2026-2027学年初升高数学衔接资料：15.图解法解一元二次不等式 讲义

第15讲 图解法解一元二次不等式 知识点1：一元二次不等式的定义 知识点2：图解法解一元二次不等式 知识点1：一元二次不等式的概念 一般形式：ax2＋bx＋c > 0或ax2＋bx＋c < 0，其中a≠0. 知识点2：一元二次不等式的解法 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 全体实数 无解 无解 知识点3：一元二次不等式的解法： (1)化：把不等式变成二次项系数a>0的标准形式(若a<0，通过移项把a变为正)； (2)判：计算对应方程的∆=b2-4ac，判断方程根的情况； (3)求：求出对应方程的两根(十字相乘法或公式法)，或根据∆说明方程有无实根； (4)写：利用“大于0取两边，小于0取中间”写出不等式的解集。 补充：①若∆=0，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为 ②若∆<0，则ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R； ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为 【题型1 一元二次不等式的解法】 例1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 分析：该一元二次不等式对应的二次函数为 画出二次函数为的图象，如图所示 数形结合思考时对应的的取值范围，故选：C． 【题型2 二次函数与不等式的关系】 例2.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：关于的不等式的解集为， 令∴由图象得 ∴和是方程的两个根， ∴， ∴设，∴， ∴不等式化为：，∴， 令，当时，则，解得：， ∵开口向上，∴当时，，∴解析为：，故选：C． 1．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 2．已知抛物线过点，当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是（    ）． A． B． C．或 D．或 6．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜0＜x2，则当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是（　　）    A．x1＜x＜x2 B．x1≤x≤x2 C．﹣x1≤x≤x2 D．x≤x1或x≥x2 8．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 10．函数的图象经过点．若，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 11．如图是二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．的最大值是4 B．当时，函数值 C．当时，随的增大而增大 D．函数的图象关于直线对称 12．已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 13．二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．一元二次不等式的解集为R，则必有（   ） A． B． C． D． 15．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第15讲 图解法解一元二次不等式答案 1．B 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 2．D 【详解】解：抛物线的对称轴公式为， 代入得： 已知抛物线过点，且抛物线关于对称轴对称， 与轴的另一个交点到对称轴的距离和到的距离相等． 另一个交点的横坐标为， 抛物线与轴的交点为和． ，抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴上方， ． 故选D 3．C 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 4．【答案】D 【解析】该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 5．B 【详解】解：由图可知，时二次函数图象在一次函数图象上方， 所以，满足的x的取值范围是． 故选：B． 6．B 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 7．B 【详解】解：当ax2+bx+c≤0时，即y≤0，由图象可知：x1≤x≤x2时，y≤0， ∴当ax2+bx+c≤0时，x的取值范围是x1≤x≤x2． 故选：B． 8．D 【详解】由图可知，使得时 使成立的x的取值范围是或 故选：D． 9．A 【详解】解：①当时，原不等式变为，即， ∴不能在上恒成立，不合题意， ∴； ②当时，不等式是一元二次不等式， 对于一元二次函数， 当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方， ∴需要满足判别式， 由不等式，得，，， ∴， 即， 解得：， 当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立． 综上可得：． 故选：A． 10．D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点，且， ∴或， 故选：D． 11．B 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向下，则，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与x轴的一个交点为． A、∵开口向下，抛物线的顶点坐标为， ∴二次函数y的最大值为顶点的纵坐标，即函数y的最大值是4，故此选项正确，不合题意； B、∵二次函数的图象关于直线对称，且函数图象与x轴有一个交点， ∴二次函数与x轴的另一个交点为． ∴当时，函数值，故此选项错误，符合题意． C、当时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不合题意； D、∵二次函数的对称轴为直线， ∴函数的图象关于直线对称，故此选项正确，不合题意； 故选：B． 12．C 【详解】解：∵时，时， ∴二次函数图象的对称轴为直线，故选项D错误． ∵时， ∴． 将，代入得， 又∵对称轴公式为直线， ∴． 联立方程得 解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，选项A错误． 当时，时取得最大值，端点时， ∴的取值范围是，选项B错误． ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，选项C正确． 13．D 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 14．B 【详解】解：对于不等式的解集为R，抛物线必须开口向下（即），且与x轴无交点（即判别式）． 此时抛物线始终位于x轴下方，所有实数x均满足不等式． 选项B满足且， 故选：B． 15．B 【详解】解：∵二次函数中，，对称轴， ∴，解得， ∵抛物线与轴交于点，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为，配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为， 当时，， 当时，， 又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于， ∴． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $