精品解析：湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2024-2025学年上学期八年级数学期末试题

湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年度 第一学期期末测试卷八年级·数学 考试时长：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面的图形是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，一定正确的是（ ） A B. C. D. 5. 已知是分式方程的解，那么k的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 6. 如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要用、、三类卡片拼一个边长为的正方形，则需要类卡片的张数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 把分式中x、y都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 8. 如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ） A. 20 B. 26 C. 30 D. 52 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD是的平分线； ②；③点D在AB的垂直平分线上④若，则点D到AB的距离是1；⑤ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，，则_________． 12. 使分式的值为0，这时x=_____． 13. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___． 14. 若是关于的完全平方式，则_____________． 15. 已知有意义，则在坐标系中点位于第_____象限． 16. 长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ________________． 三、解答题（共9小题，满分72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算． 18. 先化简，再求值：．在、、1、2中选一个合适的数代入求值． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）求面积； （3）轴上画出点，使最小． 21. 如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)证明:△BCD是直角三角形. (2)求△ABC的面积. 22. 如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． （1）求证：； （2）若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 23. 某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台．请解答下列问题： （1）、两种设备每台的成本分别是多少万元？ （2）若、两种设备每台的售价分别是万元、万元，公司决定生产两种设备共台，计划销售后获利不低于万元，且种设备至少生产台，请列出该公司所有的生产方案． 24. 对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解分别为，则 ； （2）关于x的方程的两个解分别为，求和的值； （3）若关于x的方程的两个解分别为（k为实数）．且，求k的值． 25. 如图1，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G，交于点H． （1）求证：； （2）当点D是的中点时，求的值； （3）如图2，连接，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中梅溪湖中学2024-2025学年度 第一学期期末测试卷八年级·数学 考试时长：120分钟 总分：120分 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面的图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：A、3和不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 3. 因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，利用平方差公式把原式化为，再整理即可． 【详解】解： ． 故选：D． 4. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 5. 已知是分式方程的解，那么k的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】把代入原方程，从而可得答案. 【详解】解： 是分式方程的解， 解得： 故选D 【点睛】本题考查的是分式方程的解，掌握“分式方程的解的含义”是解本题的关键. 6. 如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要用、、三类卡片拼一个边长为的正方形，则需要类卡片的张数是（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用拼接前后面积不变可得结论． 【详解】解： 类卡片需要张， 故选 【点睛】本题考查是乘法公式的实际应用，掌握乘法公式是解题关键． 7. 把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 扩大6倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】将原分式中的x、y换成、，利用分式的性质化简，再比较求解即可． 【详解】解：由题意，， 则把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值扩大3倍， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答的关键． 8. 如图，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，从而得到，由折叠的性质可得，从而得到，最后根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：四边形为长方形， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、轴对称的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 9. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ） A. 20 B. 26 C. 30 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积即可． 【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得： = = =26 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 10. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD是的平分线； ②；③点D在AB的垂直平分线上④若，则点D到AB的距离是1；⑤ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图过程可得AD是∠BAC的平分线，可以判断①；根据△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，可得∠BAC＝60°再根据直角三角形两个锐角互余求出∠ADC，可以判断②；根据∠DAB＝∠B＝30°，得出DA＝DB，可以判断③；求出CD，根据角平分线的性质可以判断④；根据高相等，面积的比等于底与底的比可以判断⑤，进而可得结论． 【详解】解：根据作图过程可知：AD是∠BAC的平分线，故①正确； ∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠DAB＝30°， ∵∠C＝90°， ∴∠ADC＝60°，故②正确； ∵∠DAB＝∠B＝30°， ∴DA＝DB， ∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确； ∵∠DAC＝30°， ∴AD＝2CD， ∵， ∴ ∴CD＝， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得：点D到AB的距离是，故④错误； ∵AD＝2CD，AD＝DB， ∴DB＝2CD， ∴BC＝3CD， ∴，故⑤正确． 综上所述：正确的有①②③⑤，共4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是综合掌握以上知识点． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运算公式的逆用，掌握，是解题的关键． 【详解】解： ； 故答案为：． 12. 使分式的值为0，这时x=_____． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 13. 人体内某种细胞可近似地看作球体，它的直径为0.000000156m，将0.000000156用科学记数法表示为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 故答案为： 14. 若是关于的完全平方式，则_____________． 【答案】或6##6或 【解析】 【分析】根据完全平方公式的形式进行解答即可． 【详解】解：∵是关于x的完全平方式， ∴， ∴或， 故答案为或6． 【点睛】本题主要考查完全平方式，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍，即． 15. 已知有意义，则在坐标系中点位于第_____象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零求出m，n的正负，然后可得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴，， ∴点位于第三象限， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，平面直角坐标系，熟练掌握二次根式有意义的条件，求出m，n的正负是解题的关键． 16. 长方体的长、宽、高分别是3、4、1，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面展开—最短路径问题，关键是熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可． 【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是7和1， 则所走的最短线段； 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是4和4， 所以走的最短线段； 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和上面组成一个长方形， 则这个长方形长和宽分别是3和5， 所以走的最短线段； ∵， ∴三种情况比较而言，第二种情况最短． 故答案为： ． 三、解答题（共9小题，满分72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分） 17. 计算． 【答案】． 【解析】 【分析】本题是实数的混合运算，考查了负整数指数幂，开立方，算术平方根，绝对值，熟练掌握它们的运算规则即可解决问题． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：．在、、1、2中选一个合适数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行化简，然后再代入数据，求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 把代入得：原式． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法； （1）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案； （2）先两边同乘以去分母，化为整式方程，再解一元一次方程，检验即可得答案． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故方程无解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，格点中计算三角形面积，轴对称最短路径的计算，掌握轴对称图形的性质，格点的特点是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）运用网格的性质求三角形的面积即可求解； （3）根据轴对称的性质，作点关于的对称点，根据两点之间线段最短，连接交轴于点即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 21. 如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)证明:△BCD是直角三角形. (2)求△ABC的面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为75. 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理可以证明△BCD是直角三角形；（2）要求△BCD的面积，已知BD的长度，即要求AC的长度，已知CD的长度，即要求AD的长度，设AD＝x，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵ CD＝9，BD＝12， ∴ CD2＋BD2＝92＋122＝225， ∵ BC＝15，∴ BC2＝225， ∴ CD2＋BD2＝BC2， ∴ △BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°； （2）设AD＝x，则AC＝x＋9， ∵ AB＝AC，∴ AB＝x+9， ∵ ∠BDC＝90°，∴ ∠ADB＝90°， ∴ AB2＝AD2＋BD2， ∴ ， 解得：x=， ∴AC=+9=， ∴S△ABC=AC×BD=××12=75， ∴ △ABC的面积为75． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用． 22. 如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． （1）求证：； （2）若四边形周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． 23. 某公司生产、两种机械设备，每台种设备的成本是种设备的倍，公司若投入万元生产种设备，万元生产种设备，则可生产两种设备共台．请解答下列问题： （1）、两种设备每台的成本分别是多少万元？ （2）若、两种设备每台的售价分别是万元、万元，公司决定生产两种设备共台，计划销售后获利不低于万元，且种设备至少生产台，请列出该公司所有的生产方案． 【答案】（1）设备每台成本万元台，则设备每台万元台 （2）该公司共有三种生产方案，分别是①：台：台②：台：台③：台：台 【解析】 【分析】（1）设设备每台成本万元，则设备每台万元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设生产种设备台，根据题意列出不等式组，解不等式组，根据整数解求得生产方案． 【小问1详解】 解：设设备每台成本万元，则设备每台万元 解得： 经检验 是原方程的解 答：设备每台成本万元台，则设备每台万元台 【小问2详解】 设生产种设备台， 则 解得： 为整数 该公司共有三种生产方案，分别是①：台 ：台；②：台，：台；③：台，：台 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． 24. 对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程的两个解分别为，则 ； （2）关于x的方程的两个解分别为，求和的值； （3）若关于x的方程的两个解分别为（k为实数）．且，求k的值． 【答案】（1）5 （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，解一元二次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，求出方程的两个解为，再进行求解即可； （2）根据新定义，得到，，利用完全平方公式变形，求出，再根据，进行求解即可； （3）将，转化为，根据新定义得到，，进而得到，，根据，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程的两个解分别为， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 由题意，方程的两个解分别为， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴． 小问3详解】 ∵， ∴． ∴，． ∴，． 又∵， ∴． 解得：或． 25. 如图1，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G，交于点H． （1）求证：； （2）当点D是的中点时，求的值； （3）如图2，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，证明垂直平分，得出，证明，根据等腰三角形判定得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （3）过点E作于点I，先根据角度关系求出，得出，，设，则，，根据，求出，再根据直角三角形的性质，求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点E作于点I，如图所示： 则， ∵，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $