广东省深圳市2025-2026学年第二学期八年级数学下册期末复习专题七项目化问题

**基本信息** 以项目化问题为载体，系统整合方程、函数、几何等知识，通过“情境—建模—求解”链条培养数学建模与问题解决能力，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用建模|9题|问题情境→信息提取→模型构建（方程/函数/不等式）→求解验证|实际问题抽象为数学关系，体现模型意识与应用意识| |几何探究|2题|图形性质→变换分析→推理证明|从具体图形到一般性质，发展空间观念与推理能力| |代数推理|3题|特例分析→规律探究→结论推广|从特殊到一般，培养抽象能力与运算能力|

八年级数学下学期期末复习专题七项目化问题 参考答案与试题解析 1．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是L＝0.2n+1；　 ； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运125辆购物车，使用电梯总次数为6次（为节省时间两种电梯都要使用），则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 【分析】（1）根据“一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m”，据此表示出购物车列的长度即可； （2）由购物车列的长度2.6m，可列方程求得每列购物车的数量，然后再乘以2即可解答； （3）设扶手电梯用x次，直立电梯用y次，其中x，y为正整数，且x+y＝6，根据题意：24x+16y≥125，解不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得：购物车列的长度为0.2（n﹣1）+1.2＝0.2n+1． 故答案为：L＝0.2n+1； （2）令0.2n+1＝2.6， 解得：n＝8， 所以该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量2×8＝16辆； （3）设扶手电梯用x次，直立电梯用y次，其中x，y为正整数，且x+y＝6， ∴y＝6﹣x， 根据题意：24x+16y≥125， 即24x+16（6﹣x）≥125， 解得x≥3.625， ∵x是正整数，且x＜6， ∴x＝4，5， 当x＝4时，y＝2，总转运量：24×4+16×2＝96+32＝128≥125， 当x＝5时，y＝1，总转运量：24×5+16×1＝120+16＝136≥125， ∴有两种分配方案： 方案1：扶手电梯4次，直立电梯2次； 方案2：扶手电梯5次，直立电梯1次． 2．【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验，实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1． 实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2． 电池充电状态 时间t（小时） 0.5 1 1.5 2 电量y1（%） 25 50 75 100 表1 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y2（%） 100 60 50 30 表2 任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量； 【建立模型】 任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式； 【解决问题】 任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 【分析】任务一：由表格（1），可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为25%，即可； 任务二：由表格可知，两个函数均为一次函数，设出函数解析式，待定系数法求出解析式即可； 任务三：先求出行驶3小时，消耗的电量，再求出到达目的地所需的最小电量，即可． 【解答】解：任务一：由表格可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为25%； 任务二：由表格可知两个函数均为一次函数，设y1＝k1t+b1，y2＝k2s+b2， 对于y1＝k1t+b1，当t＝1时，y＝50，当t＝2时，y＝100， ∴，解得：， ∴y1＝50t； 对于y2＝k2s+b2，当s＝0时，y＝100，当s＝100时，y＝50， ∴，解得：， ∴； 任务三：∵， ∴当s＝40×3＝120时，； ∵到达目的地，还需要250﹣120＝130（千米）， ∴还需消耗电量， ∴至少需充电65﹣40＝25， ∴当y1＝25时，50t＝25， ∴t＝0.5， 即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电0.5小时． 3．嵊州是香榧的盛产地之一，某榧农与某快递公司合作寄送香榧． 素材1： 某快递公司规定： 1．从当地寄送香榧到A市按重量收费：当香榧重量 不超过10千克时，需要寄送费32元：当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． 2．寄送香榧重量均为整数千克． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：香榧 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：7千克 件数：1 总费用：32元 托寄物：香榧 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：12千克 件数：1 总费用：44元 托寄物：香榧 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：15千克 件数：1 总费用：62元 问题解决： 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定m的值，并求出香榧重量超过10千克时寄送费用y（元）关于香榧重量x（千克）之间的函数关系式 任务2 计算最省费用 若香榧重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小红想在当地榧农购买一批价格为80元/千克的香榧并全部寄送给在A市的朋友们，若小红能用来支配的钱有8000元，她最多可以购买多少千克的香榧？并写出一种寄送方式 【分析】任务1：利用电子存单2或3的总费用和计量重量列出方程求出m，从而得解； 任务2：根据总计量重量是25千克，设计方案求出总费用，比较大小即可； 任务3：要尽可能的多寄送，则应该多寄10千克一件的，也就是一件少于10千克的，其余都是10千克，或者也就是一件10﹣20千克的，其余都是10千克，设小红购买的香榧一共分y件不超过10kg的寄送方式，根据总费用不超过8000元列出不等式，求出y的取值范围，继而求出y的最大值，计算购买9件10千克的香榧剩余的钱或8件10千克的香榧剩余的钱，再根据剩余的钱计算剩余的寄送的重量，从而得解． 【解答】解：任务1：由电子存单2可得：m（12﹣10）+32＝44， 解得：m＝6， ∴香榧重量超过10千克时寄送费用y（元）关于香榧重量x（千克）之间的函数关系式为：y＝6（x﹣10）+32＝6x﹣28（x＞10）， 任务2：若单件寄送，则需寄费y＝6×25﹣28＝122元， 若分两件寄送，则可使得每件都不少于10千克，例如一件10千克，一件15千克，需寄费32+15×6﹣28＝94元， 若分三件寄送，则可使得三件都少于10千克，则需寄费32×3＝96元， ∴94＜96＜122， 最省寄送费用是94元． 任务3：∵前10千克的快递费是3.2元/千克，超过10千克的部分是6元/千克， ∴设小红购买的香榧一共分y件10kg的寄送方式， 由题意得，80×10y+32y≤8000， 解得， 又∵y是正整数， ∴y最大值为9， ∴还剩下8000﹣80×10×9﹣32×9＝512元， ∵512＝80×6+32， ∴9件10kg，余下的钱刚好能再购买并寄送6kg，故共可寄送96kg． 若8件10kg的寄送的寄费为80×10×8+32×8＝6656元， 15×6﹣28+15×80＝1262，6656+1262＝7918＜8000， 16×6﹣28+16×80＝1348，6656+1348＝8004＞8000， 此时最多可寄送95kg． ∴最省钱的寄送方式应该是9件不超过10kg的寄送，一件6kg寄送， ∴小红最多可以购买10×9+6＝96kg香榧，寄送方式为9件10kg，1件6kg． 4．根据以下素材，探究完成任务． 背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题 任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ 任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需　（384+2.4m）　 元； 若林老师按方式二购买，共需　（378+2.7m）　 元． （均用含m的代数式表示） 任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【分析】（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据“线上平台无促销活动时，买10个玩偶和20个徽章共需390元；买15个玩偶和15个徽章共需405元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务二）利用总价＝单价×数量，结合2025年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表示出林老师按方式一及方式二购买所需费用； （任务三）根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜35，即可得出结论． 【解答】解：（任务一）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； （任务二）根据题意得：若林老师按方式一购买，共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）； 若林老师按方式二购买，共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）． 故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）； （任务三）根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m， 解得：m＞20， 又∵0＜m＜35， ∴20＜m＜35． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算． 5． 背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元． 素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40）， 若在线下商店购买，共需要 　（1.6m+291）　 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 　（1.8m+288）　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 【分析】（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元，利用总价＝单价×数量，结合“买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）利用在线下商店购买所需费用＝购买会员卡的费用+A款亚运盲盒的销售单价×0.8×购买A款亚运盲盒的数量+B款亚运盲盒的销售单价×0.8×购买B款亚运盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线下商店购买所需费用；利用在线上淘宝店购买所需费用＝A款亚运盲盒的销售单价×0.9×购买A款亚运盲盒的数量+B款亚运盲盒的销售单价×0.9×购买B款亚运盲盒的数量，可用含m的代数式表示出在线上淘宝店购买所需费用； （任务3）根据线下购买方式更合算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜40，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是x元，B款亚运盲盒的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒的销售单价是10元，B款亚运盲盒的销售单价是8元； （任务2）根据题意得：在线下商店购买，共需要35+10×0.8m+8×0.8（40﹣m）＝（1.6m+291）（元）； 在线上淘宝店购买，共需要10×0.9m+8×0.9（40﹣m）＝（1.8m+288）（元）． 故答案为：（1.6m+291），（1.8m+288）； （任务3）根据题意得：1.6m+291＜1.8m+288， 解得：m＞15， 又∵0＜m＜40， ∴15＜m＜40． 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算． 6．根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务（2） 确定分配方案1 ①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为 　（100﹣x）　 ；制成的有盖收纳盒的数量为 　2x ；制成的无盖收纳盒的数量为 　100﹣3x ； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【分析】任务1：根据“底面长与宽之比为3：1”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【解答】解：任务1：设长方体的高度为acm， 则根据题意列一元一次方程得：80﹣2a＝3（40﹣2a）， 整理得，4a＝40， 解得a＝10， 答：长方体的高度为10cm； 任务2：①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为（100﹣x）块；制成的有盖收纳盒的数量为2x；制成的无盖收纳盒的数量为100﹣3x； 故答案为：（100﹣x）；2x；100﹣3x； ②设x张木板制作无盖的收纳盒， 则根据题意列一元一次不等式组得：， 解得：75＜x＜80， ∴x的整数解有：76，77，78，79， ∴共有4种方案： ①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设：m张木板制作无盖的收纳盒，则（100﹣m）张制作盒盖，利润为y元， 由题意得一次函数：y＝28×2（100﹣m）+5（100﹣m）+20×[m﹣2（100﹣m）]﹣1500， 整理得，y＝﹣m+600， ∵x的值有：76，77，78，79， ∴当m＝76时，y有最大值，所以：﹣76+600＝524（元）， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为524元． 7．综合与探究：若正数a，b，c满足0＜a≤b≤c，且． （1）探究一：探究a的取值范围； 探究过程 推理依据 第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的比较规则：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，　分数越小　 ． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：　不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变　 ． ∵0＜a≤b≤c， ∴． ∵0＜a≤b≤c， ∴ab＞0． ∴，即． 同理． ∴． 第二步 ∴． 根据不等式的放缩法：因为是这三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和． 第三步 ∴，解得a≤3． 根据不等式的性质． 第四步 又∵． 根据不等式的放缩法：　因为，这两个数都大于0，所以一定大于　 ． 第五步 ∴，解得a＞1． 根据不等式的性质． 第六步 ∴1＜a≤3． a的取值范围是两个不等式解集的公共部分． （2）探究二：探究方程的正整数解． 若a，b，c为三个正整数，求所有满足条件的a，b，c的值． 【分析】（1）根据分数和不等式的性质分析即可； （2）由（1）得1＜a≤3，则正整数a的取值为2或3．①当a＝2时，解得2≤b≤4，再分三种情况求解；②当a＝3时，此时b＝3，c＝3．即可得解． 【解答】解：（1）第一步：思路1是根据正分数的性质：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，分数越小． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 第四步：因为，这两个数都大于0，所以一定大于； 故答案为：分数越小；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；因为，这两个数都大于0，所以一定大于； （2）由（1）得1＜a≤3，且正整数a、b、c满足a≤b≤c， ∴正整数a的取值为2或3． ①当a＝2时，， ∵b≤c， ∴， ∴， 解得b≤4． ∴2≤b≤4． 当b＝2时，，与题意不符，舍去． 当b＝3时，，则c＝6． 当b＝4时，，则c＝4． ②当a＝3时，， ∵， ∴， 解得b≤3． ∵a≤b≤c， ∴b＝3，此时，则c＝3． 综上所述，a、b、c的值为2、3、6或2、4、4或3、3、3． 8．根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元；若买12个笔袋和12个徽章共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题 （1）任务一 线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ （2）任务二 董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（0＜m＜35），若董老师按方式一购买，共需　（384+2.4m）　 元；若董老师按方式二购买，共需　（378+2.7m）　 元．（均用含m的代数式表示） （3）任务 请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔背景袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【分析】（任务一）设线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元，根据“买6个笔袋和10个书签共需210元；买12个笔袋和12个徽章共需324元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务二）利用总价＝单价×数量，结合2026年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表示出董老师按方式一及方式二购买所需费用； （任务三）根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜35，即可得出结论． 【解答】解：任务一：设笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得． 答：笔袋的销售单价是15元，书签的销售单价是12元； 任务二：由题得： 方式一：共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）； 方式二：共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）； 故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）； 任务三：根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m， 解得m＞20， 又∵0＜m＜35， ∴20＜m＜35． 答：在任务二的条件下，购买笔袋的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算． 9．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案． 【分析】（任务1）设A种仙桃盒每件的售价为a元，则B种仙桃礼盒每件的售价为b元，根据“每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）设销售A种仙桃礼盒m盒，则销售B种仙桃礼盒（1000﹣m）盒，根据“A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各销售方案． 