角作等角。旋转中心在两对应点连线的中垂线上。作图 时注意方向（顺时针逆时针）和角度，对应线段相等。勿漏标旋转角或弄混方向。 即时即练1.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，△ABC经过旋转后得到△DEC. C (1)旋转中心是点一，旋转角是 (2)点A的对应点是点一： (3)线段AC的对应线段是：∠ABC的对应角是 3/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上·湖北武汉期中)如图，A,B,C三点不共线，△ABD和△AEC都是等边三角形， CD与BE交于点F. D (I)△ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是_点，旋转方向是_时针.旋转角（小于平角）的度 数是_ (2)请你求出∠CFE的度数. 03 题型突破 题型1判断生活中的旋转现象 【例1】(25-26八年级下·全国课后作业)以下生活现象中，属于旋转变换的是() A.钟表的指针和钟摆的运动 B.站在电梯上的人的运动 C.汽车沿笔直的公路行驶 D.地下水位线逐年下降 【例2】(25-26七年级上·上海宝山月考)下列生活中的现象是旋转的是() A.飞驰的汽车 B.匀速转动的摩天轮 C.运动员投掷标枪 D.乘坐升降电梯 【技巧归纳】 旋转现象：物体绕一个定点转动，形状大小不变。判断三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。生活中 如钟表指针、风车、车轮。注意平移（直线移动）与旋转区别。物体上各点绕中心转相同角度。旋转前后 对应点与中心连线夹角相等。 【变式1-1】(25-26九年级上·江西赣州期末)下面图形不能通过旋转变换得到的是() 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】(25-26九年级上·江西上饶·期中)数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是() A.钟表上的时针运动 B.火箭升空 C.月亮在水中的倒影 D.足球在草地上滚动 题型2根据旋转的性质求解 【例3】(25-26九年级上：四I川绵阳·月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针 旋转90°后得到△ABC(点B的对应点是点B,点C的对应点是点C),连接CC.若∠CCB=32°，则 ∠BCA=() A.13° B.28 C.32° D.45 【例4】(24-25七年级下·河南周口·期末)如图，将△AOB按顺时针方向旋转后成为△COD,则下列说法 错误的是() D A.旋转中心是点O B.旋转角等于∠AOD C.OA=OC D.△AOB≌△COD 【技巧归纳】 旋转性质：对应点到旋转中心距离相等；对应点与中心连线夹角等于旋转角；图形全等。利用这些性质可 求角、线段长：如对应角相等，对应边相等。常连接旋转中心与对应点构成等腰三角形，用全等或勾股求 解。注意旋转方向。 5/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(25-26九年级上四川宜宾期中)如图，己知△4BC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将 △ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB'C,以下结论中错误的是() B A.CB⊥BB B.BC=B'C" C.AC∥CB D.∠ABB'=∠ACC 【变式2-2】(2025·天津·二模)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分 别为D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上，下列结论一定正确的是() D B A.AB=AE B.∠ABC+∠E=180° C.AC平分∠BCD D.BC+CD=AE 题型3找旋转中心、旋转角、对应点 【例5】(25-26九年级上全国期末)如图，点A,B,C,D,O都在方格纸上，若△COD是由△AOB 绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为() A.30° B.45 C.90° D.135° 【例6】(25-26八年级上·山东威海期末)如图，在4×4的正方形网格中，格点△MNP绕某点旋转一定角 度，可得格点△MNB,则旋转中心是() 6/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D MN A.点A B.点B C.点C D.点D 【技巧归纳】 旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点。旋转角：对应点与中心连线夹角，如∠AO4'。对应点：旋转前 后重合的点。已知图形和旋转后图形，找对应点连线作垂直平分线求中心。也可利用对应点距离不变验 证。口诀：连线中垂线交于一点。 【变式3-1】(24-25七年级上全国随堂练习)如图所示，在三角形ABC中，AB=BC=AC,D是BC边 上的一点，三角形ABD经过旋转后到达三角形ACE的位置. B D (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是AB的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【变式3-2】(24-25七年级下全国课后作业)如下图，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,E,F 分别是AB,CD的中点， B (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (②)AO与CO的长有什么关系？BE与DF呢？ 3)∠AOC与∠BOD的度数大小有什么关系？ 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型4求绕某点旋转90°点的坐标 【例7】(25-26九年级下辽宁盘锦开学考试)在平面直角坐标系x0y中，已知点A(2,3),若将0A绕原 点O逆时针旋转90°得到OA',则点的坐标是 【例8】(25-26九年级上·天津武清·月考)如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△AOB,若 A(4,2),则点A坐标为 【技巧归纳】 绕原点旋转90°：点()顺时针变（亿，-0，逆时针变(，0。绕任意点(，）：先平移使中心为原点，旋转后再 平移回。坐标变换公式：设Pc),绕O(a,)逆时针转90°得(-0-)，叶x-)。注意象限变化。可用画图验 证。 【变式41】(25-26九年级上湖北荆门月考)如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B, 将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△BCD,则点D的坐标为 B 【变式42】(25-26八年级上江苏南京期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,)、B(-2,4)、 C,)、D(4,O).若线段CD绕点P旋转后能与线段AB重合(C对应A,D对应B)，则点P的坐标为 8/16 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例9】(25-26九年级上广西钦州期末)如图，在直角坐标系中，已知点A(5,4),将△AB0绕点0逆时 针方向旋转180°后得到△CDO,点A的对应点是点C,则点C的坐标是 【例10】(24-25九年级下·辽宁抚顺月考)在平面直角坐标系中，己知A(6,-2),将点A绕原点逆时针 旋转45度得到点B,则点B的坐标为， 【技巧归纳】 利用特殊角的几何关系，如旋转90交换坐标并变号，180°取相反数，270°等。45时可构造等腰直角三角 形，用勾股求坐标。也可借助全等三角形，找对应边长度。画图确定象限，根据原坐标和角度推得新坐 标，避负套公式。 【变式51】(24-25九年级上内蒙古兴安期中)在平面直角坐标系x0y中，点A坐标是(-5，)，当把坐 标系绕点O顺时针旋转30°时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 【变式5-2】(2025·上海嘉定·一模)在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点P，绕 原点0顺时针旋转a(0°<a<360)得到对应点P,点P在射线OP上，且OP=kOR(k>0),得到最终的 对应点乃，称点B为点p经过[a,变换后的对应点.例如，点A1,1)经过45°，V2变换后的对应点为 4,(2,0):那么点4(2,0)经过 303 2 变换后的对应点坐标为 题型6几何图形中的旋转综合问题 【例11】(25-26八年级下·山东期末)如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE 绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'(点A的对应点为点C),延长AE交CE'于点F. 9/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (I)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由： (2)如图②，若AD=DE，,请猜想线段CF与E'F的数量关系并加以证明 【例12】(25-26八年级下宁夏银川期中)在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如 图①，点P在等边△ABC内部，且PA=3,PC=4,∠APC=150°，求PB的长. 图① 图② (I)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按 顺时针方向旋转60°，得到△APB,连接PP,寻找PA,PB,PC三边之间的数量关系，即可求得PB 的长，请写出详细的解答过程； 2)【理解应用】如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC内一点，∠APC=135°，判 断PA,PB,PC之间的数量关系，并说明理由. 【技巧归纳】 旋转构造全等，将分散条件集中。确定旋转中心、角度，找对应边角关系。利用全等或相似得线段相等、 角相等，再与勾股、面积结合。常见于正方形、等腰三角形中。注意旋转前后图形位置变化，画出旋转后 图形辅助分析。 【变式61】(2026江苏泰州三模)综合与实践： 己知菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，将该菱形绕顶点A按顺时针方向在平面内旋转 a0°≤<360至菱形ABCD. 10116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 图1 图2 图3 备用图 1)若旋转后B'C'与CD垂直如图1，则旋转角a为_°： (2)将AD旋转至与AC重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） 3)菱形ABCD在旋转过程中如图3，连接BB,B'D',BD',△BBD为等腰三角形时，请直接写出BB 的长 【变式62】(25-26八年级下四川达州阶段检测)如图1，口ABCD绕点A旋转得到口AEFG,当点E落 在边CD上时，连接BE」 D G 图1 图2 图3 (I)求证：EB平分∠AEC: (2)连接GB交AE于点M, ①如图2，若口ABCD为长方形，则GM和BM之间的等量关系为_，并说明理由； ②如图3，若∠BEC=60°，AB=5,EC=4,请直接写出△GAB的面积. 04 过关检测 一、单选题 1.(2026吉林一模)如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,且点B刚好落在A'B'上.若 ∠ABC=70°，则∠ACA的度数为（) B 11/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.25° B.30° C.35° D.40° 2.(25-26八年级下广东佛山期中)如图，点A、B、CAB和C均在格点上，若△ABC可由 △ABC绕点P旋转得到，则P的坐标为()· -4-3-2 A.(0,0) B.-2,4 c.-2,2 D.（-1,2) 3.(25-26八年级下安徽宿州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=3,将 △ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,点A恰好落在AB边上，则点B与点B之间的距离为 () B A B A.3 B.33 C.6 D.9 4.(25-26八年级下·河南驻马店期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点B(0,6),点A在第一象限内， AB=OA,∠OAB=120°，将△AB0绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2026次旋转结束时，点A 的坐标为() A.-3,V3 B.-V3,3 C.-3,-3 D.3,V3 5.(23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生)如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将△AEB绕 点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG.延长AE交CG于点F,连接DE,下列结论：①AF⊥CG: ②四边形BEFG是正方形，③若DA=DE,则2CF=CG.其中正确的结论是() 12116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A.①②③ B.①② C.①③ D.① 二、填空题 6.(25-26八年级下·江苏宿迁期中)如图，将口ABCD绕顶点B顺时针旋转到口A1BC1D1,当C1D1首 次经过顶点C时，此时旋转角∠ABA的度数等于42°，则∠A的度数等于°. D D 7.(25-26八年级下·陕西西安阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=125°，将△ABC绕点A逆时针旋转 得到△ADE,旋转角度为a,点C的对应点为点D,连接CD.若点B,C,D在同一条直线上时，则C= D 8.(25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔期中)如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为120°，以旋转 轴0为原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点A对应的坐标为(10,10)，若叶 片每秒绕点0逆时针旋转45°，则第2026秒时叶片尖点A的坐标为 10 10 图1 图2 13/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(2026河南周口模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P是直线BC上的一个动点 BP (不与点C重合)，将线段AP绕点P顺时针旋转90得到线段PE:连接AE·当C =3时，4E的长为- 10.(25-26八年级下·河北保定·期中)如图，在等边三角形ABC中，AB=4,点D在AC上，且 CD=3将CD绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点P,连接AP,BP.当AP=BP时，AP的长为 D 三、解答题 11.(25-26七年级下·江苏宿迁期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋 转得到△DEC,点A的对应点为D,点B的对应点E恰好落在AC上，延长DE交AB于点F.已知BC=3, AC=4」 (1)求AE的长： (②)判断AB与DF的位置关系，并说明理由. 12.(25-26九年级上湖北孝感期末)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC边上的 一点（不与点B,C重合），连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转9O°，得到线段AE. 14116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)求证：BD=CE: (2)如图2，∠DAE的平分线交BC于点F, ①试探究三线段BD,DF,CF之间有何数量关系，并予以证明： ②若BD=4,CF=3,求AF的长 13.(25-26八年级下·江西吉安阶段检测)如图1，点C为线段AB上一点.△ACM,△CBN是等边三 角形，线段AN,MC交于点E,线段BM,CN交于点F,连接EF. M 图1 图2 (I)求证：AW=BM: (2)求证：△CEF为等边三角形： 3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，如图2.试判断第(1)、(2)两小题的结 论是否仍然成立（不要求证明） 14.(2026山西运城三模)综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形ABCD内部一点，且∠CED=90°，将△DEC绕点C逆时针旋转90°， 得到△BE'C,延长E'B与DE的延长线交于点F. B B 2 ⊙ 图1 图2 图3 猜想证明： 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()判断四边形E'CEF的形状，并说明理由： (②)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线EE与BD交于点O,点O始终是线段 BD的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的： 拓展延伸： 3)如图3，若该正方形ABCD的边长为4，连接BE,在点E运动的过程中，当△BEC是等腰三角形时， 直接写出DE的长。 15.(25-26八年级下·山西临汾阶段检测)综合与探究 问题情境：将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形ABCD',点A,C,D的对应点分别为A,C,D D 图1 图2 备用图 猜想： (I)如图1，延长DC交CD于点E,试判断CE与CE的数量关系，并说明理由. 深入探究： (②)如图2，连接AC,当点A落在AC上时，连接CD,BD',试判断四边形ACD'B的形状，并说明理由. 拓展延伸： 3)在旋转过程中，当点A,D,C在同一条直线上时，若AB=3,BC=4,请直接写出CD的长. 16116 第16讲 图形的旋转 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断生活中的旋转现象 题型2 根据旋转的性质求解 题型3 找旋转中心、旋转角、对应点 题型4 求绕某点旋转90°点的坐标 题型5 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型6 几何图形中的旋转综合问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 旋转、旋转中心、旋转角、三要素、对应点、性质、全等、作图。 1. 理解旋转的定义（把一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度），掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）。 2. 掌握旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等。 3. 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形（如线段、三角形等）。 4. 经历观察、操作、猜想、验证等过程，体会图形变换思想，发展空间观念。 学习重点:旋转的定义和三要素，旋转的基本性质，按要求作出旋转后的图形。 学习难点:理解旋转前后图形的对应关系（对应点、对应线段、对应角），以及利用旋转性质解决几何问题（如证明线段相等、角相等）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 旋转的概念及性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3） 旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 【易错提醒】 旋转概念性质易错警示：旋转三要素（旋转中心、方向、角度）。性质：对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。注意：旋转不改变图形形状大小，但方向可能改变。勿与平移混淆。 即时即练1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，将绕点顺时针方向旋转得到，与相交于点，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B． C． D．连接及，则 【答案】C 【分析】由旋转的性质得出，，根据平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，继而求出，则可求出，可判断选项A；设，根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可得，可判断选项B；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项C；根据旋转的性质及等腰三角形的性质分别求出、，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕着点顺时针方向旋转得到，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴选项A说法正确，故此选项不符合题意； 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴选项B说法正确，故此选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴选项C说法错误，故此选项符合题意； 如图， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴选项D说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 知识点02 确定旋转中心及旋转作图 1.确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 2.旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 【易错提醒】 旋转作图易错警示：找对应点与旋转中心连线，量角作等角。旋转中心在两对应点连线的中垂线上。作图时注意方向（顺时针/逆时针）和角度，对应线段相等。勿漏标旋转角或弄混方向。 即时即练1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 题型1 判断生活中的旋转现象 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 【技巧归纳】 旋转现象：物体绕一个定点转动，形状大小不变。判断三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。生活中如钟表指针、风车、车轮。注意平移（直线移动）与旋转区别。物体上各点绕中心转相同角度。旋转前后对应点与中心连线夹角相等。 【变式1-1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西上饶·期中）数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 题型2 根据旋转的性质求解 【例3】（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 【例4】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【技巧归纳】 旋转性质：对应点到旋转中心距离相等；对应点与中心连线夹角等于旋转角；图形全等。利用这些性质可求角、线段长：如对应角相等，对应边相等。常连接旋转中心与对应点构成等腰三角形，用全等或勾股求解。注意旋转方向。 【变式2-1】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（2025·天津·二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接，点恰好落在线段上，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可判断选项A；根据旋转的性质及三角形内角和定理得，可判断选项B；根据旋转的性质及等边对等角可推出，可判断选项C；根据旋转的性质及勾股定理可推出，可判断选项D． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，， ∴，，，，，， 故选项A不符合题意； ∴， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴平分，故选项C符合题意； ∵连接，点恰好落在线段上，，， ∴，， ∴，故选项D不符合题意． 故选：C． 题型3 找旋转中心、旋转角、对应点 【例5】（25-26九年级上·全国·期末）如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 【例6】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【技巧归纳】 旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点。旋转角：对应点与中心连线夹角，如∠AOA'。对应点：旋转前后重合的点。已知图形和旋转后图形，找对应点连线作垂直平分线求中心。也可利用对应点距离不变验证。口诀：连线中垂线交于一点。 【变式3-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A． (2)逆时针旋转了． (3)点M到了的中点处． 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点． 【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴逆时针旋转了； （3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点， ∴点转到了的中点． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)与的长有什么关系？与呢？ (3)与的度数大小有什么关系？ 【答案】(1)旋转中心是点O，旋转角是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义即可求解； （2）根据旋转的定义和线段中点的定义即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得旋转中心是点O，旋转角是； （2）解：由旋转知：，， ∵E，F分别是，的中点 ∴，， ∴； （3）解：由旋转知：， ∴， ∴． 题型4 求绕某点旋转90°点的坐标 【例7】（25-26九年级下·辽宁盘锦·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，若将绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查了求绕原点旋转的点的坐标，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，过点作轴于，过点作轴于，进而证明是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ∵绕坐标原点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【例8】（25-26九年级上·天津武清·月考）如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化． 利用旋转的性质得，，，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 【详解】解：∵， ∴，， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，，，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【技巧归纳】 绕原点旋转90°：点(a,b)顺时针变(b,-a)，逆时针变(-b,a)。绕任意点(h,k)：先平移使中心为原点，旋转后再平移回。坐标变换公式：设P(x,y)，绕O(a,b)逆时针转90°得(a-(y-b), b+(x-a))。注意象限变化。可用画图验证。 【变式4-1】（25-26九年级上·湖北荆门·月考）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 题型5 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例9】（25-26九年级上·广西钦州·期末）如图，在直角坐标系中，已知点，将绕点O逆时针方向旋转后得到，点A的对应点是点C，则点C的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，准确掌握这一知识点是解题的关键．关于原点对称的两个点，对应横、纵坐标互为相反数，由，以及点A与点C关于原点对称，可得点C坐标． 【详解】解：∵点A与点C关于原点对称，， ∴． 故答案为：． 【例10】（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一线三等角构造全等三角形，一次函数解析式，勾股定理．绕点A顺时针旋转得到线段，得到等腰，，点B在上，利用点A坐标构造全等三角形，求出点E坐标，得到直线的解析式，再根据，可得点B坐标． 【详解】解：如图，过A作x轴的垂线，垂足为C，绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线交于点D．连接． ∴， ∴，， ∴，，， ∴． ∴，， ∴E的坐标为． ∴所在直线的解析式为， 中，，， ∴， ∴点B在上． 设点B坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第三象限， ∴，， 点B坐标为． 故答案为：． 【技巧归纳】 利用特殊角的几何关系，如旋转90°交换坐标并变号，180°取相反数，270°等。45°时可构造等腰直角三角形，用勾股求坐标。也可借助全等三角形，找对应边长度。画图确定象限，根据原坐标和角度推得新坐标，避免套公式。 【变式5-1】（24-25九年级上·内蒙古兴安·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 【变式5-2】（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，我们规定一种变换：将平面内任意一点，绕原点顺时针旋转得到对应点，点在射线上，且，得到最终的对应点，称点为点经过变换后的对应点．例如，点经过变换后的对应点为，那么点经过变换后的对应点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据变换规则可求出，且，过点作轴于点B，求出和的长即可得到答案． 【详解】解：设点经过变换后的对应点为， ∵， ∴， ∴，且， 如图所示，过点作轴于点B， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型6 几何图形中的旋转综合问题 【例11】（25-26八年级下·山东·期末）如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． (2)． 证明：如图，过点D作于H， ∵，， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例12】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的解答过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； (2)解：， 理由：如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，，即， ∴． 【技巧归纳】 旋转构造全等，将分散条件集中。确定旋转中心、角度，找对应边角关系。利用全等或相似得线段相等、角相等，再与勾股、面积结合。常见于正方形、等腰三角形中。注意旋转前后图形位置变化，画出旋转后图形辅助分析。 【变式6-1】（2026·江苏泰州·三模）综合与实践： 已知菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点按顺时针方向在平面内旋转至菱形． (1)若旋转后与垂直如图1，则旋转角为______； (2)将旋转至与重合时，请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的面积；（请在图2中构图） (3)菱形在旋转过程中如图3，连接，，，为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)330 (2) (3)或或或 【分析】（1）先根据菱形性质及已知角度，确定相关角的度数并设交点，再由旋转后垂直关系，利用四边形内角和求出，从而得； （2）先作辅助线，依据菱形性质求相关线段长与三角形面积，再利用旋转性质推出角度与边长关系，算出另一三角形面积，进而得重叠部分面积； （3）根据题图分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴，， 设交点与交点为， ∵旋转后与垂直， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图： 连接、交于点，延长至点，连接，与交于点， ∵四边形是菱形， ∴平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形，四边形由四边形旋转得到， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ， ． （3）解：本题分多种情况讨论： ①当，如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当，如图，延长至点， 当在左侧；连接、，设与交于， 在中， ∵ 四边形是菱形， ∴为、中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 当在右侧，连接、，设与交于， 根据上一情况可得：，，， ∴， ∴； ③当时，如图， 由①可知是等边三角形， ∵ 四边形由四边形旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， ∴，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上，或或或． 【变式6-2】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图1，绕点A旋转得到，当点E落在边上时，连接． (1)求证：平分； (2)连接交于点M． ①如图2，若为长方形，则和之间的等量关系为 ，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：在中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∴平分； (2)①；理由如下： 过点B作于点N，如图2， 由（1）知，平分， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由平行、旋转及等腰三角形的性质得，即可证明结论； （2）①过点B作于点N，由矩形的性质及角平分线的判定定理得，由旋转易得，即可证明，从而可得间的数量关系； ②过点B作，交于点N，连接，作于点I，由已知及旋转可得是等边三角形，结合平行四边形的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，，则， 在中求得，即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：①；理由略； ②如图，过点B作，交于点N，连接，作于点I， 由（1）知， ∴， 由旋转有， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由旋转得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 一、单选题 1．（2026·吉林·一模）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，由点在上可知，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出旋转角，再根据旋转角相等得出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知， ，，； 点刚好落在上， ， ， ， 在中， ， ． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点和均在格点上，若可由绕点旋转得到，则的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点．要确定点的坐标，只需分别作出两组对应点（如与、与）连线的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接，，作，的垂直平分线交于点，则点． 3．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上，则点与点之间的距离为（     ） A．3 B． C．6 D．9 【答案】B 【分析】如图：连接，先证明是等边三角形，易得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上， ∴,, ∵， ∴是等边三角形， ∴，即旋转角为， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵在中，，， ∴ ∴， ∴, ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到每旋转4次回到原位置，进而得到第2026次旋转结束时，图形旋转了，进行求解即可. 【详解】解：∵点， ∴， 由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次回到原位置， ∴第2026次旋转结束时，图形旋转了，如图，作轴， 由旋转可知：,，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故第2026次旋转结束时，点A的坐标为. 5．（23-24九年级下·湖南湘潭·自主招生）如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，下列结论：①；②四边形是正方形，③若，则．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】A 【分析】设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确． 【详解】解：设交于，如图： 四边形是正方形， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ，     ， ， ， ，故①正确； 将绕点按顺时针方向旋转， ，，， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形，故②正确； 如图，过点作于， ，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又，， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， ， 四边形是正方形， ， ， 即，故③正确； 正确的有：①②③. 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于______°． 【答案】69 【分析】由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角度为，点的对应点为点，连接．若点，，在同一条直线上时，则______． 【答案】/70度 【分析】由旋转的性质可得，，根据点，，在同一条直线上，利用邻补角的定义求出的度数，再根据等边对等角求出，最后利用三角形内角和定理求出的度数即可求解 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，旋转角度为，点的对应点为点， ， 点，，在同一条直线上，， ， 在中， ． 8．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据旋转速度求出旋转一周所需的时间，利用带余除法确定第2026秒时叶片转过的圈数和剩余角度，结合初始坐标及旋转性质确定最终坐标． 【详解】解：由题意可知，叶片旋转一周所需时间为（秒） ， 第2026秒时叶片尖点的位置与第2秒时的位置相同， 此时叶片转过的角度为 初始点的坐标为， 点在第一象限角平分线上 逆时针旋转后，点在第二象限角平分线上，且到原点的距离不变 第2026秒时叶片尖点的坐标为 ． 9．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在矩形中，，，点P是直线上的一个动点（不与点C重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．当时，的长为______． 【答案】12或 【分析】分点在线段上和点在的延长线上两种情况求出的长，在中利用勾股定理求出的长，由旋转的性质可知是等腰直角三角形，进而求出的长 ． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， ∵ ， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得； ②当点在的延长线上时， ∵， ， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得； 综上所述，的长为或． 10．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在等边三角形中，，点D在上，且,将绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点P，连接，．当时，的长为___________． 【答案】或 【分析】延长交于点，由等边三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定可得，利用勾股定理求得，根据旋转的性质分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，求出、的值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 是等边三角形， ， 又， 垂直平分， ， ， 将线段绕点在平面内旋转，点的对应点为点， ， 当点在线段上时，， ； 当点在线段的延长线上时，， ， 综上所述，的长为或． 三、解答题 11．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F．已知，． (1)求的长； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，理由见解析 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，然后计算即可； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）解：． ∵， ∴ ∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图1，在中，，，点D是边上的一点（不与点B，C重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段． (1)求证：； (2)如图2，的平分线交于点F． ①试探究三线段，，之间有何数量关系，并予以证明； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，将线段绕点A逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)①，证明如下： 如图2，连接， ∵的平分线交于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）根据旋转的性质，，利用证明即可得到； （2）①连接，证明可得，利用勾股定理从而可证明结论； ②过A作于H，结合①中的结论得到，进而得到，根据等腰直角三角形的性质得到，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②如图2，过A作于H， 由①得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的长为． 13．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】(1)证明：，是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， 又， ． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 又， 为等边三角形． (3)结论（1）成立，结论（2）不成立 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明，得出，再根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出，从而得出，说明不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立； ，是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ． 如图，交的延长线于点，交的延长线于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 此时， 不可能为等边三角形． 14．（2026·山西运城·三模）综合与探究 问题情境：如图1，点E是正方形内部一点，且，将绕点C逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点F． 猜想证明： (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)探究学习小组经过深入探究发现，若在点E运动的过程中，直线与交于点O，点O始终是线段的中点，请你借助图2帮助该学习小组证明他们的发现是正确的； 拓展延伸： (3)如图3，若该正方形的边长为4，连接，在点E运动的过程中，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)四边形是正方形． 理由如下：将绕点C逆时针旋转得到． ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形． 又． ∴四边形是正方形． (2)证明：如解图，过点B作，交于点M．  ∴，，， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转性质，， ∴， 又∵， ∴（）． ∴． 即点O是的中点； (3)或 【分析】（1）由旋转得，，，得，四边形是矩形．由得四边形是正方形． （2）过点B作，交于点M．由四边形是正方形，推导，得，由旋转性质得，得，可证明（）．即得． （3）由正方形边长为4，得，当是等腰三角形时，当时，当时，当时，分三种情况解答，可得的长为或． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵正方形边长为4， ∴， 情况1：如解图，当时，连接． ∵， ∴， ∵， ∴点F与点B重合，与重合． ∴点E在上，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 情况2，当时， 由（1）得四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， 在中． ∴． 解得（负值已舍去)． 情况3-当时， ∵， ∴此种情况不存在． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或． 15．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）综合与探究 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为． 猜想： (1)如图1，延长交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，连接，当点落在上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： (3)在旋转过程中，当点在同一条直线上时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)解：，理由如下，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转可得，，， ∴， 在和， ∴， ∴， ∴． (2)解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由旋转可得，，，， 在和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． (3)或． 【分析】（1）连接，由旋转可得，，根据证明三角形的全等，即可得到； （2）根据矩形的性质，旋转的性质，可得，，根据证明三角形的全等，即可得到；根据矩形的性质，等量代换，可得；根据平行四边形的判定，即可； （3）根据旋转的性质可得，，，根据勾股定理，求出，分类讨论：当点在矩形内；当点在矩形之外，进行解答，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：或． ①当点在矩形内， ∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转可得，，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ②当点在矩形之外， ∵四边形是矩形， ∴，，， 当点在同一条直线时，， ∴； 由旋转可得，， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $