4.4 利用三角形全等测距离-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年七年级下册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步练习4.4利用 知识点利用三角形全等测距离 1.[教材随堂练习变式](3分)如图，将两根钢 条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB可 以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工 件，则A'B'的长等于内槽宽AB,那么判定 △OAB≌△OA'B'的理由是() A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 第1题图 第2题图 2.生活情境·旗杆(3分)如图所示，两根旗杆 AC与DB之间相距12m,某人从点B沿BA 走向点A,一段时间后他到达点M,此时他仰 望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为 90°，且CM=DM。已知旗杆AC的高为3m, 该人的运动速度为1m/s,则这个人运动到点 M所用时间是 So 3.学习情境·方案设计(3分)乐乐所在的七年 级某班学生到野外活动，为测量池塘两端A,B 的距离，乐乐、明明、聪聪三位同学分别设计 出如下几种方案： 乐乐：如图①，先在平地取一个可直接到达A, B的点C,再连接AC,BC,并分别延长AC至 D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE 的长即为A,B的距离。 明明：如图②，先过点B作AB的垂线BF,再 在BF上取C,D两点，使BC=CD,接着过点D 作BD的垂线DE,交AC的延长线于点E,则 测出DE的长即为A,B的距离。 聪聪：如图③，过点B作BD⊥AB,再由点D观 15分钟同步练习，精炼高效抓 三角形全等测距离 测，在AB的延长线上取一点C,使∠BDC= ∠BDA。则测出BC的长即为A,B的距离。 以上三位同学所设计的方案中可行的是() A.乐乐和明明 B.乐乐和聪聪 C.明明和聪聪 D.三人的方案都可行 A长B F 图① 图② 图③ 4.生活情境·滑梯(11分)如图，已知两个滑梯 BC和EF的倾斜角∠ABC和∠DFE互为余角， 且左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的 长度DF相等，且AC⊥BF,ED⊥BF。小明说： “只要量出左侧滑梯水平方向的长度AB就可 以知道右侧滑梯的高度DE了。”他的说法正确 吗？请你说明理由。 第四 考点ZBB七年级数学下册 45 ☆ 问题解决策略：特殊化 项目式学习综合与实践。 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决 阅读材料 般性的问题，这就是特殊化策略。 根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下 活动主题 探究。 如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD 问题背景 上的点且∠EAF∠BAD,请探究线段EE,BE,FD之间的数量关系 任务1：如图1，当∠B=∠D=90°时，其他条件不变，请探究线段EF,BE, FD之间的数量关系。 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整。 解：延长EB到，点G,使得BG=DF,连接AG。 (AB=AD 图1 在△ABG和△ADF中，{∠ABG=∠ADF=90°， 特殊情形 BG=DF 所以△ABG≌△ADF(SAS),所以AG=AF,∠BAG=∠DAF, 所以∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE。 GBE 第四章 图为∠BAP=∠BMD,所以∠CB=∠BAP. 任务2：小梦同学发现在如图2所示的四边形ABCD中，若AB=AD,∠B+ 一般性 问题 LD=180,E,F分别是边BC,CD上的点，∠EAF=7∠BMD,则任务1中的 B 结论仍然是成立的，请你写出结论并完成说明过程。 图2 46 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBB七年级数学下册∠ABC+∠BAC=∠1+∠2。因为∠1+∠2+∠3=94°，所以 2∠3=94°，所以∠3=47°。 6.解：(1)因为AF=CE,所以AF-EF=CE-EF,即AE=CF。在 (AD=CB △ADE和△CBF中，{DE=BF,所以△ADE≌△CBF(SSS); AE=CF (2)△ADE≌△CBF成立。因为AF=CE,所以AF+EF=CE (AD=CB +EF,即AE=CF。在△ADE和△CBF中，〈DE=BF,以 AE=CF △ADE≌△CBF(SSS). 第2课时角边角(ASA)与角角边(AAS) 1.C 2.ASA 3.解：因为AB∥CE,所以∠BAC=∠DCE。因为CD=AD+CE= AD+AC,所以AC=CE。在△ABC和△CDE中 I∠ACB=∠E AC=CE ,所以△ABC≌△CDE(ASA)。 (∠BAC=∠DCE 4.C5.B 6.D【解析】因为∠CBE=∠DBE,所以∠CBA=∠DBA。在 I∠C=∠D △ABC和△ABD中，{∠CBA=∠DBA,所以△ABC≌△ABD (AB=AB (AAS)。所以AC=AD,BC=BD。因为AC=10,BD=6,所以 四边形ADBC的周长=AC+BC+BD+AD=2(AC+BD)=32。 故选D。 7.3 8.解：因为AB∥ED,所以∠B=∠E。又因为∠A=∠DCE,BC =ED,所以△ABC≌△CED(AAS)。所以AC=CD。 9.B 10.1.4【解析】由题意可知∠CE0=∠BD0=90°，0B=0C, 所以∠BOD+∠OBD=90°。因为∠BOC=90°，所以∠BOD +∠COE=90°，所以∠COE=∠OBD,在△COE和△OBD I∠CEO=∠ODB 中，{∠COE=∠OBD,所以△C0E≌△OBD(AAS),所以 OC=BO CE=OD,OE=BD。因为BD=1.4m,CE=1.8m,所以DE= OD-OE=CE-BD=0.4m。因为B距离地面为1m,所以C 距离地面的高度为1+DE=1+0.4=1.4(m)。 11.(1)∠B=∠C(2)∠AEB=∠ADC 12.解：(1)因为BDL直线L,CE⊥直线L,所以∠BDA=∠CEA =90°。因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=90°。因为 ∠BAD+∠ABD=90°，所以∠CAE=∠ABD。在△ADB和 I∠BDA=∠AEC △CEA中，{∠ABD=∠CAE,所以△ADB≌△CEA(AAS), AB=CA 所以AE=BD,AD=CE,所以DE=AE+AD=BD+CE; (2)成立。理由：因为∠BDA=∠BAC=a,所以∠DBA+ ∠BAD=180°-a=∠BAD+∠CAE,所以∠DBA=∠CAE,在 (∠BDA=∠AEC △ADB和△CEA中，{∠DBA=∠EAC,所以△ADB≌△CEA AB=CA (AAS),所以BD=AE,AD=CE,所以DE=AE+AD=BD +CE。 第3课时边角边(SAS 1.C 2.D【解析】因为AD是△ABC的高，所以∠ADB=∠ADC= (BD=AD 90°，在△BDE和△ADC中. ∠BDE=∠ADC=90°，所以 DE=DC △BDE≌△ADC(SAS),所以∠DBE=∠DAC,因为∠C= 55°，所以∠DAC=90°-55°=35°，所以∠DBE=∠DAC= 35°。故选D。 3.23°【解析】因为∠BAE=∠DAC,所以LBAE+LCAE= 同步练习，精炼高效抓考 ∠DAC+∠CAE,即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中」 因为AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,所以△ABC≌△ADE (SAS)。所以∠E=∠C=23°。 4.(1)∠a(2)ac 5.解：(1)因为点0是线段AB和线段CD的中点，所以A0= (AO=BO B0,C0=D0。在△AOD和△B0C中， ∠AOD=∠BOC,所 DO=CO 以△AOD≌△BOC(SAS); (2)由(1)知△AOD≌△BOC,所以∠A=∠B,所以AD∥BC。 6.【问题探究】22不一定 【拓展思考】钝角 第4课时灵活运用四种判定方法判定两个三角形全等 1.B 【方法点拨】全等三角形的四种判定方法中，选用哪一种方 法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找 它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一 组边对应相等；若已知一边一角，则找另一组角，或找这个 角的另一组邻边。 2.A3.C 4.解：因为AB∥CF,所以∠A=∠ECF,∠EDA=∠F。在△ADE I∠A=∠ECF 和△CFE中，{∠EDA=LF,所以△ADE≌△CFE(AAS)。 DE=FE 所以AD=CF。因为AB=BD+AD,所以AB=BD+CF。 5.C 6.1【解析】因为AD⊥BC,CE⊥AB,所以∠ADB=∠AEH= 90°。因为∠AHE=∠CHD,所以∠HAE=∠BCE。在△HEA '∠HAE=∠BCE 和△BEC中，{∠AEH=∠CEB=90°，所以△HEA兰△BEC EH=EB (AAS),所以AE=EC=4,则CH=EC-EH=AE-EH=4-3 =1。 7.解：(1)BD=CD(答案不唯一) (BD=CD (2)在△ABD与△ACD中， ∠1=∠2，所以△ABD≌△ACD AD-AD (SAS)。所以AB=AC。 高效同步练习4,4利用三角形全等测距离 1.B 2.3【解析】因为∠CMD=90°，所以∠CMA+∠DMB=90°。 因为∠DBM=90°，所以∠DMB+∠D=90°。所以∠CMA= ∠D。又因为∠A=∠B,CM=DM,所以△ACM≌△BMD （AAS),所以BM=AC=3m,所以t=3s。 3.D 4.解：他的说法正确，理由如下：因为AC⊥BF,ED⊥BF,所以 LBAC=∠EDF=90°，所以LABC+∠BCA=90°，又因为 ∠ABC+∠DFE=90°，所以∠BCA=∠DFE,在△BAC与 I∠BAC=∠EDF △EDF中，{AC=DE ,所以△BAC≌△EDF(ASA), (∠BCA=∠EFD 所以AB=DE。 ☆问题解决策略：特殊化 AG=AF 解：任务1：在△GAE和△FAE中， ∠GAE=∠FAE,所以 (AE=AE △GAE≌△FAE(SAS),所以EG=EF,因为EG=BG+BE=BE+ DF,所以EF=BE+FD: 任务2：EF=BE+FD。延长CB至M,使BM=DF,连接AM,因 为∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，所以∠ABM= (AB=AD ∠D,在△ABM和△ADF中， ∠ABM=∠D,所以△ABM≌ BM=DF ZBB七年级数学下册 75 △ADF(SAS),所以AM=AF,∠BAM=∠DAF,因为∠EAF= 2∠BMD,所以LBAE+LDAF=LEAF,所以∠EAM=∠BAE+ ∠BAM=∠BAE+∠DAF=∠EAF,在△MAE和△FAE中 (AM=AF ∠MAE=∠FAE,所以△MAE≌△FAE(SAS),所以EF=EM. AE=AE 因为EM=BM+BE=BE+DF,所以EF=BE+FD。 追梦第四章章末复习三角形 1.C 2.B【解析】因为∠A=70°，∠ABE=32°，所以∠AEB=180°- ∠A-∠ABE=78°。所以∠CEF=180°-∠AEB=102°。所以 ∠CFE=180°-∠CEF-∠ACD=58°。故选B。 3.A4.B5.A6.A7.B8.D 9.130°【解析】因为∠A=50°，BE⊥AC,所以∠ABE=90°- 50°=40°。又因为CD⊥AB,所以∠ACD=40°。因为∠ABC +∠ACB=180°-∠A=130°，所以∠PBC+∠PCB=130°- ∠ABP-∠ACD=50°，因为∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°，所 以∠BPC=130°。 10.3511.PA=PB(答案不唯一) 12.解：因为∠BCE=∠ACD=90°，所以∠ACB+∠ACE=∠ACE +∠DCE,所以∠ACB=∠DCE。在△ABC和△DEC中， I∠BAC=∠D ∠ACB=∠DCE,所以△ABC≌△DEC(AAS),所以AC BC=EC =CD。 13.解：任务一：如图所示； ◆A 任务二：(1)8 (2)理由：由题意可知，AC=20米，CD=20米，DE=8米， ∠A=90°，∠D=90°，所以AC=DC,∠A=∠D。在△ABC (∠A=∠D 和△DEC中， AC=DC ,所以△ABC≌△DEC N∠ACB=∠DCE (ASA),所以AB=DE=8米，所以小明的方案是正确的。 14.解：例：已知点B,F,C,E在同一直线上，ABDE,BF=EC, ∠A=∠D,试说明：AC=DF。 因为ABDE,所以∠B=∠E,因为BF=EC,所以BF+CF= I∠A=∠D EC+CF,所以BC=EF,在△ABC与△DEF中，{∠B=∠E, BC=EF 所以△ABC≌△DEF(AAS),所以AC=DF。 15.解：(1)因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=180°-60°= 120°。因为AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，所以 ∠DAC=7∠BAC,∠ECA=2LBCA,所以∠DAC+LBCA s 1 2∠BCA= 2∠BAC+ F2（∠BAC+LBCA)=60°，所以 ∠AFC=180°-（∠DAC+∠ECA)=120°； (2)在AC上截取AG=AE,连接FG。因为AD,CE分别是 ∠BAC,∠BCA的平分线，所以∠EAF=∠GAF,∠GCCF= (AE=AG ∠DCF。在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠GAF,所以 AF=AF △AEF≌△ACF(SAS),所以AE=AG,∠AFE=∠AFG,所以 ∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，所以∠CFG=180°-∠CFD- ∠AFG=60°，所以∠CFD=∠CFG。在△CFG和△CFD 76 同步练习，精炼高效抓考 I∠CFG=∠CFD 中，{FC=FC ,所以△CFG≌△CFD(ASA),所以 (∠GCF=∠DCF CG=CD,所以AC=AG+CG=AE+CD。 高效同步练习5.1轴对称及其性质 1.C2.B3.A4.A 5.A【解析】由题意可知：OB=OB',AA'∥BB',△ABC≌ △A'BC',故②③④正确，AB=A'B',故①正确；综上可知： ①②③④正确，共4个。故选A。 6.100°【解析】因为将，点A与点B分别沿MN和EF折叠， 使点A、B与点C重合，所以∠A=∠ACN,∠B=∠BCF,因为 ∠NCF=∠ACB-(∠A+∠B)=20°，所以∠A+∠B=∠ACB 20°，因为∠A+∠ACB+∠B=180°，所以∠ACB+∠ACB-20° =180°，解得∠ACB=100°。 7.B 8.解：如图所示，△A'B'C即为所求。 M 土上 9.B【解析】设GP交OM于点C。因为P,点关于OM的对称 ,点是G,所以GC=PC,∠GCA=∠PCA,又因为AC=AC,所以 △GCA≌△PCA(SAS),所以AG=AP,同理可得BH=BP。因 为GH=10cm,所以C△PwB=AP+AB+BP=AG+AB+BH=GH= 10cm。故选B。 10.32【解析】因为点P1和点P关于OA对称，点P2和点P 关于OB对称，所以OP1=OP=OP2=8,且∠P1OP2= 2LA0B=0,所以△0P,P.的面积为7×8×8=32。 11.解：(1)因为四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN 对称，AB=3cm,EH=4cm,所以EF=AB=3cm,AD=EH =4cm: (2)因为∠ABC=125°，∠A+∠D=155°，所以∠C=360°- (∠ABC+∠A+∠D)=80°，所以∠G=∠C=80°； (3)因为对称轴垂直平分对称点的连线，所以直线MN垂 直平分BF。 12.解：(1)①根据折叠的性质可知：∠AEF=∠A'EF=30°，所 以∠A'EB=180°-2×30°=120°； ②由折叠可知∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG。因为 ∠AEF+∠A'EF+∠BEG+∠B'EG=180°，所以∠A'EF+ ∠B'EG=90°，所以∠FEG=90°； (2)∠FEG的大小不改变，理由如下：由折叠的性质可知： ∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG。因为∠AEF+∠A'EF+ ∠BEG+∠B'EG=180°，所以∠A'EF+∠B'EG=90°，所以 ∠FEG=90°。所以∠FEG的大小不改变。 高效同步练习5.2简单的轴对称图形 第1课时等腰三角形的性质 1.B 2.轴对称对称轴 3.等腰三角形的三线合一 4.A 【易错提醒】等腰三角形中求角度的方法：先明确已知角是 底角还是顶角，再根据等腰三角形的两个底角相等求另外 两个角，若未明确说明，则需要分类讨论。注意，若已知角 是直角或钝角，则该角只能是顶角。 5.D【解析】①当腰为7cm时，则三边为7cm、7cm、3cm,满足 三角形三边关系，此时周长为17cm,②当腰为3cm时，则三 边为3cm、3cm、7cm,因为3+3<7，不满足三角形三边关系， 所以不合题意。故选D。 6.75°【解析】由图可知∠AOB=30°。因为OA=OB,所以 ZBB七年级数学下册