【解答】解：（任务1）设A种仙桃盒每件的售价为a元，则B种仙桃礼盒每件的售价为b元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种仙桃礼盒每件的售价为80元，B种仙桃礼盒每件的售价为100元； （任务2）设销售A种仙桃礼盒m盒，则销售B种仙桃礼盒（1000﹣m）盒， 根据题意得：， 解得：598≤m≤600， 又∵m为正整数， ∴m可以为598，599，600， ∴共有3种销售方案， 方案1：销售A种仙桃礼盒598件，B种仙桃礼盒402件； 方案2：销售A种仙桃礼盒599件，B种仙桃礼盒401件； 方案3：销售A种仙桃礼盒600件，B种仙桃礼盒400件． 10．项目式学习 背景 某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动． 素材1 如图，制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元． 素材2 学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2． 素材3 购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动： ①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）； ②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 问题解决 任务1 求买彩纸1dm2需要多少钱？买丝带1m需要多少钱？ 任务2 若制作甲种卡片a张，求a的取值范围，并用含a的式子分别表示在实体店和网店的购买费用． 任务3 在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？ 【分析】（任务1）设买彩纸1dm2需要x元钱，买丝带1m需要y元钱，根据“制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务2）根据“制作甲卡片数量不足240张，且制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2”，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再利用总价＝单价×数量，及实体商店和网店给出的优惠方案，可用含a的代数式表示出在实体店和网店的购买费用； （任务3）分1359﹣0.14a＜1368﹣0.18a，1359﹣0.14a＝1368﹣0.18a及1359﹣0.14a＞1368﹣0.18a三种情况，可求出a的取值范围或a的值，再结合200≤a＜240，即可得出结论． 【解答】解：（任务1）设买彩纸1dm2需要x元钱，买丝带1m需要y元钱， 根据题意得：， 解得：． 答：买彩纸1dm2需要0.5元钱，买丝带1m需要0.8元钱； （任务2）根据题意得：， 解得：200≤a＜240， ∴a的取值范围为200≤a＜240． 在实体店购买所需费用为295+0.5×0.7×[4a+6（400﹣a）]+0.8×0.7×[2a+（400﹣a）]＝（1359﹣0.14a）（元）； 在网店购买所需费用为0.5×0.9×[4a+6（400﹣a）]+0.8×0.9×[2a+（400﹣a）]＝（1368﹣0.18a）（元）． 答：a的取值范围为200≤a＜240，在实体店购买所需费用为（1359﹣0.14a）元，在网店购买所需费用为（1368﹣0.18a）元； （任务3）若1359﹣0.14a＜1368﹣0.18a，则a＜225， ∴当200≤a＜225时，在实体商店购买更合算； 若1359﹣0.14a＝1368﹣0.18a，则a＝225， ∴当a＝225时，在实体商店和网店购买所需费用相同； 若1359﹣0.14a＞1368﹣0.18a，则a＞225， ∴当225＜a＜240时，在网店购买更合算． 答：当200≤a＜225时，在实体商店购买更合算；当a＝225时，在实体商店和网店购买所需费用相同；当225＜a＜240时，在网店购买更合算． 11．在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比运用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出①中所画△ABC的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝ y1﹣y2 ，BC＝ x1﹣x2；　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为 　　 ． 【分析】（1）①根据正方形网格的特征，按照要求构造出符合条件的△ABC即可； ②根据AC2+BC2＝AB2，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，然后由三角形的面积公式可求出△ABC的面积； （2）①根据AC∥y轴，BC∥x轴，结合点A，B的坐标得AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2； ②在平面直角坐标系中取点A（4，1），点B（2，9），在x轴取一点P（x，0），在y轴上取一点Q（0，y），则PA＝（，PQ，QB，PA+PQ+QB，由此求出PA+PQ+QB的最小值即可，作点A关于x轴的对称点A'A'（4，﹣1），作点B关于y轴的对称点B'（﹣2，9），则PA+PQ+QB＝PA'+PQ+QB'≥A'B'，进而得当点A'，P，Q，B'共线时，PA'+PQ+QB'为最小，最小值为点A'，B'之间的距离，然后再由两点间的坐标公式求出A'B'即可得出答案． 【解答】解：（1）①如图2所示：图中的格点△ABC为所求作的三角形，理由如下： ∵正方形网格中的小正方形的边长为1， ∴由勾股定理得：AC，BC，AB， ∴格点△ABC符合题意，为所求作的三角形； ②∵，，， ∴AC2+BC2＝AB2， 由勾股定理逆定理得：△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， ∴△ABC的面积为：AC•BC2； （2）①∵点A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴， ∴AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2， ∵AC⊥BC于点C， ∴△ABC是直角三角形， 由勾股定理得：AB， 故答案为：y1﹣y2，x1﹣x2； ②在平面直角坐标系中取点A（4，1），点B（2，9），在x轴取一点P（x，0），在y轴上取一点Q（0，y），连接PB，QB，PQ，如图4所示： 由两点间的坐标公式得：PA＝（，PQ，QB， ∴PA+PQ+QB， ∴当PA+PQ+QB为最小时，代数式的值为最小， 作点A关于x轴的对称点A'，则点A'（4，﹣1），作点B关于y轴的对称点B'，则点B'（﹣2，9）， ∴PA'＝PA，QB'＝QB， ∴PA+PQ+QB＝PA'+PQ+QB'， ∴当PA'+PQ+QB'为最小时，PA+PQ+QB为最小， 根据“两点间线段最短”得：PA'+PQ+QB'≥A'B'， ∴当点A'，P，Q，B'共线时，PA'+PQ+QB'为最小，最小值为点A'，B'之间的距离， 由两点间的坐标公式得：A'B， 故答案为：． 