精品解析：湖南长沙市田家炳实验中学2025-2026学年上学期八年级期末考试数学试卷

长沙市田家炳实验中学 2025年下学期八年级期末考试数学试卷 本试卷共4页，25题 满分：120分 时量：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】观察各选项图形： A选项中的图案沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形；B、C、D选项中的图案均找不到这样的直线，不是轴对称图形． 2. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 3. 中边的高，表示正确的是（ ） A.     B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义．边上的高是过点B向作垂线，垂足为E，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可知，只有D选项中的图形是画出边上的高， 故选：D． 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在 中，，，的垂直平分线交 于点，垂足为，则的周长为（　　） A. 14 B. 20 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：的垂直平分线交 于点，交于点， ， 的周长， 故选：B． 6. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的概念，因式分解的定义是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A． 是整式乘法，从乘积变形为多项式，不符合因式分解定义，故此选项错误，不符合题意； B． ，结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意； C． ，等号右侧的式子中含有分式，不是整式，不符合定义，故此选项错误，不符合题意； D． ，把多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解的定义，故此选项正确，符合题意． 7. 已知一根头发的直径约为，数值用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数值用科学记数法可表示为． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 8. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a，宽为b的长方形的面积+边长为b的正方形的面积，即可解答． 【详解】根据题意得：(a+b)2=a2+2ab+b2， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关键． 9. 把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】将和替换为扩大2倍后的数值，化简后与原分式对比即可得出结论． 【详解】解：∵将和都扩大2倍后，新分式为 ， ∴新分式的值是原分式的2倍，即分式的值扩大2倍． 10. 如图，△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝55°，则∠A＝（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】根据∠B=∠C，且BF=CD，BD=CE，可以得到△FBD和△DCE全等，从而可以得到∠DFB=∠EDC，然后根据三角形外角和内角的关系，可以求得∠B的度数，再根据∠B=∠C，从而可以求得∠A的度数． 【详解】解：在△FBD和△DCE中， ， ∴△FBD≌△DCE（SAS）， ∴∠DFB=∠EDC， ∵∠EDC+∠FDE=∠B+∠DFB，∠FDE=55°， ∴∠B=∠FDE=55°， ∵∠B=∠C， ∴∠C=55°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=70°， 故答案为：D． 【点睛】本题考查全等三角形的SAS判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和判定进行解答． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知二元一次方程，则________． 【答案】8 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 13. 如果是一个完全平方式，那么k的值为_____ 【答案】±10. 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征（a±b）2=a2±2ab+b2 即可确定出k的值. 【详解】∵是一个完全平方式， ∴-k=±2×5=±10， ∴k=±10， 故答案为：±10. 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的结构特征是解答的关键. 14. 已知实数a、b满足，，则______． 【答案】27 【解析】 【分析】完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴． 15. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边 于点，若，的面积为16，则的长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据基本作图，得 平分，过点D作于点E，利用角的平分线性质，三角形的面积计算即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得 平分， 过点D作于点E， ∵， ∴， ∴； ∵，的面积为16， ∴， 解得， ∴, 故答案为：4． 16. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确画辅助线，同时熟练掌握等腰三角形、垂直平分线的性质定理是解题的关键． 先作辅助线，连接，过点作于点，利用等腰三角形的性质得到垂直平分，根据线段的垂直平分线的性质定理得到，再利用垂线段最短原理得到最小值即为的值，通过三角形的面积公式计算得到的值，完成求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线，则， ∴， 根据“垂线段最短”得， 即当点在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵ 的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，先将方程变形后，两边同乘最简公分母化为一元一次方程求解，最后检验分母不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程为 整理方程右边得 方程两边同时乘以，得 展开括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 20. 先化简：，再请你在、0、1、2这四个数中选取一个合适的的取值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， 解得且且， ∴只能取， 当时，原式． 21. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）处到灯塔的距离为海里 （2）若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握方位角的转化及直角三角形中角的性质是解题的关键． （1）先根据方位角求出三角形内角，再结合船行驶的路程，利用等角对等边求出处到灯塔的距离； （2）过作垂线，利用直角三角形的性质求出灯塔到航线的距离，与海里比较判断是否有触礁危险． 【小问1详解】 解：由已知条件可得：， ，， ， ， 海里， 答：处到灯塔的距离为海里． 【小问2详解】 解：有触礁的危险，理由如下： 过作于点， 在中，，， ， ． 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 22. 如图， 中，，点D为 外一点，，，过点D作于点E，延长交 于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在 中，，于点E， ， 在和 中， ， ∴， （2）证明：连接， 由（1）得：， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ； （3）4 【解析】 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）连接，由全等三角形的性质得，再利用“”证明即可； （3）利用全等三角形的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）得：， ∴， ． 