2026-2027学年初升高数学衔接资料：11.二元二次方程组讲义

第11讲 二元二次方程组 知识点1：二元二次方程和方程组的概念 知识点2：二元二次方程组及其解法. 知识点1 二元二次方程及二元二次方程组的概念 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 知识点2 二元二次方程组求解方法 二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法． 消元，即通过一定的方法减少未知数的个数.例如，可以利用代入消元法或加减消元法，将两个未知数中的一个用另一个表示，从而将方程组转化为只含有一个未知数的方程. 降次，是指降低方程中未知数的次数.通过对方程进行变形、因式分解、配方等操作，将二次方程转化为一次方程来求解. 知识点3 一元高次方程的解法 含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2的整式方程叫做一元高次方程。 一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为 一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。 知识点4 三元一次方程组的解法 (1）三元一次方程组的概念： 三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。 注：（1）“未知项”与“未知数”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。 它的一般形式是 未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。 (2）解三元一次方程组的基本思想方法是： 题型一:代入法解二元二次方程组 【典例1】解方程组 【详解】由①得③，将③代入②得，，解得， 将代入③，得，将，得， 所以原方程组的解是. 题型二:降次法解二元二次方程组 【典例2】解方程组 【详解】解：由，得：， ∴或，∴或， 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； 把代入，得：， 解得：， 当时，， 当时，； ∴原方程组的解为：． 题型三:逆用根与系数的关系 【典例3】解方程组 【详解】解：这个方程组中的x、恰好是的两个根， 解得，∴原方程组的解为. 题型四:一元高次方程的解法 【典例4】解方程 （1）x3+3x2-4x=0 （2）x4-13x2+36=0 【详解】解：（1）原方程可化为 x（x-1）（x+4）=0 （2）原方程可化为（x2-9）（x2-4）=0 转化为（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0 ， 题型五:三元一次方程组的解法 【典例5】 解方程组         分析：方程①只含x，z，因此，可以由②，③消去y，再得到一个只含x，z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×3＋③，得  11x＋10z＝35．     （4） ①与④组成方程组       解这个方程组，得 把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9， ∴ ． ∴ [来源:学科网] 1.由方程组消去y后化简得到的方程是（ ） A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 2．下列方程中，不是二元二次方程的是（ ） A．x2+xy﹣3=0 B．x2﹣y=x（x+3） C．x（y﹣2）=7 D．y=x2﹣2x+3 3．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 4.已知和是方程的两个解，则 ． 5．解方程组： 6.解方程组 7.解方程 （1）x3+5x2-6x=0 （2）（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0[来源:学科网ZXXK] 8.解方程组 9已知 ，且x+y+z=24，求x、y、z的值. 第11讲 二元二次方程组答案 1.【答案】D 【详解】解：， 由①，得y＝x-1③， 将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0， 化简，得2x2﹣2x+5＝0， 故选：D． 2.【答案】B 【详解】二元二次方程就是含有两个未知数，并且最高次数是二次的整式方程，据此即可判断． 解：A、C、D都是二元二次方程，故正确； B、化简以后是：y+3x=0，是二元一次方程，故选项错误． 故选B． 3.【答案】， 【详解】解：， ， ，． 故答案为：，． 4.【答案】3 【详解】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 5.【答案】， 【详解】解：由②得． ∴或． 则原方程组可化为，， 解这两个方程组，得，， ∴原方程组的解为，； 6.【答案】 【详解】解方程组①+②得， ①-②得：． 解此四个方程组，得原方程组的解是： 7.答案：（1）（2） 8.分析：三个方程中，z的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z。 解：①+③，得  5x+6y=17      ④ ②+③×2，得，  5x+9y=23     ⑤ ④与⑤组成方程组 解这个方程组，得       把x=1，y=2代入③得： 2×1+2×2-z=3，    ∴  z=3 ∴  另解：②+③-①，得 3y=6，∴y=2 把y=2分别代入①和③，得 解这个方程组，得：     ∴ 9.2. x=6,y=8,z=10 学科网（北京）股份有限公司 $