第二十五章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级上册数学一元二次方程单元检测卷，注重基础巩固与能力提升，融入文化情境（如印度古算诗）和实际应用（商场销售、几何运动），适配单元复习，培养数学抽象、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、一般形式、配方法、根的判别式|基础概念辨析，如方程类型判断、配方法参数求解| |填空题|6/18|方程解、根的判别式、构造方程|逆向思维考查，如已知根构造方程、参数取值范围| |解答题|9/72|解方程（公式法、换元法）、几何应用（运动问题）、实际问题（增长率、利润）、阅读理解（赵爽几何解法）|综合性强，如换元法解方程、几何运动面积问题，融入古代数学文化，体现模型意识与推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B D A C B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．且 13． 14． 15． 16．8或7 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得，，；..........................3分 （2）解：， ， ∴， 解得，，．..........................6分 18． 【详解】（1）解： 把看作一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或者， ∴，．.............3分 （2）解：， 把看作整体，设， 则原方程可化为． 解得，（舍去）， ∴，．.............6分 19． 【详解】（1）证明：， ， 无论为任何实数，方程总有实数根；..............3分 （2）解：此方程有两个实数根，且， ， ， ，， ， 解得：或．..............6分 20． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ∵，的长是关于x的方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ，即． 整理得：， 解得． 当时，原方程为， 解得：． 故当时，四边形是菱形，菱形的边长是；..............3分 （2）解：∵， ∴方程的一个根为2， 把代入原方程得， 解得：． 把代入原方程得， ∴，则， ．..............6分 21． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为；..............3分 （2）解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价1元时，商品获利元．．..............8分 22． 【详解】（1）设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：；..............2分 （2）设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或，..............5分 当时，， 解得， 当时，无解， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：．..............8分 23． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为；..............3分 （2）∵方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为， ∴， ∴， 解得：，， 由（1）知：， ∴， ∴的值为．.............8分 24． 【详解】（1）①∵是方程的一根， ∴， ∴， ∴；..............4分 ②∵方程的两个实数根为m，n， ∴，， ∴， 故答案为：2023，13 ；           （2）解：由满足，且， ∴是方程的两根， ∴由韦达定理得：，， ，        ，       .............8分 （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴m，是的两个不相等的根， ∴，， ∴， 故答案为：1．.............12分 25． 【详解】解：[理解应用] ∵， ∴， 结合题意，将看作一个长为，宽为，面积为的矩形， ∴很容易观察出构图是③， 故答案为：③；..............2分 [类比迁移] ， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为； 故答案为：，，；..............8分 [拓展应用] ， ， ， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ，， 解得：，， 当时，， ∴，，方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：，3，1或3．..............12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 3．已知方程可配平方成的形式，则(    ) A．， B．， C．， D．， 4．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 5．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 6．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若方程的两根分别是，则的值为（    ） A．26 B．18 C．16 D． 8．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 9．关于的方程根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若关于的一元二次方程的解是，则的值 ． 12．已知有两个不相等的实数根，的取值范围是 ． 13．已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 14．已知，则的值是 ． 15．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根为1，则你构造的一元二次方程是 ． 16．已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则的周长为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．．解下列方程． (1)； (2)（公式法）． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． ∴或． ∴，． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 19．已知：关于的方程 (1)求证：无论为任何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根，且，求的值． 20．已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么的周长是多少？ 21．某商场今年年初以每件元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为元时，一月份销售件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等． (1)求二月和三月该商品的月平均增长率； (2)从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 22．阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； (2)仿照上述方法，解方程：． 23．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值． 24．（1）基础应用： 已知一元二次方程．①若是该方程的一根，则=______； ②设此方程的两个实数根为m，n，则代数式的值为______． （2）拓展延申： 若实数m、n满足：，，且，求的值． （3）能力提升： 若实数m，n满足：，且，则： ． 25．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形; 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； 【拓展应用】 一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 2．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 3．已知方程可配平方成的形式，则(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】题考查了配方法解一元二次方程；先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【详解】解： ∴， ∴， 即 ∴， 故选：C． 4．