13.3 三角形的内角与外角知 识归纳与题型突破 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形内角与外角四大知识点，通过三级梯度八大题型实现从单一应用到综合创新的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|内角和定理、直角三角形判定与性质、外角性质求角度|以选择填空为主，如题型一直接应用内角和求角度，夯实概念理解| |提升层|外角比较大小、角平分线与高线夹角|结合图形变换，如题型五通过角平分线与高线位置关系发展推理能力| |综合层|折叠问题、三角板组合、多性质综合应用|创设复杂情境，如题型八角平分线与外角综合，强化几何直观与创新意识|

13.3三角形的内角与外角知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版八年级上册（八大题型） 知识归纳： 【知识点1 三角形的内角及内角和定理】 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【知识点2 直角三角形的判定】 有两个角互余的三角形是直角三角形． 【知识点3 直角三角形的性质】 直角三角形两个内角互余． 【知识点4 三角形的外角】 概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质：①三角形的外角和为360°； ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 题型突破： 题型一：应用三角形内角和定理求角度 1.如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A．60° B．64° C．74° D．80° 2.如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，DE，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝m°，则∠CDE等于（　　） A． B． C． D． 4.若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 5.在中，，且，则的度数为 ． 6.如图，，，，求的度数．    题型二：直角三角形的性质与判定 1.在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 2.△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3.在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝80°，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4.若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 5.如图，已知，，垂足是D，则图中与互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． （1）如图1，求证：CD⊥AB； （2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点． ①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数； ②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）． 题型三：应用三角形的外角性质求角度 1．如图，已知点D是△ABC的BC边延长线上一点，且满足∠A＝85°，∠B＝25°，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．110° C．40° D．70° 2.如图所示，点D是内一点，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3.如图，D是的边上一点，，，．则的大小是（    ） A． B． C． D． 4.如图，图中x的值为 　 　． 5.如图，已知中，，是边上的高，求度数．    题型四：应用三角形的外角性质比较角度大小 1．下列图形中，∠2大于∠1的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，点D为的边BC延长线上一点，关于与的大小关系，下列说法正确的是(   ) A． B． C． D．无法确定 4.如图，点是内一点，连接并延长交于，连接，则图中的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是(     ). A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A 题型五：三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角 1.如图，在中，，，平分，是上的高，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．55° 3.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 4.如下图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； .其中正确的是 . 5.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数． 题型六：三角形折叠中的角度问题 1.如图，把纸片沿折叠，则（    ） A． B． C． D． 2.如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在，将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（      ） A．22° B．21° C．20° D．19° 4.如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（    ） A．66° B．23° C．46° D．69° 5.如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是 .    题型七：三角形的内角与外角与三角板问题 1.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．75° B．60° C．65° D．55° 2.如图，，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　） A．75° B．95° C．100° D．105° 4.在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一，每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有30°的直角三角板，一副三角板如图摆放，其中A、D、B共线，此时∠BEF的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 5.将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于 　 　． 题型八：三角形内角与外角的性质与角平分线的综合 1.如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 3.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①；②；③；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 4.如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 °． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3三角形的内角与外角知识归纳与题型突破2026-2027学年人教版八年级上册（八大题型） 知识归纳： 【知识点1 三角形的内角及内角和定理】 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 【知识点2 直角三角形的判定】 有两个角互余的三角形是直角三角形． 【知识点3 直角三角形的性质】 直角三角形两个内角互余． 【知识点4 三角形的外角】 概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质：①三角形的外角和为360°； ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 题型突破： 题型一：应用三角形内角和定理求角度 1.如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（　　） A．60° B．64° C．74° D．80° 【答案】B． 2.如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AM平分∠BAC，交BC于点M，MN∥AB，交AC于点N，则∠AMN的大小是（　　） A．30° B．35° C．40° D．55° 【答案】B． 3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，DE，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝m°，则∠CDE等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 4.若的三个内角之比为，那么中最大角的度数为 ． 【答案】 5.在中，，且，则的度数为 ． 【答案】 6.如图，，，，求的度数．    【答案】 【详解】解：连接，如图所示：    在中，①， 在中，②， 由①②得，即， ，，， ，即． 题型二：直角三角形的性质与判定 1.在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A． 2.△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B． 3.在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝80°，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】：B． 4.若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 5.如图，已知，，垂足是D，则图中与互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 6.已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． （1）如图1，求证：CD⊥AB； （2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点． ①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数； ②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）详见解析；（2）①∠A'CB=22°；②∠A'CB=90°﹣2n°． 【详解】（1）∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB； （2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=34°， 由（1）知，∠BCD+∠B=90°， ∴∠BCD=56°， 由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°， ∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°； ②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°， ∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°． 题型三：应用三角形的外角性质求角度 1．如图，已知点D是△ABC的BC边延长线上一点，且满足∠A＝85°，∠B＝25°，则∠ACD的度数为（　　） A．100° B．110° C．40° D．70° 【答案】B． 2.如图所示，点D是内一点，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，D是的边上一点，，，．则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4.如图，图中x的值为 　 　． 【答案】60°． 5.如图，已知中，，是边上的高，求度数．    【答案】 【详解】解：设，则， 在中， ， ， ， ， 是边上的高， ，， ， ． 题型四：应用三角形的外角性质比较角度大小 1．下列图形中，∠2大于∠1的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 2.如图，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，点D为的边BC延长线上一点，关于与的大小关系，下列说法正确的是(   ) A． B． C． D．无法确定 【答案】C 4.如图，点是内一点，连接并延长交于，连接，则图中的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是(     ). A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A 【答案】D 题型五：三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角 1.如图，在中，，，平分，是上的高，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．55° 【答案】C． 3.已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【答案】B． 4.如下图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； .其中正确的是 . 【答案】 5.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数． 【答案】解（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝70°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°； （2）同（1），可得∠ADE＝75°． ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15°． 题型六：三角形折叠中的角度问题 1.如图，把纸片沿折叠，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，在中， ，将沿翻折后，点A落在BC边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，在，将点A与点B分别沿和折叠，使点A、B与点C重合，则的度数为（      ） A．22° B．21° C．20° D．19° 【答案】C 4.如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（    ） A．66° B．23° C．46° D．69° 【答案】D 5.如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是 .    【答案】2∠C=∠1+∠2 题型七：三角形的内角与外角与三角板问题 1.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　） A．75° B．60° C．65° D．55° 【答案】A． 2.如图，，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（　　） A．75° B．95° C．100° D．105° 【答案】D． 4.在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一，每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有30°的直角三角板，一副三角板如图摆放，其中A、D、B共线，此时∠BEF的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D． 5.将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于 　 　． 【答案】105°． 题型八：三角形内角与外角的性质与角平分线的综合 1.如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】B． 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【答案】C． 3.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①；②；③；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C． 4.如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D． 5．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　 °． 【答案】30°． 学科网（北京）股份有限公司 $