23. 2025年12月26日是毛泽东主席诞辰132周年．长沙市田家炳实验中学高一年级去韶山，开展了“追随伟人足迹，争做时代新人”的研学活动．班小明在参观韶山时，看见有很多印有伟人图案的文创作品，他非常喜欢其中的纪念章和明信片，决定购买一些带回去．他发现用60元购买纪念章与用40元购买明信片的数量相同，且每枚纪念章比每张明信片的售价高1元． （1）求每枚纪念章和每张明信片的售价分别是多少元？ （2）小明决定购买纪念章和明信片共45个送给班上同学，且总费用不超过100元钱，则他最多能购买多少枚纪念章？ 【答案】（1）纪念章每枚售价3元，明信片每张售价2元 （2）10枚 【解析】 【分析】（1）设每张明信片x元，则每枚纪念章元，根据“用60元购买纪念章与用40元购买明信片的数量相同”列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设他能购买a枚纪念章，则他购买张明信片，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每张明信片x元，则每枚纪念章元， 由题意列分式方程得，， 整理得，， 解得， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 答：纪念章每枚售价3元，明信片每张售价2元． 【小问2详解】 解：设他能购买a枚纪念章，则他购买张明信片， 由题意得，， 解得， 的最大值为10， 答：小明最多能购买10枚纪念章． 24. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． （1）①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； （2）已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式； ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】（1）①不是；② （2）①；②当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4 【解析】 【分析】（1）①根据“差积和谐分式”的定义判断即可；②设的“差积和谐分式”是，再结合“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果； （2）①根据“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果；②由①可得，再结合正整数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴分式不是分式的“差积和谐分式”； ②设的“差积和谐分式”是， 由题意得， ∴， ∴， ∴； 即的“差积和谐分式”是 【小问2详解】 解：①根据题意得， ， ， ； ②， 当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4． ∵分式的值是正整数， 当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4． 25. 如图1，已知，，轴于点B，轴于点D． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点．求证：为中点； （3）如图3，为第一象限内任意一个点，为轴正半轴上一点，连接、，若，且，为中点，连接，，当点的位置发生改变时，的度数会发生改变吗？若改变，说明理由；若不变，请求出的度数． 【答案】（1）证明：∵，，轴于点B，轴于点D， ∴，，， ∴； （2）证明：由①得，，，， 过点C作轴交于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为中点； （3）的度数不变，为 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，再利用“”即可证明； （2）由①得，，，，过点C作轴交于点E，则，证明，得出，即可得证； （3）延长到点H，使，连接，延长交 的延长线于点，连接，先证明，得出，，再证明，得出，，求出，从而可得为等腰直角三角形，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的度数不变，为， 延长到点H，使，连接，延长交 的延长线于点，连接， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市田家炳实验中学 2025年下学期八年级期末考试数学试卷 本试卷共4页，25题 满分：120分 时量：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中边的高，表示正确的是（ ） A.     B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交 于点，垂足为，则的周长为（　　） A. 14 B. 20 C. 28 D. 32 6. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一根头发的直径约为，数值用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 9. 把分式中的x和y都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大4倍 B. 扩大2倍 C. 缩小2倍 D. 不变 10. 如图，△ABC中，∠B＝∠C，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝55°，则∠A＝（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：________． 12. 已知二元一次方程，则________． 13. 如果是一个完全平方式，那么k的值为_____ 14. 已知实数a、b满足，，则______． 15. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边 于点，若，的面积为16，则的长是________． 16. 如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝4，△ABC的面积为6，则CM+MN的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 解方程：． 20. 先化简：，再请你在、0、1、2这四个数中选取一个合适的的取值代入求值． 21. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 22. 如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交 于点 （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 23. 2025年12月26日是毛泽东主席诞辰132周年．长沙市田家炳实验中学高一年级去韶山，开展了“追随伟人足迹，争做时代新人”的研学活动．班小明在参观韶山时，看见有很多印有伟人图案的文创作品，他非常喜欢其中的纪念章和明信片，决定购买一些带回去．他发现用60元购买纪念章与用40元购买明信片的数量相同，且每枚纪念章比每张明信片的售价高1元． （1）求每枚纪念章和每张明信片的售价分别是多少元？ （2）小明决定购买纪念章和明信片共45个送给班上同学，且总费用不超过100元钱，则他最多能购买多少枚纪念章？ 24. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． （1）①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； （2）已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式； ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 25. 如图1，已知，，轴于点B，轴于点D． （1）求证：； （2）如图2，连接，交于点．求证：为中点； （3）如图3，为第一象限内任意一个点，为轴正半轴上一点，连接、，若，且，为中点，连接，，当点的位置发生改变时，的度数会发生改变吗？若改变，说明理由；若不变，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $