内容正文:
2026-2027学年苏教版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案
专题01 角【能力清单+核心易错点+错题复盘练】
1、能清晰理解线和角的意义,区分线段、射线、直线与角的核心特征。
2、能熟练进行线的延伸、角的比对操作,并理解线与角特征的内在关联。
3、能熟练运用线和角的基本性质,用于各类图形识别与分类问题的求解。
4、能根据不同情境,灵活选择“直观判定、工具比对”适配线和角的相关问题。
5、会核验线和角的判定结果,并选择合适策略(特征核对、反向验证)验证结果。
6、能分辨线和角的实际问题,并抓住“找准端点、顶点与边”这一关键。
7、做题时,能圈出题目中的“线段”“直角”“端点”“延伸”等关键词。
8、能熟练根据实际场景判定线的类型,区分不同线和角的适用判定场景。
9、能准确识别“线的分类、角的识别、大小比对”不同题型,匹配对应解题步骤。
10、能根据已知图形特征反推缺失的端点或顶点,理清线和角各部分的对应逻辑。
1、线段有2个端点,射线仅1个端点,直线没有端点,不能混淆三类线的端点数量。
2、射线和直线可无限延伸,无法测量长度,不能判定“直线比线段长”这类错误结论。
3、角的两条边必须是直的射线,不能把带曲线边的图形误判定为角。
4、用直尺画线段时要标注两个端点,不能只画线条不标端点当作线段。
5、数线段时要按端点顺序计数,不能漏数由相邻短线段拼成的组合长线段。
6、角的大小只和两边张开幅度有关,边的长短不会改变角的实际大小。
7、判断直角必须用三角尺完全贴合比对,不能仅靠肉眼粗略判定直角。
8、过一点能画出无数条直线,过两点只能确定1条直线,不能混淆这一规律。
9、锐角比直角小、钝角比直角大,不能打乱三类角的大小排序逻辑。
10、延伸线段的一端得到射线,延伸两端得到直线,不能随意延伸混淆线的类型。
一、选择题
1.在速度相同的情况下,医生走( )号路线,能在最短的时间内赶到病人身边。
A.① B.② C.③
2.图中,每两个点之间连一条线段,一共可以连( )条线段。
A.5 B.10 C.15
3.植树时,确保树坑排成一行的方法(如图)所含的数学原理是( )。
A.两点之间线段最短 B.直线可以无限延长 C.两点确定一条直线
4.优优画了一个房子(如图),房子是由一些三角形和四边形组成的,这些图形都是一条条( )组成的。
A.直线 B.射线 C.线段
5.把一个平角分成两个角,其中一个是钝角,那么另一个角是( )。
A.锐角 B.钝角 C.直角
6.钟面上9:30,时针和分针组成的角是( )。
A.锐角 B.钝角 C.直角
7.下面量角方法中,正确的是( )。
A.B.C.
8.如下图,用一副三角板拼成一个图形,这个图形不含( )度的角。
A.75 B.120 C.135
二、填空题
9.如图所示,两根纸条AB和CD重叠在一起。如果AC=BD,那么AB( )CD。(填“>”“<”“=”)
10.在下面的图形中,( )是直线,( )是射线,( )是线段。(填序号)
11.图中有( )条射线、( )条线段和( )条直线。
12.如图所示,可可从家去学校上学,有( )条路线,路线( )最近。因为两点间所有连线中( )最短。
13.下图是一个旋转门的示意图,它由三扇门隔成相等的三部分,则两扇门之间所形成的较小夹角是( )°,这是一个( )角。
14.涂涂妈妈晚上开始做饭时,钟面上时针在6和7之间,分针正好指向3。做完晚饭时,分针刚好走了一个平角。涂涂妈妈是在晚上( ):( )做好晚饭的。第二天早晨,涂涂到教室时,看到钟面上时针指向8,分针指向12,这时分针与时针形成的较小角是( )角。
15.下面的图形中,( )是线段,( )是直线,( )是锐角,( )是钝角,最大的角是( )。
16.观察下图,请你写出下面三个角的度数。
∠2=( )°,∠DOE=( )°,∠BOC=( )°。
三、判断题
17.中有6条线段。( )
18.探险家们探险时使用手电筒进行照明,手电筒射出的光线可以看作射线。( )
19.左面的锁屏图案中有2个钝角。( )
20.小明用一个5倍放大镜观察一个20°角,放大镜中这个角的度数是100°。( )
四、计算题
21.看图列式计算。
∠3=30°,求∠1。
五、作图题
22.画一画,填一填。
(1)画出直线AB、射线AC、线段BC。
(2)画好的图中有( )条线段,有( )条射线。
(3)用圆规和无刻度直尺画线段EF,使线段EF的长度是线段BC的2倍。
23.下图画的是甲、乙两人放风筝的场景,风筝线的长度相等。
(1)量一量,王红的风筝线与地面的夹角大约是( )°,李明的风筝线与地面的夹角大约是( )°。
(2)想一想:不考虑风力因素,风筝线与地面的夹角是(50° 90° 120°)时,风筝的高度是最高的。(在正确的度数圈起来)
六、解答题
24.星期天,小然到公园去写生。开始时,钟面上时针在9与10之间,分针指向“6”;结束时,分针刚好走过2个平角。小然是在什么时间完成写生的?
25.仓鼠的新家刚刚建好,为了出入方便,仓鼠想在家里的粮仓、卧室、厨房和卫生间两两之间修直通道。仓鼠要修几条直通道?请在这幅图上画出来。
26.如图,单杠运动员某时刻两只大臂与单杠的夹角示意图,已知,。
(1)与的关系是什么?请说明理由。
(2)求的度数。
27.数一数下面图形中各有几个角。
28.小欣做手工,她先将一张正方形彩纸对折,再将点B和点C都折到折痕的点G上。已知,那么是多少度?
29.数一数,图中一共有多少个角?
30.(1)用一枚图钉把一根硬纸条钉在木板上,硬纸条能转动吗?
(2)用两枚图钉把一根硬纸条钉在木板上,硬纸条能转动吗?
(3)过一点可以画多少条直线?过两点呢?
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$2026-2027学年苏教版数学三升四暑期进阶衔接金牌学案
专题01 角【能力清单+核心易错点+错题复盘练】
1、能清晰理解线和角的意义,区分线段、射线、直线与角的核心特征。
2、能熟练进行线的延伸、角的比对操作,并理解线与角特征的内在关联。
3、能熟练运用线和角的基本性质,用于各类图形识别与分类问题的求解。
4、能根据不同情境,灵活选择“直观判定、工具比对”适配线和角的相关问题。
5、会核验线和角的判定结果,并选择合适策略(特征核对、反向验证)验证结果。
6、能分辨线和角的实际问题,并抓住“找准端点、顶点与边”这一关键。
7、做题时,能圈出题目中的“线段”“直角”“端点”“延伸”等关键词。
8、能熟练根据实际场景判定线的类型,区分不同线和角的适用判定场景。
9、能准确识别“线的分类、角的识别、大小比对”不同题型,匹配对应解题步骤。
10、能根据已知图形特征反推缺失的端点或顶点,理清线和角各部分的对应逻辑。
1、线段有2个端点,射线仅1个端点,直线没有端点,不能混淆三类线的端点数量。
2、射线和直线可无限延伸,无法测量长度,不能判定“直线比线段长”这类错误结论。
3、角的两条边必须是直的射线,不能把带曲线边的图形误判定为角。
4、用直尺画线段时要标注两个端点,不能只画线条不标端点当作线段。
5、数线段时要按端点顺序计数,不能漏数由相邻短线段拼成的组合长线段。
6、角的大小只和两边张开幅度有关,边的长短不会改变角的实际大小。
7、判断直角必须用三角尺完全贴合比对,不能仅靠肉眼粗略判定直角。
8、过一点能画出无数条直线,过两点只能确定1条直线,不能混淆这一规律。
9、锐角比直角小、钝角比直角大,不能打乱三类角的大小排序逻辑。
10、延伸线段的一端得到射线,延伸两端得到直线,不能随意延伸混淆线的类型。
一、选择题
1.在速度相同的情况下,医生走( )号路线,能在最短的时间内赶到病人身边。
A.① B.② C.③
【答案】B
【分析】两点之间线段的长度就是两点间的距离。两点之间,线段距离最短;依此即可选择。
【解答】根据分析可知:
在速度相同的情况下,医生走②号路线,能在最短的时间内赶到病人身边。
2.图中,每两个点之间连一条线段,一共可以连( )条线段。
A.5 B.10 C.15
【答案】B
【分析】依次连接图中的两个点,最后统计线段的数量。
【解答】
共10条
故答案为:B
3.植树时,确保树坑排成一行的方法(如图)所含的数学原理是( )。
A.两点之间线段最短 B.直线可以无限延长 C.两点确定一条直线
【答案】C
【分析】这道题考查的是直线的基本性质:选项A“两点之间线段最短”,常用于解决最短路径问题;选项B“直线可以无限延长”,是直线的特征,但不是这里用到的原理;选项C“两点确定一条直线”,是指经过两个点,有且只有一条直线。题目里先确定两个树坑的位置,就能让其他树坑在同一条直线上,正是利用了这个原理。
【解答】通过分析可得:只要先确定出两个树坑的位置,这条直线就确定了,这样在这条直线上的树坑就排成了一行。则植树时,确保树坑排成一行的方法所含的数学原理是:两点确定一条直线。
4.优优画了一个房子(如图),房子是由一些三角形和四边形组成的,这些图形都是一条条( )组成的。
A.直线 B.射线 C.线段
【答案】C
【分析】直线没有端点,可以向两端无限延伸,不能量出长度;射线只有一个端点,可以向一端无限延伸,不能量出长度;线段有两个端点,不能向两端延伸,可以量出长度;据此判断。
【解答】组成房子的这些三角形和四边形的边都有两个端点,且长度可以测量,所以这些图形都是一条条线段组成的。
5.把一个平角分成两个角,其中一个是钝角,那么另一个角是( )。
A.锐角 B.钝角 C.直角
【答案】A
【分析】平角的度数是,钝角的度数范围是大于且小于。根据两个角的和为平角,利用减法关系判断另一个角的度数范围,从而确定角的类型。
【解答】把一个平角分成两个角,则这两个角的度数之和为。
因为其中一个角是钝角,即该角大于,
所以另一个角的度数小于。
小于的角是锐角,所以另一个角一定是锐角。
6.钟面上9:30,时针和分针组成的角是( )。
A.锐角 B.钝角 C.直角
【答案】B
【分析】能与三角尺上的直角重合的就是直角,比直角小的是锐角,比直角大的是钝角。钟面上9:30时,时针指向9和10的正中间,分针指向6,此时时针和分针组成的角比直角大,是钝角。
【解答】根据分析可知,钟面上9:30,时针和分针组成的角是钝角。
7.下面量角方法中,正确的是( )。
A.B.C.
【答案】B
【分析】用量角器测量角时,量角器的中心和角的顶点重合,0刻度线和角的一边重合,另一边所指的刻度就是角的大小。逐项分析即可。
【解答】A. 角的另一边没有指向刻度,错误。
B.量角器的中心和角的顶点重合,0刻度线和角的一边重合,另一边指向的刻度,正确。
C.量角器的中心和角的顶点没有重合,错误。
8.如下图,用一副三角板拼成一个图形,这个图形不含( )度的角。
A.75 B.120 C.135
【答案】B
【分析】一副三角板中的两个三角板的各个角度数是固定的,其中一个是等腰直角三角形的三角板中三个角度数分别为90度、45度、45度。另一个三角板的三个角度数分别为90度、30度、60度。观察图中两个三角板所拼图形,有两个内角是由两个三角板拼成的角,图中等腰直角三角形两个底角分别与另一个三角板的90度角和30度角拼接在一起,因此可以计算出各角的度数,然后与各选项比较即可选出答案。
【解答】图中所拼图形四个内角中两个拼接的内角度数分别为(45+90)度和(45+30)度,另外两个内角度数分别为90度和60度,所以图中所拼图形的内角度数分别为135度、75度、90度、60度。
A.75是图形中含有的角度的数值;
B.120不是图形中含有的角度的数值;
C.135是图形中含有的角度的数值。
所以该题答案选B。
二、填空题
9.如图所示,两根纸条AB和CD重叠在一起。如果AC=BD,那么AB( )CD。(填“>”“<”“=”)
【答案】=
【分析】观察图形可知,纸条AB=AC+BC,纸条CD=BD+BC,如果AC=BD,纸条AC和BD加的都是同一个BC,所以AB=CD,据此解答即可。
【解答】两根纸条AB和CD重叠在一起。如果AC=BD,那么AB=CD。
10.在下面的图形中,( )是直线,( )是射线,( )是线段。(填序号)
【答案】② ③⑥ ①④
【分析】直线没有端点,可以向两端无限延伸,线段有两个端点,有限长,射线只有一个端点,可以向一端无限延伸,直线、射线和线段都是直的。
【解答】②是直线,③⑥是射线,①④是线段。
11.图中有( )条射线、( )条线段和( )条直线。
【答案】12 5 1
【分析】射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线,射线仅有一个端点,可向一端无限延伸;直线由无数个点构成,没有端点,向两端无限延长,长度无法度量;线段是指直线上两点间的有限部分,包括两个端点。
【解答】上面3个顶点各有2条射线,最下面的2个顶点各有3条射线,所以射线的条数是=12(条);最下面有1条直线;图中的线段是五边形的5条边。
12.如图所示,可可从家去学校上学,有( )条路线,路线( )最近。因为两点间所有连线中( )最短。
【答案】3 ② 线段
【分析】由图可知,可可从家去学校上学,有①、②、③共3条路线可以选择。其中,路线①和路线③都是曲线,路线②是线段。因为两点间所有连线中线段最短,所以路线②最短。
【解答】可可从家去学校上学,有3条路线,路线②最近。因为两点间所有连线中线段最短。
13.下图是一个旋转门的示意图,它由三扇门隔成相等的三部分,则两扇门之间所形成的较小夹角是( )°,这是一个( )角。
【答案】120 钝
【分析】根据图形,旋转门可以看成一个周角,周角是360°,平均分成3份,据此用除法求得一份是多少度。锐角是大于0°小于90°的角,直角是90°的角,钝角是大于90°小于180°的角,平角是180°的角,据此解答。
【解答】360°÷3=120°
则两扇门之间所形成的夹角是120°,这是一个钝角。
14.涂涂妈妈晚上开始做饭时,钟面上时针在6和7之间,分针正好指向3。做完晚饭时,分针刚好走了一个平角。涂涂妈妈是在晚上( ):( )做好晚饭的。第二天早晨,涂涂到教室时,看到钟面上时针指向8,分针指向12,这时分针与时针形成的较小角是( )角。
【答案】6 45 钝
【分析】根据钟面上时针和分针的位置读出开始做饭的时刻。时针在6和7之间表示6时多,分针指向3表示15分。钟面上分针走一圈是周角360°,走半圈是平角180°,对应的时间是30分钟。再用开始时间加上经过的时间,得出做好晚饭的时刻。观察第二天早晨8时钟面上时针和分针的位置,根据它们之间间隔的大格数量与直角(3个大格)进行比较,判断角的类型。
【解答】时针在6和7之间,分针指向3,3×5=15(分),所以开始做饭的时间是晚上6:15;
60÷2=30(分),6时15分+30分=6时45分,即:6:45。
所以,涂涂妈妈是在晚上6:45做好晚饭。
第二天早晨8时,时针指向8,分针指向12。钟面上共有12个大格,3个大格对应的是直角。时针和分针之间相隔4个大格,因为4个大格比3个大格多,所以形成的角比直角大。比直角大且比平角小的角是钝角。所以这时分针与时针形成的较小角是钝角。
15.下面的图形中,( )是线段,( )是直线,( )是锐角,( )是钝角,最大的角是( )。
【答案】②⑦ ④ ⑤ ⑥ ⑥
【分析】线段:有2个端点,长度固定。直线:没有端点,能向两边无限延长。锐角:用三角板的直角比一比,比直角小的角就是锐角。钝角:用三角板的直角比一比,比直角大的角就是钝角。以此答题即可。
【解答】下面的图形中,②⑦是线段,④是直线,⑤是锐角,⑥是钝角,最大的角是⑥。
16.观察下图,请你写出下面三个角的度数。
∠2=( )°,∠DOE=( )°,∠BOC=( )°。
【答案】35 55 145
【分析】平角的两边成一条直线,已知∠COD=35°,∠COD与∠BOC组成平角,∠2与∠BOC也组成平角,则∠2的度数和∠COD的度数相等;
直角=90°,已知∠AOE是直角,则∠AOE=∠COE=90°,用90°减去∠COD的度数,即可求出∠DOE的度数;
平角=180°,∠COD与∠BOC组成平角,则用180°减去∠COD的度数,即可求出∠BOC的度数。
【解答】∠2=∠COD=35°
∠DOE=90°-35°=55°
∠BOC=180°-35°=145°
三、判断题
17.中有6条线段。( )
【答案】√
【分析】图中,单独的线段有3条,由两条线段组成的线段有2条,由三条线段组成的线段有1条,一共有(3+2+1)条线段。
【解答】
故答案为:√。
18.探险家们探险时使用手电筒进行照明,手电筒射出的光线可以看作射线。( )
【答案】√
【分析】根据射线的定义,射线有一个端点,向一端无限延伸。生活中手电筒、探照灯射出的光线都可以近似看作射线,因为它们都是从一点出发向一个方向传播的。据此解答。
【解答】根据分析可知,探险家们探险时使用手电筒进行照明,手电筒射出的光线可以看作射线。
故答案为:√
19.左面的锁屏图案中有2个钝角。( )
【答案】√
【分析】大于90°但小于180°的角是钝角,据此解答。
【解答】图中共2个钝角,分别为第二行左侧圆心端点和两条连线组成的钝角、最下行中间圆心端点和两条连线组成的钝角,位置见下图:
原说法正确。
故答案为:√
20.小明用一个5倍放大镜观察一个20°角,放大镜中这个角的度数是100°。( )
【答案】×
【分析】角的大小是由两条边张开的程度决定的,与边的长短无关。放大镜只会改变角两边的长短,不会改变角的大小,依此判断,即可解答。
【解答】小明用一个5倍放大镜观察一个20°角,放大镜中这个角的度数还是20°。原题说法错误。
故答案为:×
四、计算题
21.看图列式计算。
∠3=30°,求∠1。
【答案】60°
【分析】∠3和∠1与中间的直角组成平角,所以用180°减去直角90°,再减去∠3的度数,就能得到∠1的度数。
【解答】
∠1的度数是60°。
五、作图题
22.画一画,填一填。
(1)画出直线AB、射线AC、线段BC。
(2)画好的图中有( )条线段,有( )条射线。
(3)用圆规和无刻度直尺画线段EF,使线段EF的长度是线段BC的2倍。
【答案】(1)
(2) 3 6
(3)
【分析】直线没有端点,向两端无限延伸、射线有个端点,向一端无限延伸、线段有个端点,长度有限。
【解答】(1)直线:连接、两点,两端出头延长;射线:以为端点,经过,一侧出头延长;线段:连接、两点,两端不延长,作图如下:
(2)线段:、、,共条;
射线:以为端点向左下、右下、右上各有一条,共条;以为端点向左下、右上各有一条,共条;以为端点向右下有一条,合计
(3)圆规针尖固定,张开笔尖到,固定圆规间距等于长,画射线,端点标,圆规针尖放,在射线上截一点使之与等长,圆规保持间距,针尖放在该点,再截一点使之与等长,标记为点,此时的长度是的倍,作图如下:
23.下图画的是甲、乙两人放风筝的场景,风筝线的长度相等。
(1)量一量,王红的风筝线与地面的夹角大约是( )°,李明的风筝线与地面的夹角大约是( )°。
(2)想一想:不考虑风力因素,风筝线与地面的夹角是(50° 90° 120°)时,风筝的高度是最高的。(在正确的度数圈起来)
【答案】(1)65 40
(2)见详解
【分析】(1)量角的步骤是:先把量角器的中心与角的顶点重合,0°刻度线与角的一条边重合,角的另一边所对的量角器上的刻度,就是这个角的度数,依此测量并填空即可。
(2)风筝线长度相等时,风筝线和地面的夹角越大,风筝飞得越高;且风筝线在地面上方,和地面的夹角不可能超过90°,三个选项里90°最大,因此90°时风筝高度最高。
【解答】(1)量一量,王红的风筝线与地面的夹角大约是65°,李明的风筝线与地面的夹角大约是40°。
(2)想一想:不考虑风力因素,风筝线与地面的夹角是(50° 90° )时,风筝的高度是最高的。
六、解答题
24.星期天,小然到公园去写生。开始时,钟面上时针在9与10之间,分针指向“6”;结束时,分针刚好走过2个平角。小然是在什么时间完成写生的?
【答案】10:30
【分析】开始时,钟面上时针在9与10之间,分针指向“6”,即为9:30;结束时,分针刚好走过2个平角即转了1圈(1小时),根据开始时间+经过时间=结束时间;计算完成写生的时间。
【解答】9:30+1小时=10:30
答:小然是在10:30完成写生的。
25.仓鼠的新家刚刚建好,为了出入方便,仓鼠想在家里的粮仓、卧室、厨房和卫生间两两之间修直通道。仓鼠要修几条直通道?请在这幅图上画出来。
【答案】图见详解;
6条
【分析】线段是直直的,有2个端点。要想两两之间修直通道,也就是将每两个点相连,连出几条线段,就是要修几条直通道。
【解答】由分析作图如下:
答:仓鼠要修6条直通道。
26.如图,单杠运动员某时刻两只大臂与单杠的夹角示意图,已知,。
(1)与的关系是什么?请说明理由。
(2)求的度数。
【答案】(1)见详解
(2)∠2=80°
【分析】(1)根据题意,可推出;
(2)三个角组成一个平角,平角的度数为180°,再根据题意给的两个式子相加列出式子,求出的大小。
【解答】(1),
因为,
,所以;
(2)由题意得: (①式)
(②式)
所以①式-②式=
=
答:的度数是。
27.数一数下面图形中各有几个角。
【答案】6个;8个
【分析】在数角的个数时,先一个一个地数出单独角的个数,再数出由两个、三个、……组成的角的个数,最后再相加,即可求出角的总个数。
【解答】图1中,单独的角有3个,由两个角组成的角有2个,由三个角组成的角有1个,所以共有3+2+1=6(个);
图2中,单独的角有6个,由两个角组成的角有2个,所以共有6+2=8(个)。
28.小欣做手工,她先将一张正方形彩纸对折,再将点B和点C都折到折痕的点G上。已知,那么是多少度?
【答案】120°
【分析】正方形的四个角都是直角,即都是90°,因为周角=360°,所以∠2=周角-∠1-直角×2,据此计算出的度数即可。
【解答】360°-60°-90°×2
=300°-180°
=120°
答:∠2是120°。
29.数一数,图中一共有多少个角?
【答案】15个角
【分析】由图可知,图中有5个小角,由2个小角组成的大角有4个,由3个小角组成的大角有3个,由4个小角组成的大角有2个,由5个小角组成的大角有1个,直接把它们的数量全部加起来即可算出图中一共有多少个角。
【解答】5+4+3+2+1
=9+3+2+1
=12+2+1
=14+1
=15(个)
答:图中一共有15个角。
30.(1)用一枚图钉把一根硬纸条钉在木板上,硬纸条能转动吗?
(2)用两枚图钉把一根硬纸条钉在木板上,硬纸条能转动吗?
(3)过一点可以画多少条直线?过两点呢?
【答案】(1)能转动
(2)不能转动
(3)无数条;1条
【分析】(1)用一枚图钉把一根硬纸条钉在木板上,纸条被一点固定硬纸条可以绕这个点转动;
(2)用两枚图钉把一根硬纸条钉在木板上,纸条被两点固定,硬纸条不可以转动;
(3)根据(1)(2)的情况总结即可。
【解答】
(1)如图:
答:硬纸条能转动。
(2)如图:
硬纸条不能转动。
(3)答:过一点可以画无数条直线,过两点可以画一条直线。
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