13.3.2 三角形的外角&专题2 与三角形的角平分线有关的常见解题模型-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 江西专版）

13.3.2三角形的外角 ②基础过关。逐点击破 6.(2025·辽宁中考)如图，点C在∠AOB的 边OA上，CD⊥OB,垂足为D,DE∥OA.若 知识点1三角形的外角的定义 ∠EDB=40°，则∠ACD的度数为() 1.如图，下列是△ACD的外角的是( A.50° B.120° C.130°D.140° A.∠EADB.∠BACC.∠ACBD.∠CAE 周 能力提升。整合运用 7.(2024-2025·九江期末)如图，AB∥DE, ∠BCE=53°，∠B=28°，则∠E的度数为 0 ( (第1题图) (第2题图) A.25° B.28° C.30° D.33° 2.如图，下列说法错误的是 A.∠ACF不是△ABC的外角 A B.∠ACD是△ABC的外角 C.∠AEC和∠ECF都是△BCE的外角 D E C D D.图中没有△CEF的外角 (第7题图) (第8题图) 知识点2三角形的外角的性质 8.(2024一2025·南昌期末)如图，在△ABC中，F, 3.路灯的实物图和它的平面示意图如图所示， E分别是AB,AC上的点，连接FE并延长，交 已知∠MAC=50°，∠ACB=20°，则图中 BC的延长线于点D.若∠A=45°，∠B=50°， ∠ABC的度数为 ∠D=26°，则∠AED的度数为 A.15° B.20° C.30° D.50° 9.如图，D是∠ACB内一点， B M 连接CD.若∠1=35°， D 20 ∠2=40°，∠ADB=145°， 则∠ACB的度数为 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC (第3题图) (第4题图) 40°，BD平分∠ABC,交AC于点D. 4.(2024-2025·上饶期末)如图，D是△ABC (1)求∠BDC的度数； 的边BC的延长线上一点，∠A=50°，∠ACD= (2)若AE平分∠BAC,交BD于点E,求 105°，则∠B的度数为 ( ) ∠AED的度数. A.45° B.50° C.55 D.60° 5.(2024-2025·宜春期中)如图，在△ABC 中，∠A=70°，点D,E分别在AB,AC上，则 ∠1+∠2的度数为 A.140°B.190° C.250° D.320° 2 D (第5题图) (第6题图) 第十三章三角形10 专题二与三角形的角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 母题：（教材P17习题T9原题呈现）如图，∠1= (2)请探究∠A和∠O之间的数量关系，并说明 ∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值. 理由 A 100 【延伸问·一题多问】(1)上题中，若将“∠A= 100”改为“∠A=70”,求x的值； 【延伸问】如图，点B, C,D在同一条直线上， (2)若将“∠A=100”改为“∠A=n”,求x的值. ∠ABC的平分线与B ∠ACD的平分线交于点O1,∠OBC的平分线 与∠OCD的平分线交于点O2,如此继续下去 可得点O3,则∠A与∠O3之间的数量关系为 【变式题2】两内角平分线→两外角平分线 如图，在△ABC中，∠C=70°，AD,BD是 △ABC的外角平分线，AD与BD交于点D. 【变式题1】两内角平分线→一内角一外角平分线 如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的 (1)求∠D的度数 平分线相交于点O. (1)若∠ABC=60°，∠ACB=70°，求∠O的 度数； 11数学八年级上册配RJ版 (2)若去掉“∠C=70°”这个条件，试写出∠C与 是外角平分线的交点.若∠BOC=120°，则 ∠D之间的数量关系，并说明理由. ∠D的度数为 ,∠E的度数为 (第2题图) (第3题图) 3.如图，在△ABC中，BD,CD分别平分 ∠ABC,∠ACB,BG,CG分别平分三角形的 两个外角∠EBC,∠FCB,∠G=48°，则∠D 的度数为 4.如图，∠AOB=110°，点C,D分别在射线 OA,OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的 反向延长线与∠CDO的平分线交于点F (1)当∠OCD=30°时，求∠F的度数. (2)当点C,D在射线OA,OB上任意移动时 (不与点O重合)，∠F的度数是否变化？ 若不变，求∠F的度数；若变化，请说明理由. 模型总结：如图，BP,CP是△ABC的两条内角平分 线，CM,BN,CN是△ABC的三条外角平分线，则有： O∠BPC=90+2∠A, @∠M=2∠A: 1 ③∠N=90°- ∠A, ④∠PBN=∠PCN=90°， 利用上述关系可以快速解决相关问题， 针对训练 1.如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB 的平分线的交点.若∠P=2∠A,则∠A的 度数为 A.50° B.60° C.70° D.80° 2.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线 交于点O,D是外角与内角平分线的交点，E 第十三章三角形12号S6mS8题=S6十SaaE=号San十2Sam=}S6度e十是Sae=名S8c.F为CB的中点， ∴Sam=2Sa=子Sac=号×1=(cm).(2)4【解折】连接BE,由1可知Sa=4Sa配=4cm。 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 1.B2.A3.52° 4.解：如图所示.两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等平角的定义等量代换 E B D 5.解：，'∠A=60°，∠C=70°，∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=50°..BE是△ABC的角平分线，∴.∠EBC= 2∠ABC=25.:DE∥BC,∠BED=∠BBC=25 6.A 7.解：由题意，得BD∥AE,∠BAE=40°，∠CAE=10°，∠DBC=85°，∴.∠BAC=∠BAE+∠CAE=50°，∠DBA =∠BAE=40°.∴.∠ABC=∠DBC-∠DBA=45°..∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=85. 8.9.B10.∠BGC=90°+号∠A11.10°或120° 12.解：(1)，∠B=78°，∠C=36°，∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=66°.AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAD= 号∠BAC=3.∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=69.(2:DELAB,∴∠BED=90∠BDE=180-∠B -∠BED=12°..∠EDC=180°-∠BDE=168°. 13.解：(1)20°(2)猜想：∠EAD=2（∠C-∠B).理由如下：：ADLBC,∴∠ADC=90,∠DAC=180°- ∠ADC-∠C=90°-∠C.:AE平分∠BAC,∠EAC=2∠BAC=2X(180°-∠B-∠C)=90°-2∠B 合∠C.∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-∠B-司∠C-(90-∠C)=(∠C-∠B.(3)过点A作AH1 CD于点H.:AHLCD,FDLCD,AH∥DR.·∠F=∠EAH由(2)，得∠EAH=(∠ABC-∠C)=2X (80°-20)=30°，∴.∠F=30°. 第2课时直角三角形的性质与判定 1.B2.B3.D4.35 5.解：∠EFG=90°，∠E=28°，.∠FGE=90°-∠E=62°..GE平分∠FGD,∴.∠FGD=2∠FGE=124. AB∥CD,∠BFG=180°-∠FGD=56°.∴.∠EFB=∠EFG-∠BFG=34°. 6.B7.A8.D 9.解：(1)，∠A=∠2，∠1=∠B,∠A+∠1+∠2+∠B=180°，∴.∠A+∠B=∠1+∠2=90°.∴.△ABC是直角 三角形.(2).∠A十∠B=90°，∠A=∠2，.∠2+∠B=90°.∴.∠CDB=180°-（∠2+∠B)=90°..CD⊥AB, 即CD与AB垂直. 10.B11.70°12.50°或20° 13.证明：.AD是BC边上的高，∴.AD⊥BC..∠ADC=90°.∴.∠DMC+∠DCM=180°-∠MDC=90°. ∠DMC=∠AME,∠DCM=∠MAE,.∴∠AME+∠MAE=90°.∴.△ACE是直角三角形. 14.解：(1)90°40°(2)根据题意，得∠BPC=90°，∴.∠PBC+∠PCB=90°.'（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+ ∠ACP)+∠A=180°，即90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A.(3)不成立.结 论：∠ACP-∠ABP=90°-∠A.理由如下：∠BPC=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°.：∠ABC+∠ACB=180 -∠A,∴.（∠PBC-∠ABP)+(∠ACP+∠PCB)=180°-∠A..90°-∠ABP+∠ACP=180°-∠A. ∴.∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 13.3.2三角形的外角 1.C2.C3.C4.C5.C6.C7.A8.121°9.70° 10,解：1)∠C=90,∠BAC=40,∠ABC=90°-∠BAC=50.:BD平分∠ABC,∴∠ABD=2∠ABC= 2 25.∠BDC=∠BAC+∠ABD=65.(2):AE平分∠BAC,∠EAB=∠BAC=20:.∠AED=∠EAB +∠ABD=45°. 专题二与三角形的角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 母题：解：，∠A=100°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=80°，即∠1+∠2+∠3+∠4=80°.∠1=∠2，∠3 ∠4，.2∠2+2∠4=80°..∠2+∠4=40°..x°=180°-（∠2+∠4）=140°，即x=140. 【延伸问】解：(1)：∠A=70°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，即∠1+∠2+∠3+∠4=110°.：∠1= ∠2，∠3=∠4，∴.2∠2+2∠4=110°..∠2+∠4=55°..x°=180°-（∠2+∠4）=180°-55°=125°，即x=125. (2):∠A=n°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，即∠1+∠2+∠3+∠4=180°-n°.：∠1=∠2，∠3 =∠4，∴2∠2+2∠4=180-n∴∠2+∠4=90°-7.x=180-(∠2+∠40=90+7，即x=90+号n 【变式题1】解：(1)，∠ACB=70°，∴.∠ACD=180°-∠ACB=110°.BO平分∠ABC,CO平分∠ACD,∠ABC =60,∠CB0=2∠ABC=30,∠DC0=7∠ACD=5.:∠DC0是△BC0的外角，∴∠0=∠D00 ∠CB0=25.(2)∠0=合∠A理由如下：∠ACD是△ABC的外角，∠A=∠ACD-∠ABC.:B0平分 ∠ABC,C0平分∠ACD,.∠DC0=号∠ACD,∠CB0=号∠ABC.:∠DC0是△BC0的外角，∴∠0= ∠DC0-∠CB0-2(∠ACD-∠ABC=3∠A 【延伸问】∠A=8∠O 【变式题2】解：(1)∠C=70°，.∠CAB+∠CBA=180°-∠C=110°.∴.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+ ∠CBA)=250.:AD,BD是△ABC的外角平分线，∴∠DAB=含∠EAB,∠DBA=合∠FBA,∠DAB+ ∠DBA=号（∠EAB+∠FBA)=125°.÷∠D=180°-（∠DAB+∠DBA)=5°.(2）∠D=90°-2∠C.理由如 下：∠CAB+∠CBA=180°-∠C,∴.∠EAB+∠FBA=360°-（∠CAB+∠CBA)=360°-(180°-∠C)= 1S0+∠C.:AD,BD是△ABC的外角平分线，∴∠DAB=号∠EAB,∠DBA=号∠FBA.∠DAB+∠DBA =号（∠EAB+∠FBA)=2180+∠C)=90+号∠C.∠D=-180°-（∠DAB+∠DBA)=10°-(90°+ 2∠C=90-7∠c 针对训练 1.B2.30°60°3.132° 4.解：(1)，∠AOB=110°，∠OCD=30°，∴.∠ACD=180°-∠OCD=150°，∴.∠CD0=∠ACD-∠AOB=40°. :CE是∠ACD的平分线，DF是∠CD0的平分线，∠ECD=2∠ACD=75,∠CDP=号∠CD0=20.∴∠F =∠ECD-∠CDF=55°.(2)不变.：∠AOB=110°，.∠CD0=180°-∠AOB-∠OCD=70°-∠OCD.:CE 是∠ACD的平分线，DF是∠CD0的平分线，∠ECD=号∠ACD=(180°-∠OCD)=90°-2∠0CD, ∠CDF=2∠CD0=2(70°-∠0CD)=35°-3∠0CD.∴∠P=∠ECD-∠CDF=(90°-3∠0CD)-(35i -7∠0cD）=5 数学活动 1.B2.D3.B4.96 5.解：(1)有两种搭法，如图①②所示.至少要用5根火柴棒.(2)如图③④，最少需要12根火柴棒.(3)可以搭4个 等边三角形，如图⑤. 八☑ 图①图② 图③ 图④图⑤ (第5题图) (第6题图) 6.解：(1)如图所示.(2)分别是4个、5个、6个.(3)分别是(n-2)个、(n一1)个、n个.