2026-2027学年初升高数学衔接资料：19.一次函数与反比例函数讲义

第19讲 一次函数与反比例函数 知识点1：一次函数定义、性质及应用 知识点2：反比例函数定义、性质及应用 知识点1：一次函数 1.定义：一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k0）的函数，叫做一次函数。 当 时，正比例函数是特殊的一次函数。 2.图像：一条直线，过点 （y 轴交点）、（x 轴交点）； 3. 对图像的影响： 4.解析式求法（待定系数法）： 设 → 代入 2 组 → 解方程组求 → 写出解析式。 知识点2：一次函数与方程、不等式 1.与一元一次方程： 的解 ↔ 直线与x 轴交点横坐标； 2.与二元一次方程组：方程组的解 ↔ 两直线交点坐标； 3.与一元一次不等式： 的解集 ↔ 直线在x 轴上方部分对应的 ； 的解集 ↔ 直线在x 轴下方部分对应的 。 知识点3：一次函数图像平移 1.上下平移：上加下减（）； 2.左右平移：左加右减（）。 知识点4：反比例函数 定义：一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。自变量x≠0． 知识点5：反比例函数的图象： 反比例函数 k的符号 k>0 k>0 图像 性质 图象的两个分支位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小 图象的两个分支位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 【题型1 一次函数、反比例函数的性质及应用】 【典例1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C，连接，． (1)求k的值； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出时x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的图象过， 解得．． 把代入，得：，解得； （2）一次函数的图象过， ，解得．． 一次函数的图象与y轴交于点C， ．． ． （3）由图象得，当时，x的取值范围是或． 【典例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，解得，∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，，∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴，解得，∴一次函数解析式为； （2）由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，，∴， ∴△ABC的周长， ∴当有最小值时，△ABC的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，△ABC的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为， ∵，，∴， ∴△ABC的周长的最小值为； 设直线解析式为，则，∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，，∴； 综上所述，当点C的坐标为时，△ABC的周长有最小值，最小值为． 1、反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2、已知函数是一次函数．则的值为（    ） A． B． C．或 D． 3、在平面直角坐标系中，直线经过点，则的值为（     ） A．7 B．3 C．11 D． 4、若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 5、在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为（     ） A． B．12 C． D．3 6、抛物线图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7、点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则m的值为 ． 8、已知一次函数的图像经过点和点，这个一次函数的解析式为______． 9、函数是反比例函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ． 10、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 第19讲一次函数与反比例函数答案 1、 A 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，图象一定经过点，符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 2． B 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解，得或，即或， ∵，即，∴． 3． A 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得． 4． B 【详解】解：∵，且， ∴y随x的增大而减小，∴， 又∵直线解析式为，常数项，即直线与y轴交于负半轴， ∴直线经过第二、三、四象限． 5． B 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后得到的函数解析式为： ， 整理得 ， ∵平移后得到正比例函数的图象， ∴，解得． 6、 A 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴，∴， ∴一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数的图象经过第二，四象限 7、 【详解】解：点和点是同一个反比例函数图象上的两点， 则．化简得，解得． 8、 【详解】解：一次函数解析式为， ∴，解得，， ∴一次函数解析式为 ． 9、2 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得：或， ∵当时，随的增大而减小， ∴，∴，∴， 10、【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ，， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴，∴点的横坐标为， 当时，， ∴∴ ∴的面积． （3）解：设，∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 学科网（北京）股份有限公司 $