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值等知识，根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C 5．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程、构成三角形的条件，先求出一元二次方程的解，分类讨论：当等腰三角形的底边为2时，当等腰三角形的底边为4时，根据等腰三角形的定义及构成三角形的条件即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：， 解得：或， 当等腰三角形的底边为2时，则三边分别为：2，4，4， ，， 2，4，4能构成三角形， 则这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底边为4时，则三边分别为：2，2，4， ， 2，2，4不能构成三角形， 综上所述，则这个等腰三角形的周长为10， 故选B． 6．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用猴子总数两队猴子数之和，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】这群猴子的总数是只， 一队猴子数是只． 根据题意得：． 故选：D． 7．若方程的两根分别是，则的值为（    ） A．26 B．18 C．16 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式变形，最后代入求出即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了完全平方公式，解题的关键是熟知根与系数的关系表达式． 【详解】解：∵方程的两根分别是， ∴，， ∴， 故选：A． 8．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 9．关于的方程根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义；先求一元二次方程的判别式，由与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根． 故选B． 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， ∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动， ∴， ∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动， ∴AQ=2，，， 的面积是面积的， ， 整理得， 解得， 当s时，的面积是面积的． 故选择B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若关于的一元二次方程的解是，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程得到，再根据，把整体代入求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的解是， ∴， ∴， ∴， 12．已知有两个不相等的实数根，的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查根的判别式，由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴且， 即且， 解得：且， 故答案为：且． 13．已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 【答案】 【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键，含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 14．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】把已知条件式相加得到，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出是解题的关键． 15．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根为1，则你构造的一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】令，，一元二次方程为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，当时，，，由此即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一个根为2，另一根为1， 令，，一元二次方程为， 由一元二次方程的根与系数的关系可得：，， ，， 当时，，， 一元二次方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 16．已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则的周长为 ． 【答案】8或7 【分析】本题考查了根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或b时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可． 【详解】解：∵ ， 则无论k取何实数值，方程总有实数根， 当时，，方程为， 解得：， 此时三边长为3，2，2，周长为； 当或时，把代入方程得：， 解得：，此时方程为：， 解得：， 此时三边长为3，3，2，周长为， 综上所述，的周长为7或8． 故答案为：8或7． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．．解下列方程． (1)； (2)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法，公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）因式分解法解一元二次方程即可； （2）公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得，，； （2）解：， ， ∴， 解得，，． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． ∴或． ∴，． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为，，； （2）把看做整体，设，则原方程可化为，解得，． 【详解】（1）解： 把看作一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或者， ∴，． （2）解：， 把看作整体，设， 则原方程可化为． 解得，（舍去）， ∴，． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握换元法，准确计算． 19．已知：关于的方程 (1)求证：无论为任何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． （1）求出，即可得证； （2）由结合完全平方公式可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 无论为任何实数，方程总有实数根； （2）解：此方程有两个实数根，且， ， ， ，， ， 解得：或． 20．已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么的周长是多少？ 【答案】(1)当时，四边形是菱形，菱形的边长是 (2)5 【分析】此题考查了平行四边形的性质“平行四边形对边相等”，菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，以及一元二次方程根与系数关系：，是解题的关键． （1）根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，得出，则方程有两个相等的实数根，根据判别式求解即可； （2）把代入原方程得，求出m的值，再根据一元二次方程根于系数的关系，得出，则，即可求出周长． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ∵，的长是关于x的方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ，即． 整理得：， 解得． 当时，原方程为， 解得：． 故当时，四边形是菱形，菱形的边长是； （2）解：∵， ∴方程的一个根为2， 把代入原方程得， 解得：． 把代入原方程得， ∴，则， ． 21．某商场今年年初以每件元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为元时，一月份销售件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等． (1)求二月和三月该商品的月平均增长率； (2)从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为 (2)当商品降价1元时，商品获利元． 