12．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明△BAM≌△EAN，从而得出结论； （3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根据∠D＝40°，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC， ∴∠BAD60， ∴α＝60°， 故答案为：60°； （2）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN， 即：∠BAM＝∠EAN， 在△BAM和△EAN中， ， ∴△BAM≌△EAN（ASA）， ∴AM＝AN； （3）解：①如图1， 当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°， ∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO， ∴∠BAD＝∠MOD＝30°， ∴α＝30°， 如图2， 当DM＝DO时，∠DMO＝∠DOM75°， ∴α＝∠DOM＝75°， 如图3， 当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°， ∴α＝∠DOM＝120°， 此时AD和AC重合，这种情形不存在． 综上所述：α＝30°或75°． ②如图： 当∠EDP＝90°时， ∵∠ABC＝ADE＝30°， ∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵0°＜α＜100°， ∴旋转角α为60°． 13．根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式：x2+4x+3，x2﹣4x﹣14让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能不能在有理数范围内因式分解与b2﹣4ac的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的b2﹣4ac的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果x2+px+6能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 　﹣7，﹣5，7，5　 ． 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中b2﹣4ac的值的特征，写出整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能在有理数范围内因式分解的条件：　整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能在有理数范围内因式分解的条件是b2﹣4ac的值为完全平方数　 ，并证明． 【分析】（1）根据题意计算对应多项式中b2﹣4ac的值，再根据因式分解的方法对对应的多项式分解因式即可； （2）设x2+px+6＝（x+s）（x+t），则x2+px+6＝x2+（s+t）x+st，得到p＝s+t，st＝6，根据完全平方公式得到（s﹣t）2＝（s+t）2﹣24，由p＝s+t是整数，得到（s﹣t）2＝（s+t）2﹣24是整数，则s﹣t是整数，再由6＝﹣1×（﹣6）＝﹣2×（﹣3），可得s+t＝﹣1﹣6＝﹣7或s+t＝﹣2﹣3＝﹣5． （3）设ax2+bx+c＝（ax+m）（x+n），则ax2+bx+c＝ax2+（m+an）x+mn，可得b＝m+an，c＝mn，由b2﹣4ac＝m2+2amn+a2n2﹣4amn＝（m﹣an）2即可得到结论． 【解答】解：任务1：多项式x2+4x+3的b2﹣4ac＝42﹣4×3×1＝4， 多项式x2﹣4x﹣14的b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣14）＝72； 根据题意可知多项式x2+4x+3能分解因式，多项式x2﹣4x﹣14不能分解因式， x2+4x+3＝（x+1）（x+3）； 任务2：设x2+px+6＝（x+s）（x+t）， ∴x2+px+6＝x2+（s+t）x+st， ∴p＝s+t，st＝6， ∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st＝（s+t）2﹣24， ∵p＝s+t是整数， ∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣24是整数， ∴s﹣t是整数， ∴s、t都为整数， ∵6＝﹣1×（﹣6）＝﹣2×（﹣3）＝1×6＝2×3， ∴s+t＝﹣1﹣6＝﹣7或s+t＝﹣2﹣3＝﹣5或s+t＝1+6＝7或s+t＝2+3＝5， ∴所有整数p的值为﹣7，﹣5，7，5； 故答案为：﹣7，﹣5，7，5． 任务3：整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能在有理数范围内因式分解的条件是b2﹣4ac的值为完全平方数，证明如下： 设ax2+bx+c＝（ax+m）（x+n） ∴ax2+bx+c＝ax2+（m+an）x+mn， ∴b＝m+an，c＝mn， ∴b2﹣4ac＝m2+2amn+a2n2﹣4amn＝（m﹣an）2， ∵a、b、c都是整数， ∴m、n都是整数， ∴m﹣an是一个整数， ∴（m﹣an）2是一个完全平方数， ∴整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能在有理数范围内因式分解的条件是b2﹣4ac的值为完全平方数． 故答案为：整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能在有理数范围内因式分解的条件是b2﹣4ac的值为完全平方数． 14．仔细阅读下面例题，然后按要求解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及 m的值． 解法一：设另一个因式为（x+n）， 得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：∵二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3）， ∴当x+3＝0，即x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝0． 把x＝﹣3代入x2﹣4x+m＝0， 得m＝﹣21， 而x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）． ∴m的值为﹣21，另一个因式为x﹣7． 问题：分别仿照以上两种方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 解法一：　另一个因式为（x+4），k的值为20；　 ； 解法二：　另一个因式为（x+4），k的值为20；　 ． 【分析】（2x﹣5）（x+n）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出n和k的值． 【解答】解法一：设另一个因式为（x+n）， 得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n﹣5）x﹣5n ∴，解得， ∴另一个因式为（x+4），k的值为20； 解法二：∵二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5）， ∴当2x﹣5＝0，即x＝2.5时，2x2+3x﹣k＝0． 把x＝2.5代入2×（2.5）2+3×2.5﹣k＝0， 得k＝20， 而2x2+3x﹣5＝（x+4）（2x﹣5）． ∴另一个因式为（x+4），k的值为20； 故答案为：另一个因式为（x+4），k的值为20； ；另一个因式为（x+4），k的值为20； 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/18 10:34:19；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期末复习专题七项目化问题 1．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列，如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是　 　 ； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运125辆购物车，使用电梯总次数为6次（为节省时间两种电梯都要使用），则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 2．【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验，实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1． 实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2． 电池充电状态 时间t（小时） 0.5 1 1.5 2 电量y1（%） 25 50 75 100 表1 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y2（%） 100 60 50 30 表2 任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量； 【建立模型】 任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式； 【解决问题】 任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 3．嵊州是香榧的盛产地之一，某榧农与某快递公司合作寄送香榧． 素材1： 某快递公司规定： 1．从当地寄送香榧到A市按重量收费：当香榧重量 不超过10千克时，需要寄送费32元：当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． 2．寄送香榧重量均为整数千克． 素材2： 电子存单1 电子存单2 电子存单3 托寄物：香榧 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：7千克 件数：1 总费用：32元 托寄物：香榧 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：12千克 件数：1 总费用：44元 托寄物：香榧 包装服务产品类型：某快递公司 计量重量：15千克 件数：1 总费用：62元 问题解决： 任务1 分析变量关系 根据以上信息，请确定m的值，并求出香榧重量超过10千克时寄送费用y（元）关于香榧重量x（千克）之间的函数关系式 任务2 计算最省费用 若香榧重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． 任务3 探索最大重量 小红想在当地榧农购买一批价格为80元/千克的香榧并全部寄送给在A市的朋友们，若小红能用来支配的钱有8000元，她最多可以购买多少千克的香榧？并写出一种寄送方式 4．根据以下素材，探究完成任务． 背景 2025年3月14日是第六个国际数学日，为了传扬数学文化，某校开展了相关竞赛活动，林老师提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2025年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题 任务一 线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ 任务二 林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（0＜m＜35）， 若林老师按方式一购买，共需　 　 元； 若林老师按方式二购买，共需　 　 元． （均用含m的代数式表示） 任务三 请你帮林老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 5． 背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒，共需230元；若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒，共需450元． 素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个（0＜m＜40）， 若在线下商店购买，共需要 　 　 元； 若在线上淘宝店购买，共需要 　 　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？ 6．根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务（2） 确定分配方案1 ①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为 　 　 ；制成的有盖收纳盒的数量为 　 　 ；制成的无盖收纳盒的数量为 　 　 ； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 7．综合与探究：若正数a，b，c满足0＜a≤b≤c，且． （1）探究一：探究a的取值范围； 探究过程 推理依据 第一步 思路1 思路2 思路1是根据正分数的比较规则：分子相同（都是1）的正分数，分母越大，　 　 ． 思路2中得到“”，是根据不等式的性质：　 　 ． ∵0＜a≤b≤c， ∴． ∵0＜a≤b≤c， ∴ab＞0． ∴，即． 同理． ∴． 第二步 ∴． 根据不等式的放缩法：因为是这三个数里最大的，所以3个相加，一定大于或等于这三个数的和． 第三步 ∴，解得a≤3． 根据不等式的性质． 第四步 又∵． 根据不等式的放缩法：　 　 ． 第五步 ∴，解得a＞1． 根据不等式的性质． 第六步 ∴1＜a≤3． a的取值范围是两个不等式解集的公共部分． （2）探究二：探究方程的正整数解． 若a，b，c为三个正整数，求所有满足条件的a，b，c的值． 8．根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元；若买12个笔袋和12个徽章共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题 （1）任务一 线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ （2）任务二 董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（0＜m＜35），若董老师按方式一购买，共需　 　 元；若董老师按方式二购买，共需　 　 元．（均用含m的代数式表示） （3）任务 请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔背景袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 9．【综合与实践】阅读下面的素材，完成三个任务． 如何安排销售，使总收益最大 素材1 我县某农业合作社种植的仙桃深受消费者喜爱，为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A，B两个品种的仙桃加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种仙桃礼盒比B品种仙桃礼盒的售价少20元，且出售25件A品种仙桃礼盒和15件B品种仙桃礼盒的总价共3500元． 素材2 已知加工A，B两种仙桃礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A，B两种仙桃礼盒共1000盒，且A品种仙桃礼盒售出的数量不超过B品种仙桃礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54020元． 问题解决 任务1 确定商品价格 求A，B两种仙桃礼盒每件的售价分别为多少元； 任务2 设计销售方案 求所有的销售方案． 10．项目式学习 背景 某中学为庆祝壮族传统节日“三月三”，拟举办以此为主题的装饰卡制作活动． 素材1 如图，制作一张甲卡片需要彩纸4dm2，丝带2m，共花费3.6元；制作一张乙卡片需要彩纸6dm2，丝带1m，共花费3.8元． 素材2 学校计划制作甲、乙两种卡片共400张，其中甲卡片数量不足240张，制作两种卡片所需彩纸总量不超过2000dm2． 素材3 购买彩纸和丝带有实体商店和网店两种购买方式，它们均有优惠促销活动： ①实体商店：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知学校在此之前不是该商店的会员）； ②网店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）． 问题解决 任务1 求买彩纸1dm2需要多少钱？买丝带1m需要多少钱？ 任务2 若制作甲种卡片a张，求a的取值范围，并用含a的式子分别表示在实体店和网店的购买费用． 任务3 在任务2的条件下，比较实体商店和网店两种购买方式哪种更合算？ 11．在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． （1）【类比运用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的△ABC，其中，，； ②求出①中所画△ABC的面积． （2）【拓展运用】 ①在图3中，设A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC于点C，则AC＝ 　 　 ，BC＝ 　 ，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为 　 ． 12．综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N． 特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　 ； 探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数． 13．根据以下素材，完成下列任务： 素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式：x2+4x+3，x2﹣4x﹣14让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？ 素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能不能在有理数范围内因式分解与b2﹣4ac的值有关； 赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务： 任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的b2﹣4ac的值，并分解能分解的那个二次三项式； 任务2 探究关系 如果x2+px+6能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 　 　 ． 任务3 确定结论 根据任务1，任务2中b2﹣4ac的值的特征，写出整系数二次三项式ax2+bx+c（a≠0）能在有理数范围内因式分解的条件：　 　 ，并证明． 14．仔细阅读下面例题，然后按要求解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及 m的值． 解法一：设另一个因式为（x+n）， 得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）， 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴，解得， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：∵二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3）， ∴当x+3＝0，即x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝0． 把x＝﹣3代入x2﹣4x+m＝0， 得m＝﹣21， 而x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）． ∴m的值为﹣21，另一个因式为x﹣7． 问题：分别仿照以上两种方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 解法一：　 　 ； 解法二：　 　 ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $