4.4 利用三角形全等测距离暑期专项练习2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形全等判定与实际测量应用，以“构造全等转化距离”为主线，系统整合判定定理与生活场景，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|4题|SAS/ASA/SSS判定条件辨析|从判定定理到条件补全，构建逻辑推理链| |实际应用|8题|折叠凳/池塘/旗杆测量方案|通过中点、延长中线等构造全等，实现未知距离转化| |综合拓展|3题|动态图形与取值范围|结合三角形三边关系，深化全等性质的灵活应用|

4.4 利用三角形全等测距离 暑期专项练习2025-2026学年 北师大版七年级数学下册 一、单选题 1．某学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳，图是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长度相等，是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，若的长度为，由以上信息可知的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（   ） ①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使★； ③连接并延长到点E，使♠； ④连接，量出▲的长即为的距离． A．★代表 B．♠代表 C．▲代表 D．该方案的依据是 3．如图，，，添加下列条件后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，小华将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为，即，．测得，两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上、两点之间的距离．图中与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．傣族油纸伞是傣家人引以为豪的传统手工艺之一，被列入第一批国家级非物质文化遗产保护名录，我县某中学八年级同学在了解了傣族油纸伞后，即组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．同学们依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，请添加一个条件，使得（　　） A． B． C． D． 7．如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，点M在上，且，点M到射线的距离为a，点P在射线上，，若的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（　　） A．或 B． C． D．或 9．如图，将两块相同的三角板（含角）按图中所示位置摆放，若交于点交于点交于点，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 10．在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，小明站在点处测甲、乙两楼楼顶上的点和点．已知三点在同一条直线上，点相距，点相距，乙楼的高为，则甲楼的高为_______． 12．如图，已知，小明想证明，但发现还缺少一个条件．现从下列条件中选择一个条件添加：①，②，③，④，⑤；添加后能证明的条件有__________（要求写出所有符合的条件的对应编号）． 13．如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加_______． 14．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为____．    15．如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为_____． 三、解答题 16．在学习全等三角形后，八年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量五星红旗旗杆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 方案 示意图 （假设：地面水平，垂直于地面，点B，C，D在水平地面上） 测量步骤 （1）在距旗杆底部 B 点水平地面上，选定一点 C； （2）测量旗杆顶点 A 视线与水平地面所成的角的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D 三点共线）； （5）测量标杆顶部 E 视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆高度的值． 17．综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 18．为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 19．某八年级数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，此时直杆与地面的夹角为（即），然后使直杆沿墙面竖直缓慢下滑至位置（即），此时直杆与地面的夹角为（即），最后测得，，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求攀岩墙的高度． 20．如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案： 主题 测量斜坡上一点的竖直高度 测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内) 根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C D C A D C 1．C 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据中点定义求出，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是它们的中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 则的长度为， 故选：． 2．D 【分析】本考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定即可求解． 【详解】解：①先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B； ②连接并延长到点D，使，A选项正确； ③连接并延长到点E，使，B选项正确； ④连接，量出的长即为的距离，C选项正确； 该方案的依据是，D选项错误， 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． 根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、若添加，根据可证明，此选项正确，但不符合题意； B、若添加，根据可证明，此选项正确，但不符合题意； C、若添加，无法证明，此选项错误，但符合题意； D、若添加，根据可证明，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：在与， ∵， ∴， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 5．C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 6．D 【分析】根据题意可得，据此结合全等三角形的判定定理逐一判断即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：根据题意可得， 添加条件时，结合，不可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件时，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件时，则，即，结合，不可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件时，结合，可以利用证明，故D符合题意； 7．C 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 8．A 【分析】分情况讨论，结合图形，即可得到答案． 【详解】解：当时，，是直角三角形，的形状、大小是唯一确定的； 当时，如图，有两种情况； 当时，的形状、大小是唯一确定的． ∴或． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，运用分类讨论的思想求解是解题的关键． 9．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由，根据全等三角形的性质可得，继而可得，可判断A正确；利用可证明，可判断C正确；根据全等三角形的性质可得，可判断B正确，无法得到，由此即可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴，故选项A正确； 在与中 ， ∴，故选项C正确； ∴， ∵， ∴，故选项B正确； 无法得到，故选项D错误． 故选：D． 10．C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 11．/30米 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意证明，得到后即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．②③/③② 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可判断出正确选项． 【详解】解：①与是对顶角，本身就相等，现有条件不足以证明，故①不符合题意； ②当，而，， ∴，故②符合题意； ③当，而，， ∴，故③符合题意； ④当，而，，边边角不能证明全等，故④不符合题意， ∴符合题意的有②③， 故答案为：②③． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14． 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 15． 【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，交的延长线于点，可证明，得，因为，所以以，求得，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 16．15米 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 17．此方案可行，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 18．(1)见解析 (2)我会选择方案一，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）方案一：通过构造两边及其夹角对应相等的两个三角形证明，从而得到；方案二：通过构造两角及其夹边对应相等的两个三角形证明，从而得到； （2）对比两种方案的工具与操作难度，选择工具更简单、操作更方便的方案一即可． 【详解】（1）证明：方案一： 在与中， ， ∴， ∴； 方案二： ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 解：我会选择方案一，理由如下：方案一仅需使用刻度尺测量长度，工具简单、操作便捷；而方案二除刻度尺外，还需使用测角仪测量角度，工具和操作相对复杂． 19． 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可证明，再证明，即可得到． 【详解】解：，， ， 在和中， ． ， 答：攀岩墙的高度为． 20．斜坡上一点的竖直高度为2米 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴(米)． 答：斜坡上一点的竖直高度为2米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $