14.3 角平分线 知识归纳与题型突破 2026-2027学年人教版八年级数学上册（八大题型）

**基本信息** 聚焦角平分线性质、判定及作法，通过八大题型构建从基础应用到综合探究的分层训练，强化抽象能力与推理意识，适配单元复习知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|性质求长度/面积、判定辨析、尺规作图|以选择填空为主，直接应用知识点，如性质求距离、判定证角平分线| |提升层|性质与判定综合、多结论判断、实际应用|含证明题与情境题，如综合证明线段相等、加油站选址问题，发展推理能力与应用意识|

14.3角平分线知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版 八年级上册（八大题型） 知识归纳： 【知识点1 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【知识点2 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【知识点3 角平分线的作法】 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 题型突破： 题型一：利用角平分线的性质求长度 1.如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为（       ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点P到边BC的距离是（　　） A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm 4.如图，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则△AED的周长是______cm． 5.如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 题型二：利用角平分线的性质求面积 1.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18，则△BOC的面积为（     ） A．27 B．54 C． D．108 2.如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（       ） A．18 B．30 C．54 D．27 3.如图，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，则ABD的面积为____． 4.已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）． 5.如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________． 题型三：利用角平分线的性质证明 1.如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线． （1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数； （2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长． 2.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 3.如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 题型四：角平分线的判定 1.如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 4.如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点． (1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；(2)求证：点在的平分线上． 5.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F． (1)求证：PD＝PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由． 题型五：尺规作角平分线 1.如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3.如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）． 尺规作图具体步骤如下， 第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点； 第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点； 第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ） A．有最小限制，无限制 B．的长 C．的长 D．连接，则垂直平分 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　． 5.如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）. 题型六：角平分线的性质与判定综合运用 1.如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）． A．125° B．135° C．105° D．100° 2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°． 3.如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 4.在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 题型七：利用角平分线的性质判断多结论问题 1.如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（    ）    ①；②； ③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（     ） A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④ 3.如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4.如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 5.如图，在中，，平分，，，下列结论：平分；；若，，则； ；其中正确的是（  ）    A． B． C． D． 题型八：角平分线的性质的实际应用 1.如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处． A． B． C． D． 2.如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线所在的直线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 4.如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    5.如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3角平分线知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版 八年级上册（八大题型） 知识归纳： 【知识点1 角平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【知识点2 角平分线的判定】 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【知识点3 角平分线的作法】 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 题型突破： 题型一：利用角平分线的性质求长度 1.如图，在中，，AD平分，交BC于点D，，，则CD的长为（       ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 3.如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点P到边BC的距离是（　　） A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】B． 4.如图，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8cm，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则△AED的周长是______cm． 【答案】8 5.如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 【答案】3.5 题型二：利用角平分线的性质求面积 1.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的角平分线交于点O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面积为18，则△BOC的面积为（     ） A．27 B．54 C． D．108 【答案】A 2.如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（       ） A．18 B．30 C．54 D．27 【答案】D 3.如图，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，则ABD的面积为____． 【答案】15 4.已知：如图，D是BC上一点，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝4，若，则S△ADC＝_____（用m的代数式表示）． 【答案】## 5.如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________． 【答案】2：3：4 题型三：利用角平分线的性质证明 1.如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线． （1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数； （2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°， ∵AC是∠BAE的角平分线， ∴∠BAC＝∠BAE＝25°； （2）∵S△ADC＝DC•AE， ∴×DC×8＝16， ∴DC＝4， ∵D是BC的中点， ∴BC＝2CD＝8． 2.如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 3.如图，△ABC中，∠ACB＝100°，点D在边BC延长线上，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝16，AB＝10，且S△ACD＝24，则△ABE的面积． 【答案】（1）解：由条件可得∠ACD＝180°﹣∠ACB＝80°， ∵EH⊥BD，∠CEH＝50°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CEH＝40°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝40°． （2）证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， ∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD， ∴EM＝EH， 由（1）可知，∠ACE＝∠DCE＝40°，即CE平分∠ACD， 由条件可得EN＝EH， ∴EM＝EN， 又∵点E在∠CAF的内部， ∴AE平分∠CAF； （3）解：如上图，过点E作EM⊥BF于点M，作EN⊥AC于点N， 由（2）已得：EM＝EH＝EN， 设EM＝EH＝EN＝x， ∵S△ACD＝24， ∴S△ACE+S△DCE＝24， ∴，即， ∴， ∴x＝3， ∴EM＝3， ∵AB＝10， ∴△ABE的面积为． 4.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 【解答】（1）证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF， 设BE＝x，则CF＝x， ∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF， ∴5﹣x＝3+x， 解得：x＝1， ∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4． 题型四：角平分线的判定 1.如图，点是内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，且，则点是（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 2.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】A． 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．求证：DE是∠ADC的平分线． 【答案】证明：如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵∠B＝90°，AE平分∠BAD， ∴BE＝EF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CE＝EF， 又∵∠C＝90°，EF⊥AD， ∴DE是∠ADC的平分线． 4.如图，在中，的平分线与的外角的平分线交于点，于点，，交的延长线于点． (1)若点到直线的距离为5cm，求点到直线的距离；(2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)5cm；(2)见解析． （1）解：过点作于， 点在的平分线，，， cm，即点到直线的距离为； （2）证明：点在的平分线，，， ，同理：，， ，，点在的平分线上． 5.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F． (1)求证：PD＝PE＝PF；(2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在，理由见解析 (1)证明：平分，，， 平分，，，． (2)解：点在的平分线上，理由如下：如图，连接， ，点在的平分线上． 题型五：尺规作角平分线 1.如图，用直尺和圆规作在∠AOB内确定射线OH，点P是射线OH上一点，过点P分别作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F，若PE＝3，则PF的长为（　　） A．1.5 B．3 C．4 D．5 【答案】B． 2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 3.如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）． 尺规作图具体步骤如下， 第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点； 第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点； 第3步：画射线．射线即为所求．下列说法正确的是（ ） A．有最小限制，无限制 B．的长 C．的长 D．连接，则垂直平分 【答案】B 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　． 【答案】15． 5.如图，在中，．请用尺规在边上作一点，使点到点的距离与点到边的距离．（保留作图痕迹，不写作法）. 【答案】画图见解析 【分析】作∠BAC的平分线交BC于点P即可求解． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型六：角平分线的性质与判定综合运用 1.如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）． A．125° B．135° C．105° D．100° 【答案】A 2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°． 【答案】 3.如图，中，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且．    (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1)40° (2)见解析 (3)15 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图：过E点分别作于M，与N，    ∵平分， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：∵， ∴， 即，解得， ∵， ∴． 4.在ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE． （1）如图1，求证：DF＝CF； （2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE； （3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）1 【详解】（1）证明：如图1中，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：如图2中，过点作于． ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型七：利用角平分线的性质判断多结论问题 1.如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（    ）    ①；②； ③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（     ） A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④ 【答案】A 3.如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）      A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 4.如图，在中，，，，分别是的中线、角平分线和高线，交于点G，交于点H，下面说法中一定正确的是（    ） 的面积等于的面积；    ②； ③；        ④．    A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 5.如图，在中，，平分，，，下列结论：平分；；若，，则； ；其中正确的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 题型八：角平分线的性质的实际应用 1.如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处． A． B． C． D． 【答案】D 2.如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3.如图是体育场的一块三角形休息区，要在休息区内设一个供水台供大家休息饮水，要使供水台到，，的距离相等，供水台应该选在（ ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线所在的直线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 4.如图，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为 ．    【答案】200 5.如图，两条公路，交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】解：点P即为所求，如图所示：    学科网（北京）股份有限公司 $