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：件，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设当商品降价元时，商品获利元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价1元时，商品获利元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 22．阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； (2)仿照上述方法，解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可； （2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可． 【详解】（1）设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：； （2）设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或， 当时，， 解得， 当时，无解， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法． 23．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，矩形的面积，运用了不等式和方程的思想， （1）根据方程有两个实数根可知，求解即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系和矩形的面积公式得到关于的方程，求解即可； 解题的关键是掌握：（1）式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根；（2）一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； （2）∵方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为， ∴， ∴， 解得：，， 由（1）知：， ∴， ∴的值为． 24．（1）基础应用： 已知一元二次方程．①若是该方程的一根，则=______； ②设此方程的两个实数根为m，n，则代数式的值为______． （2）拓展延申： 若实数m、n满足：，，且，求的值． （3）能力提升： 若实数m，n满足：，且，则： ． 【答案】（1）2023；13（2）（3）1 【分析】（1）①根据一元二次方程的根的定义即可作答；②根据根与系数的关系以及完全平方公式即可作答； （2）先判断出方程的两个实数根为m，n，可得，，再根据完全平方公式即可作答； （3）将方程两边同时除以，可得，即可得m，是的两个不相等的根，再根据根与系数的关系作答即可． 【详解】（1）①∵是方程的一根， ∴， ∴， ∴； ②∵方程的两个实数根为m，n， ∴，， ∴， 故答案为：2023，13 ；           （2）解：由满足，且， ∴是方程的两根， ∴由韦达定理得：，， ，        ，                （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴m，是的两个不相等的根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，完全平方公式，难点是（3）问，求得m，是的两个不相等的根，是解答本题的关键． 25．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形; 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； 【拓展应用】 一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 【答案】[理解应用] ③[类比迁移] ，，； [拓展应用] ，3，1或3． 【分析】[理解应用]依据题干方法得到，再根据图形很容易判断； [类比迁移]与题干思路一致，需要注意的是画出图形更容易得解； [拓展应用]先因式分解变形得，再根据题干条件分析，，进而分类讨论求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质等内容，能知道系数、与各图形面积的关系是解题的关键． 【详解】解：[理解应用] ∵， ∴， 结合题意，将看作一个长为，宽为，面积为的矩形， ∴很容易观察出构图是③， 故答案为：③； [类比迁移] ， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为； 故答案为：，，； [拓展应用] ， ， ， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图②是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4， ，， 解得：，， 当时，， ∴，，方程的一个正根为1； 当时，， ∴，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：，3，1或3． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元检测卷 第二十五章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 2．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 3．已知方程可配平方成的形式，则(    ) A．， B．， C．， D．， 4．已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 5．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定 6．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 7．若方程的两根分别是，则的值为（    ） A．26 B．18 C．16 D． 8．根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 9．关于的方程根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若关于的一元二次方程的解是，则的值 ． 12．已知有两个不相等的实数根，的取值范围是 ． 13．已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 14．已知，则的值是 ． 15．请构造一个一元二次方程，使它的一个根为2，另一根为1，则你构造的一元二次方程是 ． 16．已知关于x的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b，c恰好是这个方程的两个根，则的周长为 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．．解下列方程． (1)； (2)（公式法）． 18．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． ∴或． ∴，． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 19．已知：关于的方程 (1)求证：无论为任何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根，且，求的值． 20．已知：的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． (1)当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若的长为2，那么的周长是多少？ 21．某商场今年年初以每件元的进价购进一批“网红”商品．当商品售价为元时，一月份销售件，三月份销售3240件．设二月和三月该商品销售的月平均增长率相等． (1)求二月和三月该商品的月平均增长率； (2)从四月初起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价元，销售量增加件，当商品降价多少元时，商场获利元？ 22．阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； (2)仿照上述方法，解方程：． 23．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根，是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为，求的值． 24．（1）基础应用： 已知一元二次方程．①若是该方程的一根，则=______； ②设此方程的两个实数根为m，n，则代数式的值为______． （2）拓展延申： 若实数m、n满足：，，且，求的值． （3）能力提升： 若实数m，n满足：，且，则： ． 25．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．（从序号①②③中选择） 【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形; 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ； 【拓展应用】 一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $